Ôn tập toán 20

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐH… HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I Câu 1: PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập số thực  x y log  x  1 A y log  x  1 B C y 2 Lời giải x  e y    3 D Chọn C Hàm số Hàm số y log2  x  1 y log  x  1 đồng biến khoảng   1;   nghịch biến tập số thực  x Hàm số y 2 đồng biến tập số thực  x e y     nghịch biến tập số thực  Hàm số Câu 2: Cho ba số phức z1 2  i ; z2   2i z3 1  3i Tìm số phức w 2z1  z2  z3 : A w 8  i B w 1  8i C w   8i D w 8  i Lời giải Chọn D w 2   i      2i     3i   w 8  i Ta có w 2z1  z2  z3 Câu 3: Một người gửi số tiền 200 triệu đồng vào ngân hng vi lói sut 8% / năm Bit rng, khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Hỏi sau năm tổng số tiền gốc tiền lãi người lĩnh bao nhiêu, khoảng thời gian người khơng rút tiền lãi suất không thay đổi (làm trịn đến hàng nghìn đồng)? A 293860000 đồng B 293866000 đồng C 294260000 đồng D 291368000 đồng Lời giải Chọn B 200   8%  293,866 Tổng số tiền người rút sau năm là: (triệu đồng) Câu 4: log  x  mx   m  log  x  1 Có giá trị thực tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt A B C D Vơ số Lời giải Chọn A Phương trình log  x  mx   m  log  x  1 x     x  mx   m  x    x    x   m  1 x   m 0  *  Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình  m  1    m    1   m  1   m    m    * có hai nghiệm phân biệt  m    m  m    m     m   m  2  m  m  m     lớn Vậy khơng có giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu 5: Cho phương trình 10 nghiệm A x   0; 4  sin x  Khi x thuộc tập hợp sau phương trình cho có  3 3   5 5  x   ;  x   ;  2 2     B C Lời giải 7  x    3 ;  D    Chọn C      x   k 2  x 12  k    k   5 5   x   k 2 x   k sin x    12 Phương trình Suy đường trịn lượng giác có điểm biểu diễn nghiệm phương trình có điểm thuộc góc phần thứ I điểm thuộc góc phân tư thứ II x   0;4  Đáp án A: vịng đường trịn phương trình có nghiệm  3 3  x   ;   2  phương trình có 12 nghiệm Đáp án B: vịng đường trịn  5 5  x   ;   2  phương trình có 10 nghiệm Đáp án C: 2.5 vịng đường trịn 7   x    3 ;   phương trình có 14 nghiệm  Đáp án D : 3.25 vòng đường tròn Câu 6: Một bốn hàm số có đồ thị hình Hỏi đồ thị đồ thị hàm số bốn hàm số đó? A y  x  x  x  C y  x  x  x  B y  x  x  x  D y x  x  Lời giải Chọn A Dựa vào dạng đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số bậc ba: y ax  bx  cx  d lim y   a  Ta có x   Loại C+D Ta lại có đồ thị hàm số qua điểm Câu 7:  1;0  suy loại B 2 f  x  dx 1 g  t  dt   f  z   g  z   dz Biết A Giá trị B C Lời giải D Chọn C Ta có Câu 8: 1 Cho hàm số hàm số A  f  z   g  z   dz 2f  z  dz  g  z  dz 2.1     4 y f  x y  f  x có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số đường tiệm cận đồ thị B C Lời giải D Chọn A lim y 1 Ta có x    suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 1 lim y  lim y  x   2 x  suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  lim y  x  3 suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 3 Vậy đồ thị hàm số Câu 9: y  f  x có đường tiệm cận Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx  x  m  có cực trị tạo thành tam giác có diện tích A  B  C  Lời giải D  Chọn D y 4 mx  x 4 x  mx  1 Ta có Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị m.1   m   x 0  y m   y 0    x     y m    m  m Xét     1 1 B    ;m    C   ;m        m m m m A  0; m      Đồ thị hàm số có điểm cực trị ,  1 1 SABC  BC.d  A, BC     8  m  2 m m (thỏa mãn) Khi Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy,  SCD  góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 30 Khoảng cách B đến mặt phẳng bằng: a A a 10 B a C Lời giải a D Chọn B Theo đầu ABCD hình vng cạnh a  AC a a  SA  AC tan SCA a tan 30  30  SC,  ABCD   30  SCA Ta lại có Khi AB // CD  d  B,  SCD   d  A,  SCD   AH Do AH hình chiếu A lên SD 1 a 10  2     AH  2 SA AD 6a a 2a Mà AH Vậy khoảng cách từ B  SCD  đến a 10 Câu 11: Cho hình nón có bán kính đáy a , đường sinh tạo với đáy góc 30 Diện tích xung quanh hình nón cho bằng:  a2 3 A 2 a 3 B  a2 C Lời giải D  a Chọn B Ta có r a l  SAO 30  h   l 2h  2h  a  h  4h a  h  h  l Nên a 3 2a 3 S xq  rl  a 2a 2 a  3 A  1;0;  1 , B  1;  1;  Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Diện tích tam giác OAB B A 11 Chọn C    OA, OB    S OAB  C Lời giải 11   1;  3;  1    OA, OB   1    11   2 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu D ( S ) có phương trình ( x +1) +( y - 2) +( z + 3) = Diện tích mặt cầu xác định ( S ) A 8 B 16 C 4 Lời giải Chọn A +) Ta có R = 2 D +) Diện tích mặt cầu S = 4πRπR = 8πRπ P : 3x  y  z  0 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho hai mặt phẳng    Q  : x  y  3z  0 Phương trình mặt phẳng   qua gốc tọa độ đồng thời P Q vng góc với hai mặt phẳng     A x  y  z 0 B x  y  z 0 C x  y  z 0 D x  y  z 0 Lời giải Chọn A  nP  3;  2;1 P  : 3x  y  z  0  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến  n  5;  4;3 Q : x  y  3z  0 Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến Q  P Q Mặt phẳng   vng góc với mặt phẳng     , nên có vectơ pháp     n  nP , nQ    2;  4;   n  1; 2;1 tuyến vectơ pháp tuyến    n  1; 2;1  O  0;0;   Mặt phẳng qua điểm có vectơ pháp tuyến có phương trình là: x  y  z 0 Câu 15: Lớp 11A1 có 40 học sinh, có 26 đoàn viên Hỏi cách để lớp 11A1 chọn bạn làm lớp trưởng, bạn làm phó học tập bạn làm lớp phó văn thể A C40 B A40 3 D A26 C C26 Lời giải Chọn B Các thành viên lớp lớp trưởng, lớp phó Vậy nên: cách chọn bạn làm bí thư, bạn làm phó bí thư bạn làm ủy viên A40 Câu 16: Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ đến 100 , chọn ngẫu nhiên tấm thẻ Xác śt để chọn được tấm thẻ có tởng số ghi thẻ số lẻ 2 A B C D Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu n    C100 161700 Gọi biến cố A : “Chọn được tấm thẻ có tởng số ghi thẻ số lẻ” Trong 100 thẻ có 50 thẻ chứa số chẵn, 50 thẻ chứa số lẻ Trường hợp 1: thẻ số lẻ có C503 19600 cách Trường hợp 2: thẻ số lẻ, thẻ số chẵn có  n  A  C503  C50 C502 80850 C50 C502 61250 P  A  Vậy n  A  80850   n    161700 2x 2x x 1 20 Câu 17: Số nghiệm phương trình 12.3  3.15  A B Vô nghiệm C D Lời giải Chọn C 2x 2x 2x 2x 2x 2x x 1 20   4.3.3  3.3    5  20  0 Phương trình: 12.3  3.15   3.32 x   52 x    52 x   0   52 x    3.32 x   0  52 x  0   2x  3.3     52 x    32 x    VN   x log3 5  x  log 3 z   3i 1 z   i 2 Câu 18: Có số phức z thỏa mãn ? A B C D Lời giải Chọn A z   3i 1 I  2;3 Ta có , suy tập hợp số phức đường trịn tâm bán kính R 1 z   i 2 M   1;1 có tập hợp số phức đường trịn tâm bán kính R 2 Khi mãn MI  Câu 19: Cho hàm số A y  1 0   1 y ln x 2    1  13  R  R  suy khơng có số phức thỏa Mệnh đề sau đúng? B C Khơng có đạo hàm x 1 y 1 1 D Lời giải y 1  Chọn B f  x   f  1 ln x lim x1 x1 x  x Ta có 1 ln x ln x lim  lim x 1 lim lim x 1 x x  x1 x x  x1 Khi y 1 1 Vậy y 1 lim Câu 20: Cho hàm số f  x liên tục có đồ thị hình bên 1 F  x   f  x  , x    5; 2 Biết  145  89 A B 14 f  x  dx  3 Tính 145 C F    F   5 89 D Lời giải Chọn C f  x   5; 2 Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số liên tục xác định đoạn  f1  x    x    f  x   f  x   x    f  x    x 2 Trong đó: được xây dựng ba hàm số  x 5 f x    f1  x   5;5  3;     có phương trình: đường thẳng qua hai điểm f2  x    3;  đến điểm   1;  có đồ thị đường cong nối từ điểm f3  x    1;   0;3 có phương trình f3  x  x  đường thẳng qua hai điểm 3 1 F    F     f  x  dx  f1  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 5 5 3 1 Vậy: 3 1  x 5  dx  f  x  dx   x  3 dx 9  14  21 145 5 3 1 = y log3 Câu 21: Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C D Lời giải x 1 3x Chọn B D   ;  1   0;    TXĐ: x 1 lim y  lim log  x   x   3x Khi suy y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x 1 lim log  x  0 3x suy x 0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 lim log   x  3x suy x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Biết cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA a Gọi M trung điểm BC Khoảng  SBD  cách từ điểm M đến mặt phẳng a 2a A B C a D 2a Lời giải Chọn A Gọi {O} = AC Ç BD {G} = AM Ç BO Khi G trọng tâm tam giác ABC d  M ,  SBD   GM 1 MA   SBD  G     d  M ,  SBD    d  A ,  SBD   d  A ,  SBD   GA 2 Ta có ( ABD ) Trong kẻ AN ^ BD , gọi H hình chiếu vng góc A lên SN  BD  AN  BD   SAN   BD  AH  BD  SA  Ta có AH  SN  AH   SBD   d  A ,  SBD    AH Mặt khác AN ABD A Xét tam giác vuông với đường cao, ta có 1 2a  2   AN  2 AN AB AD 4a Xét tam giác SAN vuông A với AH đường cao, ta có 1 1 2a  2     AH  2 AH SA AN a 4a 4a 1 a d  M ,  SBD    d  A ,  SBD    AH  2 Do a  SBD  Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A 0;  1;  B  2;  3;  C   2;1;1 Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm  , , , D  0;  1;3  thức Gọi  L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng     MA.MB MC.MD 1 Biết  L  đường tròn, đường tròn có bán kính r bao nhiêu? A r B r r C Lời giải 11 D r Chọn C M  x; y; z  Gọi điểm thỏa mãn u cầu tốn Ta có     AM  x; y  1; z   BM  x  2; y  3; z  CM  x  2; y  1; z  1 DM  x; y  1; z  3 , , ,      MA.MB 1 MA.MB MC.MD 1      MC.MD 1 Từ giả thiết:  x  x     y  1  y  3  z  z   1    x  x     y  1  y  1   z  1  z  3 1  x  y  z  x  y  z  0  2  x  y  z  x  z 1 0 I  1;  2;1 R1 2 Suy quỹ tích điểm M đường tròn giao tuyến mặt cầu tâm , I   1;0;  R2 2 mặt cầu tâm , M I1 Ta có: I2 I1 I  11 II  r  R2         Vì R1 R2 R nên: Câu 24: Trong khơng gian cho mặt phẳng phẳng phẳng  P  P  mặt phẳng  Q  song song với Trên mặt lấy điểm phân biệt cho khơng có điểm thẳng hàng Trên mặt  Q  lấy điểm phân biệt cho điểm thẳng hàng khơng có đường thẳng qua điểm điểm thuộc mặt phẳng đường thẳng qua điểm điểm thuộc mặt phẳng đỉnh từ điểm lấy từ mặt phẳng A 100 B 120  Q song song với  P  Số hình tứ diện có  P   Q  là: C 140 Lời giải D 90 Chọn B  P  điểm Mỗi tứ diện được tạo thành cách chọn điểm thuộc mặt phẳng  Q  điểm thuộc mặt phẳng  Q  điểm thuộc mặt phẳng thuộc mặt phẳng  P  điểm thuộc mặt phẳng  P  điểm thuộc mặt phẳng  Q  Chọn điểm từ điểm thuộc mặt phẳng  Q  có: C41 C35 40 cách chọn  P điểm điểm thuộc mặt phẳng  Q  điểm số điểm thuộc Chọn điểm số điểm thuộc mặt phẳng  P  có: C51.C34 20 cách chọn mặt phẳng  P  điểm điểm thuộc mặt phẳng Chọn điểm từ điểm thuộc mặt phẳng  Q  có: C42 C52 60 cách chọn Vậy có: 40 + 20 + 60 = 120 hình tứ diện được tạo thành Câu 25: Cho hàm số f  t  2t  3t  Gọi M m lần lượt giá trị lớn nhất giá trị nhỏ  cos x  sin x  g  x  f    cos x  2sin x   Tổng M  m bằng: nhất hàm số A B C D Lời giải Chọn A g  x Do cos x  2sin x  3   0, x  R nên xác định cos x  sin x t   t  1 cos x   2t  1 sin x  3t cos x  2sin x  Đặt R 2     2t  1   3t   4t  2t  0  t    ;1   Điều kiện tồn x   t    ;1 g  x   f  t  2t  3t    Khi với  t  1 f '  t  6t  6t 0  t   0;1  1 f    2, f   3, f  1 2  M 3, m 2 Ta có   Vậy M  m 5 A 2;3;  1 B  2;3;  C   1; 0;  Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho  , , Tìm tọa      S  MA  4MC  MA  MB  MC Oxz  độ điểm M thuộc mặt phẳng  để nhỏ nhất 7  M   1;0;  3 A  B M  0;3;  7  M  1;0;  3 C  Lời giải Chọn A G 1; 2;1 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy     H x; y; z Gọi  điểm thỏa mãn HA  HC 0   M   ;0;    D 2  x 4    x   x    3  y 4   y     y    z 3  H   2;  1;3    z 4   z  Oxz  HG  22 Nhận thấy G H nằm hai phía mặt phẳng  ;      S  MA  4MC  MA  MB  MC Ta có:              MH  HA  4MH  HC  MG  GA  MG  GB  MG  GC   3MH  3MG 3  MH  MG  3GH 3 22 Đẳng thức xảy H , M , G thẳng hàng theo thứ tự Lại M   Oxz  nên S đạt giá trị nhỏ nhất M giao điểm đường Oxz  thẳng GH với mặt phẳng  Đường thẳng GH có phương trình y 0 M  GH  M   3t ;  3t ;1  2t  M   Oxz    3t 0  t   x 1  3t   y 2  3t  z 1  2t  ; mặt phẳng  Oxz  có phương trình 7  M   1;0;  3 Vậy  n Câu 27: Cho khai triển   x    3x  a0  a1 x  a2 x   an 1 x n1 Tìm hệ số lớn nhất khai 20 triển biết tổng hệ số khai triển A 179894 B 189618 C 48620 D 277134 Lời giải Chọn B n 20 Thay x 1 vào khai triển ta có: 2  n 18 18 Suy ra: 18 18 18 k 0 k 0 k 0 S  x    x    x    x   C18k x k  C18k x k  3 C18k x k 1 C k  3C18k  C18k 1  3C18k C18k  3C18k    18k  k 10 k1 k1 k k C  C  C  C  18 18 18  18 Nên x có hệ số 10 Vậy hệ số lớn nhất xk C18  3C18 189618 x Câu 28: Để phương trình e Khi A 16  a  b  x m  m  x  x có nghiệm phân biệt tham số m   a; b  B 12 C 14 Lời giải D 18 Chọn D x  x m  m  x  x Phương trình: e t Đặt t  x  x  m  , phương trình trở thành: e 1  t f  t  et  t  f  t  et  Xét suy Ta có bảng biến thiên: t  f  t       f  t t Suy phương trình e 1  t có nghiệm nhất t 0 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình x  x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt  a  a  m  0 có hai nghiệm dương phân biệt  a x  1   m  1   5  m  1  5   m   1;   0  4 m  2 m   Khi   5 m   1;    suy  a  b  18 Vậy II PHẦN TỰ LUẬN (2 câu) Câu 29: Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  z  0 Tìm tọa độ  3i biểu diễn số phức z1 mặt phẳng phức Lời giải  z 1  2i z  z  0    z 1  2i Ta có Vì z1 nghiệm có phần ảo dương nên z1 1  2i  3i  3i    i  2i 5 Khi z1  3i  7 M   ;  Vậy điểm biểu diễn số phức z1 mặt phẳng phức là:  5  Câu 30: Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB cạnh a , tam giác ABC cân C Hình  ABC  trung điểm cạnh AB Đường thẳng SC tạo với chiếu S mặt phẳng mặt đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC Lời giải AB  SH   ABC  Gọi H trung điểm cạnh  ABC  30 nên SCH 30 Góc SC mặt phẳng a a 3a a  SH  , HC SH cot 30  3 SAB cạnh 2 1 3a 3a 1 3a a a 3 S ABC  AB.HC  a   VS ABC  S ABC SH   2 3 Ta có: Câu 31: Cho hàm số y x  x đường thẳng y kx có đồ thị hình vẽ bên Gọi S1 , S2 , S3 theo thứ tự lần lượt diện tích hình phẳng được tơ đậm từ trái qua phải hình vẽ Biết S1 , S2 , S3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Công sai cấp số cộng bao nhiêu? Lời giải Ta giả sử đường thẳng y kx cắt đồ thị hàm số thị hàm số y  x  3x điểm phân x a   0;3 biệt có điểm có hồnh độ Khi đó:  a  x   k  3 x  dx   x   k  3 x  dx  2 x   k  3 x  dx 1 a 2   k  3 x x  a k  x  k  3 x  a  k  3 a        k       2 40 a  Chú ý rằng: a  3a ka  a k  đó:  4k   k  3  k  3  2  k 1   k  23  L  25 ; 4; lập thành cấp số cộng có cơng Với k 1 ta suy diện tích lần lượt d sai