CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 1: SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN SỐ.

Bất đẳng thức – Min – Max CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 1: SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN SỐ I CÁC PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG: Bất đẳng thức biến đề thi thường toán đơn giản, song lại sở tảng quan trọng để ta tiếp cận tốt toán nhiều biến số Để giải tốn bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biến ta thường dùng phương pháp sau: 1) Phương pháp hàm số 2) Đổi biến số 3) Sử dụng bất đẳng thức cổ điển Để nắm rõ phương pháp ta tìm hiểu thơng qua ví dụ sau: II CÁC BÀI TẬP MINH HỌA: Bài ( KB – 2003) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   x   x2 Lời giải Cách ( Phương pháp hàm số): Tập xác định D   2;  , f  x  1  x , f  x  0  x   x2 Cách 1.1: Suy y     2; y   2 2; y   2 f  x   f     max f  x   f    2 Vậy min  2;2    2;2  Cách 1.2: Ta có bảng biến thiên Bất đẳng thức – Min - Max f  x   f     max f  x   f    2 Vậy min  2;2    2;2  * Phương pháp hàm số: Bài toán: Cho hàm số y  f  x  đoạn  a, b  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y Cách giải chung: + Bước 1: Tính y '  f '  x  , y ' 0  x xi + Bước 2: Có hai cách trình bày Cách 1: Tính f  a  , f  b  , f  xi  với xi   a, b  Từ kết luận Cách 2: Lập bảng biến thiên Từ kết luận ymax max  f  xi  , f  a  , f  b   ymin min  f  xi  , f  a  , f  b   * Chú ý : Nếu  a, b  thay khoảng ta nên sử dụng cách Cách : Dùng bất đẳng thức cổ điển Tập xác định D   2;   x  + Với x    2;      x 0  y  Dấu “=” xảy x   ymin  x  + Tìm giá trị lớn y Cách 2.1 : Biến đổi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta : y x   x x    x2  x   x2  x 2 2    2 2 Dấu “=” xảy x   ymax 2 x  ( ta dùng bất đẳng thức ab  a b ) Cách 2.2: Áp dụng bất đẳng thức C – S ta được: Bất đẳng thức – Min – Max  y  1.x   x   12  12   x   x  8  y 2 Dấu “=” xảy x   x  x   ymax 2 x  ( ta sử dụng bất đẳng thức  ax  by   a  b   x  y  ) Vấn đề sử dụng bất đẳng thức cổ điển nói kĩ chủ đề sau Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( có) hàm số y  x x  x  1  x x  1 Phân tích: + y hàm biến số cồng kềnh Nếu sử dụng phương pháp hàm số tính y ' phức tạp + Khi biểu thức cồng kềnh thường có điều đặc biệt Ta cần tìm mối liên hệ biểu thức Quan sát ta thấy cấu trúc quen thuộc “tổng tích hiệu tích” Đối với mối liên lệ thường ta đặt tổng hiệu từ biểu diễn tích qua biến vừa đặt Ta đặt t  x  x  Khi đặt sang biến ta lưu ý cần phải tìm điều kiện hay miền giá trị cho biến Bài toán quay trở tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số đơn giản Lời giải: Tập xác định D  1;  Đặt t  x  x   x  x 1 x  x Ta có: t 2 x  x  x  1   x  x  x  1  Khi y   với x 1  t   0;1 t 1 2t  4t  t2  y '   0, t   0;1 với t   0;1 , 2  t  1  t  1 Suy y nghịch biến với t   0;1   y(0)  y  y(1)  2 Vậy ymin  x 1 , không tồn giá trị lớn Bài ( Đề minh họa THPT Quốc Gia 2015) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x  x  1   2x2    x 3    x2   x  3 Bất đẳng thức – Min - Max Phân tích: + Đây biểu thức biến số cồng kềnh nên sử dụng phương pháp hàm số khó khăn Ta suy nghĩ tìm cách đổi biến số, nghĩa ta phải tìm xem biểu thức có mối liên hệ khơng Cũng khó khăn có lượng 2x chung + Ở biểu thức xuất đại lượng lẻ  3,3  nên ta cố gắng khử Chúng ta thấy biểu thức mẫu cộng vào khử biểu thức P giảm cồng kềnh Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM: 1   a b ab  2 a b Lời giải: 1   a b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Khi đó:  2x2     x 3   x2   x   ab  2 a b 2 x 0 x  x  Dấu “=” xảy Mặt khác:  x  x 1  x  x   x  x  Suy P  4x2  x  2  x2  6x   15 15 t 2    f t Đặt t 4 x  x  4  x      P  4 4 t  Xét hàm số f  t   15 t 2  với t  , t  t 6 t t   t  3  t    t  6t  36  f ' t      , f '  t  0   t t t 6t t  t  3 6t t  t  3  t  3 5(l) Ta có bảng biến thiên Bất đẳng thức – Min – Max Từ bảng biến thiên ta có P  f  t   f    Dấu “=” xảy x 0 Vậy Pmin  x 0 Chú ý: Ở ta đặt t  x  x  DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN SỐ Trong đề thi thường xuất bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến số Ta nghĩ đến việc dồn biến số Dưới số kĩ thuật thường dùng để dồn biến: Kĩ thuật rút – a Bài toán hai biến số Rút x theo y ( ngược lại) thay vào biểu thức cần tìm cực trị đưa khảo sát hàm biến Bài Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Lời giải: 5 4 x Từ giả thiết x  y  ta có y   x Khi P   x Xét hàm số f  x     4x 4  5 với x   0;  Ta có f  x   x    x   4x   Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có f  x   f   5 x 0;   4 Do P 5 đạt x 1, y  Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  x  y  0 y 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  5  y Phân tích: Biểu thức P có x, y bậc nên ta nghĩ tới việc rút x, y từ điều kiện buộc Điều kiển buộc có x bậc nên việc rút y đơn giản y  x  x  sau vào P Lời giải: Bất đẳng thức – Min - Max Ta có y  x  x  0    x 3 2 Khi P  x   x  x   5    x  x    x  3x  x  12  f  x   x  2 Xét hàm f  x  x  3x  x  12 với x    2;3 , f '  x  3x  x  9, f '  x  0    x 3 f    10, f   1 17, f  3  15 Suy Pmin  15 x 3, y 0 Pmax 17 x  1, y 4 b Bài toán ba biến số x  y  z  p  Với điều kiện:  xy  yz  zx q ln ln biểu diễn Sn  x n  y n  z n theo p, q, r  xyz r  Do với toán giả thiết cho điều kiện  p, q, r  ta hồn tồn đưa Sn đa thức biến  x  y  z 0 Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn   xy  yz  zx  Tính P x  y  z theo x Lời giải:  y  z  x  yz   x  y  z   x  Theo giả thiết  3 Ta có: P  y  z   yz  y  z   x3   x   3x  x  1  x3 3x  3x Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện b a c b a b c   5 Tìm giá trị lớn b c a a c giá trị nhỏ biểu thức P    Lời giải: a b b c c a  xyz 1  x  y  z 5 Đặt x  , y  , z    1 Ta cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Ta có   yz  x   y  z 5  x 2 x  x 3  2 Mặt khác  y  z  4 yz    x     x    x  6x  1 0     2  x 4 Bất đẳng thức – Min – Max x   x  1 yz   x   x  Khi P   x y x x x2   x  1 Xét hàm số f  x   D   2;     2;  x  17 f  x   f   2  1  f  x   f    f    , max Dễ có D D  2 Bài ( KB 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z 0 x  y  z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x5  y  z Lời giải:  x  y  z 0 Ta có  2   x  y  z 1  x  y  z 0    x  y  z    xy  yz  zx  1  x  y  z 0    xy  yz  zx  1 Suy y  z  x x  y  z   yz   yz -  x 2 6   x2    x  3    Mặt khác  y  z  4 yz  x 4   Khi đó: P  x5   y  z   yz  y  z   10 y z  y  z   x   y  z   yz   y  z   yz  y  z    10 y z  y  z     10 x  x    2 2 2  x    x      x    x     x    x    10    x    x          5 10 x  x Xét hàm số f  x   đoạn  Ta có f    6  f   6 ;f    36    6 30 x  ; ; f '  x  0  x    , f ' x   3   6  6    f         36 6 Suy giá trị lớn P đặt x  ; y z  6 Kĩ thuật biến đổi, đánh giá để đưa biểu thức đồng dạng * Kĩ thuật xử lí với biểu thức đối xứng hai biến Bước 1: Đặt t x  y t xy, t x  y Thay vào biểu thức P ta hàm số với t Bước 2: Tìm miền giá trị t dựa vào bất đẳng thức  x  y  4xy điều Bất đẳng thức – Min - Max kiện buộc biến đề cho Đánh giá hay sử dụng: a  b 3 a b  a  b ,   a  b ,  4 a b  a  b  Trước dùng ta phải chứng minh lại Bước 3: Xét hàm số f  t  miền giá trị tìm được, từ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f  t  suy giá trị lớn nhất, nhỏ P Bài (KD-09) Cho số thực không âm x,y thay đổi thỏa mãn x  y 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S (4 x  y)(4 y  3x)  25 xy Phân tích: + Đề cho x  y 1 ta dồn biến phương pháp rút Trước ta biến đổi biểu thức S thành đơn giản Vi biểu thức có tính đối xứng nên ta dồn biến xy x  y + Đặt t  xy tiến hành tìm điều kiện cho t cách sử dụng đánh giá xy  Lời giải: Từ điều kiện ta có: y 1  x Biến đổi S (4 x  y )(4 y  3x)  25 xy 16 x y  12 x3  y  xy  25 xy   16 x y  12   x  y   3xy  x  y    34 xy 16 x y  xy  12   Đặt t  xy ta tiến hành tìm chặn chặn t Công thức hay sử dụng để  x  y chặn: xy   1   t   0;   4 , 16 Xét hàm f  x  16t  2t  12 , f '  t  32t  2; f '  t  0  t    191 f   12; f    ;f  16  16   25   25 max f  t   f    ; f  t   f  4  1  1   ;  0;   0;   4       191   ;  16  16  x  y 1 25  1 1 Giá trị lớn S     x; y   ;   2  xy  Bất đẳng thức – Min – Max  x  y 1  2 2  191  ;  Giá trị lớn S     x; y    16   xy 16  2 2  ;     x; y   Bài ( KD – 2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 2;  y 2 Tìm x  2y y  2x giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   y  3x    x  y  1 Phân tích: - Biến x, y biểu thức P có tính đối xứng - Khi toán cho giá trị x 2;  y 2 liên quan đến đoạn, ta có hướng khai thác: 2 + Các biến độc lập:  x  1  x   0  x  3 x ,  y  1  y   0  y  3 y + Mối liên hệ x, y :  x  1  y  1 0,  x  1  y   0 - Vì ta cần tìm giá trị nhỏ nên ta cần đánh giá mẫu nhỏ đại lượng - Biểu thức gọn x  y dấu hiệu để ta suy nghĩ dồn biến x  y Lời giải: 2 Do x 2   x  1  x   0  x  3x  0  x 3x  Tương tự y 3 y  Khi P  x  2y y  2x   3x   y  y   3x   x  y  1 x  2y y  2x xy     3x  y  3 y  x   x  y  1 x  y   x  y  1 t Đặt t x  y  t 4 Xét f  t  t    t  1 với t 4 Ta có f '  t   11 12  t  1   t  1 Mà f    ; f  3  ; f    Suy f '  t  0  t 3 53 7 nên f  t   f  3  Do P  60 8 Khi x 1, y 2 P  Vậy giá trị nhỏ P Bất đẳng thức – Min - Max 12   a  b  Tìm giá trị nhỏ Bài Cho hai số thực a, b 0 thỏa mãn  a    b    biểu thức P  a3 b3 48   b 2 a 2 a b CHỦ ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ CÁCH SỬ DỤNG DẠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM DẠNG BIẾN THỂ I DẠNG ĐỒNG CẤP BẬC 2 * n 2 : a  b 2ab   a  b   a  b  4ab * n 3 : a  b  c ab  bc  ca   a  b  c   a  b  c  3  ab  bc  ca  Chú ý: 1/ Mức ưu tiên: Tổng bình phương  Bình phương tổng  Tổng tích 2/ Đẳng thức thường dùng bất đẳng thức biến:  a  b  c a  b  c   ab  bc  ca  Bài Cho x, y, z  x  y  z 3 Tìm GTNN biểu thức P x  yz y  zx z  xy   y  zx z  xy x  yz 10