(Tiểu luận) giải phương trình bằng phương pháp newton tiếp tuyến xấp xỉ hàm số bằng phương pháp bình phương tối thiểu (th hàm dạng đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ KINH TẾ SỐ -*** - BÁO CÁO BÀI TẬP NHÓM HỌC PHẦN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI: Giải phương trình phương pháp Newton tiếp tuyến Xấp xỉ hàm số phương pháp bình phương tối thiểu (TH hàm dạng đa thức) Nhóm thực : Nhóm Lớp học phần : Phương pháp tính (222)_03 Giảng viên hướng dẫn : Hà Nội – 2023 ThS Nguyễn Quỳnh Mai DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM STT Họ tên Mã sinh viên Lê Đức Anh 11220230 Nguyễn Thế Hà Cường 11221168 Vũ Minh Đức 11221425 Sùng A Hòa 11222429 Mai Vĩnh Khang 11222988 Nguyễn Đức Long 11223911 Đặng Như Ngọc 11193747 Nguyễn Minh Quang 11225443 Nguyễn Trọng Thức 11226159 10 Phạm Thành Vinh 11226937 MỤC LỤC A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON TIẾP TUYẾN Đặt vấn đề 2 Mơ tả tốn Ví dụ minh họa 4 Thuật toán code 5 Đánh giá phương pháp B XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU (TH HÀM DẠNG ĐA THỨC) Đặt vấn đề Mô tả toán Ví dụ minh họa 10 Thuật toán code 11 Đánh giá phương pháp 12 [1] A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON TIẾP TUYẾN Đặt vấn đề Trong chương trình phổ thơng, khoảng lớp 5, HS học cách giải PT bậc ẩn (còn biết đến với tên tiếng tìm x) Khoảng cấp 2, HS học cách giải PT bậc ẩn HPT bậc hai ẩn Trong khoa học cơng nghệ thực tế có nhiều tốn chuyển thành gải hệ phương trình: Fi(x1,x2, xn)=0 với i=1,2, n Chỉ số trường hợp đặc biệt tìm nghiệm HPT Các trường hợp cịn lại phải tìm cách giải nghiệm gần =>Phương pháp Newton Mô tả toán Giả thiết: f(x) trái dấu vị trí a b, đồng thời tồn đạo hàm cấp f’(x)≠0 khoảng [a,b], đạo hàm cấp x ∈ (a, b) Khai triển Taylor bậc n f(x) 𝑥0 : f(x0 + h) = f(x0 ) + C ∈ (x0 , x0 + h) h h2 hn hn+1 f (n+1)(C) f′(x0 ) + f′′(x0 )+ + f (n) (x0 ) + (n + 1)! 1! 2! n! Dựa vào khai triển Taylor, ta xác định hàm Φ(x) tìm nghiệm phương trình phép lặp 𝑥𝑛+1 = Φ(x) Giả sử 𝑥 nghiệm phương trình, 𝑥𝑛 nghiệm xấp xỉ phương trình lần lặp thứ n Ta đặt x = xn +△ xn Theo khai triển Taylor, ta có: f(x) = f(xn +△ xn ) = f(xn ) +△ xn f′(xn ) + Nếu △ xn đủ nhỏ, ta có cơng thức gần đúng: △ xn f′′(C) = 2! f(xn ) +△ xn f′(xn ) ≈ f(x) = [2] Từ đây: Vì △ xn = x − xn Do x ≈ xn − △ xn ≈ − 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑓′(𝑥𝑘 ) 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑓′(𝑥𝑘 ) * Ý nghĩa hình học Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ) Giả sử [a,b] khoảng nghiệm phương trình f(x) = Đạo hàm f ′(x), f ′′(x) liên tục, khơng đổi dấu đoạn [a,b] Khi ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] cho f(x0 ) dấu với f ′′ trình lặp hội tụ đến nghiệm [3] Ví dụ minh họa Giải phương trình: f(𝑥) = x3 + x − = phương pháp tiếp tuyến Giải: Ta có: f(1) = -3 < f(2) = > Hàm f(x) trái dấu x = x = => Khoảng phân ly nghiệm [1, 2] f ′(x) = 3𝑥 + > ∀𝑥 ∈ [1, 2] f ′′ (x) = 6x > 0∀x ∈ [1, 2] Thỏa mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến chọn với 𝑥0 = (vì f(2) dấu với f ′′) ta có bảng sau: n xn 1.615 1.521 1.516 Vậy nghiệm x ≈ 1.516 [4] Document continues below Discover more tin học đại from: cương 2121212 Đại học Kinh tế… 543 documents Go to course Giáo trình tin học lý 144 thuyết tin học đại cương 100% (3) ICDL - Ly Thuyet-OE - CE - tài liệu ôn thi… tin học đại cương 100% (3) Đề - hhhh 20 tin học đại cương 100% (2) [Word] Mock Test km/;,;l,l/, tin học đại cương 100% (2) Trắc nghiệm chương - tập tin học đại cương 100% (2) Đáp án lý thuyết Thuật toán code mk 10education 18 tin học đại cương 4.1 Thuật toán Nhập phương trình f(x) sai số epsilon(𝜺) 100% (2) Vẽ đồ thị hàm f(x) Nhập a, b xác định khoảng phân ly nghiệm Nhập x0 S Kiểm tra đ.kiện hội tụ Đ x1 = x0 – f(x0)/f’(x0) e = |x1 – x0| e= epsilon && count < maxn count = count + 1; x0 = x1; x1 = x0 - f(x0)/df(x0); fprintf("Tại lần lặp thứ %d Nghiệm xấp xỉ x1 : %11.10f\n", count, x1); end fprintf("Số lần lặp : %20d\n", count); fprintf("Nghiệm xấp xỉ : %20.10f\n", x1); else disp('Khoảng phân ly nghiệm không hợp lệ!!!!!') end Đánh giá phương pháp 5.1 Ưu điểm • Phương pháp Newton tiếp tuyến phương pháp có lời giải hay, dễ hiểu, áp dụng cho hệ, hệ phức tạp phương pháp tỏ ưu việt • Phương pháp Newton tiếp tuyến có độ hội tụ cao nhiều so với phương pháp lặp thông thường thường hay trả kết với độ xác tương đối cao  Phương pháp công cụ USEFUL để giải gần hệ phương trình, toán xấp xỉ, hàm số tối ưu 5.2 Nhược điểm • Giá trị x0 thường khó xác định cho tốt • Hạn chế việc tính tốn phép đạo hàm phức tạp, đặc biệt với phép đạo hàm bậc cao, lúc tìm đạo hàm dạng tường minh • Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng phương pháp khó [7] B XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU (TH HÀM DẠNG ĐA THỨC) Đặt vấn đề Trong tốn học, phương pháp bình phương tối thiểu (Ordinary least square), cịn gọi bình phương nhỏ hay bình phương trung bình tối thiểu, phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn đường khớp cho dải liệu ứng với cực trị tổng sai số thống kê (error) đường khớp liệu Phương pháp giả định sai số phép đo đạc liệu phân phối ngẫu nhiên Định lý Gauss-Markov chứng minh kết thu từ phương pháp bình phương tối thiểu khơng thiên vị sai số việc đo đạc liệu không thiết phải tuân theo, ví dụ, phân bố Gauss Một phương pháp mở rộng từ phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số Phương pháp bình phương tối thiểu thường dùng khớp đường cong Nhiều tốn tối ưu hóa quy việc tìm cực trị dạng bình phương, ví dụ tìm cực tiểu lượng hay cực đại entropy Giả sử có đại lượng x y (vật lý, hố học, …) có liên hệ phụ thuộc theo dạng sau: y = a + bx y = a + bx +cx2 y = aebx y = axb [8] Trong đó: a, b, c giá trị chưa biết Mục đích: Tìm giá trị chưa biết Giả sử đo mẫu (𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) với i=1,2,3, ,n mục đích xác định hàm f(x) thoả mãn f(x)≈𝑦𝑖 Giả sử hàm f thay đổi hình dạng phụ thuộc vào hàm 𝑝𝑗 với j=0,1,2, m f(x) = f(𝑝𝑗 ,x) Sai số giá trị thực giá trị ước lượng theo hàm f(𝑝𝑗 ,x) x = 𝑥𝑖 Xác định giá trị 𝑝𝑗 cho biểu thức sau đạt giá trị cực tiểu 𝑥 = ∑ 𝑛𝑖=1( 𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥))^2 Điều giải thích phương pháp bình phương tối thiểu Mơ tả tốn Trường hợp y = a + bx - Giả sử y phụ thuộc x dạng y = a +bx - Gọi 𝜀𝑖 sai số 𝑥𝑖 : 𝜀𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 , i= 1,2, … , n - Gọi S tổng bình phương sai số S = ∑ 𝑛𝑖=1 𝜀𝑖2 = ∑ 𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 )2 S phụ thuộc a, b 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 biết - Mục đích phương pháp bình phương bé xác định a cho S bé - Khi a, b nghiệm hệ: 𝑛 𝜕𝑠 { 𝜕𝑎 𝜕𝑠 𝜕𝑏 =0 =0 (1) 𝑆 = ∑ 𝑦𝑖2 + 𝑎 + 𝑏2 𝑥𝑖2 − 2𝑎𝑦𝑖 − 2𝑏𝑥𝑖 𝑦𝑖 + 2𝑎𝑏𝑥𝑖 𝑖=1 [9] (1)  { (1)  { 𝜕𝑠 𝜕𝑎 𝜕𝑠 𝜕𝑏 = ∑ 𝑛𝑖=1(2𝑎 − 2𝑦𝑖 + 2𝑏𝑥𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1(2𝑏𝑥𝑖2 − 2𝑥𝑖 𝑦𝑖 + 2𝑎𝑥𝑖 ) 𝑛𝑎 + 𝑏 ∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 + 𝑏 ∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑎 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 ) Từ giá trị 𝑥𝑖 𝑦𝑖 có ta thay vào phương trình => giá trị a, b Ví dụ minh họa Hai đại lượng x y phục thuộc theo quy luật y = a + bx Hãy xác định a, b phương pháp bình phương bé nhất, biết: x -1 y 0.5 1.5 2.5 𝑥𝑖 1 11 xi yi -0.5 1.5 7.5 8.5 Giải: Trước hết ta lập bảng số: n=4 ∑ xi -1 3 Ta có hệ phương trình: Giải hệ ta được: yi 0.5 1.5 2.5 5.5 { 4𝑎 + 3𝑏 = 5.5 3𝑎 + 11𝑏 = 8.5 a = 1; b = 0.5; Vậy phương trình là: y = + 0.5x [10] Thuật toán code 4.1 Thuật toán Tạo ma trận A B Nhập liệu x y Ma trận X = A-1 x B S Đ y = ax + b Start X (2,1) >= y = ax - b End 4.2 Code %TH y = a + b*x % nhập bảng liệu đầu vào x = input('nhap cac gia tri cua Xi theo cu phap [X1 X2 Xn]: '); y = input('nhap cac gia tri cua Yi theo cu phap [Y1 Y2 Yn]: '); % A B X đưa giải ma trận có dạng A * X = B => X = A^-1 * B = [length(x) sum(x) ; sum(x) sum(x.^2)] ; = [sum(y) ; sum(x * y) ] ; = inv(A) * B ; %inv = inversion hàm nghịch đảo ma trận %in kết dạng y = a + b*x với a giá trị X(1,1), b giá trị X(2,1) if X(2,1) >= fprintf("phuong trinh co dang y = %.03f+%.03f*x",X(1,1),X(2,1)); [11] else fprintf("phuong trinh co dang y = %.03f %.03f*x",X(1,1),X(2,1)); end Đánh giá phương pháp 5.1 Ưu điểm • Độ xác cao • Phương pháp đơn giản, dễ hiểu, minh bạch 5.2 Nhược điểm • Q trình tính tốn phức tạp, dễ gây nhầm lẫn [12]