Chương 1 thể tích tách đề 7,8,9

[ Mức độ 1] Cho khối cầu có bán kính 3a , với  a   Thể tích khối cầu cho A 72 a B 108 a C 9 a3 D 36 a Lời giải Câu Chọn D Câu 4 3 Thể tích khối cầu cho là: V   R    3a  36 a 3 [ Mức độ 1] Thể tích khối chóp có chiều cao 6a , đáy tam giác có cạnh 2a ,  a   là: A 2a B 3a C 3a D 3a Lời giải Chọn D (2a ) a 1 Thể tích khối chóp là: V  S h  a 3.6a 2 3a 3 ABC A ' B ' C ' tích V , khối tứ diện A ' BCC ' tích V1 Câu [Mức độ 1] Cho khối lăng trụ Diện tích đáy khối chóp là: S  Tính tỉ số A V1 V B Lời giải C D Chọn C d  C , ( A ' BC ')  d  B ', ( A ' BC ')   V1 V A ' BCC ' VB ' A ' BC ' VB A ' B ' C '  d  B, ( A ' B ' C ')  S A ' B ' C ' V 1  VABC A ' B ' C '  V   3 V Câu Thể tích khối chóp tứ giác có cạnh 6a (với  a   ) A 72 2a B 108 2a C 36 2a D 2a Lời giải Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh 6a , đường cao hình chóp SO ( O BD  tâm hình vng ABCD ) SO  SD       Câu  2a   6a     3 2a   1 Vậy VS ABCD  S ABCD SO   6a  2a 36 2a 3 [Mức độ 2] Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng cân A , AB 6a (với  a   ), góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ cho A B C D 108 3a 36 3a 216 3a 108a Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc AC lên mặt phẳng  ABC  AC Câu  Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABC  góc AC AC  ACA 600 Tam giác ABC vuông cân A nên AC  AB 6a Ta có AA '  AC tan 600 6a 1 Thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC  bằng: V B.h  AB AC AA  6a.6a.6a 108 3a 2 [Mức độ 2] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 2a , với  a   Góc đường thẳng SB mặt phẳng  SAC  A 60 B 90 C 30 D 45 Lời giải Chọn C S C M A B Gọi M trung điểm AC , BM  AC mà SA  BM nên BM   SAC   Do  SB,  SAC    SB, SM  BSM Ta có BM  4a  a a , SM  a  8a 3a BM    BSM 30 SM Cho lăng trụ ABC ABC  , biết tứ diện AABC tứ diện cạnh a Thể tích khối chóp A.BCBC  a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn B Gọi H trọng tâm tam giác ABC  AH   ABC   Vậy nên tan BSM  Câu Tính a 3 a AH  ( AA)  AH  a       2 A' C' B' A C H B 1 a a a3 Ta có VAABC  AH S ABC   3 12 a3 Vậy VA.BCBC  VABC ABC  VAABC  AH S ABC 2VAABC  Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân A , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết BC = 2a , SB = a Thể tích khối chóp S.ABC 3 3 A a B C a a 3 Lời giải D a Chọn C Chọn C Do tam giác ABC vuông cân A nên BC = AB Þ AB = BC 2a = =a 2 ( ) a Þ SD ABC = AB = = a2 2 Do SA ^ ( ABC ) Þ SA ^ AB Suy tam giác SAB vuông A SA2 = SB - AB = 5a - 2a = 3a Þ SA = a Câu 3 Thể tích khối chóp S.ABC VS ABC = SDABC SA = a (đvtt) 3 Khối chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a , mặt bên tạo với đáy góc 600 thể tích bằng: A a B a 3 a Lời giải C D 3 a Chọn D Gọi khối chóp tứ giác S ABCD , O tâm đáy  SO   ABCD   SCD), ( ABCD) SMO 600 Gọi M trung điểm CD  (  SMO vuông O  SO OM tan 600   a 1 a 3  VS ABCD  SO.S ABCD  a  a 3 Câu 10 Cho khối chóp S ABC tích V Gọi M , N , P trọng tâm tam giác SBC , SCA, SAB Thể tích khối chóp S MNP V V V V A B C D 27 27 27 27 Lời giải Chọn C Gọi E , D, F trung điểm cạnh AB, BC , CA Vì M , N , P trọng tâm tam giác SBC , SCA, SAB nên M , N , P thuộc đoạn SD, SF , SE SM SN SP    SD SF SE VS MNP SM SN SP 2 8     VS MNP  VS DFE Ta có VS DFE SD SF SE 3 27 27 Vì E , D, F trung điểm cạnh AB, BC , CA nên S DEF  S ABC Mặt khác hai hình chóp S ABC S DEF có chiều cao nên VS DFE  VS ABC 8 2 Suy VS MNP  VS DFE  VS ABC  VS ABC  V 27 27 27 27 ABCD Câu 11: Cho hai hình vng ABEF có cạnh a nằm hai mặt mặt phẳng vuông góc với Thể tích khối đa diện EBCFAD A 2a B a3 C a3 D a Lời giải Chọn C Dựng hình lập phương ABCDEFMN cạnh a 1 VEBCFAD  VABCDFEMN  a Chọn C 2 Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có tam giác A ' BC tam giác cạnh a tam giác ABC vng A Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3 3 A B C D a a a a 12 Lời giải Chọn C B C A B' C' A' Ta có D BB ' A ' D CC ' A ' nên A ' B '  A ' C ' Từ D A ' B ' C ' vuông cân Suy ra: A ' B '  A ' C ' B ' C '.sin ABC  a.sin 45o  a Xét D BB ' A ' vuông B ' theo định lí Pi–ta-go ta có a 2 a BB '  AB  BA  a       2 1 a a a a3 Vậy VABC ABC  S h  AB AC  AA   2 2 Câu 13 Cho lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao b Thể tích khối lăng trụ A ab B 3ab C 3a 2b D a 2b Lời giải Chọn C  V b a  3a 2b Câu 14: Tổng diện tích mặt tứ diện cạnh a A 2a B a D 2a C 4a Lời giải Chọn B Mỗi mặt tứ diện cạnh a , tam giác cạnh a nên diện tích mặt là: a2 S1  a.a.sin 60  Diện tích mặt tứ diện là: S 4.S1 4 a2 a Câu 15: Cho khối chóp S ABC tích V  a3 , tam giác SBC tam giác có cạnh a Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  A 4a B a C 4a D 2a Lời giải Chọn C 3VS ABC Ta có: VS ABC  d  A,  SBC   SSBC  d  A,  SBC    S SBC Có: VS ABC  3 a a Vì  SBC tam giác có cạnh a nên SSBC   đvdt  a3 3 Vậy: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  là: d  A,  SBC    4a a Câu 16 Cho hình lăng trụ có đáy hình vng cạnh a , thể tích khối lăng trụ a độ dài cạnh bên 2a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy là: A 90 B 30 C 45 D 60 Lời giải Chọn B Gọi H hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng đáy góc cạnh bên mặt phẳng đáy  A ' B ' C ' D ' Góc  DDH Ta có h DH  V S ABCD a3  a a DH a  H 30o    DD DD 2a Câu 17 Cho khối chóp SABCD tích V , đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SB N điểm cạnh SD Mặt phẳng  AMN  cắt cạnh SC điểm P cho thể tích khối chóp SAMPN V SN Tỉ số SD 1 A B C D 3 Lời giải Chọn B Bổ đề: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng không qua S cắt cạnh SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ SA SB SC SD a; b; c; d Khi ta có kết luận sau Đặt SA ' SB ' SC ' SD ' a  c b  d VSA ' B 'C ' D ' a  b  c  d  VSABCD 4abcd Chứng minh  D'H  Xét tam giác vng DHD ta có sin D Gọi AC  BD O , A ' C ' B ' D ' I  S, I, O thẳng hàng (cùng nằm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD)) SO x Chứng minh 1: Đặt SI S SA ' I SA ' SI SSA ' I 1      1 Ta có S SAO SA SO ax S SAC ax S SC ' I SC ' SI SSC ' I 1      2 S SCO SC SO cx S SAC cx S SA ' I 2S SC ' I SSA 'C' 1 1       Suy S SAC SSAC ax cx S SAC ax cx SA ' SC ' 1 1       a  c 2 x Hay SA SC ax cx ac ax cx Tương tự có b  d 2 x Vậy a  c b  d VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' VSA ' C 'D' SA ' SD ' SC ' 1     Chứng minh 2: Ta có Và VSABC SA SB SC abc VSACD SA SD SC acd VSA ' B 'C ' VSA 'C ' D ' VSA ' B ' C ' D ' 1 bd V      Mà VSABC VSACD  ABCD nên VSABC VSACD VSABC abc acd abcd Và Hay VSA ' B 'C ' D '  b  d  a  b  c  d   VSABCD 4abcd 4abcd Trở lại toán: SC SD  x; y SP SN Áp dụng bổ đề ta có: x   y   x  y  VAMNP x    y x  y     VSABCD xy.2 xy y 2   y 2  y  Suy y  y  1 Đặt Vậy Câu 18 SN  SD Tính thể tích khối lập phương có tổng diện tích tất mặt 54a A 27a B 9a C 8a Lời giải D a Chọn A Giả sử hình lập phương có độ dài cạnh x  x  0 Khi ta có tổng diện tích tất mặt hình lập phương là: STP 6 x Theo giả thiết ta có STP 54a  x 54a  x 3a (do x  ) Thể tích khối lập phương cần tìm là: V  3a  27 a Câu 19 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh BC a Góc đường thẳng AB mặt phẳng  BCC B 30 Thể tích khối lăng trụ cho A 2a B 2a C 2a D a3 Lời giải Chọn D C' B' 30° A' B M C A Tam giác ABC vuông cân A cạnh BC a nên AB  AC a , SABC  a2  AM  BC  AM   BCC B Gọi M trung điểm BC    AM  BB Góc đường thẳng AB mp  BCC B ABM 30 AM  AM a BC a AB   a  h BB  AB2  AB a ;  sin 30 2 2 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V SABC h  a2 a3 a 2