Trình bày tóm tắt khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích

Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X v

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau:

Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X vào chính nó, xét phương trình phi tuyến Ax = x, x  M dưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập

M.

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến Ngay đầu thế kỉ 20, các nhà toán học đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết những bài toán khác nhau do thực tế đặt ra

Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder nhưng kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động đồng thời cũng là những công trình khởi đầu cho lĩnh vực này đó là nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer được

áp dụng ở những lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân

Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên điểm bất động được phát triển theo hai hướng chính:

Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer

Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach

Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài: “Điểm bất động và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về điểm bất động và việc áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3.

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động

Schauder, chứng minh định lý, các ví dụ áp dụng

Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương

trình tích phân và đại số giải tích

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.1

Cho X  , ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực 

thỏa mãn 3 tiên đề sau:

) ( , ) ( , ) 0, ( , ) 0

i x y X d x y  d x y   x (tiên đề đồng nhất)y

) ( , ) ( , ) ( , )

ii x y X d x y d y x (tiên đề đối xứng)

) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

iii x y z X d x y d x z d z y (tiên đề tam )

Không gian metric là cặp (X,d) trong đó:

● X  được gọi là tập nền

● d là metric trong X

● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X

● Các phần tử của X gọi là các điểm

Ví dụ 1.1.1:

Cho X  ,  x,y  X

0 khi x y d(x, y)

1 khi x y









Khi đó d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d

còn được gọi là metric rời rạc )

Định nghĩa 1.1.2

- Dãy hội tụ

- Dãy cơ bản

- Không gian đủ

1.2 Tô pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1:

Cho không gian (X,d), r > 0, a  X

Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r.

Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.

Định nghĩa 1.2.2:

Cho không gian (X,d), A  X

Tập mở: A được gọi là tập mở nếu x A  thì x là điểm trong của A

Điểm trong : xA được gọi là điểm trong của A nếu   0 : ( , )B x  A

Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = A c là tập mở

Quy ước , X vừa là tập đóng vừa là tập mở

Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở

Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F  X

F là tập đóng   x n F và x n  x thì x  F

Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì:

a) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở

b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:

c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng:

d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng:

1.3 Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ liên tục đều

1.4 Tập hợp compact và bị chặn.

Định nghĩa 1.4.1:

Không gian compact

Tập compact.

Định lý 1.4.1: (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

Ánh xạ liên tục f: X  Y từ không gian metric ( , X d X) vào không gian metric ( ,Y d K là tập Y)

compact trong X thế thì:

1 f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong Y

Định nghĩa 1.4.2:

Tập hợp bị chặn.Từ đó suy ra: A bị chặn   B(a,R): A  B(a,R).

Tập hoàn toàn bị chặn.

Hệ quả:

Tập con của tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

Hợp của hữu hạn các tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

Trong không gian Euclid k tập A bị chặn  A hoàn toàn bị chặn.

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa 1.5.1: Không gian vectơ

Ví dụ 1.5.1: C[a,b] = {x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán

[ , ]

a x y C x y x t y t

[ , ]

b  x C xx t

Khi đó nó là không gian vectơ

1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1: Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.2: Sự hội tụ

Định nghĩa 1.6.3: Dãy cơ bản

Định nghĩa 1.6.4: Không gian Banach

Cho không gian định chuẩn X Với mọi x,y X thì:

a) x  y  x y

b) Đặt d(x, y) x y  thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với) chuẩn.

Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ở định

lý trên Do đó mọi khái niệm mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.

Nhận xét:

 Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

 Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5: Tính liên tục

1.7 Tính lồi

1.7.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một không gian tuyến tính,  là tập các số thực Tập A  X được gọi là lồi nếu:

 x 1, x 1  X,  : 0   1 x1(1 )x2A

Mệnh đề 1.7.1.

Giả sử A  X (  I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó

I

A A





cũng lồi.

Mệnh đề 1.7.2.

Giả sử X,Y là các không gian tuyến tính, T: X  Y là toán tử tuyến tính, khi đó

a) A  X lồi suy ra T(A) lồi

b) B  Y lồi suy ra nghịch ảnh T -1 (B) của ảnh B là tập lồi

Định lý 1.7.1: Giả sử A  X lồi, x 1 , x 2 ,…,x m  A Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 , x 2 ,…,x m

1.7.2.Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu

là CoA

Nhận xét 1.7.1.

a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A lồi  CoA = A.

Định nghĩa 1.7.3 Giả sử tập A X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập

A và kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.2:

CoA là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.7.4:

Cho M  X, X là không gian tuyến tính trên trường K, khi đó ta định nghĩa: spanM là không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M.

1.7.3.Liên tục trên tập compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M   là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M.

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho A : M  X  Y là toán tử

tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên M.

Định nghĩa 1.7.5: Toán tử compact

Định lý 1.7.2 Cho A, B là các toán tử compact: X  Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì  p, q ta có pA

+ qB là toán tử compact

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.8.1

Mệnh đề 1.8.1

Cho (u n ) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, dimX > 0 Khi đó u n  u trong

X khi n  , nếu và chỉ nếu dãy các thành phần tương ứng (với một cơ sơ cố định) hội tụ đến các tọa độ

tương ứng của u trong X

Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian Banach

Hệ quả 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, khi đó:

1) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng.

Mệnh đề 1.8.2:

Cho M là tập con khác rỗng lồi và bị chặn, đóng của không gian định chuẩn X, ở đây M có một điểm

trong khi đó M đồng phôi với hình cầu B u X u: 1

Mệnh đề 1.8.3:

Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X Khi đó M đồng phôi với các N_ đơn hình trong X, N = 1.2…

1.9 Phương trình vi phân thường

1.9.1 Một số khái niệm:

1.9.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:

a) Phương trình vi phân có biến số phân li:

( )

dy

f x

dx

( )

dy

f y

dx

M1(x) N1(y) dx + M2(x) N2(y) dy = 0

b) Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:

y f

x

 

  

 

c) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x)

d) Phương trình Bernoulli:

Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x) y α

e) Phương trình vi phân toàn phần:

Dạng tổng quát: P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 (1.5)

trong đó : P(x,y) , Q(x,y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn : Q’ x (x,y) =P’ y (x,y) trên D.

f) Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.

dy ax by c f

dx a x b y c

CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG

2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 2.1.1:

Ánh xạ co: Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( , X d X) vào không gian metric ( ,Y d được gọi Y)

là ánh xạ co nếu   [0,1) sao cho x, x’ X ta đều có:

 ( ), ( ') ( , ')

d f x f x d x x

Hiển nhiên, một ánh xạ co là liên tục đều

Định lý 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Một ánh xạ co f: X  X từ không gian metric đủ (X,d X ) vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất

động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm xX sao cho f x( )x

2.1.2 Cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn.

Với metric xác định bởi công thức d x y( , )x y nguyên li ánh xạ co Banach được phát biểu trong không gian định chuẩn như sau:

Giả sử, M là tập đóng khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K Toán tử A: M  M thỏa mãn Ax Ay k x y   x, y M (*) với k cố định, k [0,1)

Khi đó các kết quả sau là đúng:

i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phương trình x = Ax (**)

ii) Với mỗi x 0  M dãy {x n } tạo bởi x n+1 = Ax n , (n = 0, 1, 2…) hội tụ đến nghiệm duy nhất x của phương trình (**)

2.2 Định lý điểm bất động Brouwer.

Định nghĩa 2.1.1

Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n-đơn hình nếu S = Co{u 0 ,

u 1 , ,u n } với u 0 , u 1 , ,u n  X và các vectơ u1 -u 0 , u 2 -u 0 , ,u n -u 0 độc lập tuyến tính Các điểm u i được gọi là đỉnh,

bao lồi của k+1 đỉnh được gọi là k-diện của S.

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các n-đơn hình con nếu giao nếu

giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó

Đối với một tam giác phân của S, Sperner (1928) đã đưa ra một phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0, 1, , n theo qui tắc sau đây: Nếu Co{u 0 , u 1 , ,u n } là diện nhỏ nhất của S chứa v

thì v được gán cho một trong các số i 0 , i 1 , , i k

Như vậy, đỉnh u i phải được gán số i Ta gọi đó là phép gán số Sperner

Bổ đề Sperner:

Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ đơn hình tốt.

Định nghĩa 2.2.2

Cho n = 1, 2, và X là không gian tuyến tính trên trường K, n-đơn hình S = Co{u 0 , ,u n } Khi đó, điểm

1

1

1

n

j

j



được gọi là trọng tâm của hình S

Định nghĩa 2.2.3 Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1-đơn hình S = Co{u 0 ,u 1 } là tập hợp của hai 1-đơn

hình S 0 = Co{b,u 0 } và S 1 = {b,u 1 } ở đây b là trọng tâm của S.

Tổng quát, phép chia nhỏ bởi tất cả các n-đơn hình Co{b,v 1 , ,v n-1 } ở đây v 1 , ,v n-1 là các đỉnh của

(n-1)-đơn hình bất kì thu được từ phép chia nhỏ bởi trọng tâm của (n-1) - diện của S.

Định nghĩa 2.2.4 Cho một đơn hình S = Co{u 0 , ,u n } Khi đó, mỗi điểm x  S được biểu diễn duy nhất dưới

n

i i

i

x x u





với x i > 0, 1

1

n i i

x







và mỗi x i được gọi là tọa độ trọng tâm của x, nó cũng biến đổi liên tục theo x.

Bổ đề 2.2.2: Bổ đề Knaster, Kusutowski, Mazurkirwicz (bổ đề KKM)

Cho S=Co{u 0 , ,u n } là một n_đơn hình trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, n=0,1,2, giả sử đã cho các tập đóng C 0 , ,C n trong X sao cho:

Co{ , , }0

k

u u

0 im

k m

C



(2.2.2) Với tất cả các bộ chỉ số {i 0 , ,i k } và mọi k=0,1, ,n Khi đó có một điểm bất động v trong S sao cho v

 C j , j=1,2, ,n

 Định lý điểm bất động Brouwer

Cho M là một tập khác rỗng, lồi, compact trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X trên trường K Khi đó, toán tử liên tục A:M M có một điểm bất động.

Hệ quả 2.2:

Toán tử B: K K có một điểm bất động nếu K là tập con của một không gian định chuẩn sao cho nó đồng phôi với tập M như đã xét trong định lý điểm bất động Brouwer.

Ví dụ 2.2

Cho M=[a,b],với − ∞<a<b<+∞ Khi đó, mỗi hàm số liên tục A: [a,b] [a,b] có một điểm bất động u.

2.3 Định lý điểm bất động Schauder

Năm 1930, Schauder đã chứng minh một định lý điểm bất động của toán tử compact

A: MM Vẫn như Banach ông xem xét toán tử compact A trong không gian định chuẩn tuy nhiên tập M phải

thỏa mãn các điều kiện: khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn

Định lý điểm bất động Schauder

Toán tử compact A: MM có một điểm bất động u nếu tập M là tập con khác rỗng, đóng, lồi , bị chặn trong không gian Banach X trên trường K.

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường

3.1.1 Bài toán 1:

Xét phương trình vi phân:

( ) ( , ( ))

dx t

f t x t

Với điều kiện ban đầu: x(t 0 ) = x 0 (3.1’)

Trong đó t 0 , x 0 là 2 số cho trước, f (t,u) là hàm liên tục cho trước của hai biến t,u (t,u R) Giả thiết

f(t,u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, theo nghĩa sau đây:

Với mỗi số nguyên dương n tồn tại một hằng số L=L(n) > 0 sao cho

t [-n,n] ta đều có:

1 2 1 2

Khi đó (3.1) với điều kiện (3.1’) có một nghiệm duy nhất x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng

thực R

3.1.2 Bài toán 2:

Ta cần giải bài toán ban đầu sau:

' ( , )

, ( )

u F x u

x h x x h

u x u









Với (x 0 ,u 0) R2 ta sẽ tìm một nghiệm u = u(x) của (3.3) sao cho:

u: [x 0 -h, x 0 +h]  R (3.3’)

khả vi và (x,u(x))  S, x [x 0 -h, x 0 +h] trong đó:

S= {(x,u)R2: x x 0 r u u,  0 r}, với r cố định

Đặt X  C[x 0 – h, x 0 + h] và M {x X u u :  0 r}

Ta xác định chuẩn: 0 0

max ( )

x h x x h

   

Ta xét phương trình tích phân:

0

x x

u x u F y u y dy x  h x x  h u M

(3.4) Cùng với phép lặp:

0

x

x

u x u F y u y dy x  h x x  h n

(3.5)

Với u 1 (x) = u 0

Mệnh đề 3.1:

Giả sử

a) Hàm số F: S R liên tục và có các đạo hàm riêng F n : S R cũng liên tục

b) Đặt ( , )max ( , )

x u S





và ( , )max n( , )

x u S





, và chọn số thực h trong trường hợp này sao cho 0 <

h ≤ r, hM ≤ r, và hL < 1

Khi đó các điều kiện sau là đúng

i) Bài toán ban đầu (3.3) có nghiệm duy nhất dạng (3.3’)

ii) Đây là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân (3.4)

iii) Dãy u n tạo bởi (3.5) hội tụ đến u trong không gian Banach X

iv) Với n=0,1 ta có đánh giá sai số

1

(1 ) (1 )

n n

n



Ví dụ 3.1: Bài toán ban đầu

2

1

(0) 0

u

u F x u x

x u





  





Có nghiệm duy nhất trên tập S = {( , ) x u  R2

:

,

x  u 

}

3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân

3.2.1 Bài toán 3

Ta muốn giải phương trình tích phân:

b a

u x F x y u y dy f x a x b

(3.6) Bằng phương pháp lặp

b

a

u x F x y u y dy f x a x b n  

(3.6’) Với -∞ < a < b < +∞

Mệnh đề 3.2 Giả sử có các điều kiện sau:

1) Hàm số f: [a,b]  R liên tục

2) Hàm số :[ , ] [ , ]F a b a b R  R liên tục và đạo hàm riêng

:[ , ] [ , ]

n

F a b a b  R  R cũng liên tục

3) Có một số L sao cho F x y u u( , , ) L x y, , [ , ]a b

, uR

4) Có một số thực cho trước sao cho (b a ) L1

5) Tập X = C[a,b] và max ( )

a x b

 



Khi đó, các điều kiện sau đây được thõa mãn

i) Bài toán ban đầu (3.6) có nghiệm duy nhất u  X

ii) Dãy (u n ) tạo bởi (3.6’) hội tụ đến u trong X, n=1,2,

iii) n=0,1, ta có các đánh giá sai số:

1 1 1

n n





với k(b a ) L

3.2.2 Bài toán 4:

Ta cần giải phương trình tích phân:

b a

u x F x y u y dy a x b 

ở đây -∞ < a < b < +∞ và  R.

Gọi Q{( , , )x y u  R3: x y a b u ,  [ , ],  r }

với r > 0 cho trước.

Mệnh đề 3.3 Giả sử rằng

1) Hàm số F: Q R liên tục

2) Ta định nghĩa ( ) ( , , )max ( , , )

x y u Q



Có một tỉ số thực  đã cho thỏa mãn  M r

Khi đó phương trình ban đầu (3.8) có một nghiệm u  M

Ví dụ 3.3;

Cho X C a b[ , ] với -∞ < a < b < +∞ và u max ( )a x b u x

 



.Khi đó phương trình tích phân

( ) ( ) ( ) ,

b

a

u x  b a u y dy   u X

có nghiệm duy nhất uX * với

2

:

2

b a

X uX u   

3.3 Áp dụng vào đại số giải tích

Cho hệ phương trình sau: