Trình bày tóm tắt khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích

Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội PHN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán khác khoa học kĩ thuật dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X khơng gian đó, A ánh xạ từ tập M không gian X vào nó, xét phương trình phi tuyến Ax = x, x ∈ M điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình đó.Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình Ax = x gọi điểm bất động ánh xạ A tập M Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng giải tích hàm phi tuyến Ngay đầu kỉ 20, nhà toán học quan tâm đến vấn đề khẳng định lý thuyết điểm bất động phát triển sâu rộng, trở thành công cụ thiếu để giải toán khác thực tế đặt Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn giới như: Banach, Brouwer, Schauder kết kinh điển lý thuyết điểm bất động đồng thời cơng trình khởi đầu cho lĩnh vực nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer áp dụng lĩnh vực tốn học đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân Trên sở ngun lý điểm bất động phát triển theo hai hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ liên tục, mở đầu nguyên lý điểm bất động Brouwer Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ dạng co, mở đầu nguyên lý ánh xạ co Banach Vì lý mà em lựa chọn đề tài: “Điểm bất động ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học thực khóa luận tốt nghiệp Nghiên cứu số vấn đề điểm bất động việc áp dụng vào ngành toán học đại Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều Nghiên cứu việc áp dụng định lý điểm bất động việc giải tập phương trình vi phân thường, phương trình tích phân đại số giải tích Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu phần kết luận, nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sử dụng chương chương Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, ví dụ áp dụng Chương 3: Áp dụng định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương trình tích phân đại số giải tích SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng §HSP Hµ Néi PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅ , ta gọi metric X ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập số thực ¡ thỏa mãn tiên đề sau: i ) (∀x, y ∈ X ) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = ⇔ x = y ii ) (∀x, y ∈ X ) d ( x, y ) = d ( y , x ) (tiên đề đồng nhất) (tiên đề đối xứng) iii ) (∀x, y, z ∈ X ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) (tiên đề tam ) Không gian metric cặp (X,d) đó: ● X ≠ ∅ gọi tập ● d metric X ● d(x,y) khoảng cách hai phần tử x, y∈ X ● Các phần tử X gọi điểm Ví dụ 1.1.1: Cho X ≠ ∅ , ∀ x,y ∈ X 0 x = y d(x, y) =  1 x ≠ y Khi d metric X (X,d) gọi không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d gọi metric rời rạc ) Định nghĩa 1.1.2 - Dãy hội tụ - Dãy - Không gian đủ 1.2 Tô pô không gian metric Định nghĩa 1.2.1: Cho không gian (X,d), r > 0, a ∈ X Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) < r } hình cầu mở tâm a, bán kính r Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) ≤ r } hình cầu đóng tâm a, bán kính r Định nghĩa 1.2.2: Cho không gian (X,d), A ⊂ X Tập mở: A gọi tập mở ∀x ∈ A x điểm A Điểm : x∈A gọi điểm A ∃ε > : B( x, ε ) ⊂ A Tập đóng: Tập A gọi tập đóng X\A = Ac tập mở Quy ước ∅, X vừa tập đóng vừa tập mở Định lý 1.2.1: Trong khơng gian metric hình cầu đóng tập đóng hình cu m l m SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F ⊂ X F tập đóng ⇔ ∀ { xn } ⊂ F xn → x x ∈ F Định lý 1.2.3: Cho (X,d) không gian metric thì: a) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở b) Giao hữu hạn tập mở tập mở: c) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng: d) Giao họ tùy ý tập hợp đóng tập đóng: 1.3 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ liên tục 1.4 Tập hợp compact bị chặn Định nghĩa 1.4.1: Không gian compact Tập compact Định lý 1.4.1: (Định lý tính chất ánh xạ liên tục tập compact) Ánh xạ liên tục f: X → Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) K tập compact X thì: f liên tục K f(K) tập compact Y Định nghĩa 1.4.2: Tập hợp bị chặn.Từ suy ra: A bị chặn ⇔ ∃ B(a,R): A ⊂ B(a,R) Tập hoàn toàn bị chặn Hệ quả: Tập tập hoàn toàn bị chặn tập hoàn toàn bị chặn Hợp hữu hạn tập hoàn toàn bị chặn tập hồn tồn bị chặn k Trong khơng gian Euclid ℜ tập A bị chặn ⇔ A hoàn toàn bị chặn 1.5 Khơng gian vectơ (khơng gian tuyến tính) Định nghĩa 1.5.1: Khơng gian vectơ Ví dụ 1.5.1: C[a,b ] = {x(t) liên tục [a,b] } trang bị hai phép toán a) ∀x, y ∈ C[ a ,b ] : x + y = x (t ) + y (t ) b) ∀x∈ C[ a ,b ] , α ∈ ¡ :α x = α x(t ) Khi khơng gian vectơ 1.6 Khơng gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6.1: Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6.2: Sự hội tụ Định nghĩa 1.6.3: Dãy Định nghĩa 1.6.4: Không gian Banach SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội nh lý 1.6.1: Cho khơng gian định chuẩn X Với x,y∈ X thì: a) x − y ≤ x− y b) Đặt d(x, y) = x − y d metric X gọi metric sinh (hay metric tương thích với) chuẩn Từ ta suy khơng gian định chuẩn trở thành khơng gian metric với metric định lý Do khái niệm mệnh đề không gian metric khơng gian định chuẩn Nhận xét: • Trong khơng gian Banach, dãy hội tụ dãy Cauchy • Khơng gian Banach khơng gian định chuẩn đầy Định nghĩa 1.6.5: Tính liên tục 1.7 Tính lồi 1.7.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.7.1: Giả sử X không gian tuyến tính, ¡ tập số thực Tập A ⊂ X gọi lồi nếu: ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ)x ∈A ∀ x1, x1∈ X, ∀ λ ∈ ¡ : Mệnh đề 1.7.1 Giả sử Aα ∈ X (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi A = UA α α∈I lồi Mệnh đề 1.7.2 Giả sử X,Y không gian tuyến tính, T: X → Y tốn tử tuyến tính, a) A ⊂ X lồi suy T(A) lồi b) B ⊂ Y lồi suy nghịch ảnh T-1(B) ảnh B tập lồi Định lý 1.7.1: Giả sử A ⊂ X lồi, x1, x2,…,xm ∈ A Khi A chứa tất tổ hợp lồi x1, x2,…,xm 1.7.2.Bao lồi bao đóng Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A⊂ X, giao tất tổ hợp chứa A gọi bao lồi tập A kí hiệu CoA Nhận xét 1.7.1 a) CoA tập lồi tập lồi nhỏ chứa A b) A lồi ⇔ CoA = A Định nghĩa 1.7.3 Giả sử tập A⊂ X, giao tất tập lồi, đóng chứa A gọi bao lồi đóng tập A kí hiệu CoA Nhận xét 1.7.2: CoA tập đóng, tập đóng nhỏ chứa A nh ngha 1.7.4: SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Cho M ⊂ X, X khơng gian tuyến tính trường K, ta định nghĩa: spanM khơng gian tuyến tính nhỏ chứa M 1.7.3.Liên tục tập compact Mệnh đề 1.7.3: Cho M → ¡ hàm liên tục tập compact khác rỗng M khơng gian định chuẩn X Khi f đạt giá trị nhỏ giá trị lớn M Mệnh đề 1.7.4: Cho X Y không gian định chuẩn trường K, cho A : M ⊆ X → Y toán tử tuyến tính liên tục tập compact khác rỗng M X, A liên tục M Định nghĩa 1.7.5: Toán tử compact Định lý 1.7.2 Cho A, B toán tử compact: X → Y (X, Y khơng gian định chuẩn) ∀ p, q ta có pA + qB tốn tử compact Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ tốn tử compact) 1.8 Khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều Định nghĩa 1.8.1 Mệnh đề 1.8.1 Cho (un) dãy không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, dimX > Khi un → u X n → ∞, dãy thành phần tương ứng (với sơ cố định) hội tụ đến tọa độ tương ứng u X Hệ 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều không gian Banach Hệ 1.8.2: Cho M tập không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, đó: 1) M compact tương đối bị chặn 2) M compact bị chặn đóng Mệnh đề 1.8.2: Cho M tập khác rỗng lồi bị chặn, đóng khơng gian định chuẩn X, M có điểm M đồng phơi với hình cầu B = { u ∈ X : u ≤ 1} Mệnh đề 1.8.3: Cho M tập khác rỗng, lồi, compact không gian định chuẩn hữu hạn chiều X Khi M đồng phơi với N_ đơn hình X, N = 1.2… 1.9 Phương trình vi phân thường 1.9.1 Một số khái niệm: 1.9.2 Một số phương trình vi phân biết cách giải: a) Phương trình vi phân có biến số phân li: dy = f ( x) dx dy = f ( y) dx M1(x) N1(y) dx + M2(x) N2(y) dy = b) Phương trình vi phân cấp nhất: SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội y y' = f  ÷ x c) Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x) d) Phương trình Bernoulli: Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x) yα e) Phương trình vi phân toàn phần: Dạng tổng quát: P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 (1.5) : P(x,y) , Q(x,y) hàm số liên tục với đạo hàm riêng miền đơn liên D thỏa mãn : Q’x(x,y) =P’y(x,y) D f) Phương trình vi phân đưa dạng phương trình cấp  ax + by + c  dy = f ÷ dx  a1 x + b1 y + c1  (1.6) CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 2.1.1: Ánh xạ co: Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) gọi ánh xạ co ∃ α ∈[0,1) cho ∀x, x’∈ X ta có: d y ( f ( x), f ( x ') ) ≤ α d x ( x, x ') Hiển nhiên, ánh xạ co liên tục Định lý 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach Một ánh xạ co f: X → X từ không gian metric đủ (X,d X) vào có điểm bất động nghĩa tồn điểm x ∈ X cho f ( x ) = x 2.1.2 Cách phát biểu khác ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian định chuẩn Với metric xác định công thức d ( x, y ) = x − y nguyên li ánh xạ co Banach phát biểu không gian định chuẩn sau: Giả sử, M tập đóng khác rỗng khơng gian Banach X trường K Tốn tử A: M → M thỏa mãn Ax − Ay ≤ k x − y ∀x, y∈ M (*) với k cố định, k∈ [0,1) Khi kết sau đúng: i) Tồn nghiệm x phương trình x = Ax (**) ii) Với x0 ∈ M dãy {xn} tạo xn+1 = Axn, (∀n = 0, 1, 2…) hội tụ đến nghiệm nht x ca phng trỡnh (**) SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hµ Néi 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer Định nghĩa 2.1.1 Cho X không gian tuyến tính, tập hợp S X gọi n-đơn hình S = Co{u0, u1, ,un} với u0, u1, ,un ∈ X vectơ u1-u0, u2-u0, ,un-u0 độc lập tuyến tính Các điểm ui gọi đỉnh, bao lồi k+1 đỉnh gọi k-diện S Phép tam giác phân đơn hình S phép phân chia S thành n-đơn hình giao giao phải diện chung hai đơn hình Đối với tam giác phân S, Sperner (1928) đưa phép gán cho đỉnh đơn hình số 0, 1, , n theo qui tắc sau đây: Nếu Co{u0, u1, ,un} diện nhỏ S chứa v v gán cho số i0, i1, , ik Như vậy, đỉnh ui phải gán số i Ta gọi phép gán số Sperner Bổ đề Sperner: Với phép gán số Sperner, phép tam giác phân đơn hình ln có số lẻ đơn hình tốt Định nghĩa 2.2.2 Cho n = 1, 2, X khơng gian tuyến tính trường K, n-đơn hình S = Co{u0, ,un} Khi đó, điểm b= n ∑uj n + j =1 gọi trọng tâm hình S Định nghĩa 2.2.3 Một phép chia nhỏ trọng tâm 1-đơn hình S = Co{u0,u1} tập hợp hai 1-đơn hình S0 = Co{b,u0} S1 = {b,u1} b trọng tâm S Tổng quát, phép chia nhỏ tất n-đơn hình Co{b,v1, ,vn-1} v1, ,vn-1 đỉnh (n1)-đơn hình thu từ phép chia nhỏ trọng tâm (n-1) - diện S Định nghĩa 2.2.4 Cho đơn hình S = Co{u0, ,un} Khi đó, điểm x ∈ S biểu diễn n dạng x = ∑ xi ui i =0 n với xi > 0, ∑x i =1 i =1 xi gọi tọa độ trọng tâm x, biến đổi liên tục theo x Bổ đề 2.2.2: Bổ đề Knaster, Kusutowski, Mazurkirwicz (bổ đề KKM) Cho S=Co{u0, ,un} n_đơn hình khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều X, n=0,1,2, giả sử cho tập đóng C0, ,Cn X cho: k Co {ui0 , , uik } ⊆ U Ci m=0 m (2.2.2) Với tất số {i0, ,ik} k=0,1, ,n Khi có điểm bất động v S cho v ∈ Cj, j=1,2, ,n ∗ Định lý điểm bất động Brouwer Cho M tập khác rỗng, lồi, compact không gian định chuẩn hữu hạn chiều X trường K Khi đó, tốn tử liên tục A:M→ M có im bt ng H qu 2.2: SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Néi Tốn tử B: K→ K có điểm bất động K tập không gian định chuẩn cho đồng phơi với tập M xét định lý điểm bất động Brouwer Ví dụ 2.2 Cho M=[a,b],với Khi đó, hàm số liên tục A: [a,b] →[a,b] có điểm bất động u 2.3 Định lý điểm bất động Schauder Năm 1930, Schauder chứng minh định lý điểm bất động toán tử compact A: M→M Vẫn Banach ơng xem xét tốn tử compact A khơng gian định chuẩn nhiên tập M phải thỏa mãn điều kiện: khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn ∗Định lý điểm bất động Schauder Toán tử compact A: M→M có điểm bất động u tập M tập khác rỗng, đóng, lồi , bị chặn không gian Banach X trường K CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường 3.1.1 Bài tốn 1: ∗Xét phương trình vi phân: dx (t ) = f (t , x (t )) dt ( t∈ ) Với điều kiện ban đầu: x(t0) = x0 (3.1) (3.1’) Trong t0, x0 số cho trước, f (t,u) hàm liên tục cho trước hai biến t,u (t,u ∈) Giả thiết f(t,u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, theo nghĩa sau đây: Với số nguyên dương n tồn số L=L(n) > cho ∀t∈ [-n,n] ta có: f (t , u1 ) − f (t , u2 ) < L u1 − u Khi (3.1) với điều kiện (3.1’) có nghiệm x(t) xác định liên tục đường thẳng thực 3.1.2 Bài toán 2: Ta cần giải toán ban đầu sau: u ' = F ( x, u ) , x0 − h < x < x0 + h  u ( x0 ) = u0 (3.3) Với (x0,u0) ∈ ta tìm nghiệm u = u(x) (3.3) cho: u: [x0-h, x0+h] → (3.3’) khả vi (x,u(x)) ∈ S, ∀x∈ [x0-h, x0+h] đó: S= {(x,u)∈2: x − x0 ≤ r , u − u0 ≤ r} SVTH: Lê Thị Vân , vi r c nh K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội M = {x ∈ X : u − u ≤ r} Đặt X ∈ C[x0 – h, x0 + h] Ta xác định chuẩn: u = max x0 − h ≤ x ≤ x0 + h u ( x) ∀x ∈ X Ta xét phương trình tích phân: x u ( x) = u0 + ∫ F ( y, u ( y ))dy; x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, u ∈ M x0 (3.4) Cùng với phép lặp: x un +1 ( x ) = u0 + ∫ F ( y , un ( y ))dy; x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, n = 1, x0 (3.5) Với u1(x) = u0 Mệnh đề 3.1: Giả sử a) Hàm số F: S→ liên tục có đạo hàm riêng Fn: S→ liên tục b) Đặt M = max F ( x, u ) ( x , u )∈S L = max Fn ( x, u ) ( x , u )∈S , chọn số thực h trường hợp cho < h ≤ r, hM ≤ r, hL < Khi điều kiện sau i) Bài toán ban đầu (3.3) có nghiệm dạng (3.3’) ii) Đây nghiệm phương trình tích phân (3.4) iii) Dãy un tạo (3.5) hội tụ đến u không gian Banach X iv) Với n=0,1 ta có đánh giá sai số un − u ≤ k n (1 − n) −1 u1 − u0 un +1 − u ≤ k n (1 − n) un +1 − un Ví dụ 3.1: Bài tốn ban đầu u  u ' = F ( x, u ) = x +  u (0) =  − 1 ≤x≤ 2 1 {( x, u )∈ : x ≤ , u ≤ } Có nghiệm tập S = 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 3.2.1 Bài tốn Ta muốn giải phương trình tích phân: b u ( x) = λ ∫ F ( x, y, u ( y ))dy + f ( x) a≤ x≤b (3.6) a Bằng phương pháp lặp b un +1 ( x ) = λ ∫ F ( x, y, un ( y ))dy + f ( x) a ≤ x ≤ b, n = 0,1, (3.6’) a SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Vi - < a < b < +∞ Mệnh đề 3.2 Giả sử có điều kiện sau: 1) Hàm số f: [a,b] → liên tục 2) Hàm số F :[ a, b] × [ a, b] × → liên tục đạo hàm riêng Fn : [ a, b] × [a, b] × → liên tục 3) Có số L cho Fu ( x, y, u ) ≤ L, ∀x, y ∈ [a, b] , u∈ (b − a ) λ L < 4) Có số thực λ cho trước cho u = max u ( x) 5) Tập X = C[a,b] a ≤ x ≤b Khi đó, điều kiện sau thõa mãn i) Bài tốn ban đầu (3.6) có nghiệm u ∈ X ii) Dãy (un) tạo (3.6’) hội tụ đến u X, n=1,2, iii) ∀n=0,1, ta có đánh giá sai số: un − u ≤ k n (1 − k ) −1 u1 un +1 − u ≤ k (1 − k ) −1 un +1 − un với k = (b − a ) λ L 3.2.2 Bài toán 4: Ta cần giải phương trình tích phân: b u ( x ) = λ ∫ F ( x, y, u ( y )) dy a ≤ x ≤ b (3.8.1) a -∞ < a < b < +∞ Gọi λ∈ Q = {( x, y, u ) ∈ : x, y ∈[a, b], u ≤ r} với r > cho trước Mệnh đề 3.3 Giả sử 1) Hàm số F: Q→ liên tục 2) Ta định nghĩa (b − a) M = max F ( x, y, u) ( x , y , u )∈Q λ M ≤r Có tỉ số thực λ cho thỏa mãn Khi phương trình ban đầu (3.8) có nghiệm u ∈ M Ví dụ 3.3; Cho X = C[a, b] với -∞ < a < b < +∞ u = max u ( x) a ≤ x ≤b Khi phương trình tích phân b u ( x ) = (b − a) ∫ u ( y )dy, ∀u ∈ X a có nghiệm u∈X* với  (b − a )2  X * = u ∈ X : u =    3.3 Áp dụng vào đại số giải tích Cho hệ phng trỡnh sau: SVTH: Lê Thị Vân 10 K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2   an1 x1 + an x2 + + ann xn = bn   a11 a12  a a22 A =  21    an1 an (3.3) a13  ÷ a23 ÷ ÷ ÷ n A = (aij )1 ann  hay với detA ≠ 0.Khi hệ phương trình cho có dạng: Ax=b (3.3’)  x1   b1   ÷  ÷ x b x =  ÷, b =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ x ÷ b ÷  n  n Định nghĩa 3.3.1 Ma trận (đường) chéo trội 3.3.1.Bài toán 1:Giải hệ phương trình (3.3) phương pháp lặp đơn.Ta đưa phương trình (3.3’) dạng tương đương x = Bx + g (3.3*) Đặt Tx = Bx + g (3.3’) ⇔ x = Tx Nếu x* điểm bất động T: Tx* = x* x* nghiệm (3.3’) tức Ax* = b Ví dụ 3.3.1: Giải hệ phương trình sau với bước lặp 10 x1 + x2 + x3 = 10   x1 + 10 x2 + x3 = 12  x + x + 10 x =   10   ÷ A =  10 ÷ ∀i = 1,3,  1 10 ÷   ta có ∑a j ≠i ij (1) < aii ma trận chéo trội Khi (1) A  x1 = −0.2 x2 − 0.1x3 +  ⇔  x2 = −0.1x2 − 0.2 x3 + 1.2  x = −0.1x − 0.1x + 0.8  Khi ta xây dựng dãy lặp hội tụ sau:  x1( n +1) = −0.2 x2( n ) − 0.1x3n +  ( n +1) = −0.1x1( n ) − 0.2 x3( n ) + 1.2 (n = 1,3 )  x2  ( n +1) = −0.1x1( n ) − 0.1x2( n ) + 0.8  x3 Chọn x(0) = (0,0,0) x SVTH: Lê Thị Vân (1)  0.68   0.754   ÷ (2)  ÷ (3)  ÷ =  1.2 ÷, x =  0.94 ÷, x = 1.016 ÷  0.8 ÷  0.58 ÷  0.638 ÷       11 K35G_SP To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Trêng §HSP Hµ Néi 3.3.2 Bài tốn Giải hệ phương trình (3.3) phương pháp Jacobi (đường chéo trội) Định nghĩa 3.3.2: Cho ma trận  a11 a12  a a22 B =  21    an1 an a13  ÷ a23 ÷ ÷ ÷ ann  Khi đó: n B = max ∑ aij 1≤ j ≤ n i =1 = max { a11 + a21 + + an1 , a12 + a22 + + an , a1n + a2 n + + ann } n B ∞ = max ∑ aij 1≤ i ≤ n j =1 = max { a11 + a12 + + a1n , a21 + a22 + + a2 n , an1 + an + + ann } B  n  =  ∑ xi ÷  i =1  x = Bx + g B