chương 6 tích phân đường tích phân mặt

Định lý: Nếu hàm số fx, y liên tục trên cung trơn AB thì nó khả tích trên cung này... Cách tính tích phân đường lọai 2 Giả sử AB là cung trơn và các hàm Px, y, Qx, y liên tục trên cung

CHƯƠNG 6 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT

6.1 Tích phân đường loại 1

6.1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x, y) xác định trên 1 cung phẳng AB

 Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A = A0, A1, , An = B

Gọi độ dài cung Ai-1Ai là si

 Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy 1 điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)

 Lập tổng tích phân In =

1

( , )

n

i

f x y s







 Nếu n





lim tồn tại mà không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi thì nó được gọi là tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) theo cung

AB

Ký hiệu : I = ( , )

AB

f x y ds



Ghi chú :

 Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số

f(x, y) khả tích trên cung AB

 Cung AB cho bởi phương trình : y = y(x) với a  x  b được gọi là cung

trơn nếu hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]

 Cung AB cho bởi phương trình tham số









 ) (

) (

t y y

t x x

( t1  t  t2 ) được gọi là

cung trơn nếu hai hàm số x = x(t) và y = y (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [

t1, t2 ]

Định lý: Nếu hàm số f(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì nó khả tích trên

cung này

6.1.2 Cách tính tích phân đường loại 1

1 Nếu cung AB trơn, được cho bởi phương trình y = y(x), a  x  b và f(x, y) liên tục trên AB thì :

( , )

AB

f x y ds

 = ( , ( )) 1 ( '( )) 2

b

a



2 Nếu cung ABtrơn, được cho bởi phương trình tham số ( )

( )

x x t

y y t





 



( t1  x  t2 ) và hàm f(x, y) liên tục trên ABthì :

( , )

AB

f x y ds

2

1

( ( ), ( )) ( '( )) ( '( ))

t

t

f x t y t x t  y t dt



3 Nếu cung AB cho trong toạ độ cực

r r( ),       Khi ấy coi  là tham số, ta có phương trình của cung AB

x r( )cos

y r( )sin

   

    



  



x y    r( ) r ( )

Vậy ( , )

AB

f x y ds







4 Tích phân đường loại một trong không gian

Cho hàm số f(x, y, z) liên tục trên cung trơn AB có phương trình tham số

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 t t2 Khi đó

( , , )



AB

f x y z ds = 2

1

( ( ), ( ), ( )) ( '( )) ( '( )) ( ( ))



t

t

f x t y t z t x t y t z t dt

Ví dụ 1 Tính

C

(x y)ds

 , với C – tam giác với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)

Giải

Ta có

C OA AB BO

    Trên OA: y = 0, ds = dx Suy ra

1

1 (x y)ds xdx

2

Trên OB: x = 0, ds = dy Suy ra

1

1 (x y)ds ydy

2

Trên AB: y = 1 – x Suy ra

1 2

ds  1 (y (x)) dx    2dx   (x y)ds   2 dx  2

Vậy

C

(x y)ds 1    2

Ví dụ 2 Tính 2 2 2 2

C

x y ds,C : x y ax



Giải

Đưa C về toạ độ cực ta được r = acos, , r2 r2 a

C

x y ds ard a cos d 2a

      

Ví dụ 3 Tính 2

AB

I   z ds, với cung AB có phương trình

x acost,y asint,z bt,0 t 3.    

Giải

Ta có:

3

3

0



Ví dụ 4 Tính 2 2 2

C

x ds,C : x y 4

Giải

Ngoài cách tính trực tiếp với C có phương trình y  4 x 2 (hoặc đưa về toạ độ cực), ta có thể sử dụng tính đối xứng Vì đường tròn C đối xứng cả x

x ds x ds y ds (x y )ds

    

Trên đường tròn C ta có x2y2 4 Vậy 2

x ds 2 ds 2.4    8

(

C

ds 

 chu vi đường tròn = 4)

6.2 Tích phân đường loại 2

6.2.1 Định nghĩa Cho 2 hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB

 Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm : A = A0, A1, , An = B

 Gọi hình chiếu của vectơ A A i1 i trên 2 trục Ox và Oy là xi và yi

 Trên cung Ai-1 Ai lấy 1 điểm Mi (  ) tùy ý i, i

 Lập tổng tích phân:

In = 



n

i 1

[P(  )xi, i i + Q(  )yi, i i]

 Nếu n





lim tồn tại không phụ thuộc cách chia cung ABvà cách chọn Mi thì

được gọi là tích phân đường loại 2 của các hàm số P(x, y) và Q(x, y) dọc theo

cung AB

Ký hiệu: I = 

AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy

 Định lý : Nếu P(x, y) và Q(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì tích phân đường loại 2 tồn tại

 Chiều của đường lấy tích phân : 

AB

Pdx + Qdy = - 

BA

Qdy Pdx

6.2.2 Cách tính tích phân đường lọai 2

Giả sử AB là cung trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB

1 Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ của A, b là hoành độ của B thì :



AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =a b [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y’(x)] dx

Ví dụ 1 Tính 2 ( 2 )

L

I x ydx x y dy, với L là các đường sau:

a (P): y = x2, nối O(0, 0) với A(1, 1)

1

0

2 ( 2 ) ( 2 )

15

L

I x ydx x y dy x  x x dx 

b L là đường thẳng nối O(0, 0) với A(1, 1)

1

0

1 ( 2 ) ( )

4

L

I x ydx x y dy x x dx 

2 Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số { ( )

) (

t x x t y y



 với các đầu mút A, B theo thứ tự ứng với các giá trị tA, tB của các tham số thì



AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =  ( ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( )) '( )

B

A

t

t

P x t y t x t Q x t y t y t dt



Ví dụ 2 Tính ( 2 )

L

I ydx x y dy, với L là đường nối A(1, 0) và B(0, 1) theo các đường sau:

a Đường gấp khúc ACB, với B(1, 1)

b Đường tròn tâm O bán kính 1

Giải

a Ta có: ( 2 )

I ydx x y dy  

y



1 0

(1 2 ) 2

AC

y dy

  

 

y



0 1

1

BC

dx

  

Vậy I = 1

b Tham số hóa: cos sin ;0

t



0 0

1

2

Ví dụ 3 Tính 2 2

C

Iy dx x dy

C – vòng tròn tâm (0, 0) bán kính 1

C có phương trình

x cost,y sin t,0 x 2    

Vậy

2

0

I sin t( sin t) cos t(cost) dt 0   

Ghi chú :

 Tích phân đường loại 1 : chiều của đường lấy tích phân không quan trọng

 Tích phân đường loại 2 : Phải chú ý chiều của đường lấy tích phân

 Trong trường hợp, L là đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai 2 theo chiều dương của L

 Qui ước : Chiều dương của đường cong kín là chiều mà đi theo chiều đó ,ta thấy miền giới hạn ở bên trái

Ký hiệu :

L

 Pdx + Qdy

6.2.3 Công thức Green

Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D và L

là biên của D, ta có công thức Green:

L

 P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ( )

D

dxdy



Hệ quả: Nếu L là đường biên kín của miền D thì diện tích S của miền D

cho bởi công thức :

S= 1

2 L xdy-ydx

C

I xy dy x ydx,C : x y 1

Ta có P x y,Q xy2  2

2 2

Q P x y

x y

 

  

 

Vận dụng công thức Green ta được

2 2

2 1

0 0

x y 1

2



 



6.2.4 Sự độc lập đối với đường lấy tích phân

Định Lý Tích phân đường 

AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy chỉ phụ thuộc vào

2 đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B khi và chỉ khi :

x

Q

y

P











AN

y

xe

6 dx + (3x2+ y + 1) eydy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

AB

dy y x dx y x

I ( ) ( ) phụ thuộc vào đường lấy tích phân

AB

dy x y dx y x

I ( 3 ) ( 3 ) với A (1,1), B(2,3)

VD 4: Tính I =

(3,4) (0,1)

ydx xdy



6.2.5 Ứng dụng của tích phân đường loại 1

1 Chiều dài cung: s =

AB

ds



2 Khối lượng của cung:

m = ( , )

AB

x y ds



với (x,y) là khối lượng riêng tại M(x,y)

3 Tọa độ trọng tâm của cung

AB

x x y ds

m   , yG = 1 ( , )

AB

y x y ds

m  

 Nếu cung đồng nhất

xG = 1

AB

xds

s  , yG = 1

AB

yds

s 

Với s là độ dài cung AB

VD 1: Tìm khối lượng của cung tròn x = cost, y = sint ( 0  t  ) nếu khối lượng riêng của nó tại M (x,y) bằng y

VD 2: Tìm tọa độ trọng tâm của cung x = t - sint , y = 1 - cost (0  t  )

6.3 Tích phân mặt loại 1

6.3.1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên một mặt S

 Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích là Si (i= 1,n)

 Trên mỗi mảnh nhỏ chọn 1 điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)

 Lập tổng tích phân: In =

1

n

i

f M S







 Nếu In

n

lim





tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm Mi thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z) trên mặt S

Ký hiệu : I = 

S

dS z y x

f( , , )

Định lý: Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến

thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại

Tích phân mặt loại I có các tính chất giống tích phân kép

6.3.2 Cách tính tích phân mặt loại 1

Giả sử mặt S cho bởi pt z = z(x,y) trong đó z(x,y) liên tục, có các đạo hàm riêng z’x và z’y liên tục trong miền đóng bị chặn D với D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy

Nếu f (x,y,z) liên tục trên S thì ta có:

( , , )

S

f x y z dS

D

f x y z x y  p q dxdy



trong đó : p z

x





z q





Ví dụ 1 Tính ( 2 2)

S

I  x y ds, S là nữa mặt cầu: x2y2 z2 R z2, 0

Giải

Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn: x2y2 1, trên miền này mặt S

có phương trình: z R2x2y2 Do đó:

R ds



xy

R

4

2 2

0 0

4

3

R

r





Ví dụ 2 Tính ( )

S

I  x y z ds  , trong đó S là phần mặt phẳng : 2x2y z 2, trong góc x0, 0, 0y z

Giải

Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn: x2y2 1, trên miền này mặt S

có phương trình: z R2x2y2 Do đó:

R ds



xy

R

4

2 2

0 0

4

3

R

r





6.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1

1 Diện tích mặt:

S = 

S

dS

2 Khối lượng của mặt:

m = ( , , )

S

x y z dS



 với ( , , )x y z là khối lượng riêng

3 Tọa độ trọng tâm của mặt:

1

( )

G

S

 

( )

G

S

 

1

( )

G S

 

Nếu mặt S đồng phẳng thì:

G 1

S

S

  , G 1

S

S

  , G 1

S

S

 

mỗi điểm bằng bình phương khỏang cách từ đó đến một đường kính cố định nào

đó của mặt cầu (( )M R2x2 )

mặt phẳng x + y = 1, y = 0, x = 0

6.4 Tích phân mặt loại 2

6.4.1 Định nghĩa Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục trên mặt S

có định hướng thì tích phân mặt loại 2 của bộ ba hàm số đó là:

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy 



Ghi chú:

 Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu

 Tích phân mặt loại 2 có các tính chất giống tích phân kép

6.4.2 Cách tính tích phân mặt loại 2

Việc tính tích phân mặt loại 2 đưa về việc tính tích phân kép

Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định trên D1 là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ta có:

 

dxdy y x z y x R Rdxdy

1

)) , ( , , (

Các tích phân

S

Pdydz

S

Qdzdx

 cũng tính tương tự :

S

Pdydz

2

( ( , ), , )

D

P x y z y z dydz

S

Qdzdx

3

( , ( , ), )

D

Q x y x z z dzdx



S

dxdy xz dzdx xdydz

I 2 trong đó S là phần mặt cầu tâm O, bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra ngoài

VD 2 Tính    

S

xzdxdy yzdzdx

xydydz

chóp OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1)

6.4.3 Định lý Stokes

Giả sử các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên một mặt định hướng S , biên của S là một đuờng cong kín L

Ta có công thức Stokes :







































































L

y

P x

Q dxdz x

R z

P dydz z

Q y R

L

y2dx+z2dy+x2dz trong đó L là chu tuyến tam giác ABC với

A a,0,0 , B 0,a,0 , C 0,0,a lấy theo chiều dương

6.4.4 Định lý Gauss – Ostrogratski

Giả sử V là 1 miền đóng và bị chặn trong R3 có biên là mặt S kín và trơn từng mảnh Các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên V Ta có công thức Gauss –Ostrogratski như sau :



























S V

Rdxdy Qdxdz

Pdydz dxdydz

z

R y

Q x P

trong đó vectơ pháp tuyến của S hướng ra ngoài

VD : Tính I = S zdxdy +(y+y2)dxdz trong đó S là mặt phía ngoài của vật thể giới hạn bởi z = x2+y2, z = 0 , z = 1 bằng công thức Gauss – Ostrogratski

BÀI TẬP CƯƠNG 6

6.1 Tính các tích phân đường loại 1

AB

ds y

( với AB l đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4)

2 I=

L

4 9

2 2



 y

x

trong đó A(0,2) và B(-3,0)

3 I= 

L

ds y

( 2 2 với L là biên của hình tam giác OAB trong đó A(1,1) v B(-1,1)

AB

ds y

( 2 2 với AB là một phần đường tròn tâm O ,bán kính R nằm trong góc tọa độ thứ nhất

5 I=

L

xyds với L là biên của hình vuông x  y  1

6 I=

L

ds

y2 với L là cung đầu tiên của đường Cyclôit















) cos 1 (

) sin (

t a

y

t t a x

( 0 t  2 , a>0 )

ds

4

2

6.2 Tính các tích phân đường loại 2

L

dy xy y

dx xy

( 2 2 với L là cung parabol y = x2 nối từ điểm A(-1,1) đến điểm B(1,1)

L

dy y xy dx xy

( 2 2 với L là chu tuyến dương của miền D giới hạn bởi parabol y = x2 ,y = 1 , x = 0 và x 0

10 I=  

L

xdy dx y

2

( với L là cung đầu tiên của đường Cyclôit















) cos 1 (

) sin (

t a

y

t t a

x

, t thay đổi từ 0 đến 2

11 I= 

dy dx

với L là chu tuyến dương của hình vuông ABCD với các đỉnh A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1)

12 I=  

L

dy xy dx y

( với L là đường tròn x2+y2 = 4 lấy theo chiều dương

L

dy y x dx y

(

2 với L là chu tuyến dương của tam giác ABC với A(1,1) , B(2,2) , C(1,3)

a) Áp dụng công thức Green để tính I

b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết quả

14 I=   

L

dy y x dx x

2

( 2 2 với L là chu tuyến dương của miền tạo bởi parabol y = x2 và x = y2

a) Áp dụng công thức Green để tính I

b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết quả

L

dy y x dx y

2

( 3 3 3 3 với L là đường tròn x2+y2=1 theo chiều dương

16 I=   

L

dy y x dx y

2

( với L là đường nối từ điểm A(1,2) đến điểm B(2,4)

17 I=    

)

1

,

1

(

)

0

,

0

(

) ( )

L

xy

đường tròn x2+y2=2x ( y0 ) đi từ điểm A(2,0) đến O

2 ( ) 2 ( [

L

dy y

x dx

y x

xy với L là chu tuyến dương của tam giác ABC với các đỉnh A(-1,0) ,B(1,-2) và C(1,2)

L

xdy y

dx y

(

2 2 2 với L là đường gấp khúc tạo bởi 2 đọan thẳng OA và AB của tam giác OAB với A(1,1) , B(0,2)

21

L

I xydx với L là cung parapol y2 x, từ A(1; -1) đến B(1;1)

L

I  xy dx x ydy với L là cung nối từ A(1; 0) , B(0; 2)

a Theo đường thẳng AB b Theo cung parapol y2 4(1x)

L

I  xdx x y dy với L là chu tuyến của tam giác ABC theo chiều ngược kim đồng hồ với A(-1; 0), B(0; 2), C(2; 0)

C

I  x y xy dx  yx  x y  dy với C là nửa đường tròn

x y  y , cùng chiều kim đồng hồ

4

C

xy

I  y x y xy dx   x x y dy với C là elip 2 2 1

4

y

x   , ngược chiều kim đồng hồ

26 ( 2 2 ysin( )) (3 2 2 sin( ))

4

C

xy

I  y x y xy   xy dx x x y x xy dy với C là nửa elip 2 2 1, 0

4

y

x   y , ngược chiều kim đồng hồ