Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 5 ts lê nhật duy

Chương 5: Cây Nội dung I Định nghĩa II Cây khung đồ thị III Tập chu trình IV Cây khung nhỏ V Cây có gốc Chương - Cây Lý thuyết đồ thị I Định nghĩa ™Cây đồ thị vô hướng ƒ Liên thơng ƒ Khơng có chu trình ™Rừng đồ thị vơ hướng ƒ Khơng có chu trình Chương - Cây I Định nghĩa ™Định lý nhận biết Cho T =(V, E) đồ thị vô hướng n đỉnh Các mệnh đề sau tương đương: ƒ MĐ1: T ( T liên thông không chứa chu trình ) ƒ MĐ2: T khơng chứa chu trình có n-1 cạnh ƒ MĐ3: T liên thơng có n-1 cạnh ƒ MĐ4: T liên thơng cạnh cầu ƒ MĐ5: Hai đỉnh T nối với đường đơn ƒ MĐ6: T không chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình Chương - Cây I Định nghĩa ™Định lý nhận biết ™Chứng minh: Ta chứng minh định lý theo sơ đồ sau: ƒ MĐ1 ⇒ MĐ2 ⇒ MĐ3 ⇒ MĐ4 ⇒ MĐ5 ⇒ MĐ6 ⇒ MĐ1 Chương - Cây I Định nghĩa ™ Chứng minh MĐ1 ⇒ MĐ2: Nếu T n đỉnh T khơng có chu trình có n-1 cạnh Chứng minh phương pháp quy nạp ƒ Với n=1 đồ thị có n-1 = – = (Đúng) ƒ Giả sử khẳng định ∀ có k ≥1 đỉnh Ta ∀ T có k+1 ≥1 đỉnh có số cạnh k Chọn đường dài G P = (v1 ,v2 ,…,vm).Rõ ràng v1 đỉnh treo : • v1 khơng thể kề với đỉnh v3,…,vm G khơng có chu trình • v1 khơng thể nối với đỉnh khác P dài Xét G’ = G \ { v1, (v1 ,v2) } (Không thể bỏ đỉnh trung gian) Ta G’ có k đỉnh Theo giả thiết quy nạp G’ có k-1 cạnh Do G có k cạnh (ĐPCM) Chương - Cây I Định nghĩa ™ Chứng minh MĐ2 ⇒ MĐ3: Nếu T khơng chứa chu trình có n-1 cạnh T liên thơng Chứng minh phương pháp phản chứng ƒ Giả sử T khơng liên thơng, T phân rã thành k>1 thành phần liên thông T1, T2, …, Tk Vì T khơng chứa chu trình (theo giả thiết) nên vậy, suy Ti ƒ Gọi v(T) e(T) tương ứng số đỉnh cạnh T Theo phần trước MĐ1 ⇒ MĐ2 ta có: e(Ti) = v(Ti) – Suy ra: • ∑ e(Ti) = ∑ (v(Ti) -1) = ∑ v(Ti) – k Ùe(T) = v(T) – k Ùn - = n - k Vô lý với k>1 (ĐPCM) Chương - Cây I Định nghĩa ™ Chứng minh MĐ3 ⇒ MĐ4:Nếu T liên thông có n-1 cạnh cạnh T cầu ƒ Suy luận tương tự chứng minh MĐ1 ⇒ MĐ2 ƒ Chọn đường dài P = (v1, v2, v3, …,vm) ƒ Nếu từ đồ thị T ta bỏ cạnh đường P, rõ ràng khơng cịn đường khác để từ v1 đến vm (vì ngược lại T có chu trình) Vì cạnh T cầu Chương - Cây I Định nghĩa ™ Chứng minh MĐ4 ⇒ MĐ5:Nếu T liên thông cạnh T cầu hai đỉnh T nối với đường đơn ƒ T liên thông nên đỉnh T tồn đường nối chúng Đường nối trái lại T có chu trình cạnh chu trình cầu.(ĐPCM) Chương - Cây I Định nghĩa ™ Chứng minh MĐ5 ⇒ MĐ6:Nếu hai đỉnh T nối với đường đơn T khơng chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình ƒ T khơng chứa chu trình T có chu trình có cặp đỉnh nối với đường đơn ƒ Thêm vào cạnh (u,v) ta nhận chu trình gồm đường đơn nối u với v cạnh (u,v) ƒ Do đường đơn nói nên chu trình nhận ƒ (ĐPCM) Chương - Cây 10