(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ thự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy Nguyễn Bích Huy Em xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Em xin chân thành tỏ lịng biết đến Q Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt q trình học tập thực Luận văn Cuối cùng, em xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để em an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù em nỗ lực khả thời gian có hạn nên Luận văn tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ phê bình để Luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.2 Ánh xạ đa trị Tính liên tục Chương Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 Chương Phương pháp sử dụng dãy lặp 38 Chương Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Bao đóng tập hợp A coA Bao lồi tập hợp A kxk B(a;r ) Chuẩn phần tử x không gian định chuẩn X Quả cầu mở tâm a, bán kính r B(a;r ) Quả cầu đóng tâm a, bán kính r p L (1 p ˙ 1) C(K) i Khơng gian hàm khả tích cấp p Khơng gian hàm liên tục nón K Bậc topo ánh xạ đa trị F D ứng với nón K Ánh xạ † - xấp xỉ ánh xạ đa trị F K(F,D) f† Y f:X!2 r (L) Ánh xạ đa trị từ X vào Y Bán kính phổ ánh xạ L hu, vi {x X : u x v} supp ` Giá hàm `, supp ` ˘ {x X : `(x) 6˘0} MỞ ĐẦU Từ năm 1930, nhà Toán học nhận thấy tầm quan trọng việc nghiên cứu ánh xạ đa trị Lý thuyết ánh xạ đa trị nghiên cứu mạnh mẽ từ năm 1950, xuất phát từ phát triển nội Toán học phát triển Khoa học, Kỹ thuật Kinh tế Cho đến nay, Lý thuyết ánh xạ đa trị phát triển hồn chỉnh tìm ứng dụng có giá trị Tốn học, Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, , ví dụ Lí thuyết phương trình vi phân, Lí thuyết điều khiển tối ưu, toán Kinh tế, Ở hướng khác, từ năm 1940, cơng trình nghiên cứu M.Krein, A.Rutman, hình thành Lí thuyết phương trình khơng gian với thứ tự sinh nón Lí thuyết mặt cho phép nghiên cứu sâu tính chất nghiệm phương trình (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, ), mặt khác cho phép nghiên cứu phương trình khơng có tính liên tục, vốn thường gặp toán xuất phát Tự nhiên Xã hội Gần đây, nhà Toán học kết hợp hai lý thuyết nghiên cứu bao hàm thức dạng F (x) (1) khơng gian có thứ tự Hướng nghiên cứu hứa hẹn đưa tới kết Lí thuyết Ứng dụng có giá trị Để nghiên cứu tốn (1) tùy theo tính chất ánh xạ F (tính đơn điệu, liên tục, compact, ) mà ta chọn phương pháp thích hợp Một mặt, nhà Toán học sử dụng phương pháp chung nghiên cứu bao hàm thức khơng gian khơng có thứ tự với chỉnh sửa cần thiết để sử dụng quan hệ thứ tự Mặt khác, để nghiên cứu bao hàm thức mà phương pháp chung không áp dụng (như F khơng có tính chất liên tục, compact, ), nhà Toán học dựa vào tính chất ánh xạ có liên quan đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi, ) để đưa phương pháp đặc thù Để tìm kết để nghiên cứu tốn phát sinh ta cần tìm hiểu đầy đủ phương pháp nghiên cứu bao hàm thức dạng (1) khơng gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, phạm vi ứng dụng phương pháp Luận văn trình bày vài phương pháp để nghiên cứu bao hàm thức khơng gian có thứ tự Chương Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức phần trích từ giảng ([6]) PGS.TS Nguyễn Bích Huy 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: i) K tập đóng ii) K¯K‰K,‚K‰K8‚>0 iii) K\(¡K) ˘ {µ} Nếu K nón thứ tự X sinh K định nghĩa bởi: x y,y¡x2K Mỗi x K\{µ} gọi dương Khi đó, cặp (X, K) gọi khơng gian Banach có thứ tự Nhận thấy quan hệ " " quan hệ thứ tự Thật vậy, ta có: • Phản xạ 8x X, ta có x ¡ x ˘ µ K ) x x • Phản xứng Lấy x, y X thỏa x y y x Ta có: x6y > > • ) y¡x2K > ) > x 8y ¡ x K > y x K ( K) ¡ \¡ ) y x µ ¡ ˘ > y K > > > : : : Bắc cầu ) x 2¡ K 8x, y, z X thỏa x y, y z, ta có: x6y 8y ¡ x K > > > > < > ) y6z < >z ¡ y K > > : : ¡ ¢ ¡ ¢ ) y ¡ x ¯ z ¡ y K ) z ¡ x K ) x z Như vậy, quan hệ thứ tự Mệnh đề Giả sử thứ tự sinh nón Khi đó: x y ) x ¯ z y ¯ z, ‚x ‚y với z X, với ‚ > Nếu xn yn8n N lim xn ˘ x, lim yn ˘ y x y (xn)n dãy tăng, hội tụ x xn x8n N ⁄ ⁄ Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chun nu 9N ă : x y ) kxk N °y° Mệnh đề Giả sử " " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó, x y ) ˘