(Luận văn thạc sĩ) giá trị p adic của số schenker và giả thuyết của g mcgarvey

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các nội dung kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Hồng Nhung LỜI CẢM ƠN Tơi xin thành kính gởi lời cảm ơn đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu thầy tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Trãi – Thị xã Thuận An – Tỉnh Bình Dương nơi tơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi khóa học Tơi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 27 tơi chia sẻ buồn vui, khó khăn q trình học tập nghiên cứu, đặc biệt bạn Đào Thị Thu Hường lớp Đại số lý thuyết số đồng hành, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa vững Đặc biệt cảm ơn Má chỗ dựa tinh thần cho con, động lực để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Bùi Hồng Nhung MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí 1.1.2 Bổ đề .3 1.2 Lý thuyết chia hết .5 1.3 Chuẩn p-adic 1.3.1 Định nghĩa .5 1.3.2 Chuẩn p-adic 1.3.3 Định lí Ostrowski 1.4 Tính chất ( ) 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Hệ 1.5 Bổ đề Helsel .8 Chương GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA TỔNG SCHENKER 2.1 Tổng Schenker 2.1.1 Bổ đề .9 2.1.2 Mệnh đề .10 2.2 Giá trị 2-adic tổng Schenker 11 2.2.1 Giả thuyết 11 2.2.2 Bổ đề 11 2.2.3 Bổ đề 11 2.2.4 Bổ đề 14 2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 .15 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker 15 2.3.1 Định lí 16 2.3.2 Định lí 16 2.3.3 Ví dụ 17 2.3.4 Ví dụ 18 2.3.5 Ví dụ 18 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER 19 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 19 3.1.1 Định nghĩa 19 3.1.2 Định lí 19 3.1.3 Ví dụ 19 3.1.4 Định lí 20 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker 20 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker 22 3.2.1 Giả thuyết 22 3.2.2 Giả thuyết 22 3.2.3 Định lí 22 3.2.4 Chứng minh định lí 23 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 .26 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 .27 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỘT SỐ KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên * : Tập số tự nhiên khác : Tập số nguyên : Vành số nguyên p-adic p : Tập số hữu tỉ : Trường số p-adic p : Chuẩn trường K : Chuẩn p-adic p v p x  : Giá trị p-adic x s p n : Tổng chữ số n khai triển p-adic n n    : p  n : Phần nguyên  Kết thúc phép chứng minh p MỞ ĐẦU Cho số tự nhiên Theo định lí số học viết dạng: = ∏ , số nguyên tố số tự nhiên, gọi giá trị p-adic kí hiệu ( ) Cho trước dãy số nguyên dương số nguyên tố Việc khảo sát, nghiên cứu giá trị p-adic ( ) toán thú vị Lý thuyết số thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Dưới hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, định chọn đề tài luận văn : “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị tỉ ℚ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị số học hàm giá trị trường đặc biệt trường số hữu Chương Giá trị p-adic tổng Schenker Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2-adic tổng Schenker đặc biệt giá trị p-adic tổng Schenker với p số nguyên tố lẻ Chương Số nguyên tố Schenker Chương trình bày định nghĩa số nguyên tố Schenker định lí liên quan Đặc biệt quan trọng, chương trình bày số giả thuyết số nguyên tố Schenker G McGarvey, số chứng minh kiểm chứng giả thuyết Mặc dù cố gắng nhiều, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp từ q thầy đọc giả Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho  x  , định lí số học x phân tích dạng =∏ tích lấy theo số nguyên tố p np  với hầu hết np  (trừ số hữu hạn) Với số nguyên tố p , số np công thức x gọi giá trị p-adic ký hiệu vp x Để tiện lợi ta qui ước 0 v p Bài toán xác định giá trị p-adic số dãy số toán quan trọng thú vị Lý thuyết số ta xác định giá trị p-adic số với p ta xác định phân tích số thành tích số nguyên tố cho phép tính chuẩn p-adic số Mục đích luận văn nghiên cứu giá trị p-adic tổng Schenker Từ nghiên cứu tính chất số nguyên tố Schenker Trước hết ta bắt đầu với số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí Cho x  p , x  tồn dãy số tự nhiên p thỏa: i) x  an; a a ii) n n1 iii)  an  p  mod p n a n  n1 Chứng minh * ′ ′ Chứng minh nhất: Giả sử có dãy , thỏa i), ii), iii) ta chứng minh = với n Giả sử ngược lại, tồn Vì ≤ ′ , Suy ra: 0 < nên ∀ ≥ 0: ≢ ′ ≠ (mod ′ 0 mod Với ≥ ′ )⟺| − | > − 0 ta có ≡ ≢ ′ ′ ≡ (mod 0 để ≠ ′ − ) , đó: ′ ̅′ lim ( − ) ≠ (mâu thuẫn với i)) Do đó: { } ≠{ } →∞ * Chứng minh tồn tại: Để chứng minh tồn ta cần bổ đề sau: |≤ − 1.1.2 Bổ đề Cho ∈ ℚ, | 0| ≤ Với số tự nhiên ≥ 1, tồn số tự nhiên , ∈ {0,1, … , − 1} thỏa | Chứng minh bổ đề Cho + = Suy ra: = với ( , ) = Vì | 0| ≤ nên ( , ) = 1, suy ra: ( , ) = Do đó, tồn , ∈ ℤ để: = + đó: − |0− |=| | =| |.| Gọi r dư phép chia au cho −|=| Do đó: | ra: Ta có: ≥ tồn − + − | ≤ max{| − ′| = | − ≡ ′(mod ∈ ℚ nên + − ′| ≤ max{| − ) hay − |, | − |} ≤ 0|, | − ′|} ≤ − , suy |.| | ≤ − , ta có: ≡ (mod ) ∈ {0,1, … , đó: | − |=| |.| − − 1} ′ nên ∈ {0,1, … , − 1} thỏa | −|≤ − = ′ = {̅̅} với { dãy tăng cho | } ⊂ ℚ Vì { } ∈ ℚ dãy Cauchy nên với − |≤ − với , ≥