(Luận văn thạc sĩ) giải tích phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số trong không gian sobolev bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỐNG THỊ THẢO Tống Thị Thảo TỐN ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHÂN THỨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV BẬC PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NĂM 2022 Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Tống Thị Thảo GIẢI TÍCH PHÂN THỨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ TRONG KHƠNG GIAN SOBOLEV BẬC PHÂN SỐ Chun ngành : Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS Hoàng Thế Tuấn Hà Nội - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tìm tịi, học hỏi, trau dồi kiến thức thân hướng dẫn tận tình thầy Hoàng Thế Tuấn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2022 Học viên Tống Thị Thảo ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hồng Thế Tuấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Không người hướng dẫn khoa học tận tâm, thầy cịn cho tơi lời khun, động viên, khích lệ giúp tơi trưởng thành sống Tôi xin chân thành cảm ơn anh Hà Đức Thái làm nghiên cứu sinh Viện Toán học hướng dẫn, góp ý giúp đỡ tơi nhiều q trình tơi đọc tài liệu làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Tốn học hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sĩ Trong thời gian học tập Viện Tốn học, tơi nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè Tôi xin chân thành chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô, anh chị bạn bè Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập cho suốt trình thực Luận văn Cuối cùng, tơi xin tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới mẹ tôi: bà Tống Thị Tưởng, người kiên nhẫn thương yêu vô điều kiện iii Danh sách ký hiệu Ký hiệu Tên gọi R tập hợp số thực C tập hợp số phức ∥ · ∥chuẩn vectơ ma trận C([a, b]) k không gian hàm liên tục [a, b] C ([a, b]) khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục [a, b] Cc(Ω)) k C (Ω)) khơng gian hàm liên tục có giá compact Ω) không gian hàm khả vi liên tục k lần c có giá compact Ω) ∞ Cc (Ω)) α Dt không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω) đạo hàm Riemann-Liouville α dt đạo hàm Caputo D(A) miền tốn tử tuyến tính A · hàm sàn X ′ A ′ Cho f hiệu không gian đối ngẫu khơng gian Banach X tốn tử tuyến tính đối ngẫu tốn tử tuyến tính A : Rd d −→ R, α = (α1, α2, , αd) ∈ Z+ đa số Ta ký α D f(x) = α ∂ f ∂ ∂x α α ∂x f ∂ α α f d ∂x α d (x) d iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Mục lục iv Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ p 1.1 Không gian L bất đẳng thức 1.2 Không gian Sobolev-Slobodeckij 1.3 Hàm Gamma hàm Beta 10 1.4 Hàm Mittag-Leffler 10 α ĐỊNH NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ ∂t VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ 12 2.1 Giới thiệu không gian hàm toán tử 12 α 2.2 Sự mở rộng d t lên Hα(0, T ): bước trung gian α α 15 2.3 Định nghĩa ∂t : hoàn thành mở rộng d t 2.4 Một số tính chất đạo hàm bậc phân số 19 2.5 Các đạo hàm bậc phân số hàm Mittag - Leffler 34 28 BÀI TỐN GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ 39 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu cần thiết tiến hành nghiên cứu Trong luận văn giới thiệu phép tính vi - tích phân phân thứ phương trình vi phân bậc phân số dựa sở lý thuyết tốn tử khơng gian Sobolev bậc phân số Cách tiếp cận mở rộng khái niệm đạo hàm Caputo Riemann - Liouville cổ điển không gian Sobolev bậc phân số (bao gồm số âm) Nó cho phép nghiên cứu cách thống phép tính vi - tích phân phân thứ phương trình vi phân bậc phân số theo thời gian Phương trình vi phân bậc phân số lý thuyết toán học sử dụng để mơ tả tượng, q trình tiến hóa mà trạng thái chúng phụ thuộc vào toàn lịch sử trước Trong 30 năm trở lại đây, với phát triển máy tính điện tử phương pháp số, lý thuyết tìm thấy ứng dụng rộng rãi giải vấn đề nảy sinh từ sống ngành khoa học khác học, vật lý, hóa học, tài chính, tâm lý học, v.v Cơng trình mang tính hệ thống đề cập tới ứng dụng giải tích phân thứ [1] Trong sách này, tác giả giới thiệu nhiều ý tưởng, phương pháp ứng dụng giải tích phân thứ nhiều góc độ thực tế Sau [1], nhiều chuyên khảo trình bày sở lý luận lý thuyết xuất Ở giới thiệu đến người đọc quan tâm số tài liệu tiêu biểu số đó: S Samko, O Marichev A Kilbas [2], R Gorenflo S Vesella [3], K Miller B Ross [4] Ngồi ra, gần có thêm đóng góp I Podlubny [5], K Diethelm [6], V Lakshmikantham, S Leela Bandyopadhyay S Kamal [8] J Vasundhara Devi [7], B Ngoài kiến thức đúc kết chuyên khảo nói trên, năm gần có hàng ngàn báo phương trình vi phân bậc phân số đời (theo trang Mathscienet Hội toán học Mỹ, có khoảng 3500 cơng bố liên quan đến lĩnh vực năm vừa) Các cơng trình liên quan tồn tại, tính nhất, dáng điệu tiệm cận, trình rẽ nhánh nghiệm, lý thuyết điều khiển, phương pháp giải gần nghiệm vấn đề sử dụng phương trình bậc phân số để giải tốn thực tế Sau chúng tơi điểm qua đóng góp số nhóm nghiên cứu tiêu biểu giới Một kết quan trọng phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Giáo sư A Kochubei (Insti-tute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Ucraina) cộng Sử dụng hàm H, phương pháp đông cứng hệ số lược đồ Levi, họ tồn nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình khuếch tán thời gian phân thứ Nhóm nghiên cứu thành cơng phương trình bậc phân số Giáo sư L Cafferelli (The University of Texas at Austin, Mỹ) Họ thu kết quan trọng Định lý Evans-Krylov cho phương trình phi tuyến đầy đủ khơng địa phương, dáng điệu nghiệm phương trình porous medium với khuếch tán phân thứ, tính quy nghiệm tốn Obstacle phân thứ parabolic, tính chất địa phương nghiệm cho phương trình elliptic nửa tuyến tính phân thứ với kì dị lập, tốn parabolic với đạo hàm thời gian phân thứ Các kết nhóm Cafferelli chủ yếu liên quan đến tốn tử phân thứ theo khơng gian Nhóm Giáo sư R Zacher (Ulm University, Đức) nghiên cứu nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng với thời gian phân thứ thu nhiều kết quan trọng liên quan đến tồn tại, nghiệm, dáng điệu tiệm cận, ước lượng tối ưu, tính quy nghiệm, tính ổn định, khơng ổn định bùng nổ loại nghiệm Cũng liên quan đến vấn đề nghiên cứu nghiệm yếu, nhóm Giáo sư Jian Guo Liu (Duke University, Mỹ) xây dựng lý thuyết tổng quát cho tích phân đạo hàm bậc phân số Caputo Trên sở đó, họ nghiên cứu mơ hình vật lý mơ tả phương trình với tốn tử đạo hàm khơng địa phương Về khía cạnh giải gần đúng, nhóm Giáo sư W Mclean (New South Wale University, Úc) cho nhiều kết thú vị quan trọng Nhóm Giáo sư M Yamamoto (The University of Tokyo, Nhật) xét tốn ngược phương trình đạo hàm riêng thời gian phân thứ Sử dụng Định lý nội suy Marcinkiewicz, Định lý Calderón-Zygmund, lý thuyết nhiễu định lý điểm bất động, nhóm Giáo sư Kyeong Hun Kim (Korea University, Hàn Quốc) chứng minh tồn tại, tính ước lượng cho nghiệm suy rộng không gian Sobolev số lớp phương trình đạo hàm riêng với đạo hàm bậc phân số theo thời gian hệ số đo tương đối tổng quát Ở Việt Nam có số nhóm nghiên cứu phương trình vi phân bậc phân số Giáo sư Vũ Ngọc Phát học trị nghiên cứu tốn điều khiển, tồn nghiệm, tính ổn định thời gian hữu hạn phương trình vi phân bậc phân số có trễ Gần đây, Giáo sư Đinh Nho Hào cộng triển khai nghiên cứu toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thời gian phân thứ thu số kết ban đầu Tại Đại học Sư phạm Hà Nội, nhóm Phó Giáo sư Trần Đình Kế Giáo sư Cung Thế Anh nghiên cứu phương trình vi phân bậc phân số khơng gian trừu tượng, phương trình bao hàm thức phân thứ Tại Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, nhóm Giáo sư Đặng Đức Trọng nghiên cứu toán tồn nghiệm nhẹ phương trình đạo hàm riêng phân thứ với điều kiện cuối, điều kiện biên hỗn hợp, tốn chỉnh hóa hệ số phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Từ năm 2014 tới nay, nhóm Giáo sư Nguyễn Đình Cơng, Phó Giáo sư