Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2013 z Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic 1.2 Tính bị chặn phép chiếu 1.3 Tính liên tục phép chiếu 1.4 Nhị phân mũ phương trình vi phân 11 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Vài tính chất nhị phân mũ 12 1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ tập hyperbolic 18 1.4.4 Tính vững nhị phân mũ 21 1.5 Tính co giãn tập hyperbolic 35 1.6 Tính vững tập hyperbolic 39 Các định lý tính bóng tập hyperbolic 46 2.1 Định lý tính bóng rời rạc 46 2.2 Định lý tính bóng liên tục 60 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 i z Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi, người động viên ủng hộ ii z Lời nói đầu Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến tốn ổn định toàn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Chúng tơi đơn giản hóa chứng minh Palmer Luân văn cấu trúc sau: Chương trình bày kết tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi phân thường Chương nhắc lại khái niệm nhị phân mũ chứng minh vài tính chất (tính vững, tính co giãn) dùng làm cơng cụ chứng minh định lý Chương kết luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc Định lý tính bóng liên tục Cuối số bình luận hướng nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013 Trần Thị Bích Thục iii z Chương Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic Cho U tập mở Rn F : U → Rn trường vectơ lớp C Khi với cặp (τ, ξ) ∈ R × U tốn giá trị ban đầu x˙ = F (x), x(τ ) = ξ (1.1) có nghiệm xác định khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R Ta đặt O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)} O tập mở ta xác định Φ : O → Rn Φ(t, τ, ξ) = x(t), x(t) nghiệm tốn giá trị ban đầu (1.1) Φ hàm thuộc lớp C (C r F C r ), tính nghiệm ta có tính chất Φ(t, s, Φ(s, τ, ξ)) = Φ(t, τ, ξ) F độc lập với thời gian, tính chất Φ(t, τ, ξ) = Φ(t − τ, 0, ξ), I(τ, ξ) = τ + I(0, ξ) miền xác định tương ứng Ký hiệu φ(t, ξ) = φt (ξ) = Φ(t, 0, ξ)(= Φ(0, −t, ξ)) Ta gọi φ dịng phương trình (1.1) z Xét phương trình vi phân thường ơtơnơm sau x˙ = F (x), (1.2) F : U → Rn trường vectơ lớp C , ký hiệu φ dịng tương ứng Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một tập compact S ⊂ U gọi hyperbolic phương trình (1.2) (i) F(x) 6= với x ∈ S; (ii) S bất biến, tức là, φt (S) = S với t; (iii) có phân tích liên tục Rn = E (x) ⊕ E s (x) ⊕ E u (x) với x ∈ S (1.3) với E (x) = span{F (x)} dim E s (x), dim E u (x) không đổi, cho với t với x thuộc S Dφt (x)(E s (x)) = E s (φt (x)), Dφt (x)(E u (x)) = E u (φt (x)), có số dương K, α có tính chất với t ≥ x thuộc S kDφt (x)ξk ≤ Ke−αt kξk với ξ ∈ E s (x), (1.4) kDφ−t (x)ξk ≤ Ke−αt kξk với ξ ∈ E u (x) (1.5) Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Phân tích liên tục định nghĩa hiểu theo nghĩa ánh xạ x 7→ P (x), x 7→ P s (x), x 7→ P u (x) liên tục Điều kiện tính liên tục phân tích suy từ điều kiện khác (như bỏ qua gỉả thiết tính liên tục phân tích) Ví dụ 1.1 Hệ vi phân hai chiều ( x0 = x(1 − x2 − y ) − y y = y(1 − x2 − y ) + x biến đổi dạng toạ độ cực (r, ϕ) sau ( r0 = 1r (xx0 + yy ) = r(1 − r2 ) ϕ0 = r12 (xy − yx0 ) = r12 (x2 + y ) = Khi đó, đường trịn r = hay S = {(x, y) : x2 +y = 1} quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic (xem [3], trang 144-145) z 1.2 Tính bị chặn phép chiếu Xét phép chiếu P (x), P s (x), P u (x) tương ứng khai triển (1.3) Trong phần ta chứng minh phép chiếu bị chặn Mệnh đề 1.1 Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Khi chúng bị chặn đều, tức sup{kP (x)k, kP s (x)k, kP u (x)k} ≤ M < +∞ x∈S Chứng minh Xét vectơ khác không v ∈ E (x), ξ ∈ E s (x), η ∈ E u (x) đặt x0 (t) = Dφt (x)v, xs (t) = Dφt (x)ξ, xu (t) = Dφt (x)η với x ∈ S Chú ý v = αF (x) với α số thực x0 (t) = αF (φt (x)) Do với t M0−1 ∆kvk ≤ kx0 (t)k ≤ M0 ∆−1 kvk với M0 = sup kF (x)k, ∆ = inf kF (x)k x∈S x∈S Ta chọn số dương T cho ∆eαT > M0 K σ= Khi w w x (T ) xs (T ) kxs (T )k w kξk x0 (T ) xs (T ) w w w + s kvk + kξk = kξk w kxs (T )k kvk kx (T )k w kxs (T )k kξk kx0 (T )k kxs (T )k ≥ − s kξk kxs (T )k kvk kx (T )k kxs (T )k kξk kx0 (T )k = −1 kξk kxs (T )k kvk αT ∆e −M1 T ≥ e − = (σ − 1)e−M1 T M0 K với M1 = sup kDF (x)k x∈S z (1.6) Mặt khác, x (T ) xs (T ) T ξ v kvk + kξk = Dφ (x) kvk + kξk ξ M1 T v ≤ e kvk + kξk Do v ξ −2M1 T + kvk kξk ≥ (σ − 1)e Từ bất đẳng thức v ξ ≤ k ξ + v k, + kξk kvk kξk ta có kξk(σ − 1)e−2M1 T ≤ 2kξ + vk kξk ≤ 2e2M1 T kξ+v k σ−1 Từ ta suy max {kvk, kξk} nên kvk 2e2M1 T ≤ kξ + vk σ−1 ≤ 2e2M1 T kξ+v k σ−1 kξk 2e2M1 T ≤ kξ + vk σ−1 Tương tự xét x (T ) xu (T ) kx0 (T )k kvk x0 uT ) x0 (T ) + kvk + kηk = kvk kx0 (T )k kξk kx (T )k kx0 (T )k kvk kxu (T )k kx0 (T )k ≥ − kvk kx0 (T )k kξk kx (T )k u kx (T )k kvk kx (T )k = −1 kvk kx0 (T )k k η k αT ∆e −M1 T ≥ e − = (σ − 1)e−M1 T M0 K Mặt khác x (T ) xu (T ) T v η kvk + kηk = Dφ (x) kvk + kηk η M1 T v ≤ e kvk + kηk kηk ≤ 2e2M1 T kη + vk σ−1 z (1.7) Từ suy max{kvk, kηk} ≤ 2e2M1 T kη + vk σ−1 Do tính bất biến, với t ta có nên max kx0 (t)k, kxu (t) k ≤ kx0 (t)k 2e2M1 T ≤ kx0 (t) + xu (t)k σ−1 2e2M1 T kx (t) + xu (t)k σ−1 kxu (t)k 2e2M1 T ≤ kx0 (t) + xu (t)k σ−1 (1.8) Tiếp theo ta nhận thấy với t ≥ kξk kx0 (t) + xu (t)k eαt kx0 (t) + xu (t)k ≥ kxs (t)k kv + ξk K kvk + kηk αt e kx0 (t) + xu (t)k ≥ K M0 ∆−1 kx0 (t)k + Ke−αt kxu (t)k eαt = (t)k u kx K M0 ∆−1 + Ke−αt 0kx (t)k u u kx (t)+x (t)k kx (t)+x (t)k αt ≥ e σ−1 −1 K (M0 ∆ + Ke−αt )2e2M1 T (1.8) Ta chọn số dương T1 cho σ1 = eαT1 σ−1 > −1 K (M0 ∆ + Ke−αT1 )2e2M1 T (1.9) Sau đó, sử dụng s kx (T1 )k x0 (T1 ) + xu (T1 ) kξk + kv + ηk theo trên, ta suy 2e2M1 T1 kξk ≤ kv + η + ξk σ−1 Do P s (x)(v + η + ξ) = ξ, nên kP s (x)k ≤ 2e2M1 T1 , σ−1 suy P s (x) bị chặn Ta lại nhận thấy với t ≥ kxu (t)k kv + ξk eαt kv + ξk ≥ s kηk kx (t) + x (t)k K kx (t)k + kxs (t)k eαt kv + ξk ≥ −1 K M0 ∆ kvk + Ke−αt kξk eαt = kvk K M0 ∆−1 + Ke−αt kξk kv+ξk kv+ξk eαt σ−1 ≥ K (M0 ∆−1 + Ke−αt )2e2M1 T z (1.7) ... bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi, người ln động vi? ?n ủng hộ tơi ii z Lời nói đầu Tính chất bóng có nguồn gốc từ vi? ??c giải số phương trình vi phân/ sai phân Tính chất bóng có... S 1.4 1.4.1 Nhị phân mũ phương trình vi phân Định nghĩa Xét phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (1.22) Khi hệ n nghiệm độc lập tuyến tính x1 (t), x2 (t), , xn (t) phương trình (1.22) gọi... Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách