Giáo trình cơ học kết cấu phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI LÝ TRƯỜNG THÀNH (Chủ biên) LỀU MỘC LAN - HỒNG ĐÌNH TRÍ CO HOC KET CAU NHA XUAT BAN XAY DUNG HA NOI - 2007 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Cơ học kết cấu lần biên soạn theo để cương “Chương trình giảng dạy môn Cơ học hết cấu" tiểu ban môn học Bộ Giáo dục uà Đào tạo soạn thảo So uới lần xuất trước, giáo trình lần uiết ngắn ngọn, rõ ràng uà có bổ sung, sửa chữa, điều chỉnh số phần để thuận tiện cho uiệc học tập sinh uiên dùng làm tài liệu học tập cho sinh uiên ngành Trường Đại học Thủy lợi, làm tài liệu tham khảo cho ngành trường Đại học khác, đơng thời làm tài liệu tham khảo cho hỹ sư, nghiên cứu sinh uè cán hỹ thuật có liên quan đến tính tốn Sách hết cấu cơng trùnh Nội dung sách phân công biên soạn sau: TS Lý Trường Thành (chủ biên) uiết Chương Mở đầu, Chương uà Chương 3; Ths Léu Mộc Lan uiết Chương 1, 4, 5; PGS TS Hồng Đình Trí uiế! Chương 6, 7, 8; Ths Phạm Viết Ngọc giúp đỡ chế uà sửa chữa thảo sách Tuy có nhiều cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý hiến đóng góp bạn đồng nghiệp, sinh uiên uà bạn đọc để hoàn thiện lần xuất sau Các tác giả MỞ ĐẦU ĐỐI TƯỢNG VÀ NHIỆM VỤ CỦA MÔN HỌC Một cơng trình xây dựng gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với chịu lực gọi kết cấu Cơ học kết cấu môn khoa học thực nghiệm trình bày phương pháp tính tốn kết cấu độ bền, độ cứng độ ổn định công trình chịu nguyên nhân tác dụng khác tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị liên kết tựa Tính kết cấu độ bền nhằm đảm bảo cho cơng trình có khả chịu tác dụng ngun nhân bên ngồi mà khơng bị phá hoại Tính kết cấu độ cứng nhằm đảm bảo cho cơng trình khơng có chuyển vị rung động lớn tới mức làm cho cơng trình trạng thái làm việc bình thường điều kiện bền cịn bảo đảm Tính kết cấu mặt ổn định nhằm đảm bảo cho cơng trình bảo tồn vị trí hình dạng ban đầu trạng thái cân biến dạng Cơ học kết cấu giống Sức bền vật liệu nội dung nghiên cứu phạm ví nghiên cứu khác Sức bền vật liệu nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng độ ổn định cấu kiện riêng biệt, trái lại Cơ học kết cấu nghiên cứu toàn cơng trình gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với Nhiệm vụ chủ yếu Cơ học kết cấu xác định nội lực chuyển vị công trình Độ bền, độ cứng độ ổn định cơng trình liên quan đến tính chất học vật liệu, hình dạng kích thước cấu kiện nội lực phát sinh cơng trình Hơn kích thước cấu kiện lại phụ thuộc vào nội lực kết cấu Do cơng việc tính cơng trình xác định nội lực chuyển vị phát sinh cơng trình tác động bên ngồi Các mơn học tiếp sau như: Kết cấu bê tông cốt thép, kết cấu thép, gỗ v.v dựa vào tính vật liệu nghiên cứu để tiến hành giải ba toán trình bày mơn Sức bền vật liệu là: toán kiểm tra, toán thiết kế toán xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền, cứng ổn dịnh Ngoài Cơ học kết cấu nghiên cứu dạng kết cấu hợp lý nhằm tiết kiệm vật liệu xây dựng Môn Cơ học kết cấu cung cấp cho kỹ sư thiết kế kiến thức cần thiết để xác định nội lực chuyển vị kết cấu, từ lựa chọn kết cấu có hình dạng kích thước hợp lý Mơn học giúp cho kỹ sư thi cơng phân tích đắn làm việc kết cấu, nhằm tránh sai sót q trình thi cóng tìm biên pháp thí cóng hợp lý PHUONG PHAP NGHIEN COU Khi tính tốn cóng trình thực, xét hết yếu tố liên quan, toán phức tạp khóng thể thực Để đơn giản tính tốn, phải đảm bảo độ xác cần thiết, ta đưa vào số giả thiết gần Bởi Cơ học kết cấu môn Khoa học thực nghiệm; nghiên cứu lý luận thực nghiệm gắn liền với Các kết nghiên cứu lý luận chí tin cậy thực nghiệm xác nhận Á, Các giá thiết - Nguyên lý cộng tác dụng Cơ học kết cấu sử dụng giả thiết Sức bền vật liệu là: Giả thiết vật liệu làm việc giai đoạn dàn hồi tuyệt đối tuân theo định luật Ilooke, nghĩa biến dạng nội lực có liên hệ tuyến tính Giả thiết biến dạng chuyển vị cơng trình (kết cấu, hệ ) nhỏ so với kích thước hình học ban đầu Giả thiết cho phép xác định nội lực theo sơ đồ kết cấu Khơng có biến dạng, Nhờ hai giả thiết ấp dụng nguyên lý độc lập tác dụng (hay nguyên lý cộng tác dụng) để tính tốn kết cấu Ngun lý phát biểu sau: Một đại lượng nghiên cứu nhiều nguyên nhân tác dụng đồng thời cơng trình gây ra, tổng dại số (tổng hình học) dại lượng ngun nhan tác dụng riêng rẽ gây ra: Biểu diễn dạng toán học: Spa = Ẩn + Spy et Sp +S,+ Sa= S,.P) + S,.Py+ + SP, +S, Ss Trong đó: S„ Svlà giá trị đại lượng S thay đổi nhiệt độ dich chuyển gối tựa gây B Sơ đồ tính cơng trình Khi xác định nội lực cơng trình xét cách xác đẩy đủ yếu tố hình học cấu kiện tốn q phức tạp Do tính tốn kết cấu người ta có thé thay cơng trình thực sơ đồ tính Sơ đồ tính hình ảnh cơng trình thực đơn giản hóa Một sơ đồ tính tốt phải thoả mãn hai yêu cầu: Tính đơn giản phản ánh tương đối xác đối xử thực cơng trình Để đưa cơng trình thực sơ đồ tính nó, thường tiến hành theo bước: Bước 1: Chuyển cơng trình thực sơ đồ cơng trình, cách: + Thay đường trục vỏ mặt trung bình + Thay mặt cắt ngang cấu kiện đặc trưng hình học như: diện tích F, mơmen qn tính ] v.v + Thay thiết bị tựa liên kết tựa lý tưởng + Đưa tải trọng tác dụng mặt bên b) cấu kiện đặt trục hay mặt trung bình Bước 2: Chuyển sơ đồ cơng trình sơ đồ tính cách bỏ bớt yếu tố phụ, nhằm làm cho việc tính tốn đơn giản phù hợp với khả tính tốn người thiết kế Ví dụ dàn cửa cống (van cung) cho #j 7a, sau thực phép biến đổi bước thứ ta c) sơ đồ công tinh nhu hinh 7b Nếu dùng sơ đồ để tính tốn kết xác phức tạp, coi mắt dàn khớp lý tưởng toán đơn giản song sai số mắc phải nhỏ Sơ đồ tính dàn cửa cống (van cung) trén hinh Ic Nếu sơ đồ cơng tính tốn Hinh trình phù hợp với kha dùng làm sơ đồ tính mà khơng cần đơn giản hố Ví dụ với hệ khung cho hừnh 2a, sau thực phép biến đổi bước thứ ta có sơ đồ cơng trình hình 2b Sơ đồ sơ đồ tính khung phù hợp với khả tính tốn Cách chọn sơ đồ tính cơng trình vấn đề phức tạp quan trọng kết tính tốn phụ nhiệm thuộc nhiều vào sơ đồ tính Người tự kiểm tra xem thiết kế ln ln phải có trách sơ đồ tính tốn chọn có phù hợp với thực tế khơng, có phản ánh xác làm việc thực tế cơng trình hay khơng, để lựa chọn sơ đồ tính ngày tốt b) Hình PHÂN LOẠI SƠ ĐỒ TÍNH CUA KẾT CẤU Trong thực tế có nhiều hình thức kết cấu nên sơ đồ tính có nhiều loại Người ta phân loại sơ đồ tính nhiều cách, thường dựa vào cấu tạo hình học phương pháp tính để phân loại A Phan loại theo cấu tạo hình học 'Theo cách kết cấu dược chia thành hai loại: hệ phẳng hệ không gian Hệ phẩng: Hệ phẳng hệ mà trục cấu kiện tất loại lực tác động nằm trong, mặt phẳng, hệ không thoả ar ee x TH: r i man dicu kién trén goi 1a không gian ‘Trong T thực te tế, : cơng trình xây P dựng Coane DẦN hầu hết : hệ khong gian, song tính tốn hệ khơng gian n a § ‘ ) se thường phức tạp nên gần phân tích đưa hệ phẳng để tính tốn Trong hệ Hình phẳng dựa theo hình dạng cơng trình, người ta cịn nhiều nhau: dạng chỉa thành kết cấu khác a) + Dam (hinh 3a,b) hà & + Dàn (hình 4a,b) + Vịm (hình Sa,b) + Khung (hình óa,b) b) + Hệ liên hợp (hệ treo hinhk hệ liên hợp dần dây xích) Hình Hình om Hình Hình Hệ khơng gian: Những hệ khơng gian thường gặp là: + Dầm trực giao (hình 8) + Dàn khơng gian (phần hình 9a) + Khung khơng gian (phần hình 9b) + Tấm (hình 9c) + Vỏ (hình 9d, e, f) B Phân loại theo phương pháp tính Theo cach ta có hai loại hệ: Hệ nh định hệ siêu tĩnh Hệ tĩnh định: Hệ nh định hệ cần dùng phương trình cân tĩnh học đủ để xác định hết phản lực nội lực hệ Ví dụ: Dam cho hình 3a; dàn cho hình 4a; vịm cho hình 5đ; khung cho trén hinh 6a 1a tinh dinh Hệ sieu tính: Hệ sieu tính hệ mà dùng phương trình cân tĩnh hoc khong thoi thi chua đủ để xác định hết phản lực nội lực hệ Dé tính hệ siêu tĩnh, ngồi điều kiện cân tĩnh học ta phải sử dụng thêm điều kiện động học điều kiện biến dạng Các kết cấu cho hình 3b, 4b, Šb, ób hệ siêu tĩnh CÁC NGUYÊN NHÂN GÂY RA NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ Các nguyên nhân gây nội lực chuyển vị kết cấu thường gặp tải trọng, thay đối không nhiệt độ, dịch chuyển gối tựa v.v "Tải trọng tác dụng vào cơng trình thường phân làm loại sau: Tái trọng lâu dài tái trọng tạm thời: + Tải trọng lâu dài tải trọng tác dụng suốt q trình làm việc cơng trình nhứ: trọng lượng than, dp luc eta dat dap v.v + Tải trọng tạm thời tải trọng tác dụng khoảng như: thiết bị đặt cơng trình, áp lực nước, gió, động đất v.v Đủ thời gian Ai Ong bat dong Ong va tai Ong di dong: Ong: + "Tải trọng bất động tải trọng có vị trí khơng thay đổi suốt q trình tác dụng nó: thường tải trọng lâu dài + Đai trọng di động tải trọng có vị trí thay đổi cơng trình tải trọng đồn xe lửa, ôtô, đoàn người V.V Tải trọng tác dụng tĩnh tải tac dung dong: + Tai trọng tác dụng tĩnh tải trọng tác dụng vào công trình cách nhẹ nhàng yên tĩnh, giá trị tải trọng tăng từ từ khơng làm cho cơng trình dịch chuyển có gia tốc hay gay lye quan tinh + Tai trọng tác dụng động tải trọng tác dụng vào cơng trình có gây lực qn tính như: áp lực gió, bão, động dất v.v Trong giáo trình xét trường hợp tải tac dung tinh Sự thay đổi nhiệt độ dịch chuyển gối tựa gây Ta nội lực chuyển vị hệ siêu tĩnh không gây phản lực nội lực hệ tính định (xem tiết Chương 4, 5, 6) Chương I PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA CÁC HỆ PHẲNG Một hệ kết cấu thường dược cấu tạo từ nhiều cấu kiện liên kết với để chịu nguyên nhân bên Cách nối cấu kiện thực nhiều hình thức khác điều hệ (kết cấu) phải có khả chịu lực mà khơng thay đổi hình dạng hình học ban đầu Trong chương trình bày quy tắc dể cấu tạo hệ phẳng 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM Để xây dựng quy tắc cấu tạo hình học hệ phẳng ta cần tìm hiểu khái niệm sau: 1.1.1 Hệ bất biến hình Hệ bất biến hình (BBH) hệ chịu tải trọng giữ nguyên hình dạng hình học ban đầu ta xem biến dạng đàn hồi cấu kiện không đáng kể, xem cấu kiện hệ tuyệt đối cứng Xét hệ hình 7.7 Hệ BBH tác dụng tải trọng xem cấu kiện tuyệt đối cứng hệ giữ ngun hình dạng hình học ban đầu Thực vậy, coi cấu kiện AB, BC, CA tuyệt đối cứng (chiều dài chúng không đổi) theo hình học với ba cạnh xác dịnh ta dựng tam giác ABC mà thơi Hình L1 Trừ vài trường hợp đặc biệt, hầu hết kết cấu xây dựng phải hệ BBH Hệ BBH chịu lực phát sinh hệ nội lực cân với ngoại lực 1.1.2 Hệ biến hình Hệ biến hình (BH) hệ chịu tải trọng bị thay đổi hình dạng hình học ban đầu lượng hữu hạn, dù ta xem cấu kiện hệ tuyệt đối cứng Hé trén hinh 7.2 hệ biến hình tác dụng tải trọng hệ ABCD thay đổi hình dạng hình học ban đầu bị sụp đổ theo đường dứt nét ABC'D, ta xem AB, BC, CD tuyệt đối cứng 11 Nói chúng hệ biến hinh khong có nắng chịu tải trọng, kết cấu cóng trình người ta dùng khong Trong tế hệ thực dược dùng hệ hình, biến biến hình khí tải trọng tác dụng làm cho hệ năm trạng thái cân bảng |; Ví dụ hệ dây xích wen hinh 1,3 Hình 1.2 1.1.3 Hệ biến hình tức thời Hình 1.3 Hệ biến hình tức thời (BITTT) hệ chịu tải trọng bị thay đổi hình dạng hình học lượng vơ bé, ta xem cấu kiện hệ tuyệt đối cứng Sau thay đổi hình dạng hình học lượng vơ bé hệ lại trở nên bất biến hình Hệ hinh 7.2¿ ví dụ đơn giản hệ BIEPE dù coi thành ÁC BC tuyệt đối cứng, điểm C dịch chuyển đoạn vô bé C' tiếp tuyến chung (có phương tháng đứng) hai trịn tâm A B, bán kính ÁC BC tiếp xúc với C Sau dịch chuyển C' hai trịn bán kính AC' BC" cắt C' hệ khơng cịn dịch chuyển dược nữa, lúc hệ trở nên bất biến hình Hình 1.4 Hệ BHYT khơng sử dụng thực tế, nội lực khơng xác định dược lý thuyết (hệ nội lực bất định), hệ nội lực phát sinh lớn gây bất lợi cho cơng trình Ví dụ hệ có sơ đồ Jừih 7.2ð cho ta thấy lực dọc AC BC là: NcaA =Ncs=N=- Pp 2sina Khi góc œ —> Đ — œ làm cho liên kết bị phá hoại 1.1.4 Miếng cứng Trong thực tế hệ BBH có nhiều hình dạng khác chung tính chất có khả chịu tải trọng Để thuận tiện việc nghiên cứu ta khái quát hóa hệ BBH cách đưa khái niệm miếng cứng 12 Theo yêu cầu đề ta cần: + Lap tang thai "k" dat lực Py = vao dau tu C theo phuong ngang (hinh 4./2b) * + Tìm phản lực liên kết có chuyển vị cưỡng P, = | pây ra, kết q phí hình 4.12b + Vận dụng công thức (4-14) ta Hinh 4.12 cé; AL =- fu wa) — (O.b) + (L.)] =- (a + L.o) Kết tính mang dấu âm cho ta thấy tiết diện C dịch chuyển sang phải (ngược với chiêu Ðy = l dã giả thiết) 4.3.3 Hệ dàn tĩnh dịnh chiều dài chế tạo không xác Khi lắp ráp chế tạo khơng xác vào hệ dàn, mắt dàn chuyển vị Bài tốn giải tương tự trường hợp hệ chịu thay đổi nhiệt độ Các có chiều dài dược chế tạo dài chiều dài yêu cầu A xem chịu biến dạng nhiệt tương đương œ.t.L = A; cịn bị chế tạo hụt so với chiều dài yêu cầu A xem chịu biến dạng nhiệt tương đương œ.t,.L = —A Với L chiều dài dàn Một cách tổng quát, gọi A; độ dôi dàn thứ ¡ bị chế tao dai hay ngắn chiều dài u cầu sau áp dụng cơng thức (4-13) ta có: Aya =- a ist Ny Aim (4-15) Vi du 4-5: Xác dịnh độ võng K dàn có kích thước sơ đồ hình 4.13, chế tạo chiều đài 1-2 2-3 bị hụt đoạn A Khi vận dụng cơng thức (4-15) vào tốn trén ta c6: i= 2; A, =A, =- A Lập trạng thái "k" hinh 4./3b va tinh trạng thái "k": + Xác định phản lực, kết ghi hành 4.13b + Tính nội lực đàn 1-2 2-3 trạng thái "k” Nene = Do dé: Ay, = Kết cho thấy điểm K chuyển vị xuống đoạn A Chi ý: Trong trường hợp hệ chịu nhiều nguyên nhân khác ta vận dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính riêng biệt với nguyên nhân cộng kết 118 Hình 4.13 44 TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CƠNG THUC CHUYỂN VỊ DO TẢI TRỌNG TÁC DỤNG BẰNG CÁCH "NHÂN" BIÊU ĐỒ Đối với hệ gồm thẳng đầm, khung, dần ta tính tích phân cơng thức chuyển vị cách đơn giản tiện lợi so với cách lấy tích phân trực tiếp Cách tính gọi cách "nhân" biểu đồ A.N.Vêrêsaghin đề xuất vào năm 1925 Ta nghiên cứu nội dung phương pháp qua cách tính tích phân số hạng đầu công thức (4-7) (7 Te [MOM „ sử đoạn (a) mĩ Giả oy y thẳng xét 2¡, 22) có: - EJ =const - Biểu thức nội lực M,(Z) có dạng liên tục đoạn - Biểu thức nội luc M,(z) cd dạng bậc thang cia biéu dé M,(z) | ae Gọi œơ góc nghiêng dường oe va đường chuẩn (trục Z) Hình 4.14 Từ hình 4.14b ta thấy: M, (z)=Z.tga (b) Thay (b) vào (a) với lưu ý đoạn (Z¡, 2) ta cd: tga = const nén: [2a T= me J2M, (2)dz 24 119 Ký hiệu M,(z).dz = d@Q, ví phan diện tích biểu đồ M, (phần gạch chéo) tunh 41a, Vich phan duge vict lai: | “ te f i dQ, Ta nhận thấy tích phân vế phải biểu thức mơ men tính diện tích biếu M, dối với trục oy Nén J+d9, =Zc.@/ Trong đó: + ⁄4 hồnh độ trọng tâm diện tích biểu đồ mô men uốn M, với trục oy + ©j diện tích biểu đồ mơ men uốn Mỹ, + Ky hicu y,= tga.Z, tung độ biểu đồ Mỹ ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ mồ men uốn Mụ, “Tích phân (a) viết lại: Ị T=Ttg624€, = ge Số hạng đầu cơng p thức (4-7) dược tính theo cách "nhân" biểu đổ ký hiệu nhữ sa: Làm a >[ e=Eppntgi = 0) ẤM) tương tự với tích phân cịn lại cơng thức (4-7) ta viết lại cơng thức tính chuyển vị cho hệ chịu tải trọng dạng “nhân” biểu đồ sau: A,=@,)- @/) + @)-@) + ®&)-®&) (4-17) “Trong Ký hiệu "nhân" biểu dé nội lực (4-17) bao gồm việc lấy tổng kết nhân đoạn đoạn có xét đến độ cứng EJ, EF, GF tương ứng Các ý nhân biểu đồ: Tung dộ ÿ, buộc phải lấy biểu đồ có dạng đường thẳng Diện tích Q, lay biểu đồ có dạng Nếu biểu đỏ lấy diện tích biểu đổ lấy tung độ dấu kết nhân biểu đồ mang dấu dương ngược lại Theo tính chất tích phân tích phân xác định, biểu đồ lấy diện tích (miễn lấy tích phân) hình phức tạp, ta chia thành nhiều hình đơn giản (hình dễ tìm ngày diện tích trọng tâm nó) để áp dụng riêng biệt cách nhân cho hình tồi cộng kết lại với nhau, 120 ° = O=hL zc=L/2 = Baran! bắc3 (P3) nh (“tiếp tuyển ! k—>—y h CS % = 1/3 neces a h P, ca tiếp tuyển To Qs L h Q=hL2 cnee2 ° h.L “ mT Z co TDẺ Q=h/3 — 72 UA tiếp tuyển P2 ?c= = tiểp lê a Ce I Ae ee, Hinh 4.15 M Biểu đồ đối xứng nhân với biểu dé phan P xứng cho kết Trên hành 4.15 cấp số liệu diện tích vị trí trọng tâm số hình dơn giản thường gập Ta tìm hiểu cách nhân biểu đổ gặp hình phức tạp (khó tính diện tích tìm vị trí trọng tâm nó) thơng qua hình dơn giản nói qua ví dụ sau: Tính chuyển vị thẳng đứng tiết diện C đẩm có kích thước sơ đồ chịu lực hành 4.16 Trén hinh 4.16 ta thay biéu dé m6 men udn trang thai "p" lién tuc tir A dén B Nhưng trạng thái "k" biểu đồ mô men uốn gồm hai đoạn thẳng có hệ số góc khác nên Yar Ye Yes Yaa nhân biểu đồ ta phải chia thành hai đoạn AC R a Hinh 4.16 CB nhân riêng doạn Với cách chia hình nhân biểu đồ đoạn AC (hình 4.17) ta chia biểu đồ M, thành hình tam giác hình parabơn bậc hai (hình 4.17b, c, d) tương tự với đoạn Cạg ta chia thành hình tam giác hình parabơn bậc hai Ta có kết nhân là: Ác = &)= ni yl Orn Pe Š + O94 Vyo + 23-Vu3t 24-Vug+ z 5: VesJ 121 i Kẻ Mư| Ñ se a Ms om] TH c CHT: @) SY ae Š * 9, |Mẹ d) sờ ©) Ÿ¡¡ ie] ` Via ih © Yk2 Hình 4.17 Ví dụ 4-6: Xác định chuyển vị ngang mắt cắt C khung có kích thước sơ đồ chịu lực #u/ 42./8á Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc Theo yêu cầu đề ta cần: + Lập trạng thái "k" (nh 4./8e) Tính hệ trạng thái "k", biểu đồ mô men uốn trạng thái "K” vẽ hình 4.186đ, + Tính hệ trạng thái ” p`", biểu đồ mô men uốn trạng thái "p" hinh 418d, + Dùng cách nhân biểu đổ để tính chuyển vi ngang tai C: A? = | ae 32 QIU[T T1 | At= lc= -|= EJL6 6 24 5qa* Hinh 4.18 vẽ Sqa Kết tính cho ta thấy mặt cắt C dịch chuyển sang trái đoạn TT “ “a (ngược với chiéu P, = giả thiết) 4.5 CÁCH LẬP TRẠNG THÁI KHẢ DĨ "k" ĐỀ TÍNH CHUYỂN VỊ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI TIẾT DIỆN VÀ GÓC XOAY CỦA THANH DÀN Trong thực tế tính tốn nhiều trường hợp ta cần phải xác định chuyển vị thẳng chuyển vị góc hai tiết diện với Các chuyển vị gọi chuyển vị tương đối, cách lập trạng thái "k" để tính chuyển vị có khác so với cách lập trang thai "k" để tính chuyển vị tuyệt đối Sau ta xét số trường hợp thường gặp thực tế tính tốn 4.5.1 Chuyển vị thẳng tương đối Chuyển vị thẳng tương đối hai điểm theo phương u hiệu số hình chiếu khoảng cách hai điểm theo phương u lúc sau trước biến dạng Giả sử cần tìm chuyển vị tương dối hai điểm A B theo phương thẳng dứng y nguyên nhân "m” gây hệ (hành 4.194) Từ hình vẽ ta thấy hình chiếu khoảng cách hai điểm A B theo phương y lúc trước biến dạng O sau biến dạng hình chiếu khoảng cách chúng lên phương y là: A'B' = A, + Ag Vậy hai điểm có chuyển vị ngược chiều chuyển vị tương đối chúng tổng hai chuyển vị tuyệt đối hai điểm dó Ta có AAg=AA+Ap Để tính yA 4) chuyén vj tuyét doi A, ‘va Ag ta cén i B tAn€ lập hai trạng thái "kị" "k¿" (hình ec , ˆ sẻ nt ước À 4.19b hình 4.19c) Nếu bỏ qua ảnh hưởng lực cất lực dọc : cách Ce nhân biểu annn Ae đồ On Ee ta een có: : b) c) ~~ d) : np ; "ky" vi re A| P=! A poy et a B B Pel Hinh 4.19 123 Trong M, biểu đồ mô men trạng thái "k" tổ hợp hai trạng thái "ky" “k„" (hình -1.194) Khí hai điểm có chuyển vị chiều hai điểm A C chuyển vị thẳng tường đối hai điểm theo phương y hiệu hai chuyển vị tuyệt đối A C Tủ có: AAe = AA= Ác, viết dang tong đại số thì: AAc = AA +(— Ác) Với cách lập luận tương tự hai trường hợp cho ta cách tạo trạng thái " cần xác định chuyển vị thẳng tương đối sau: Muốn tìm chuyển vị thẳng tương đối hai điểm theo phương u & trang thai "k" ta can dat hai lực P¿ = Í ngược chiều theo phương u vào hai điểm đang, xét, Sau khí lập trạng thái "k” bước tính giống cách xác định chuyển vị tuyệt đối Ví dụ 4-7: Xác định chuyển vị thắng tương dối hai điểm A B theo phương ngàng khung có kích thước sơ đồ chịu lực /¿# 2.20 Bỏ qua ảnh hưởng lực cất lực dọc a) A ph P=l B nà c) P=! te d) 11s const Hinh 4.20 "Theo yêu cầu đề ta cẩn thực theo thứ tự sau: + Lập trạng thái "k": Đặt hai lực nằm ngàng Pý = Ï ngược chiều (hinh 4.20¢) Vẽ biểu đồ mơ men uốn (My) (hinh 4.20d) + Tính hệ rạng thai "p": Vé bigu dé mé men udn (My) (hinh 4.20b) + Tính hệ trạng thái "k: + Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị ngang tương đối A B: Aj; ẤM) ' Akn 124 qa = aye E43 28 _ qa = 12EJ A B Kết mang dấu dương cho ta thấy chuyển vị ngang tương đối hai tiết diện A Bhướng theo chiều hai luc P, = giả thiết (hai điểm A B xích lại gần nhau) 4.5.2 Chuyển vị góc tương dối Chuyển vị góc tương đối hai tiết diện hiệu số góc hợp hai tiết diện lúc sau trước biến dạng Ví dụ cần tìm chuyển vị góc tương dối hai tiết điện A B hệ có sơ đỏ chịu lực hành 4.21 Từ hình 4.21a ta thấy góc hợp hai tiết diện A B lúc trước biến dạng 0, sau bién dang 14g,, va @,, Hinh 4.21 =O, +9,Vậy chuyển vị góc tương đối hai tiết diện A B dược tính tổng hai chuyển vị góc tuyệt đối hai tiết diện Với lý luận tương tự chuyển vị Ang tương đối ta có kết luận: Muốn tìm chuyển vị góc tương đối hai tiết diện trạng thái " k" ta cần đặt hai mô men tập trung M, = I ngược chiều hai tiết diện (hình 4.215) định chuyển Ví dụ 4-8: Xác vị góc xoay tương dối hai tiết diện A B khung có sơ đồ chịu lực nhu hink 4.22 Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc Thứ tự thực sau: + Lập trạng thái "k": Đặt hai mô men tập trung M, = l ngược chiều A B (hình 4.32c) + Tính hệ trạng thái "k": Vẽ biểu đồ mô men uốn (mn) (hình 4.224) + Tính hệ trạng thái "p": Vẽ biểu đồ mơ men uốn(M) (hình 4.22Đ) 3) pega ar a mm P : EJ = const r pyr a Hình 4.22 125 + Dùng cách nhân biểu đỏ để tính chuyển vị góc xoay tương đối A B: th me EJ ag a? ee tg et oYa? 2) oe a 12EJ Kết mang dấu dương cho ta biết chuyển vị góc xoay tương dối hai tiết điện A B chiều với cặp mô men MỊ = | da giả thiết 4.5.3 Chuyển vị góc xoay dàn Đặc diểm hệ dàn chịu lực dân tồn thành phần nội lực lực dọc, bị biến dạng thành dàn thẳng, chúng bị biến-dạng dài làm cho dàn bị chuyển vị thẳng dần bị xoay, ï cần tìm góc xoay đàn AB dàn có sơ đồ chịu lực hành 4.234 Trên hinh 4.23b gọi AB” vị trí AB sau biến dạng dồng thời gọi A¿ Ai chuyển vị mắt A B theo phương vng góc với trục AB Gọi @Ap xoay thành đần AB tà có: Pan = (8 an = A, +A, _ | =—:Áa +— Ấp a a a ‘Ta thay géc xoay AB dàn tập hop hai chuyển vi A, va A, với hệ số 1/a Vậy ta phát biểu cách lập trạng thái "k”" sau: & : B P sf Hình 4.23 Muốn tìm góc xoay đàn trạng thái "k" ta cẩn đặt hai lực tập trung hai đầu thanh, ngược chiều nhau, vng góc với trục có giá trị đơn vị chia cho chiều dài (P, = I/a) 4.6 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TƯƠNG HỖ Dưới dây trình bày bốn định lý tương hỗ để phục vụ cho việc nghiên cứu tính tốn hệ siêu tinh sau 4.6.1 Định lý tương hỗ công ngoại lực tuyến tính hai Định lý E Betti để xuất vào năm 1872 Xét hệ đàn hồi trang thai "m" va PK" (hành 4,24) 126 +Ởtra ạng thái "m” hệ chịu ngoại lực P„ chuyển vị gối tựa Ax (hinh 4.24a) + Ở trạng thái "k" hệ chịu ngoại lực P chuyển vị gối tựa A, (hinh 4.24b) Theo cơng thức cơng (4-5) Hình 4.24 ta CĨ: - Cơng khả di ngoại lực trạng thái "m”" chuyển vị tương ứng trạng thái "k”: nQ đ+ AL=>, Emma ds+ >) fu Qed tà > Pi tA [nh *ds (a) i=l - Công ngoại lực trạng thai "k" chuyển vị tương ứng trạng thái "m”: ) [use ™ds (b) oe ae “t~mds+ +S`Rị Ai, ypeMa ds++> jel i=l So sánh (a) (b) ta có: l lA VD 2T m2 sec fie aL =P is Aik + jelRyA = isl Pk Akm + jelLRA Ain hay Tink = The (4-18) Vay dinh ly Betti duge phat biéu nhu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính cơng ngoại lực dạt vào hệ trạng thái “m” chuyển vị tương ứng trạng thái “k”" tương hỗ công ngoại lực đặt vào hệ trạng thái “k" chuyển vị khả đĩ tương ứng trạng thái “m” Cần hiểu khái niệm tương hỗ sau: + Hai trạng thái "m" "k" phải xây dựng hệ + Chuyển vị trạng thái phải có vị trí phương tương ứng với vị trí phương lực trạng thái Sau ta sé van dung dinh ly Betti để chứng minh định lý khác 4.6.2 Định lý tương hỗ chuyển vị đơn vị Dinh ly J Maxwell dé xuat nam 1864 Xét hệ đàn hồi tuyến tính hai trạng thái: 127 + Ö trạng thái "m” hệ chịu lực P,, = | gay nén chuyển vi 6,,, theo phương lực Py (tinh 4.25a) + Ở trang thái "k" hệ chịu mót lực P,, (có thể lực tập trung mô men tập trung) gây nên chuyển vị 6,4, theo phuong lực Pịy (hình 4.25b) Theo dinh ly Betti tacé: XÂM THHH điền 1.6, = l.Õkm Ba = Sm (4-19) Dinh ly Maxwell phát biểu sau: Trong hệ dàn hồi tuyến tính chuyển vị don vị tương ứng với vị trí phương lực P,, luc P, bang don vi gdy tương hỗ chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí plutong cia luc Py lye P,, bang don vi gdy 4.6.3 Định lý tương hồ phản lue don vi Dinh ly L Rayleigh (1842 - 1919) dé xudt nam 1875 Xét hệ đàn hồi hi trạng thái: + Ở trạng thái "m": Gối tựa thứm có chuyển vị cưỡng don vi gây gởi tựa thứ k phản ® Pewee “SỈ luc don vi ta (hành 41.264) + Ở trạng thái "k": Gối tựa thứ K có chuyển vị cưỡng đơn vị gây gởi tựa thứ m phản luc don vii ty (hình 4.264) Hình 4.26 Theo dinh ly Betti tacé: Lary = Ltn va Tk = Tm (4-20) Định lý Rayleigh phát biểu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, phản lực dơn vị liên kết m chuyển vị cưỡng liên kết k bang don vi gây tương hỗ phản lực đơn vị liên kết k chuyển Vệ cường liên kết m đơn vị gây 4.6.4 Định lý tương hỗ chuyển vị đơn vị phản lực đơn vị Định lý A.A.Gvozdiev đề xuất năm 1927 Xét hệ đàn hồi hai trạng thái: 128 + Trạng thái ”"m”: Gối tựa thứ m có n= a) chuyển vị cưỡng bang don vị (@m = l), gây chuyển vị điểm k ồym (hình 4.274) + Trạng thái Một lực đơn vị (Pk = 1) gây gối tựa thứ m phản lực đơn vị rạụ (hình 4.27b) Cơng kha di T,,, = vi trạng thái m Hình 4.27 khơng có ngoại lực tác dụng Cơng khả dĩ: Tam = tak Om + Sym Py Trem = met Stn Áp dụng định lý Betti (Tạ = Tạyy = 0) ta có: (4-21) fm = Bn Như định lý phát biểu sau: -Trong hệ đàn hồi tuyến tính phản lực đơn vị liên kết k luc P,, bang don vị gây tương hỗ chuyển vị don vị tương ứng với vị trí phương lực P„ chuyển vị cưỡng liên kết k đơn vị gây trái dấu BÀI TẬP CHƯƠNG Xác định chuyển vị thẳng đứng tiết diện K, chuyển vị ngang tiết diện I, chuyển vị góc xoay tiết diện C, chuyển vị thẳng tương đối hai tiết diện A B theo phương AB, chuyển vị góc xoay tương đối hai tiết diện E F hệ có kích thước sơ đồ chịu lực hình từ nh 4.28 đến hình 4.39 Xác định chuyển vị thẳng đứng mắt B, chuyển vị ngang mắt C góc xoay AB dàn có kích thước sơ đồ chịu lực hình từ hình 4.40 đến hình 4.43 Ly:q a | 4m = 20kN/m 2) ic yz 4m sa 73, 8m C Es Hinh 4.28 ăn 4m o E1 = constL q = 10kN/m ret Peer + K 4m | am Hinh 4.29 129 M = 20U0KNm q = 1OKN/m P = 100kN ' j EJ = const eo “ a Fe k- 4m Hinh 4.30 Hinh 4.31 M = 200kNm P= 100k 1Í 2m 4= IUKN/m | ti K | | LÍ 2m = — E š| 2m 2m |” J | | | 2) fs lat mel 3m Im 5] Hình 4.32 3m Hình 4.33 | | | -209 Sa 6m || -2 -2t" 3m +10° 3m œ,h=const Hình 4.34 ch T | | 6m ait : a 130 * 6m Hinh 4.36 ‘ Hinh 4.37 | | q R ® EJ=const EJ = const Hinh 4.38 Hình 4.39 B ole |_4m | Hinh 4.40 F A >< > Hinh 4.42 Hinh 4.43 Xác định chuyển vị thẳng tương đối hai tiết diện A B khung có kích thước sơ đồ cho hình 4.44 Khung chịu áp lực cột nước có chiều cao h Biết _—T mm ——— EJ = const; Trọng lượng riêng nước Tu Xác định hệ số k để: a) Chuyển vị góc xoay tai C dầm hình 4.45 bang a Hình 4.44 b) Chuyển vị thẳng đứng tai I chuyển vi thẳng đứng tai F trén dầm hình 4.4ó 131 P=kq ase | 2) Hinh 4.45 BI, 2), - 3m ta l + ca 3m Hình 4.46