SKKN: Khai thác - phát triển các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC - PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A - Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài : Tốn học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý cho đất nước – tốn học khơng cung cấp cho người kỹ tính tốn cần thiết mà rèn luyện cho người khả tư logic, phương pháp luận khoa học Toán học tiền đề, then chốt ngành khoa học khác Để phát triển khả tư sáng tạo việc học tốn giải tốn tìm kết toán chưa thể coi kết thúc mà phải tiến hành khai thác “mổ xẻ” phát triển tốn Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình dạy học giải tốn nói riêng người dạy người học cần tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải toán, dù đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết Hãy ln suy nghĩ đến việc khai thác toán để sáng tạo toán sở toán cho Chính lý tơi chọn đề tài: “Khai thác - phát triển toán áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau” II Mục đích : Nhằm phát triển tư logic phương pháp luận khoa học, phát triển óc giới quan vật biện chứng vật lịch sử Thơng qua đề tài hình thành cho học sinh lực thích ứng với thay đổi thực tế để tự chủ, tự lập lao động, sống Kích thích trí tưởng tượng gây hứng thú học tập tốn, góp phần rèn luyện phương pháp học tập rèn luyện có kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo linh hoạt III Nội dung : III.1 Tính chất dãy tỉ số : Từ a c a c ac ac  ta suy    với b ≠ d; b ≠ -d b d b d bd bd Từ dãy tỉ số a c e   ta suy : b d f a c e ace ace     b d f bd  f bd  f III.2 Hệ thống tập áp dụng : A Dạng 1: Các toán chứng minh : Bài toán 1: ( Bài 73/14/SBT) : Cho a,b,c ≠ Từ tỉ lệ thức a c a b cd  rót tỉ lệ thức  b d a c Lời giải : Từ tỉ lệ thức a c a b    b d c d áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Từ a b a b   c d cd a b a a b cd  ta suy :  cd c a c T đâyta cú th phỏt biu v chng toán tương tự sau : Bài toán : Cho a,b,c,d ≠ Từ tỉ lệ thức a c  suy tỉ lệ thức : b d a  b c  d  a c Sau giải tốn ta có toán tổng quát sau : Bài toán : Chứng minh từ tỉ lệ thức a c  ta suy tỉ lệ thức : b d ma  nb mc  nd  a c Lời giải : Từ a c a b    áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : b d c d a b ma nb ma  nb     c d mc nd mc  nd Từ ma  nb a ma  nb mc   nd    mc  nd c a c Cũng từ tốn ta giải toán : Bài toán : Chứng minh từ tỉ lệ thức Ta suy tỉ lệ thức : a c  ( a – b ≠ 0; c – d ≠ ) b d ab cd  a b cd Lời giải : Từ a c a b    b d c d áp dụng tính chất dãy tỉ số : Từ a c a b a b    b d cd cd a b a b ab cd    cd cd ab cd Đến ta có tốn đảo tốn : Bài toán : Chứng minh từ tỉ lệ thức Ta suy tỉ lệ thức ab cd  ≠1 a b cd a c  b d Lời giải Ta có ab cd  ≠  a b  a b b  a b cd Và c + d ≠ c – d  d ≠ ab cd a b a b    a b cd cd cd Ta có a b a b a b a b a a b a b b      cd cd cd cd c cd cd d a b a c  với b ≠ ; d ≠ ta suy  c d b d Từ Đặc biệt hoá toán 4; a=d ta lại có tốn sau : Bài tốn : Chứng minh a2= bc : ab cb  a b cb Điều đảo lại có khơng ? Bài tốn : Cho a c  chứng minh ta suy tỉ lệ thức : b d 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d Lời giải Từ a c a b 2a 3b 2a  3b 2a  3b        b d c d 2c 3d 2c  3d 2c  3d Ta có : 2a  3b 2a  3b 2a  3b 2c  3d    2c  3d 2c  3d 2a  3b 2c  3d Từ ta tổng qt hố thành toán sau : Bài toán : Chứng minh từ tỉ lệ thức a c  ta suy tỉ lệ thức : b d ma  nb mc  nd  m' a  n ' b m' c  n ' d Lời giải Từ a c a b ma nb ma  nb m' a n' b m' a  n' b          b d c d mc nd mc  nd m' c n' d m' c  n' d Từ ma  nb m' a  n' b ma  nb mc  nd    mc  nd m' c  n' d m ' a  n' b m ' c  n ' d Bài toán : Chứng minh từ tỉ lệ thức a c  ta suy tỉ lệ thức : b d ab a  b  cd c  d Lời giải a c a b a b ab a  b Từ tỉ lệ thức        2 b d c d c d cd c  d Bài toán tương tự toán sau : 10 Bài toán 10 : Chứng minh từ tỉ lệ thức a c  ta suy tỉ lệ thức : b d a2 a2  b2  ta có toán đảo toán 10 c2 c2  d 11 Bài toán 11 : Chứng minh rằng:Từ tỉ lệ thức a2 a2  b2  ta suy tỉ lệ thức c2 c2  d a c  b d Lời giải Ta có a2 a2  b2 a  a  b2 b2    c2 c2  d c  c2  d d 2 a b a b a c Suy         hay   c d b d c d  Khai thác toán 11 dẫn đến toán tổng quát sau : 12 Bài toán 12 : a k  b 2k a k  b 2k Chứng minh từ tỉ lệ thức k  ( k N ) c  d 2k c k  d 2k Ta suy a c  b d 13 Bài toán 13 : Chứng minh từ tỉ lệ thức a c  b d 3a  5ab 3c  5cd  a  10b 7c  10d Ta suy tỉ lệ thức : Lời giải Từ a c a b    b d c d Suy a b ab 3a 5ab 7a 10b 3a  5ab a  10b         c d cd 3c 5cd 7c 10d 3c  5cd 7c  10d 3a  5ab 7a  10b 3a  5ab 3c  5cd Từ tỉ lệ thức :    3c  5cd 7c  10d 7a  10b 7c  10d Bài toán 13 lại trường hợp đặc biệt toán sau : 14 Bài toán 14 : a c  ta suy tỉ lệ b d Chứng minh từ tỉ lệ thức thức ma  nb  kab mc  nd  kcd  m' a  n' b  k ' ab m' c  n' d  k ' cd ( Cách giải tương tự 13 ) 15 Bài toán 15 : Chứng minh từ dãy tỉ số a b c   b c d abc a Ta suy    bcd  d Lời giải áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : a b c a b c abc a  abc        b c d bcd  b  c  d  bcd d Tương tự ta có toán sau : 16 Bài toán 16 : Cho bốn số a,b,c,d khác thoả mãn : b2 = ac ; c2 = bd Chứng minh : a3  b3  c a  b3  c  d d 17 Bài toán 17 : Cho a1 a2 a a     a2 a3 a9 a1 Với a1+a2+a3+a4+ +a9 ≠ Chứng minh a1=a2= =a9 Lời giải áp dụng tính chất dãy tỉ số : a1 a2 a a a  a2  a3   a9       1 a2 a3 a9 a1 a2  a3   a9  a1 Do a1=a2 ; a2=a3 ; ; a9=a1 Hay a1=a2= =a9 18.Bài tốn 18 : Chứng minh có dãy tỉ số : a1 a2 a    2003 ta suy đẳng thức : a2 a3 a2004  a  a   a2003 a1   a2004  a2  a3   a2004 Lời giải áp dụng tính chất dãy tỉ số : a1 a2 a a  a2   a2003    2003  a2 a3 a2004 a2  a3   a2004    2003  a  a   a2003 Ta có :   a2  a3   a2004    2003 a1 a2 a2003 a  a2 a3 a2004 a2004   a  a   a2003 Vậy :   a2  a3   a2004    2003  a1 a2004 ( Lưu ý tốn giải theo nhiều cách ) B Dạng : toán tìm ẩn : Bài tốn : ( Bài 61 trang 31 – SGK ) Tìm ba số x ; y ; z biết : x y y z  ;  x+y-z=10 Lời giải Từ x y y z x y z  ;     12 15 áp dụng tính chất dãy tỉ số : x y z x  y  z 10     2 12 15  12  15 Do : x = 8.2=16 y= 12.2=24 z= 15.2 =30 Vậy x=16 ; y=24 ; z=30 Bài tập tương tự Bài toán : Tìm ba số x ; y ; z biết : a) x y y z  ;  2x-3y+z=6 b) x y y z  ;  x+y-z=69 c) 3x=2y ; 7y=5z x-y+z=32 Bài toán : Tìm ba số x ; y ; z biết : x y z 2   x -y +2z =108 Lời giải Từ x y z x2 y z      4 16 áp dụng tính chất dãy tỉ số : x y z 2 z a  b  2c 108      4 16 32   32 27 Do : a2 = 16  a  4 b2 = 36  b  6 c2 = 64  c  8 Vậy a=4; b=6; c=8 a=-4; b=-6; c=-8 Các tập tương tự Bài tốn : Tìm ba số x ; y ; z biết : x x 2  ;  x +y +z =217 y z 5 Bài tập : Tổng lập phương ba số 99 Tỉ số số thứ số thứ hai , số thứ số thứ ba Tìm ba số Bài toán : x3 y3 z3 Tìm ba số x ; y ; z biết :   x2+y2+z2=14 64 216 Lời giải Từ 3 x3 y3 z3  x   y   z  x y z x2 y2 z2               64 216       16 36 áp dụng tính chất dãy tỉ số : x y z x  y  z 14      16 36  16  36 56 Do :   x  1 16 y2    y  2 36 z2    z  3 x2  Vậy x=1; y=2; z=3 x=-1; y=-2; z=-3 Ta tiếp tục với 62/31 – SGK để giải toán với giả thiết tương tự Bài toán : ( Bài 62/31 – SGK ) Tìm hai số x y biết : x y  xy=10 Lời giải : Ta có x y x y xy 10      1 25 2.5 10 Do : x   x  2 y  25  y  5 Vậy : x=2; y=5 x=-2; y=-5 Bài tốn : Tìm hai số x y biết : x y 4  x y =16 Lời giải Ta có x y x4 y x8 y x4.y 16       4  4  4 4 4 Do : 28   x  1 44 48 y   4  y  2 x8  Vậy x=1; y=2 x=-1; y=-2 Bài tốn : Tìm hai số x y biết : y  x x2  y  x10.y10=1024 Lời giải Ta có : y  x2 x2  y y  x2  x2  y y y2  x2  x2  y      x2 35 35 Vậy : x  y2 y y10 y 20 x10 y10 1024  x   x10  10  x 20  20   10  2 210 Do : x 20   x  1 y 20  20  y  2 x   x  1  y   y  2 Vậy  10 Bài tốn 10 : Một bể chứa nước hình chữ nhật, chiều rộng chiều dài tư lệ với Chiều rộng chiều cao tỉ lệ với Thể tích bĨ 64 m3 Tính chiều rộng, chiều dài chiều cao bÓ Lời giải : Gọi x, y, z chiều dài, chiều rộng chiều cao bể chứa nước ( x, y, z >0 ) Theo ta có : Từ : x y y z x y z  ;     x.y.z=64 5 25 20 16 x y z x3 y3 z3 x y.z 64    3 3 3   25 20 16 25 20 16 25.20.16 25.20.16 Do : x3  253  53  x  5 203 y   43  y  163 z   3,2   z  3,2 IV Kết luận Trong trình thực chuyên đề tơi thấy : - Học sinh khơng cịn bị lúng túng gặp phải dạng toán áp dụng tính chất dãy tỉ số cách tìm lời giải trình bày lời giải - Học sinh thực có hứng thú say mê học , làm tập sách tham khảo để tìm thêm tốn dạng - Tạo cho học sinh thói quen ln suy nghĩ toán theo hướng khác - Với thân qua nghiên cứu chuyên đề tự nâng cao nhận thức, trình độ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo - Chuyên đề chắn không tránh khỏi hạn chế định, tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp V Tài liệu tham khảo : Sách giáo khoa toán tập Sách tập toán – tập Các dạng toán phương pháp giải toán –tập Ôn tập kiểm tra đại số