Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 m tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.. Tính thể tích của khối tứ diện AD 'MN th
Trang 1Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = x3− (m 1)x − 2 − 3x + + m 1 (C )m
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2 Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 m tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
Câu II (2.0 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos x2 + 3cos x − 2cos 3x = 4sin x sin 2x
2 Giải hệ phương trình:
3 3
∈
Câu III (1.0 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa 4
x trong khai triển sau:
n 5
3
3
1 nx x
+
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2C1n + C2n = n2 − 20.
Câu IV (2.0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' có cạnh bằng a Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh A 'B ' và B'C '
1 Tính thể tích của khối tứ diện AD 'MN theo a
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và D ' N
Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: 5a + 5b + 5c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu VI (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A( 2;6) − và hai đường thẳng d , d có 1 2 phương trình lần lượt là: 2x − − = y 1 0 và 3x − 4y 19 − = 0 Viết phương trình đường tròn (C) biết (C) có tâm nằm trên đường thẳng d , đi qua điểm A và tiếp xúc với 1 d 2
Câu VII (1.0 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 ( ) 2
2
3x x 2
4 − 7 − + + 4 7 − − 46.3 − − = 0
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN; Khối B, D
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 08/12/2012
C m ơn th y T n ( tan79@gmail.com) g i t i www.laisac.page.tl
Trang 2
I
3
m 1= ⇒y=x −3x 2+
▪ Tập xác định: D=ℝ
▪ Sự biến thiên:
xlim y
→−∞ = −∞,
xlim y
= − = ⇔ − = ⇔
= ⇒ =
2 2 x 1 y( 1) 4
y ' 3x 3, y' 0 3x 3 0
▪ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1), (1;+∞) và nghịch biến trên ( 1;1)− Hàm số đạt CĐ tại x= −1, yC§ =4 và đạt CT tại x 1, y= CT =0
x −∞ -1 1 +∞
'
y + 0 – 0 +
y 4 +∞
CĐ CT
−∞ 0
0.25
0.25
2 (1.0 điểm) Tìm m …
Với x 1= ⇒y=0⇒A(1;0) Ta có: y '=3x2−2(m−1)x−3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại A là:m y= −2(m 1)(x 1) ( ) − − ∆ 0.25
Diện tích tam giác OAB là: S OAB 1OA.OB 1 x yA B m 1
Theo giả thiết: S∆OAB = ⇔2 m 1− = ⇔ = ∨ = −2 m 3 m 1 (thoả mãn)
II
(2.0 điểm)
1 (1.0 điểm) Giải phương trình:
2
2 cos x 3cosx 2 cos(x 2x) 4sin xsin 2x
2 cos x 3cosx 2(cosx cos 2x sin x sin 2x) 4sin x sin 2x 0.25
2 cos x 3cosx 2(cosx cos 2x sin x sin 2x) 0 ⇔2 cos x 3cosx 2 cosx2 + − =0 0.25
2
2 cos x cosx 0
⇔
= −
cos x 0
1 cos x
2
0.25
π
= + π
⇔
π
= ± + π
x k 2 2
x k2 3
Vậy nghiệm của p/trình đã cho là: = + π = ±π 2π+ π
x k ; x k2
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối B, D
(Đáp án – thang điểm gồm 03 trang)
• Đồ thị:
Ta có: y ''=6x⇒y''= ⇔ =0 x 0
⇒ Đồ thị có 1 điểm uốn I(0; 2)
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm I(0; 2) làm
tâm đối xứng
Trang 3II
(2.0 điểm)
2 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…
Nhận thấy y=0 không là nghiệm của hệ ⇒y≠0
Khi đó hệ tương đương
+ =
− = −
⇔
+ = + =
3 3
3 3
2
2
125 125
27x 9 27x 9
y y
x 5
x x
15 3x 6
45 75 6
y y
y y
0.25
Đặt
u 3x 5 v y
=
⇒
=
⇔
u v 9 (u v) 3uv(u v) 9 uv(u v) 6 uv(u v) 6
+ = + =
= + =
(u v) 27
uv 2 uv(u v) 6
= ∧ =
⇔
= ∧ =
u 2 v 1
u 1 v 2
0.5
▪ Với u x /
v y
= ⇒ =
= ⇒ =
2 2 3
1 5 ▪ Với
u x /
v y /
= ⇒ =
= ⇒ =
1 1 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (2 / 3;5), (1 / 3;5 / 2)
III
4
x …
Ta có: 2C1n +C2n =n2 −20 (1) Điều kiện: n≥2; n∈ℤ
n(n 1) (1) 2n n 20 n 3n 40 0
n 5 (lo¹i) 2
=
−
⇒ ⇔ + = − ⇔ − − = ⇔
= −
0.25
8x 2 x C 2 x C 2 x
−
−
−
3
−
IV
(2.0 điểm)
1 (1.0 điểm) Tính thể tích khối tứ diện AD 'MN
2 2
a 1 a a 3a
S S 2S S a a
2 2 2 2 8
∆
A
D
A'
D' M
N
Q H K
P
0.5
2 (1.0 điểm) Tính khoảng cách giữa AM và D ' N
Trong (A ' B 'C ' D ') gọi P là trung điểm của A ' D '⇒B 'P// D ' N
Trong (A ' B 'C ' D ') kẻ MQ // B ' P (Q∈A ' D ') Do M là trung điểm của A 'B ' nên Q là
Do MQ // B ' P ⇒ MQ // D ' N⇒D ' N// (AMQ)⇒d(AM, D ' N)=d(D ' N,(AMQ))
d(D ',(AMQ)) 3d(A ',(AMQ))
Trong (A ' MQ) kẻ A ' K⊥MQ⇒MQ⊥(AA ' K) Trong (AA ' K) kẻ A ' H⊥AK
A ' H (AMQ) d(A ',(AMQ)) A ' H
A ' H =A 'A +A ' K =A ' A +A 'M +A 'Q =a +a +a ⇒ = 21 Vậy d(AM,D ' N) 3A ' H 3a
21
0.25
Theo giả thiết: AA '⊥(A 'B 'C ' D ')
AA '
3 ∆
= ⋅ ⋅
1 3a a a
3 8 8
= ⋅ ⋅ =
Trang 4V
(1.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ta cĩ:
Cauchy
3 3 2a 3b 1 1 2a 3b 2 2a 3b (2a 3b).1.1
+ + + + +
3
2a 3b 2 2a 3b
+ +
0.25
Tương tự ta cĩ:
3
2b 3c 2 2b 3c ≥
+ +
3
2c 3a 2 2c 3a ≥
+ +
0.25
Với x>0;y>0;z>0ta cĩ:
Cauchy 3 3
1 1 1 3 1 1 1 9 (x y z) 3 xyz 9
x y z xyz x y z x y z
+ + + + ≥ ⋅ = ⇒ + + ≥
+ +
2a 3b 2 2b 3c 2 2c 3a 2
2a 3b 2 2b 3c 2 2c 3a 2 5a 5b 5c 6
+ + + + + + + + + + +
0.25
VI
Giả sử (C) cĩ tâm I, bán kính R
Do I∈d1⇒I(a;2a 1) Mà − ∈ ⇒ = = + 2+ − 2
A (C) R IA (a 2) (2a 7) 0.25
2
d tiếp xúc với (C) ⇔d(I,d )2 = =R IA ⇔ − − − = + + −
+ −
3a 4(2a 1) 19
(a 2) (2a 7)
⇔ + =a 3 (a+2)2+(2a−7)2 ⇔a2+6a+ =9 5a2 −24a+53
a a
a / I( / ; ) và R /
= ⇒ =
⇔ − + = ⇔
2 15 22 0
11 2 11 2 10 17 2
0.25
Vậy phương trình đường trịn (C) thỏa mãn đề bài là: (x−2)2 + −(y 3)2 =25
(x−11 2/ )2+ −(y 10)2=289 4 / 0.25
VII.a
2
9 4 7 − 9 4 7 − 46.3 − 0
4 7 4 7
9 9 46 0 (1)
− +
⇔ + − =
0.25
Đặt:
4 7 4 7 1 4 7 4 7
+ − − +
= > ⇒ = ⋅ =
23 8 7 t
9t 46 0 9t 46t 9 0 (tháa m·n)
t 9
= +
+ − = ⇔ − + = ⇔
= −
0.25
▪ Với
−
= ⇒ = ⇔ − = ⇔
= −
2
23 8 7 4 7 4 7
x 2 / 3
▪ Với
2
2
23 8 7 4 7 4 7
t 3x x 2 0 VN (do 0)
= ⇒ = ⇔ − + = ∆ <
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: x 1; x= = −2 / 3 ⋅
0.25
-Hết -