Luận văn thạc sĩ toán học chu kỳ của chip firing game song song trên đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ận Lu vă Mai Thu Huyền n CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ ạc th sĩ án To họ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC c Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ận Lu Mai Thu Huyền n vă CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ th Chuyên ngành: Toán ứng dụng ạc Mã số: 8460112 sĩ án To NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hoàng Thạch Hà Nội - 2019 c họ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC i Lời cam đoan ận Lu Tôi xin cam đoan kết đề tài: "Chu kỳ chip-firing game song song đồ thị" trình bày lại từ hai báo [3] [4] Các ví dụ số liệu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nếu khơng nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm đề tài vă Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 n ạc th sĩ Mai Thu Huyền án To c họ Lời cảm ơn ận Lu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới TS Nguyễn Hoàng Thạch, thầy hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ nhiều trình học tập làm luận văn Thầy truyền cảm hứng giúp tơi hồn thiện thân nhiều sau trình làm việc thầy Tơi xin gửi lịng cảm ơn tới tất thầy Viện Tốn Học truyền đạt kiến thức chuyên sâu ý nghĩa việc học Tốn hai năm học Tơi xin cảm ơn tới tất thầy cô anh chị Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm tơi nhiều q trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời tri ân tới bố mẹ, người thân gia đình bạn bè ln ủng hộ, khích lệ động viên tinh thần suốt q trình học tập để hồn thành tốt luận văn thạc sĩ n vă ạc th sĩ án To Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 c họ Mai Thu Huyền Danh mục kí hiệu Mơ hình chip-firing game Chu trình n đỉnh Đồ thị đầy đủ n đỉnh Đồ thị bánh xe n đỉnh Cấu hình chip thời điểm t Cấu hình chip đỉnh v thời điểm t Ma trận Laplace Vết đỉnh vi thời điểm t chu kỳ T ận Lu n vă ạc th sĩ CF G Cn Kn Wn C(t) Cv (t) L fvi (t) Tập lớn kí tự Dki Tập lớn kí tự án To Ski c họ Danh sách hình vẽ Một ví dụ đồ thị đơn Một ví dụ đa đồ thị Một ví dụ đồ thị có khuyên Một ví dụ đồ thị có hướng Một ví dụ đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) Một ví dụ chu trình: (a) C3 , (b)C4 , (c) C5 Một ví dụ đồ thi đầy đủ: (a) K4 , (b) K5 Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2,3 , (b) K3,3 Đồ thị bánh xe: (a) W3 , (b) W4 , (c) W5 Đồ thi liên thông Đồ thị không liên thông Cây 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Cấu hình ban đầu chip đồ thị Bắn chip chu trình C3 Bắn chip đồ thị Đồ thị cho ma trận Laplace Cấu hình chip ban đầu chu trình C6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Cấu hình ban đầu chip đường Cấu hình ban đầu chip đồ thị Cấu hình ban đầu chip chu trình Cây có chu kỳ T = Chu trình có chu kỳ T = ận Lu 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 n vă ạc th sĩ 10 10 11 án To 14 14 17 18 20 22 23 25 30 31 c họ Danh sách bảng Bắn chip chu trình C6 20 3.1 3.2 3.3 Bắn chip song song đường 22 CFG song song chu trình 25 CFG song song chu trình đỉnh 31 ận Lu 2.1 n vă ạc th sĩ án To c họ Mục lục ận Lu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ VÀ VÍ DỤ 1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THƠNG 1.4 CÂY n vă 3 10 CHIP-FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.1 MƠ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG 14 2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY 24 ạc th sĩ án To c B Mã nguồn CFG song song họ A Mã nguồn CFG 33 35 MỞ ĐẦU ận Lu Trong năm gần đây, mơ hình Chip-firing game (CFG) thu hút nhiều nhà nghiên cứu, nhiều công trình cơng bố CFG trở thành phần quan trọng cấu trúc tổ hợp (structural combinatoric) Năm 1986, CFG mở đầu báo J Spencer viết "balancing game" Năm 1991, A Bjorner, L Lovasz, P W Shor xây dựng mơ hình CFG cho đồ thị đơn, vơ hướng liên thơng, trình bày [3] Họ tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Năm 1992, J Bitar E Goles xây dựng mơ hình CFG song song chu kỳ cây,được trình bày [4] Trong khn khổ luận văn trình bày kết đồ thị hữu hạn, liên thông, đơn vô hướng Luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày số định nghĩa kết sử dụng chương chương Đó số khái niệm tính chất đồ thị Chương trình bày mơ hình CFG, tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Chương trình bày mơ hình CFG song song chu kỳ chip dạng đồ thị Phụ lục A trình bày mã nguồn tìm cấu hình kết thúc CFG, phụ lục B trình bày mã nguồn tìm cấu hình thời điểm CFG song song đồ thị Mã nguồn trình bày ngơn ngữ Python với thư viện xây dựng cho đồ thị networkx n vă ạc th sĩ án To c họ Chương ận Lu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ vă n Phần trình bày số kiến thức đồ thị tham khảo từ [1], [2] Đó kiến thức sở phần luận văn ạc th CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN sĩ 1.1 To Trong phần trình bày số khái niệm sở đồ thị hữu hạn án Định nghĩa 1.1 Một đồ thị (vô hướng) G = (V, E) xác định bởi: c họ • tập hợp V khác rỗng gồm đỉnh, • tập hợp E gồm cạnh, cạnh có hai đầu hai đỉnh Định nghĩa 1.2 Nếu hai đỉnh có khơng q cạnh G gọi đồ thị đơn Khi E đồng với tập hợp cặp đỉnh không thứ tự Một cách tương đương, E đồng với ánh xạ từ V × V vào {0, 1} cho với vi , vj ∈ V : ( có cạnh nối vi vj , E(vi , vj ) = E(vj , vi ) = không 22 đỉnh vi  Hàm ngưỡng: fvi (t) = (Cvi (t) − deg(vi )) = 1, Cvi (t) ≥ deg(vi ) 0, ngược lại Nhận xét Từ (3.1) ln tìm số chip đỉnh vi ∈ V thời điểm t hiểu sau: • Nếu Cvi ≥ deg(vi ) đỉnh vi deg(vi ) chip • Đỉnh vi nhận chip từ đỉnh kề ận Lu vă n Hình 3.1: Cấu hình ban đầu chip đường ạc th sĩ Ví dụ 3.2 Cho G = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } đường gồm đỉnh với cấu hình chip ban đầu C(0) = (0, 2, 1, 1, 1) (Hình 3.1) Thực bắn chip song song bảng 3.1 sau C v4 2 C v5 1 c C v3 2 họ C v2 2 án C v1 1 To chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 Bảng 3.1: Bắn chip song song đường Ví dụ 3.3 Cho đồ thị có cấu hình ban đầu Hình 3.2 với cấu hình ban đầu C(0) = (3, 4, 2, 1, 2) Thực trình bắn chip song song đồ thị, với lần bắn cho đỉnh ta thu đầu sau: 23 ận Lu Hình 3.2: Cấu hình ban đầu chip đồ thị n vă The start configure: ,→ {'v1':3,'v2':4,'v3':2,'v4':1,'v5':2} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':2,'v2':2,'v3':1,'v4':3,'v5':4} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,→ {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} ạc th sĩ án To c họ Từ định lý 2.7, thấy trò chơi vô hạn Theo định nghĩa chu kỳ, chọn t0 = chu kỳ CFG song song T = 24 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY Định nghĩa 3.4 Giả sử trạng thái ổn định xích giới hạn (C(0), , C(T − 1)) với chu kỳ T a) Vòng lặp địa phương định nghĩa bởi: ∀vi ∈ V : Cvi = (Cvi (0), Cvi (1), , Cvi (T − 1)) ∈ NT fvi = (fvi (0), fvi (1), , fvi (T − 1)) ∈ {0, 1}T Lu đó, fvi (t) = (Cvi (t) − deg(vi )) gọi vết đỉnh vi vòng lặp địa phương ận b) Giá fvi tập hợp tất thời điểm mà đỉnh vi bắn chu kỳ T , định nghĩa bởi: vă n supp(fvi ) = {t ∈ [0, T − 1] : fvi (t) = 1} th ạc Ta phân hoạch supp(fvi ) thành pi khoảng rời viết lại sau: sĩ Ski (3.2) To supp(fvi ) = pi [ k=1 án c họ đó, Ski tập lớn [0, T − 1] kí tự định nghĩa sau: Ski = [t, t + q] cho fvi (t + s) = 1, s = 0, , q fvi (t − 1) = fvi (t + q + 1) = Ví dụ 3.5 Cho đồ thị chu trình Hình 3.3 có cấu hình chip ban đầu C(0) = {0, 2, 1, 1, 0, 2} Thực bắn chip song song bảng 3.2, tìm chu kỳ CFG T = fv1 = (010001) S11 = {1}, S21 = {5}, supp(fv1 ) = [ Sk1 k=1 Bổ đề 3.6 Cho G = (V, E) đồ thị đơn, liên thơng vơ hướng với cấu hình ban đầu chip C(0) thực CFG song song G Khi đó, 25 Hình 3.3: Cấu hình ban đầu chip chu trình Lu ận chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 n vă C v1 1 C v3 2 1 C v4 1 2 ạc th C v2 2 1 C v5 1 2 C v6 1 2 sĩ Bảng 3.2: CFG song song chu trình án To a) Nếu c họ fvk = ~0 ⇒ fvi = ~0, ∀vi ∈ V fvk = ~1 ⇒ fvi = ~1, ∀vi ∈ V hai trường hợp này, vòng lặp địa phương điểm cố định, tức chu kỳ vết T = b) Cho [s − k, s] ⊆ supp(fvi ) tập lớn kí tự 1, ∃vj ∈ N (vi ) cho [s − k − 1, s − 1] ⊆ supp(fvj ) c) Cho [s − k, s] ⊆ (supp(fvi ))c , ∃vj ∈ N (vi ) cho [s − k − 1, s − 1] ⊆ (supp(fvi ))c 26 Chứng minh a) Ta chứng minh cho trường hợp fvk = ~0, chứng minh tương tự fvk = ~1 Giả sử fvk = ~0 Từ (3.1) ta có: X Cvk (t + 1) = Cvk (t) − deg(vk )fvk (t) + fvi (t) vi ∈N (vk ) = Cvk (t) + X fvi (t) vi ∈N (vk ) ≥ Cvk (t) Lu Suy ra, vă Vì vậy, ận Cvk (T − 1) ≥ Cvk (T − 2) ≥ ≥ Cvk (0) = Cvk (T ) ≥ Cvk (T − 1) n Cvk = (ak , , ak ) , ak ≤ deg(vk ) − (3.3) th ạc Giả sử phản chứng ∃vi ∈ N (vk ) thời điểm t0 ∈ [0, T − 1] cho fvi (t0 ) = Ta có: X 0 fvi (t0 ) Cvk (t + 1) = Cvk (t ) + sĩ To vi ∈N (vk ) án họ ≥ Cvk (t0 ) + > Cvk (t0 ) c Điều mâu thuẫn với (3.3), suy fvi = ~0, ∀vi ∈ N (vk ) T = Vì G đồ thị hữu hạn, nên khẳng định cho ∀vi ∈ V b) Từ (3.1) ta có: Cvi (s) = Cvi (s − 1) − deg(vi )fvi (s − 1) + X fvj (s − 1) vj ∈N (vi ) = Cvi (s − 2) − deg(vi ) [fvi (s − 1) + fvi (s − 2)] X   + fvj (s − 1) + fvj (s − 2) vj ∈N (vi ) 27 k X X = Cvi (s − k) − k deg(vi ) + fvj (s − t) vj ∈N (vi ) t=1 Do [s − k, s] tập lớn fvi , theo định nghĩa ta có: fvi (s − k − 1) = ⇒ Cvi (s − k − 1) ≤ deg(vi ) − Và Cvi (s) = Cvi (s − k − 1) − k deg(vi ) + k+1 X X fvj (s − t) vj ∈N (vi ) t=1 Lu Vì vậy, ận vă Cvi (s) ≤ deg(vi ) − − k deg(vi ) + k+1 X X fvj (s − t) n vj ∈N (vi ) t=1 ạc th Giả sử phản chứng với đỉnh kề vj vi cho [s − k − 1, s − 1] * supp(fvj ), tức ∀vj ∈ N (vi ), ∃t∗j ∈ [s − k − 1, s − 1] cho fvj (t∗j ) = Ta có: sĩ fvj (s − t) ≤ k deg(vi ) ⇒ Cvi (s) ≤ deg(vi ) − án vj ∈N (vi ) t=1 To k+1 X X họ Vì vậy, fvi (s) = 0, mâu thuẫn với giả thiết [s − k, s] ⊆ supp(fvi ) c c) Giả sử phản chứng ∀vj ∈ N (vi ), ∃t∗j ∈ [s − k − 1, s − 1] cho fvj (t∗j ) = Suy ra, tập [s − k, s] đỉnh vi nhận deg(vi ) chip Suy ra, ∃t ∈ [s − k, s] cho Cvi (t) ≥ deg(vi ), mâu thuẫn với giả thiết Định nghĩa 3.7 Cho xích giới hạn phân hoạch giá (3.2), ta định nghĩa số lớn kí tự liên tiếp fvi : M = max max Ski vi ∈V 1≤k≤pi 28 Tương tự, ta định nghĩa phân hoạch tập lớn kí tự c (supp(fvi )) = qi [ Dki , vi ∈ V k=1 Dki tập lớn gồm kí tự liên tiếp vector vết fvi Ta định nghĩa: N = max max Dki vi ∈V 1≤k≤qi ận Lu Rõ ràng, ≤ M, N ≤ T Nếu M = M = T tương ứng với điểm cố định Bổ đề 3.6 Trong trường hợp đồ thị cây, ta có bổ đề sau: n vă Bổ đề 3.8 Cho G = (V, E) (C(0), C(1), , C(T − 1)) xích giới hạn CFG song song Khi đó, th ạc < M < T =⇒ M = < N < T =⇒ N = sĩ To tức là, vòng lặp địa phương khơng điểm cố định, tập lớn có cỡ án Chứng minh Giả sử M ≥ 2, v0 ∈ V cho tồn tập lớn fv0 kí tự 1, tức là: supp(fv0 ) ⊇ S = [t, t + M − 1], S tập lớn Từ bổ đề 3.6(b), ∃v1 ∈ N (v0 ) cho supp(fv1 ) ⊇ S = [t − 1, t + M − 2] với S tập lớn (do M là số lớn kí tự fvi ) Từ bổ đề 3.6(b), ∃v2 ∈ N (v1 ) cho supp(fv2 ) ⊇ S = [t − 2, t + M − 3] với S tập lớn Hơn nữa, v2 6= v0 Thật vậy, giả sử phản chứng v2 = v0 t−1 ∈ supp(fv2 ) kéo theo fv0 (t − 1) = fv2 (t − 1) = Mặt khác, t − ∈ / supp(fv0 ) nên fv0 (t − 1) = Mâu thuẫn Tiếp tục trình này, G áp dụng bổ đề 3.6(b), ta tìm dãy đỉnh đôi khác {v0 , , vk } cho vk đỉnh (tức deg vk = 1, N (vk ) = {vk−1 }) c họ S = [t, t + M − 1],