Mục lục Danh sách hình vẽ 3 Danh sách bảng 5 MỞ ĐẦU 6 1 TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 8 1 1 Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ 8 1 2 Tính liên thông của[.]
Mục lục Danh sách hình vẽ Danh sách bảng MỞ ĐẦU TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ 1.1 Các định nghĩa đồ thị ví dụ 1.2 Tính liên thông đồ thị 12 1.3 Các loại liên thông đồ thị 15 1.4 1.3.1 Đồ thị k - liên thông 15 1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông 21 Hai loại phân tích tai Điều kiện để có phân tích tai 24 1.4.1 Phân tích tai loại 24 1.4.2 Phân tích tai loại 27 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN TÍCH TAI 32 2.1 Phân tích tai gắn kết 33 2.2 Đồ thị Series - Parallel phân tích tai 40 2.3 2.2.1 Định nghĩa đồ thị Series - Parallel 40 2.2.2 Điều kiện để đồ thị Series - Parallel 41 Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel 48 2.3.1 Ý tưởng thuật toán 48 2.3.2 Kiểm tra tính gắn kết 49 2.3.3 Độ phức tạp ví dụ 59 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 65 Danh sách hình vẽ 1.1 Một số ví dụ đồ thị 10 1.2 Đồ thị hai phần đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 10 1.3 Đồ thị vô hướng G 13 1.4 Trường hợp P chứa e 13 1.5 Rừng gồm 14 1.6 Kết nối K3 , K2,3 đồ thị liên thơng có đỉnh cắt 16 1.7 Trường hợp đường R có điểm chung với P Q 18 1.8 Chu trình u, x, y, v, u qua hai cạnh uv xy 19 1.9 Sự phân chia cạnh uv thành đường u, w, v 19 1.10 Sửa đổi chu trình qua e, f 20 1.11 Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh khơng phải tập cạnh cắt 22 1.12 Hình minh họa S, S T 23 1.13 Kết nối kết nối cạnh số đồ thị 23 1.14 Ví dụ phân tích tai phân tích tai mở loại 24 1.15 Phân tích tai thu thay P3 = P0 25 1.16 Chuỗi phép phân chia cạnh uv chuyển đồ thị G + uv thành G ∪ P 26 1.17 Phân tích tai phân tích tai mở loại 28 1.18 Đồ thị G, khối đồ thị - cạnh liên thông cực đại G 29 1.19 Hình minh họa trường hợp thêm tai thứ k 30 2.1 Phân tích tai gắn kết phân tích tai dạng 34 2.2 Cây khoảng gắn tai E1 35 2.3 Phân tích tai dạng 36 2.4 Tai Ej gắn Ei không gắn thực 38 2.5 Cấu trúc đồ thị TTSP phép tổng hợp chuỗi song song 41 2.6 Cây nhị phân thể cấu trúc đồ thị TTSP hình 2.5 42 2.7 Hình minh họa trường hợp 43 2.8 Tai Ei đường tai Hi 51 2.9 Cây gắn kết tai Ei 56 2.10 Đường tai Hj tai Ej 56 2.11 Cây sp 58 2.12 Đồ thị G 60 2.13 Đường cạnh H1 sp 61 2.14 Đường cạnh H2 sp 61 2.15 Đường cạnh H3 sp 62 2.16 Đường cạnh H4 sp 63 2.17 Đường cạnh H5 sp 63 2.18 Cây sp G 64 Danh sách bảng 2.1 Danh sách cạnh xuôi ngược đỉnh Hi 51 2.2 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh Hi 55 2.3 Lưu trữ cạnh Hi vào ô nhớ 55 2.4 Danh sách cạnh xuôi ngược đỉnh Hj 56 2.5 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh Hj 57 2.6 Lưu trữ cạnh Hj vào ô nhớ 57 2.7 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh ei 58 2.8 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh H1 60 2.9 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H1 60 2.10 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H2 61 2.11 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H3 62 2.12 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H4 62 2.13 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H5 63 MỞ ĐẦU Ngày nay, lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ, trở thành chủ đề quan trọng Toán học, sử dụng nhiều vấn đề ứng dụng toán học Một lớp đồ thị bản, quan trọng đồ thị Series Parallel Chúng hay ứng dụng mơ hình mạch điện, vấn đề lập kế hoạch Việc nhận đồ thị Series Parallel vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm điều thực thời gian tuyến tính (Valdes, Tarjan Lawler, 1979 [2]) Hơn nữa, ta biết phân tích đồ thị Series Parallel theo hai phép tốn Series Parallel ta giải nhiều vấn đề thời gian tuyến tính tìm ghép cặp lớn nhất, tập độc lập lớn nhất, có nhiều vấn đề NP – khó cho đồ thị tổng quát Năm 1987, He Yesha [3] đưa thuật tốn nhận dạng đồ thị Seriesparallel có hướng thời gian O(log n) với O(m + n) xử lí EREW PRAM Năm 1992, Eppstein [4] cải thiện kết này, thuật toán chạy thời gian O(logn) với C(m, n) xử lí CRCW PRAM, C(m, n) số xử lí cần thiết để đếm số thành phần liên thông đồ thị thời gian logarit Giá trị bị chặn tốt biết C(m, n) = O(mα(m, n)/logn) Trong luận văn này, chúng tơi trình bày phân tích tai đồ thị, mối liên hệ phân tích tai đồ thị Series Parallel quan trọng trình bày thuật tốn nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật tốn dựa khái niệm phân tích tai mở đồ thị Luận văn chia làm hai chương sau: Chương 1: Tìm hiểu phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng đồ thị Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm đồ thị, loại liên thơng đồ thị, định nghĩa phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa phân tích tai Ở chương này, chúng tơi giới thiệu đồ thị Series Parallel, phân tích tai gắn kết, sau trình bày điều kiện để đồ thị Series Parallel cuối kết hợp kết có để hình thành thuật tốn Mặc dù thân tác giả cố gắng, xong luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn để luận văn hồn thiện CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ Trước vào vấn đề chính, chúng tơi trình bày kiến thức đồ thị, tính liên thơng, k - liên thơng, giới thiệu phân tích tai đồ thị mối liên hệ với tính liên thơng Để làm sáng tỏ vấn đề, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh định lý, phân chia trường hợp cụ thể vẽ hình minh họa Phần lớn kiến thức chương trích dẫn từ [4] [5] 1.1 Các định nghĩa đồ thị ví dụ Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm đồ thị vô hướng đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đường, chu trình, Đây kiến thức sở sử dụng phần luận văn Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị vơ hướng) • Một đồ thị vơ hướng G cặp có thứ tự G := (V, E) V tập đỉnh, E tập cặp đỉnh (khơng có thứ tự), gọi cạnh Hai đỉnh thuộc cạnh gọi đầu mút cạnh Ta kí hiệu V (G) tập đỉnh G, E(G) tập cạnh G • Cạnh e = uv (hay e = vu) u, v hai đầu mút e Khi ta nói cạnh e kề với hai đỉnh u v hay u, v kề hay u, v hàng xóm Định nghĩa 1.1.2 Một khuyên cạnh mà hai đỉnh cuối trùng Các cạnh bội cạnh mà chúng có chung đỉnh cuối Đơn đồ thị đồ thị khơng có khun cạnh bội Trong luận văn ta xét đồ thị vơ hướng có khuyên cạnh bội Định nghĩa 1.1.3 Cho đồ thị G, bậc đỉnh v ∈ V (G) kí hiệu dG (v) hay d(v) số cạnh kề với v , riêng khuyên v (nếu có) đếm lần Ta đặt ∆(G) bậc lớn đồ thị, δ(G) bậc nhỏ đồ thị Định nghĩa 1.1.4 Đơn đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh phân biệt V kề Đồ thị đầy đủ n đỉnh (n > 0) kí hiệu Kn Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1 • Cạnh e6 khuyên đồ thị G Cạnh e7 e1 cạnh bội G, G khơng phải đơn đồ thị • K2 K4 đồ thị đầy đủ • Ta có ∆(G) = δ(G) = 2, ∆(K4 ) = δ(K4 ) = Định nghĩa 1.1.5 (Đồ thị hai phần) • Đơn đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị hai phần V = U ∪ W cho cặp đỉnh phân biệt U W không kề nhau, tức với u1 , u2 ∈ U, w1 , w2 ∈ W (u1 , u2 ) ∈ / E, (w1 , w2 ) ∈ / E Khi ta viết đồ thị G dạng G = (U ∪ W, E) 10 Hình 1.1: Một số ví dụ đồ thị • Đồ thị hai phần G = (U ∪ W, E) đầy đủ đỉnh U kề với đỉnh W Nếu m số đỉnh U , n số đỉnh W đồ thị hai phần đầy đủ G kí hiệu Km,n Hình 1.2: Đồ thị hai phần đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 Định nghĩa 1.1.6 (Đồ thị đồ thị cảm sinh) • Một đồ thị đồ thị G đồ thị H cho V (H) ⊆ V (G), E(H) ⊆ E(G) cách gán hai đầu mút cho cạnh H giống G • Cho T ⊆ V (G), đồ thị G sinh T đồ thị G có tập đỉnh T tập cạnh tất cạnh G có hai đầu mút thuộc T , kí hiệu G[T ] ... niệm đồ thị, loại liên thông đồ thị, định nghĩa phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa phân tích tai Ở chương này, giới thiệu đồ thị Series Parallel, ... thông đồ thị thời gian logarit Giá trị bị chặn tốt biết C(m, n) = O(mα(m, n)/logn) Trong luận văn này, chúng tơi trình bày phân tích tai đồ thị, mối liên hệ phân tích tai đồ thị Series Parallel. .. nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật toán dựa khái niệm phân tích tai mở đồ thị Luận văn chia làm hai chương sau: Chương 1: Tìm hiểu phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng đồ thị Trong