Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Hoàng Thạch, thầy đã hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn Thầy đã truyền cảm hứn[.]
Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới TS Nguyễn Hoàng Thạch, thầy hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ nhiều trình học tập làm luận văn Thầy truyền cảm hứng giúp tơi hồn thiện thân nhiều sau trình làm việc thầy Tơi xin gửi lịng cảm ơn tới tất thầy Viện Tốn Học truyền đạt kiến thức chuyên sâu ý nghĩa việc học Tốn hai năm học Tơi xin cảm ơn tới tất thầy cô anh chị Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm tơi nhiều q trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời tri ân tới bố mẹ, người thân gia đình bạn bè ln ủng hộ, khích lệ động viên tinh thần suốt q trình học tập để hồn thành tốt luận văn thạc sĩ Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Mai Thu Huyền Danh mục kí hiệu CF G Cn Kn Wn C(t) Cv (t) L fvi (t) Mơ hình chip-firing game Chu trình n đỉnh Đồ thị đầy đủ n đỉnh Đồ thị bánh xe n đỉnh Cấu hình chip thời điểm t Cấu hình chip đỉnh v thời điểm t Ma trận Laplace Vết đỉnh vi thời điểm t chu kỳ T Ski Tập lớn kí tự Dki Tập lớn kí tự Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Một ví dụ đồ thị đơn Một ví dụ đa đồ thị Một ví dụ đồ thị có khuyên Một ví dụ đồ thị có hướng Một ví dụ đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) Một ví dụ chu trình: (a) C3 , (b)C4 , (c) C5 Một ví dụ đồ thi đầy đủ: (a) K4 , (b) K5 Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2,3 , (b) K3,3 Đồ thị bánh xe: (a) W3 , (b) W4 , (c) W5 Đồ thi liên thông Đồ thị không liên thông Cây 10 10 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Cấu hình ban đầu chip đồ thị Bắn chip chu trình C3 Bắn chip đồ thị Đồ thị cho ma trận Laplace Cấu hình chip ban đầu chu trình C6 14 14 17 18 20 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Cấu hình ban đầu chip đường Cấu hình ban đầu chip đồ thị Cấu hình ban đầu chip chu trình Cây có chu kỳ T = Chu trình có chu kỳ T = 22 23 25 30 31 Danh sách bảng 2.1 Bắn chip chu trình C6 20 3.1 3.2 3.3 Bắn chip song song đường 22 CFG song song chu trình 25 CFG song song chu trình đỉnh 31 Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ VÀ VÍ DỤ 1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THƠNG 1.4 CÂY 3 10 CHIP-FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.1 MƠ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG 14 2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY 24 A Mã nguồn CFG 33 B Mã nguồn CFG song song 35 MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, mô hình Chip-firing game (CFG) thu hút nhiều nhà nghiên cứu, nhiều cơng trình cơng bố CFG trở thành phần quan trọng cấu trúc tổ hợp (structural combinatoric) Năm 1986, CFG mở đầu báo J Spencer viết "balancing game" Năm 1991, A Bjorner, L Lovasz, P W Shor xây dựng mơ hình CFG cho đồ thị đơn, vơ hướng liên thơng, trình bày [3] Họ tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Năm 1992, J Bitar E Goles xây dựng mô hình CFG song song chu kỳ cây,được trình bày [4] Trong khuôn khổ luận văn trình bày kết đồ thị hữu hạn, liên thông, đơn vô hướng Luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày số định nghĩa kết sử dụng chương chương Đó số khái niệm tính chất đồ thị Chương trình bày mơ hình CFG, tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Chương trình bày mơ hình CFG song song chu kỳ chip dạng đồ thị Phụ lục A trình bày mã nguồn tìm cấu hình kết thúc CFG, phụ lục B trình bày mã nguồn tìm cấu hình thời điểm CFG song song đồ thị Mã nguồn trình bày ngơn ngữ Python với thư viện xây dựng cho đồ thị networkx Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ Phần trình bày số kiến thức đồ thị tham khảo từ [1], [2] Đó kiến thức sở phần luận văn 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong phần trình bày số khái niệm sở đồ thị hữu hạn Định nghĩa 1.1 Một đồ thị (vô hướng) G = (V, E) xác định bởi: • tập hợp V khác rỗng gồm đỉnh, • tập hợp E gồm cạnh, cạnh có hai đầu hai đỉnh Định nghĩa 1.2 Nếu hai đỉnh có khơng q cạnh G gọi đồ thị đơn Khi E đồng với tập hợp cặp đỉnh không thứ tự Một cách tương đương, E đồng với ánh xạ từ V × V vào {0, 1} cho với vi , vj ∈ V : ( có cạnh nối vi vj , E(vi , vj ) = E(vj , vi ) = không Hình 1.1: Một ví dụ đồ thị đơn Ví dụ 1.3 Trong Hình 1.1, G = (V, E) đồ thị đơn có: • Tập hợp đỉnh V = {a, b, c, d} • Tập hợp cạnh E = {ab, ac, ad, bc, cd} Định nghĩa 1.4 Nếu hai đỉnh có nhiều cạnh G gọi đa đồ thị Khi E đồng với ánh xạ từ V × V vào N cho với vi , vj ∈ V : E(vi , vj ) = E(vj , vi ) = số cạnh nối vi vj Hình 1.2: Một ví dụ đa đồ thị Ví dụ 1.5 Trong Hình 1.2, G = (V, E) đa đồ thị: E(a, b) = E(b, a) = 2; E(a, d) = E(d, a) = Hình 1.3: Một ví dụ đồ thị có khuyên Định nghĩa 1.6 Một cạnh đồ thị có hai đầu trùng gọi khuyên Ví dụ 1.7 Cho đồ thị G = (V, E) Hình 1.3, đỉnh a đỉnh có khun Định nghĩa 1.8 Một đồ thị có hướng G = (V, E) xác định bởi: • tập hợp V khác rỗng gồm đỉnh, • tập hợp E gồm cạnh có hướng (hay cung), cạnh từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối Hình 1.4: Một ví dụ đồ thị có hướng Định nghĩa 1.9 Nếu với hai đỉnh vi , vj bất kỳ, có nhiều cạnh từ vi tới vj G gọi đồ thị đơn có hướng Khi E coi tập hợp cặp có tính thứ tự đỉnh Một cách tương đương, E đồng với ánh xạ từ V × V vào {0, 1} cho với vi , vj ∈ V : ( có cạnh từ vi tới vj , E(vi , vj ) = khơng Hình 1.5: Một ví dụ đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) Định nghĩa 1.10 Nếu từ đỉnh tới đỉnh khác có nhiều cạnh G gọi đa đồ thị có hướng Khi E đồng với ánh xạ từ V × V vào N cho với vi , vj ∈ V : E(vi , vj ) = số cạnh từ vi tới vj Định nghĩa 1.11 Xét đồ thị đơn vô hướng G = (V, E) Nếu hai đỉnh vi , vj nối cạnh e ta nói vi , vj hai đỉnh kề cạnh e kề với đỉnh vi , vj Lân cận N (v) đỉnh v tập hợp tất Scác đỉnh kề với Lân cận tập hợp đỉnh W ⊂ V N (W ) = N (v) v∈W Bậc đỉnh v, ký hiệu deg(v) số cạnh kề với Ví dụ 1.12 Cho đồ thị G = (V, E) đồ thị đơn vô hướng với V = {a, b, c, d}; E = {ab, ac, ad, bc, cd} Hình 1.1, lân cận đỉnh a : N (a) = {b, c, d} bậc đỉnh a : deg(a) = Lân cận đỉnh b là: N (b) = {a, c} bậc đỉnh b: deg(b) = ... ĐỒ THỊ 21 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY 24 A Mã nguồn CFG 33 B Mã nguồn CFG song song 35 MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, mơ hình Chip- firing. .. CHIP- FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.1 MƠ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 12 2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG 14 2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ... đỉnh khơng kề tạo đồ thị có chu trình đơn 12 Chương CHIP- FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ Chương trình bày số khái niệm, kết tính hữu hạn tính chất ma trận Laplace chip- firing game đồ thị đơn, liên thơng