gv BS
Chịu trách nhiệm xuất bản : Giám đốc NGÔ TRẤN ÁI
Tổng bién tip VU DUONG THUY
Biên tập nội dung TRẤN CHÍ HIẾU _ Biên tập tái bản TRẤN CHÍ HIẾU , Trình bày bìa HOÀNG PHƯƠNG LIÊN Sửa bản in HOÀNG MINH TÂM 51(075)1741/76-01 GD-02 Mã số : 2G919t2
LỞI NÓI ĐẦU
"Xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề" /ờ một uấn
đề có liên, quan rat một thiết đến Uiệc xây dựng chương trình hình học Uờ Uuiệc giảng dạy hình học ở các trường Phố thông co sé va Phd thông trung học theo chương trình CCGD hiện nay Do đó cuốn sách này được
biên soạn nhằm mục đích phục uụ cho uiệc học tập của sinh uiên Toán hệ chính quy, hệ tại chức, hệ đại học hóa của trường Dai hoc Su phạm Uồ sinh uiên Toán các trường Cao đẳng Sư Phạm Ngoài ra tài liệu này
cũng có thể dùng lam tai liéu tham khdo cho gido vién Toón các trường
Phổ thông cơ sở, Phổ thong trung hoc va những người ham thích
nghiên cứu hình học
Nội dụng cuốn sách gồm có năm chương sau đây : CHUONG I : Vai nét lịch sử uê uiệc xây dựng hình học CHUONG II : Hệ tiên đề của hình học Ơlit
CHUONG III : Hệ tiên đề của hình học Lobasepxki uờ lí thuyết uê
đường song song
CHUONG IV : Ba uấn đề cơ bản của phương pháp tiên đề CHUONG V : Giới thiệu một số hệ tiên đề trong uiệc xây dựng
hình học
Cuối mỗi chương đêu: có các câu hỏi ôn tập nhằm giúp độc giả củng cố, hệ thông những uốn đề cơ bản của chương đó
Cuốn sách này nhằm giúp bạn đọc hiểu rõ những uốn dé cơ bản trong uiệc xây dựng hình học bằng phương phép tiên đề, một phương
pháp quan trong được dùng đề xây dựng cóc bộ mơn Tốn hoc hién dai Phương pháp này đã ra đời cách đây hơn bai ngàn năm uà đã được
hoàn thiện cùng uới sự phát triển của hình học clit uầ sự ra đời của
các môi hình học khác Ngày nay phương phúp tiên đê đã từ hình học
lan rộng phát huy ảnh hưởng sang nhiều ngành toón học khác, kể cả
tin hoc va nhiéu bộ môn khoa học xã hội khác
Chúng tôi mong cuốn sách này sẽ nang lại những điều bố ích cho
các ban đọc Chắc rằng cuốn sóch đang còn có những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý để củi tiến cho cuốn sách được tốt hơn
TP Hồ Chí Minh, ngày 01—01—1998
Trang 4im
cà
CHUONG I
VAI NET LICH SỬ VỀ VIỆC XÂY DỰNG HÌNH HỌC
§! SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ
TRONG HÌNH HỌC VÀ TÁC PHẨM CỦA ƠCLIT
1 Vai nét lịch sử về sự ra đời của môn hình học
Các khái niệm đầu tiên của hình học đã ra đời gắn liền với nền văn hóa cổ ở Babilon và Ai Cập Vào thời kì này người ta đã biết tính diện tích các hình phẳng đơn giản như hình tam giác, hình thang, hình tròn và đã biết tính thể tích một số hình không
‘ gian thông thường như hình hộp chữ nhật, hình chóp đáy vuông v.v
Từ thế kỉ thứ VII đến thế kỉ thứ III trước Công nguyên, các nhà hình học Hi Lạp đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển môn hình học Nhiều vấn đề cơ bản của hình học đã được tìm ra từ thế ki thứ VI và thế kỉ thứ V trước Công nguyên Chính vào thời kì đó khái niệm về chứng minh một định lí đã được hình thành Cho đến thế kỉ thứ III trước Công nguyên, người Hi Lạp đã có những hiểu biết về hình học không những chỉ về khối lượng phong phú về nội dung kiến thức mà cả về phương pháp chứng minh hinh học Tất cả những việc làm đó đã đặt nền móng
cho sự ra đời của môn Cơ sở hình học mà nội dung chủ yếu của
nó là nghiên cứu sự sắp xếp các kiến thức hình học theo một trình
¬ tự suy luận hợp logic Nhiều tác phẩm về hình học ở Hi Lạp đã
xuất hiện vào thời kì này nhưng tất cả hình như bị bỏ quên sau
Trang 5người xem là một mẫu mực đáng noi theo về phương pháp xây dựng một lí thuyết toán học và dựa theo đó người ta có thể tiến hành việc giảng dạy hình học Ơclit là một trong những nhà hình học xuất sắc của thời cổ Hi Lạp Ông dạy học và sống ở Alexandri vào khoảng từ năm 330 đến năm 275 trước Công nguyên Trong tác phẩm cia minh, Oclit đã trình bày các kiến thức cơ bản của hình học một cách có hệ thống bằng cách dựa vào một số tiên đề rồi bằng phương pháp suy diễn ông tìm cách chứng minh các định lí một cách tương đối chặt chẽ Do đó người ta đã xem Ơclit là người đầu tiên đặt nền móng cho việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên để và người ta đã dùng tên ông để gọi tên thứ hình học
đó
2 Tác phẩm của Ơclit
Tác phẩm "Cơ bản" của Ơclit gồm 13 quyển, trong đó ông đã
hệ thống các kiến thức cơ bản về hình học ở Hi Lạp thời bấy giờ Các quyến V, VII, VIII, IX va X trình bày các li thuyết về số học dưới dạng hình học Những quyển còn lại dành cho những vấn đề thuần túy hình học Sau đây chúng ta hãy điểm qua một số nội dung cơ bản của tác phẩm nổi tiếng đó :
— Trong quyển L tác giả đã trình bày về các trường hợp bằng nhau của tam giác, sự so sánh về cạnh và góc trong một tam giác, sự vuông góc và song song của các đường thẳng Ngoài ra trong
quyến nay, Oclit có để cập tới các tính chất của hình bình hành, điều kiện để các tam giác và các đa giác có diện tích bằng nhau và định lí Pitago
— Trong quyển II, Ơclit đã mô tả cách biến đổi một đa giác thành một hình vuông có cùng diện tích Cần lưu ý rằng khái niệm về diện tích ở đây chưa được biểu thị bằng con số Ngoài ra tac gia
còn trình bày một số đẳng thức đại số dưới dạng hình học Thí dụ
đẳng thức (a+b)Š=a2+b2+2ab được phát biểu như sau : "Hình vuông dựng trên tổng của hai đoạn thẳng thì đẳng hợp (có cùng diện tích) với hai hình vuông dựng trên hai đoạn thẳng đó và hai hình chữ nhật có hai cạnh là hai đoạn thẳng đã cho"
6
- Ở quyển HT, tác giả giới thiệu về đường tròn và các tính chất có liên quan đến đường tròn thí dụ như các tính chất của tiếp tuyến và của các dây cung Ngoài ra trong quyển này còn có các định lí nói về phương tích của một điểm đối với một đường tròn
— Ở quyển IV, Ơclit đã nói về các đa giác đều và các phép dựng các đa giác đều với số cạnh bằng 3, 4, 5, 10, 15
— Ở quyển V, tác giả trình bày lí thuyết về tỉ lệ thức bằng
nội dụng hình học với-những lập luận khá chặt chẽ và chính xác
— Quyển VI nói về lí thuyết các hình đồng dạng phẳng — Các quyển VII, VII, IX có nội dung số học nhưng được trình bày đưới dạng hình học
— Quyển X trình bày về các phép dựng hình học để tìm căn bậc hai của một số nguyên
— Ba quyển cuối cùng của tác phẩm có nội dung về hình học không gian Quyển XĨI nói về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, về góc đa diện, về sự tương đương về thể tích của các hình chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao Quyển XII trình bay cách tính diện tích hình tròn, cách tính thể tích các hình lăng trụ, hình chóp, hình trụ, hình nón và nói về các hình đồng dạng trong không gian Cuối cùng ở quyển XI tác giả đã nói về hình cầu và các tính chất có liên quan, cách tính điện tích và thể tích của hình cầu Ngoài ra trong quyển này tác giả có trình bày về ð loại khối đa diện đều và khẳng định rằng ngoài 5 loại đó ra không còn có một loại đa điện đều nào khác
Trang 6
§2 CAC ĐỊNH NGHIA VA CAC TIEN DE TRONG TAC
PHAM CUA OCLIT
1 Cac dinh nghia
Trong mỗi quyển sách của mình, Ơclit đã bát đầu bằng những định nghĩa các khái niệm sẽ gặp sau đó Ở đầu quyển I có 23 định nghĩa và sau đây là một số định nghĩa đầu tiên trong số các định nghĩa đó :
1) Điểm là cái gì không có bộ phận 2) Đường có bể dài và không có bề rộng 3) Các đầu mút của một đường là những điểm
4) Đường thắng là đường có sự sắp đặt vị trí như nhau đối với mọi điềm của nó
ð) Mặt là cái chỉ có bể dài và bề rộng 6) Các biên của một mặt là những đường
7) Mat phẳng là mặt có sự sắp đặt vị trí như nhau đối với mọi đường thẳng của nó
Sau các định nghĩa, clit đã trình bày các định đề lệ n0, và các tiên đề (axiome) là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó được thừa nhận, không chứng minh
2 Các định để
I Từ một điểm bất kì này đến một điểm bất kì khác có thể vẽ một đường thẳng
Il Một đường thẳng có thể kéo dài ra vê hạn
HH Từ một điểm bất kì làm tâm và với một bán kính tùy ý, có thể vẽ một đường tròn
IV Tất cả các góc vuông đều bằng nhau
V Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo nên hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai vuông thì hai đường thẳng đó phải cắt nhau về phía có hai góc nói trên đối với đường thẳng cắt (H.1) = s+8<2U⁄01, — ¬ _ Hình 1 3 Các tiên để
I Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau
II Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau
HI Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau
IV Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau V Toàn thể lớn hơn một phần
CHỦ THÍCH : Theo một số nhà nghiền cứu hình học thì hình như Ơclit phân biệt định để và tiên để ở chỗ định đề có nội dung hình học còn tiên đề thì chỉ có nội dung chưng chung về miặt suy luận Ngày nay người ta không phân biệt như vậy nữa và gọi các mệnh đề đó đều là các tiên đề
4 Các định lí và việc suy luận trong tác phẩm của
Ơclit
Trang 7định li, định để và tiên đề đã có trước đó Việc nêu ra các định
nghĩa, các định đề và tiên đề cần phải đ/ để cho mọi định lí đều được chứng minh một cách chặt chẽ, bằng suy diễn logic, là một việc làm rất khó khăn và đầy phức tạp Trong logic người ta quan tâm đến các quy luật của sự suy diễn, cho phép đi từ tính đúng đắn của một phán đoán này đưa đến kết luận về tính đúng đắn hay sai lầm của các phán đoán khác dựa vào dạng của các phán đoán chứ không phụ thuộc vào nội dung của các phán đoán đó Đây là một quan niệm về các yêu cầu của một khoa học suy diễn do Arixtôt nêu lên từ thế kỉ thứ VI trước Công nguyên và đã được Ơclit áp dụng trong việc xây dựng hình học Có thể nói Ơclit là người đầu tiên đặt nên móng và áp dụng phương pháp tiên đề trong việc xây dựng hình học thể hiện qua tác phẩm "Cơ bản" của mình Trải qua hơn hai ngàn năm, tác phẩm đó của Oclit vẫn được xem
là một mẫu mực về tính chính xác chặt chẽ trong suy luận để xây
dựng hình học Tuy nhiên nội dung tác phẩm của Ơclit chưa đáp ứng được các yêu cầu của một khoa học suy diễn như Arixtôt đã
đề xuất Ngày nay đứng trên quan điểm của toán học hiện đại mà
xét thì tác phẩm "Cơ bản" của Ơclit cũng còn có nhiều thiếu sót và chưa cung cấp đầy đủ các điều kiện cần thiết để xây dựng mơn
hình học
, Tồn bộ tác phẩm của Ơclit đã thể hiện ý đồ.của ông là muốn
xây dựng hình học một cách chặt chẽ, hợp logic nhưng ý đồ ấy không được thực hiện một cách triệt để và có một số mặt còn bị
hạn chế _
§3 CÁC THIẾU SOT TRONG TAC PHAM CUA OCLIT 1 Trước hết Ợclit chưa nhận ra được sự tất yếu cần phải có các khái niệm cơ bản là các khái niệm xuất phát đầu tiên dùng để định nghĩa các khái niệm khác Ông đã đi vào cái vòng luẩn quan là dùng cái chưa được định nghĩa để định nghĩa các khái niệm khác Thí dụ như trong định nghĩa về "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng"
thì các khái niệm như "bộ phận", "bề dài", "bề rộng" "sắp đặt vị trí 10
như nhau" đều chưa được định nghĩa Mặt khác một số định nghĩa cua Oclit là thừa, người ta có thể bỏ đi mà không có ảnh hưởng gì
_đến việc xây dựng hình học, thí dụ định nghĩa "điểm", đường "thẳng",
"mặt phẳng" Hơn nữa các định nghĩa nêu lên ở phần này thực chất
chỉ là một sự mô tả sơ sài các khái niệm đó mà thôi Khi phê phán
tác phẩm của Ơclit, giáo sư Kagan (1869—1953) một nhà toán học xuất sắc của nước Nga đã khẳng định rằng : "Các định nghĩa không chỉ là chỗ yếu nhất trong toàn bộ tác phẩm của ỞƠclit mà trong một chừng mực nhất định, chúng là nguyên nhân của hầu hết các nhược điểm trong tác phẩm do"
3 Các định đề và tiên đề của Ơclit vừa thừa nhưng lại vừa thiếu Thí dụ mệnh đề : "Tất cả các góc vuông đều bằng nhau" là thừa vì mệnh để này có thể chứng minh được Mặt khác hệ tiên dé cia Oclit còn thiếu các tiền để về thứ tự, về liên tục nên chưa cung cấp đủ cơ sở cho việc suy luận chặt chẽ trong việc chứng minh các định lí có liên quan đến vấn đề này
Trong nhiều chứng minh ông đã phải thừa nhận những điều mà ông không nêu lên thành tiên đề Thí dụ khi có hai đường tròn bàng nhau mà đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia thì Ơclit mặc nhiên công nhận rằng chúng cắt nhau chứ không chứng minh sự tồn tại của các giao điểm (mà thực ra không thể chứng minh được vì thiếu các tiên đề liên tục) Về sự bằng nhau của các hình thì Ơclit đã định nghĩa thông qua khái niệm dời hình thể hiện cụ thể bằng khái niệm chồng khít, nhưng trong hệ tiên đề của Ởclit không có một tiên để nào nói về phép dời hình cả Ngoài ra hệ tiên để của Ơclit còn thiếu một số tiên để về hình học không gian
3 Chúng ta không hề gặp trong tập "Cơ bản" những ứng dụng thực tiễn của hình học, thậm chí không thấy nói đến thước và compa là những dụng cụ dựng hình thông thường để dựng đường thẳng và đường tròn Vấn để này có lẽ nằm trong xu thế chung của xã hội lúc bấy giờ vì lúc đó người ta có xu hướng coi trọng các
mơn tốn học lí thuyết và xem nhẹ các môn toán học ứng dụng
Hơn nữa trong tác phẩm của ỞƠclit người ta không thấy nói tới các đường conic là những kiến thức đã có thời bấy giờ
Trang 8Các nhà bác học thời cổ đã phát hiện được một số thiếu sót
trong tác phẩm của Ơclit Đặc biệt Acsimet đã bổ sung thêm các
tiên để làm cơ sở cho việc đo độ dài, đo diện tích và đo thể tích
Trong khi nghiên cứu về hệ tiên để của Ơclit có một số các nhà toán học cho rằng cần phải thêm vào đó một số tiên đề cần thiết thì một số đơng các nhà tốn học khác lại cố gắng tìm cách bớt di những tiên đề thừa Theo hướng này, định đề V của Oclit bi nghỉ ` thừa vì người ta quen nghĩ rằng tiên đề phải đơn giản trong khi đó định dé V của Ơclit được phát biểu khá phức tạp Quá trình thêm, bớt, lựa chọn, hoàn chỉnh hệ tiên để của Ơclit đã diễn ra trên hai ngàn năm trong đó có các công trình quan trọng của nhiều
HINH, học nổi tiếng trên thế giới nghiên cứu về định đề V của clit
Các thiếu sót trên đây của Ơclit không phải là điều khó hiểu nếu chúng ta biết rằng phải khoảng 2200 năm sau Hinbe mới xây dựng được một hệ tiên để không thừa không thiếu cho hình học Ờclit Nếu như đến cuối thế kỉ XIX chúng ta mới có được một hệ tiên .đề hình học hoàn chỉnh thì thắng lợi đó phải xem là được bắt đầu a tác phẩm "Cơ bản" của Ơclit, Chúng ta cần đánh giá công trình
có giá trị khoa học đó của Ơclit một cách khách quan, khoa học vì
Ơclit khơng thể nào thốt ra khỏi những hạn chế có tính chất lịch sử của thời đại cổ Hi Lạp cách đây hơn hai ngàn năm
§4 ĐỊNH ĐỀ V CUA OCLIT
- Lich sử phát triển của hình học đã có quan hệ rất mật: thiết với việc nghiên cứu về định để V của Ơclit Nhiều thế hê ean hoc trên thể giới đã tốn rất nhiều công sức để chứng minh định đề V của Oclit, nhưng mọi nỗ lực cố gắng đó đều không đi đến kết quả Mãi đến khoảng giữa thế kỉ thứ XIX lí thuyết về đường song cane nêu trong định dé V của Ơclit đã được nhà toán học Nga*à NI
Lobasepxki (1793—1856) và nhà toán học Hungari in Bolyai Jénoa
(1802~ 1866) nghiên cứu và giải quyết thành công Hai nhà toán
học nổi tiếng đó đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có
12
- ge 7
mâu thuẫn goi lA hinh hoc Lobasepxki — Bolyai Hai 6ng da thay định dé V của Ơclit bằng một tiên để khác có tính chất phủ nhận định dé V và sáng tạo ra một môn hình học mới là một thứ hình học phi — Ơclit Việc làm trên đây của Lobasepxki và Bolyai chứng tô rầng định đề V không thể suy ra được từ các tiên đề khác và điều đó khẳng định rằng định dé V cia Oclit la một tiên dé chứ
không phải là một định lí Phát triển tư tưởng của sự sáng tạo này,
từ đó người ta nghĩ tới việc xây dựng nhiều thứ hình học khác nhau và mỗi thứ hình học đó gắn với một hệ tiên đề riêng của nó Sau đây chúng ta hãy xét kĩ hơn về định đề V trong chương trình hình học ở bậc phổ thông mà chúng ta quen gọi là "ứiên dé song song" hay "điên đề Ơclit'
1 Định để V trong chương trình hình học ở phổ thông
Trong các sách giáo khoa về hình học ở trường phổ thông, chúng ta hãy quan tâm tới thứ tự xuất hiện của các mệnh đề đầu tiên trong hình học phẳng để thấy vị trí của định dé V và các định lH có trước định đề V Điều này sẽ làm cho chúng ta thấy rõ những định lí nào của hình học có các chứng minh chưa cần dùng đến định để V Ngày nay người ta gọi các định lí đó là các định lí của Hình học tuyệt đối
Sau khi đưa ra các khái niệm cơ bản và dựa trên khái niệm đời hình (khái niệm này chưa được định nghĩa) hoặc khái niệm
khoảng cách của hai điểm và độ lớn của góc người ta so sánh các đoạn thẳng và các góc Thí dụ như hai tam giác gọi là bằng nhau nếu chúng có thể chồng khít lên nhau, đoạn thẳng (hay góc) này bé hơn đoạn thẳng (hay góc) kia nếu đoạn thẳng này có thể chồng khít lên một phần của đoạn thẳng (hay góc) kia thì đoạn thẳng (hay góc) kia được gọi là /ớn hơn đoạn thẳng (hay góc) này Sau đó ta
có các định lí như :
— Các định lí nói về sự bằng nhau của các tam giác thường
và tam giác vuông
— Định lí nói về sự bằng nhau của hai góc ở đáy trong một
tam giác cân
Trang 9— Định lí nói về góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc
trong không kể với góc đó
— Định lí nói về mối quan hệ giữa độ lớn của cạnh và góc đối
diện trong một tam giác
— Các định lí nói về việc so sánh độ dài các đoạn vuông góc
và đoạn xiên
— Các định lí nói về sự so sánh độ lớn của một cạnh với tổng
hoặc hiệu hai cạnh còn lại trong một tam giác
Đau đó xuất hiện định đề V (hoặc tiên đề Ơclit) nhằm mục đích xây dựng lí thuyết về đường thẳng song song Cần lưu ý rằng để chứng minh: sự tổn tại của đường thẳng song song, người ta không cần dùng định đề V mà dùng
định lí sau đây : "Hai đường thẳng
cùng vuông góc với một đường thẳng 4
thứ ba thì song song" (H.2) Dinh li =F
này là hệ quả của định lí về góc ngoài
của tam giác vừa nêu trên đây (giả ————
sử hai đường thẳng đó cắt nhau thì
ta sẽ có góc vuông lớn hơn góc vuông
là điều vô lí _ Hil
Để chứng minh sự duy nhất của đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng không chứa điểm đó ta phải dựa vào định đề V hoặc một mệnh đề tương đương với định đề V
Định để V tương đương với tiên đề mà ngày nay người ta thường gọi là tién dé Oclit sau day :
"Trong mat phing qua một điểm ở ngoài một đường thăng cho
trước có không quú một đường thẳng song song uới đường thẳng đã cho"
Can luu y rang trong hinh hoc phang ménh dé “Qua mot điểm ở ngoài một đường thẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho" khơng phải hồn tồn là 14
tiên đề mà trong đó có một phần là nội dung của định lí về sự tồn
tại của đường thẳng song song đi qua một điểm năm ngoài Bi
đường thẳng cho trước và song song với đường thắng cho ee
Hơn nữa chúng ta cần thấy rằng sự kiện có không quá một đường
thẳng song song nói trên chỉ xảy ra đối với một điểm và mone
thẳng nào đó Nếu công nhận điều này thì ta sẽ chứng minh ‘su
kiện đó đúng với mọi điểm nằm ngoài mọi đường thắng khác
2 Sự tương đương của định để V với tiên dé Oclit
a/ Nếu công nhận định để V thì ta chứng minh được tiên đề clit Giả sử qua điểm B nằm ngoài đường thẳng a có hai đường thẳng b va b’ đều không cắt đường thẳng a nghĩa là b và bỉ đều song song với a, ta sé chứng Hình 3 mỉnh b và b° buộc phải trùng nhau (H3)
Đường thẳng c cắt a và b lần lượt tại A và B Giả sử cát tuyến AB tạo với hai đường thẳng a, b hai góc trong cùng phía là u và v Theo định đề V vì a và b không cắt nhau nên ta có :
u +v > 2 vuông q)
Trang 10— _
—=————
Từ (1), (2), (3) ta suy rau + v = w’ + vì = 2 vuông Lý luận tương tự đối với đường thẳng b, ta có a và bì cũng tạo với cát tuyến AB hai góc trong cùng phía có tổng bằng 2 vuông
Vậy b và b phải trùng nhau Điều đó có nghĩa là qua điểm B nằm
ngoài đường thăng a không thể có quá một đường thẳng song song
với a và như vậy tiên để clit được chứng minh `
b/ Nếu công nhận tiên dé Oclit thì ta chung minh được
định để V
; Giả sử đường thẳng c cắt a, b tại A, B và tạo với hai đường thăng a, b hai góc trong cùng phía là ai và Ø có tổng nhỏ hơn 2 vuông nghĩa là :
ơi +i < 2 vuông
Ta phải chứng minh a và b cắt nhau về phía có hai góc 1, 61 nói trên đối với cát tuyến c (H.4)
Hình 4
Gọi œ2 và a là hai góc trong tạo nên bởi e với a và b đồng
thời nằm khác phía của œI và đi đối với cát tuyến AB Khi đó ta “
CÓ :
a2 + B2 > 2 vudng
Bây giờ qua điểm A ta vẽ đường thẳng a' tạo với cát tuyến c các góc a’1,@’2 thỏa mãn điều kiện :
`=
#*1+Ø\ = 2 vuông (1)
œŒ'2+fa = 2 vuông (2)
16
Mặt khác ta lại 06 a’1+a’ = 2 vudng (3)
Từ (1) và (3) ta suy ra ổị=ơ`a Do đó a` song song với b Thực vậy giả sử a` cắt b về một phía nào đó thí dụ a' cắt b tại một điểm C
(H.4) về phía a1 va đi thì khi đó đối với tam giác ABC ta có #`s là một
góc ngoài của tam giác đó nên œ2 > Øt
Điều này mâu thuẫn với kết luận Øị=ø`a vừa tìm được ở phần trên
Vì ta công nhận tiên đề Ơclit tức là công nhận sự duy nhất của đường thang a’ di qua diém A và không cắt b Vậy đường thẳng a khác với a' sẽ không song song với b nghĩa là a phải cắt b Bây giờ ta còn phải chứng minh hai đường thẳng a, b cắt nhau về phía ơi, đi đối với cát tuyến c
nói trên
Ta chú ý rằng ơi + ơa = 2 vuông va theo gia thiét thi a, + 61 < 2 vuông
Ta suy ra đi < đa (4)
Do đó a va b không thể cát nhau về phía œ2, 62 được vì nếu chúng cắt nhau về phía đó tại điểm C thì Øị sẽ trở thành một góc ngoài của tam giác ABC' và ta sẽ có £1 > ag là điều trái với kết quả (4) mà ta đã
tìm được ở phần trên Vậy ta đã chứng minh được định đề V của Ơclit
3 Các mệnh để tương đương với định để V của Ơclit
Từ thời Ơclit cho đến cuối thế kỉ XIX đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về định đề V của nhiều nhà toán học trên thế giới thuộc nhiều thế hệ khác nhau, nhưng tất cả đều không chứng minh được định đề V Có nhiều chứng minh tưởng chừng như đã thành công, nhưng khi đem phân tích kĩ thì người ta thấy rằng trong các chứng minh đó
các tác giả đã vô tình dùng trực giác công nhận một mệnh đề tương đương với định đề V để chứng minh định đề V Tuy không đạt được
mục đích, nhưng các chứng minh đó đã mang lại nhiều kết quả bố ích
vi dựa vào đó, người ta đã tìm ra một loạt các mệnh đề tương đương
với định đề V Sau đây là một số mệnh đề tương đương với định đề V cua Oclit :
Trang 111) Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có nhiều nhất là một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước (à tiên để Ơclit ở trường phố thông)
2) Hai đường thẳng song song cắt bởi một cát tuyến tạo nên hai góc đồng vị bằng nhau (hoặc hai góc so le trong bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau)
3) Tổng các góc trong của một tam giác bằng hai góc vuông 4) Tất cả các đường thẳng vuông góc với một cạnh của một góc
nhọn đều cắt cạnh còn lại của góc đó ,
5ð) Có những tam giác có diện tích lớn tùy ý
6) Có những tam giác đồng dạng và không bằng nhau 7) Qua một điểm nằm trong một góc lồi bao giờ cũng dựng được một đường thẳng cắt cả hai cạnh của góc đó
8) Tập hợp các điểm-nầm về một phía của một đường thắng đã cho và cách đều đường thẳng đó là một đường thẳng
Bất cứ mệnh đề nào trên đây cũng có thể thay thé cho vai trò của định đề V-trong việc xây dựng cơ sở lí thuyết về đường song song Chúng ta có thể nghĩ rằng chính bản thân Ởclit cũng đã cố gắng chứng minh định đề V, nhưng không thực hiện được điều đó Trong 28 định lí đầu tiên của tập "Cơ bản" Ởclit đã không dùng đến định dé V Hình như Ơclit đã cố gắng trì hoãn việc áp dụng định đề V cho tới chừng nào còn tránh được việc dùng định đề đó Định đề V là một trong những vấn đề được tranh luận bàn cãi nhiều nhất của hình học từ khi nó xuất hiện cho đến cuối thé ki XTX
Sau đây chúng ta nêu lên một số công trình nghiên cứu về định đề V của Ơclit được nhiều người biết đến
4 Các công trình nghiên cứu về định để V
1/ Công trình của Proclus (410 — 485)
Proclus là nhà toán học kiềm triết học của Hi-Lap Ông đã trực tiếp chứng minh định dé V như sau : *
Cho đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a, b hai góc trong cùng phía là œ và Ø có tổng nhỏ hơn hai vuông Cần chứng minh rằng 18 a và b cắt nhau tại một điểm C khi kéo dài chúng về phía có hai góc nói trên (H.5) Hình §
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của c với a và b Ta vẽ qua
A mot đường thẳng a` song song với b Lấy trên a một điểm M
vê phía có hai góc œ, Ø đối với đường thẳng c và hạ đường vuông
góc với a' cắt đường này tại H, ta được tam giác vuông AMH Khi
điểm M đi xa dân điểm A trên đường thẳng a thì khoảng cách
MH từ M tới a` tăng lên vô hạn, (chứng minh ở §3 chương II)
nhưng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song b và a khong
đổi Do đó trên đường thang a sẽ có một điểm C có khoảng cách
tới a' bằng khoảng cách không đổi nói trên Điểm C này chính la
giao điểm của a và b Vậy định đề V của Ơclit được chứng minh
Điều thiếu sót của chứng ninh trên đây là đã sử dụng tính
chất về khoảng cách không đổi giữa hai đường thẳng song song và
mệnh đề này lại là một mệnh đề tương đương với định dé V của
Ơclit
2/ Công trình của Xác kê ri (1667 - 1733)
Nhà toán học Ý là Xác ké ri (Saccheri) đã chứng minh định
đê V bằng phương pháp phản chứng như sau : ia
^ˆ ˆ
Ông đã xét một tứ giác AA'B”B có hai góc A, B ở đáy dưới đều
vuông và hai cạnh bên bằng nhau là AA’ va BB’ Do sự đối xứng qua
Trang 12? của tứ giác đó bằng nhau Người ta gọi | A’ | đ tứ giác có các tính chất như trên là Ht | giác Xtc ké ri (H.6)
7 | | + Nếu công nhận dinh dé V cia Oclit
thì ta suy ra hai géc A’ va B’ déu vuông
+ và ta được tứ giác AA'B'B là một hình
A 3 B chữ nhật Ngược lại như Xắc kê ri đã
Tứ giác Xấc kê vì chứng minh nếu tim Guge mot tut giác
Hình 6 có dạng như trên có hai góc A' và B'` đều
vuông thì sẽ chứng minh được định đề V Thực vậy nếu tứ giác AA'B'B có 4 góc vuông thì khi đó nếu ta vẽ thêm một đường chéo của tứ giác đó, ta chứng minh được tổng các góc trong một tam giác bằng hai vuông và mệnh đề này tương đương với định đề V
4 « ~ A A ° x Z Pa a, “~, a Pe ae
Xắc kê ri đã nêu lên ba giả thiết về các góc A', B` của tứ giác ` ÀA'H'B đó : tù, nhọn và vng Ơng tìm cách loại bỏ hai giả thiết đầu Bằng lí luận đúng Xắc kê ri đã đưa giả thiết góc tù tới mâu thuẫn Tiếp theo ông công nhận giả thiết góc nhọn và bằng con đường suy diễn ông đã đi rất xa, xây dựng nên một hệ hình học mới phức tạp và chưa tìm ra được hai mệnh đề mâu thuẫn nhau Phát triển các kết quả đó ông đã tìm ra những mệnh đề tưởng chừng như là vô lí vì chúng trái với những điều ta quan sát được về vị trí tương đối của đường thẳng trong mặt phẳng Thí dụ trong hệ hình học đó ta có hai đường thẳng phân biệt mà không cắt nhau thì hoặc là chúng có một đường vuông góc chung và các điểm trèn hai đường thẳng cứ xa dần nhau mãi về hai phía của đường vuông góc chung đó (H.7) hoặc là hai đường thẳng đó
tiệm cận với nhau về một phía còn về phía kia thì chúng cứ xa dần nhau mãi (H.8) 8 a ec 7ˆ na mm b al Hinh 7 Hinh 8 20
Xác kê ri đã nghĩ đúng khi ông không căn cứ vào những sự việc trái ngược với những điều quan sát được của giác quan để cho rang đó là những điều không chấp nhận được về phương diện lôgic Nhưng sau các lập luận đúng thì Xác kê ri cho rằng giả thiết về góc nhọn là sai vì các đường thắng tiệm cận phải có một đường vuông góc chung ở vô tận mà điều đó trái với bản chất đường thang Do d6 X&c ké ri cho rang cả hai giả thiết góc tù và góc nhọn đều sai và chỉ có giả thiết góc vuông là đúng và như vậy là chứng minh được định đề V Tuy nhiên Xác kê ri cũng tự cảm thấy rằng ông chưa bác bỏ được giả thiết về góc nhọn một cách chắc chắn về phương diện logic nên ông trở lại với giả thiết đó để mong tìm ra sự mâu thuẫn trong bản thân nó Để làm việc này ông đã dùng hai cách khác nhau để tính độ dài của một đường nào đó và do tính nhầm nên dẫn đến hai kết quả khác nhau (nếu tính đúng thì hai kết quả như nhau) Dựa vào sự khác nhau này, ông cho rằng đã tìm ra mâu thuẫn và như vậy đã bác bỏ được giả thiết về góc nhọn
Nhận xét : Từ công trình của Xắc kê rỉ người ta suy ra rằng tứ giác Xác kê rỉ với hai góc ở đáy trên đều nhọn không phải là một mệnh đề của hình học Ơlit mà chính đây là một mệnh đề tương đương với tiên đề về đường song song của Lobasepxki
3/ Công trình của Lam be (1728 - £777)
Lam be (Lambert) JA mét nha todn hoc Thyy Si Trong tac
phẩm "Lí thuyết về các đường song song" xuất bản năm 1766, Lam
be đã có các ý kiến rât gần với các ý kiến Á p
của Xác kê ri
Ông đã xét một tứ giác ABCD có ba góc
vuông là Â, Ö, Ê (H.9) Đối với góc thứ tư
ông cũng nêu lên ba giả thiết : tù, nhọn, vuông và dễ dàng bác bỏ được giả thiết góc
tù Với gia thiết góc nhọn, ông đã đi xa hơn ị
Xắc kê ri nhiều và đã xây dựng được một hệ B c
lí thuyết hình học khá phức tạp, không có Hình 9
mâu thuẫn Trong hệ hình học này Lam be
cũng đã tìm ra những điều trái với thói quen và cách nhìn thông thường,
Trang 13
nhưng ông không căn cứ vào đó để cho rằng giả thiết về góc nhọn là sai Trong tác phẩm của mình không có chỗ nào ông nói rằng đã chứng minh được định đề V và ông cho rằng mọi cố gắng chứng minh định dé V đều không thể đạt được mục đích Phát triển thêm những kết quả suy ra từ giả thiết về góc nhọn của tứ giác, Lăm be đã phát hiện ra sự
tương tự của hệ hình học mới này với hệ hình học cầu nên ông cho rằng
có thể tồn tại một hệ hình học như vậy Ông cho rằng giả thiết về góc
nhọn có thể đúng trên một mặt cầu ảo nào đó và cho đó là nguyên nhân
tại sao trên mặt phẳng, giả thiết về góc nhọn không thể bác bỏ được Chính Lam be da so b6 cam thay được lời giải đúng của bài toán chứng mỉnh định đề V So với những người đi trước thì Lăm be đã đi được xa hơn và đúng đắn hơn trên con đường nghiên cứu hình học của mình
4/ Công trình của Lơ jăng đrơ (1752 - 1833)
Trong một thời gian dài Lơ jăng đrơ (Legendre) là một nhà toán học Pháp đã bỏ nhiều công sức chứng minh định đề V và cho xuất bản _ các công trình nghiên cứu của mình Công trình của ông đã cho những kết quả quan trọng nêu lên sự liên quan giữa định đề V và tổng các góc trong một tam giác Tuy nhiên ông cũng đã đi vào cái vòng luẩn quẩn tỉnh vi là dùng trực giác công nhận một mệnh đề tương đương với định đề V để chứng mỉnh định đề đó
Trong hình học Ởclit chúng ta biết rằng muốn chứng minh tổng các góc trong một tam giác bằng hai vuông, cần phải dựa vào định đề V và ngược lại nếu ta công nhận tổng các góc của một tam giác bằng
hai vuông thì định đề V sẽ được chứng minh như một định lí Do đó trong công trình của mình Lơ jăng dro đã tìm cách chứng minh tổng
các góc trong một tam giác bằng hai vng Ơng đã xét ba trường hợp: a) Tổng các góc của một tam giác lớn hơn hai vuông
b) Tổng các góc của một tam giác bằng hải vuông c) Tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn hai vuông
Bằng những lí luận đúng, ông đã đưa trường hợp thứ nhất đến mâu thuẫn Nếu như không dùng định đề V mà có thể đưa được 22
trường hợp thứ ba tới mâu thuẫn thì như vậy ông đã thành công nghĩa là chứng minh được định đề V Tuy nhiên khi đưa trường hợp thứ ba tới mâu thuẫn, ông đã vô tình dùng một mệnh đề tương đương với định đề V mà không biết Trong các công trình nghiên cứu về định đề V thì Xác kê ri và lăm be da di xa hon Lo jang đrơ rất nhiều
Sau đây chúng ta sẽ trình bày chỉ tiết công trình của Lơ jãng đrơ vì đây là công trình được phát biểu một cách rõ ràng được nhiều người quan tâm
Mệnh dê I Nếu tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng hơi uuông thì định đề V là đúng
CHÚNG MINH
Ta xét một đường thắng a và một điểm A không thuộc a Ta hạ đường AB vuông góc với a tại B và vẽ đường a` vuông góc với AB tại A thì a` không cắt a vì nếu a` cắt a thì sẽ mâu thuẫn với định lí nói về góc ngoài của tam giác (H.10) Bạ Ổ„ _ 4 ` Bn Hình 10
Bay gid chúng ta cần chứng minh rằng mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (A, a) và đi qua A trừ a' đều cắt a Nói cách khác cần chứng minh chỉ có a` là đường thẳng duy nhất đi qua điểm A và không cắt a
Gọi b là một đường thẳng bất kì đi qua A tạo với AB một góc
nhọn và cần chứng minh rằng b cắt a về phía góc nhọn đó đối
với đường thắng AB Trên đường thẳng a về phía góc nhọn @ đối với AB ta lấy điểm Bị sao cho BBI=AB Cũng về phía đó ta lấy
Trang 14a
tiếp điểm Bạ sao cho BỊBs = AB, Cit tiép tuc nhu vay cho dén lần thit n ta dude diém Bn sao cho Bn-1Bn = ABn-i Ta hay xét
các tam gide can ABBy, AB1B2 , ABn-1Bn
Theo giả thiết ta công nhận tổng các góc trong mỗi tam giác
bằng hai vuông nen tam im nee cân ABBI có các góc ở đáy là
A va Bi déu bang dự = —.— 1B là góc ngoài của tam giác 4 cân ABIBa nên góc eae của tam giác đó bằng ipa LZ Tiếp 8 92 2 tuc lam a vay đến tam giác cân ABn-iBn ta có góc Bn = ` Do đó góc BABn = Z_ 1 # Vì Ø là góc nhọn nên 2" 2 2 gn 2 ta 06 thé dat 6 = Ễ — e với e > 0 Ta có thể lấy n đủ lớn để cho <-àN F $
tL 5 < e Khi đó 6 < BABn va do vậy nên đường thắng b thuộc gn
_ miễn trong của' góc BAB Ta suy ra b cắt đoạn BBn nghĩa là b cắt a và thế là ta đã chứng minh được định đề V, Mệnh dé I Tổng cúc góc của một tam giác không thể lớn hơn hai vubng, CHUNG MINH Giả sử tam giác ABC có tổng các góc ^ “a ~ A+B+C > 2 wong Taco A + 8 + Ổ = 2 vuông 4 + pvdi p > 0
Gọi O là trung điểm của
đoạn BC, kéo dài đoạn AO một doan OA’ = AO ta được hai tam
giác bằng nhau là AOB và A'OC
(c, ø, c) Gọi 41=BAO, Ao=OAC ta có : A ^ ^ “~ ^ ^ ^ ^ A' =Aivà A'+Aa = ÁI+As=A (H.11) 24 Hình 11
Do đó A’ + Ag = BAC Trong hai góc &’ va Ae cia tam giác
AA'C ta giả sử Ña < LẦ Như vậy là từ tam giác ABC đầu tiên 2
ta dựng được một tam giác thứ hai là,A'AC trong đó có một góc không lớn hơn nửa góc Ầ (góc Ae < 2 Mat khác ta suy ra tam giác A'AC này có tổng các góc trong là BR + Ro + C cũng bằng tổng
các góc trong  + + Ê của tam giác AB Ta lại áp dụng cách
dựng trên đối với tam giác A'AC để được một tam giác thứ ba trong đó có một góc không lớn hơn nửa gÓC Ag cia tam giac A’AC, tức là không lớn hơn góc — = <A A (góc A này của tam giác ABC
aun?
đã cho)
Tiếp tục làm như vậy cho đến tam giác thứ n là một tam giác
trong đó có một góc không lớn hơn góc A
gn-l
Chọn n đủ lớn ta có thể làm cho góc đó nhỏ hơn p Cần lưu ý rằng tổng các góc trong của các tam giác vừa dựng theo cách nói trên đều bằng nhau và đều bằng 2 vuông + p (dựa vào sự bằng nhau của các tam giác để chứng minh)
Như vậy tam giác thứ n có một góc nhỏ bơn p, vậy tổng của hai góc còn lại của tam giác đó
phải lớn hơn hai vuông Giả sử
tam giác thứ n nào đó là 8y A
AnBnCn (H.12) ta có :
a O
Bat Gn > 2 vuông
Gọi O là trung điểm của
cạnh BnÊn Kéo dài đoạn An C,, AnO mét doan OA’ = AyO , ta
CÓ - “a ~ Hình 12
ẤnCaẦ' = Bn + Cn > 2vuông
Khi đó ta suy ra điểm A’ sé nam khác phía với điểm O đối
với đường thắng AnCn
Trang 15
Điều này vô lí vì OA' là đoạn kéo đài của đoạn AnO nên A' và O phải nằm cùng phía đối với đường thắng AnCn
Vậy tổng các góc của một tam giác không thể lớn hơn hai
vuông
Hệ quả : Từ mệnh dé II ta suy ra :
Tổng các góc của một tứ giác không thể lớn hơn bốn vuông Mệnh dê II Tông các góc của một tưn giác không thể nhỏ
hon hai Uuuông
CHUNG MINH
Cho tam giác ABC và giả sử tam giác này có tổng các góc nhỏ hơn hai vuông nghĩa là :
 + +Ơ=2 vng — p với p> 0
A B Bf
Hình 13
Goi O là trung điểm của cạnh BC Kéo dài AO một đoạn OA’ = OA va qua điểm A’ ta dựng một đường thẳng lần lượt cắt
hai cạnh AB, AC của góc BAC lần lượt tại B° và C' (H.13)
Tam giác A'BC bằng tam giác ABC nên có tống các góc cũng bằng 2 vuông — p
Giả sử tam giác BB'A' có tổng các góc bằng 2 vuông — q với q >O và tam giác CC”A' có tổng các góc bằng 2 vuông — r với r > 0, 26
Để tính tổng các góc của tam giác AB'C' ta lấy tổng các góc
của bốn tam gidc ABC A’BC, BB’A’, CC’A’ cong lại rồi trừ đi các
góc tại ba đỉnh B, C, A' Tại mỗi đỉnh này có ba góc và tổng của ba góc đó là một góc bẹt Do đó tổng của ba góc này bang 3 2 vuông Như vậy tổng các góc của tam giác ABC" là :
Â++Ê = 3 (2 vuông — p) + (2 vuông — q) + + (2 vuông — r) — (3 2 vuông) Do đó Â + 8? + Ê = 9 vuông — 2p — (q + r) < 2 vuông — 2p 7 ^~ 2 Z^ ˆ Gọi ABC là tam giác đầu tiền có Á + B + C = 2 vuông — p ta đã 2 x a Ah a
tao được một tam giác thứ bai là ABC' cóA + B` +€C ` < 2 vuông —2p
Tiếp tục áp dụng cách dựng như trên đối với tam giác AB'C' ta được một tam giác thứ ba có tổng các góc nhỏ hơn 2 vuông~Áp= = 2 vuông - 2Ÿ” 1p Cứ tiếp tục làm như thế cho đến tam giác thứ n ta được tổng các góc của tam giác này nhỏ hơn 2 vuông ~ 2"“!5, Nếu lấy n đủ lớn ta có thể làm cho tổng đó trở thành một số âm là điều vô lí Vậy tổng các góc của một tam giác không thể nhỏ hơn hai vuông
Từ mệnh đề II và mệnh đề III trên đây ta suy ra rằng tổng các góc trong một tam giác phải bằng hai vuông
CHÚ Ý Trong khi chứng minh mệnh đề HI Lơ jăng đrơ đã phạm sai lầm ở chỗ công nhận rằng : "Qua một điểm nằm trong một góc lổi bao giờ cũng dựng được một đường thắng cắt cả hai cạnh của góc đó" Đây là một mệnh đề tương đương với định đề Vv
va da được dùng để chứng mỉnh định đề V Điều đó có nghĩa là
Lơ jang đrơ không chứng mỉnh được định để V
Ngoài các chứng minh trén day, Lo jang dro con chứng minh
thêm mệnh đề IV sau đây :
Mệnh dê IV Nếu tổng các góc của một tan giác nào đó mù bằng 2 vudng thi tổng các góc của mọi tam giác khác cũng bang 2 vuong,
Trang 16————-
+
Để chứng minh mệnh đề IV trên đây ta cần đến bốn bổ đề và trước khi trình bày về các bổ đề đó ta cần đưa thêm một khái niệm
mới là khuyết số của một tam giác ABC, được kí hiệu là d(ABC)
Định nghĩa huyết số d(ABC) của tam giác ABC là hiệu giữa 2 vuông và tổng các góc của tam giác đó Ta có :
d(ABC) = 2 vuong — (A + B + ©),
Bổ đề 1 Nếu đường thing AD
chia tam giác ABC thành hai tam giác 8
là ABD và ACD thì khuyết số của tam giác ABC bằng tổng các khuyết số của cdc tam gidc ABD va ACD CHUNG MINH ] ^ —» ^ _—— Goi Ai = BAD, Ag = DAC “a —_—— ~~ a DỊ=ADB , Da=ADC (H.14) Ta có :
d(ABD) = 2 vudng — ( Ai+B+D, ) Hinh 14
d(ACD) = 2 vuông - — ( Âa+Ê+Pa )
d(ABD) + d(ACD) = 4 vuông — ( KERABSCIDABY ) 4 vuông - (Â + 8 + Ổ + 2 vuông)
= 2 wong - (A + B + © = d(ABC)
Bổ để 2 Nếu ta lần lượt lấy các điểm Bi va Ci trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC thì khuyết số d(ABICI) của tam giác
ABICI không thể lớn hơn khuyết số B
d(ABC) của tam giác ABC CHỨNG MINH
Nối BƠI, theo bổ để 1 ta có (H.15) : 8,
d(ABC)= d(ABiC1) ‘+d(BiC1B)+d(BCiC) Theo mệnh đề II, ta có tổng các góc
của một tam giác không thê lớn hơn LX
2 vuông nên khuyết số của một tam A C Cc giác không thể là số âm Do đó : Hình 1ã
28
d (ABC) > d(ABICi )
Bổ để 3 Cho hai tam giác vuông ABC và A'B'C' sao cho các cạnh góc vuông A'B, A'C' theo thứ tự nhỏ hơn các cạnh góc vuông AB, AC Khi đó nếu tam giác ABC có tổng các góc bằng 2 vuông thì tam giác A'B'C' có tổng các góc cũng bằng 2 vuông CHUNG MINH e Trên cạnh AB của tam giác ABC ta lấy đoạn ABi = AB và trên cạnh AC của tam giác đó ta lấy C - đề 2 ta có 7
d(ABiC1) < a(ABC)(H.16) Â B, 8 A’ 8
hay d(A’B’C’) = d(ABC) Hinh 16
ma d(ABC) = 0 theo giả thiết và vì khuyết số không thể âm
nén ta suy ra d(A’B’C’) = 0
Bổ đề 4 Nếu tổng các góc của một tam giác vuông nào đó bằng hai vuông thì tổng các góc của mọi tam giác vuông khác cũng bằng
hai vuông
CHUNG MINH
Giả sử tam giác ABC vuông tại Á và có tổng các góc bang hai vuông Ta hãy xét một tam giác vuông bất kì là A'BÌ(C' có góc vng tại A' Nếu A’B’ < AB và AC' < AC thì áp dụng bổ đề 3 ta có ngay điều cần chứng minh
Nếu các điều kiện trên không được thỏa mãn thì ta chứng minh ring từ tam giác vuông ABC ta có thể dựng được một tam giác vuông khác là AB”C” có tổng các góc bằng hai vuông và có
các cạnh góc vuông là AB”, AC” theo thứ tự lớn hơn A'B', AC
Trang 17
bằng hai vuông nên tứ giác ABDC có tổng các góc bằng 4 vuông Do đó các góc B và C của tứ giác ABDC đều là góc vuông và ta có ABDC là một hình chữ nhật (H.1?) v 4 € ch ~~ a ¬1- ~~ D i <- C =E 0 a= 7 ~ A= A B B’ B’ Hinh 17 Ì
Cho hình chữ nhật ABDC dời chỗ để lát mặt phẳng bằng cách
đặt các hình chữ nhật đó cạnh nhau tạo nên một hình chữ nhật
AB” D” C” có cạnh AB” > AB’ và cạnh AC? > AC’ la cac cạnh góc vuông của tam giác AB'C' (dựa vào tiên để Acsimet)
Nếu chia đôi hình chữ nhật này bằng đường chéo B”C” ta được tam giác vuông AB”C” có tổng các góc bằng hai vuông và các cạnh AB”, AC” theo thứ tự lớn hon AB’, AC’ Theo bé dé 3 tam giác AB'C' có tổng các góc bằng hai vuông
Dựa vào bốn bổ đề trên ta có thể chứng minh được mệnh đề
IV nêu ở trước đây
CHUNG MINH MENH DE IV
Gia sử tam giác ABC có tổng các góc bằng hai vuông, ta hãy chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác A'B'C' bất kì cũng
bằng hai vuông Sanh
Ta hay chia tam giác ABC đã cho thành hai tam giác vuông ABP và ACP bằng đường cao AP Chú ý rằng trong ba đường cao của một 30 | |
tam giác bao giờ cũng có ít nhất một đường cao có chân thuộc cạnh đối
diện và ta gọi tên đường cao đó là AP (H.18)
Theo bổ để I1 ta có :
d(ABC) = d(ABP) + d(ACP) Theo giả thiết d(ABC) = 0 và theo mệnh đề II thì d(ABP) > 0 và d(ACP) > 0 Do đó ta suy ra
d(ABP) = d(ACP) = 0
Ta được hai tam giác vuông ABP và ACP có tổng các góc đều bằng hai
vuông
Hình 18
Đối với tam giác A'B'C' ta cũng chia tam giác này ra hai tam giác vuông Theo bổ đề 4 mỗi tam giác vuông này cũng có tổng các góc bằng hai vuông và theo bổ đề 1 ta suy ra tổng các góc của tam giác A’B’C’ cũng bằng hai vuông
Mệnh dê V Có một tam giác có lổng các góc bằng hơi uuông CHÚNG MINH
Cho một góc nhọn bất kì có đỉnh là O Trên một cạnh của góc nhọn đó ta lấy một điểm B tùy ý và hạ đường BA vuông góc với cạnh kia tại A Theo mệnh đề II ta có d(OAB) = 0
Do đó ta chỉ cần chứng minh không thể xảy ra trường hợp đ(OAB) > 0 là suy ra được d(OAB) = 0 Khi đó tam giác OAB có tông các góc bằng hai vuông và ta sẽ chứng minh được mệnh đề V
Giả sử d (OAB) = e > 0 Trên cạnh OA của góc nhọn cho trước ta lấy điểm Ai sao cho AAq = OA Nối BAI rồi vẽ đường vuông góc với cạnh OA tại Ai Đường thẳng này cắt cạnh OB tai Bi (H.19)
Trang 18
Theo bổ đề 1 ta có :
d(OAiB1) = d(OAB) + d(BAA¡) + d(BA1B1)
Vì tam giác OAB bằng tam giác BAAI nền ta có d(OAB) =
=d(BAAI)
Do đó :
d(OAIBI) = £ + e + d(BAIBq) >2 -
Ta lại lấy trên tia OA một điểm Aas sao cho A1Aa = OAI Đường thẳng vuông góc với cạnh OA tại As cắt cạnh OB tại _ Ba Lí luận tương tự như trên ta có :
d(OAsBa > 4e = 22
Tiếp tục dựng các điểm A¡ Bị như thế cho đến tam giác
OAnBn ta có :
d(OAnBn) = 2"
Lấy n đủ lớn ta sẽ có 2": > 2 vuông Khi đó ta có d(OAnBn) > 2 vuông là điểu vô lí vì khuyết số của một tam giác không thể vượt quá hai vuông Vậy giả thiết e > 0 đã đưa đến mâu
thuẫn và do đó ta suy ra e=0, nghĩa là tổng các góc của tam
giác OAB bằng hai vuông Trên cơ sở các kết quả trên đây ta chứng mỉnh được dinh dé V cua Oclit
CHÚ Ý Phân tích chứng minh mệnh đề V trên đây ta thấy rằng Lơ jăng đrơ đã không chứng minh được sự tổn tại của các điểm BqBa,., Bn khi dựng các đường vuông góc với cạnh OA tại các điểm AI,Aa, ,Án Tác giả đã dựa vào trực giác để công nhận Tầng : "Nếu có một góc nhọn thì đường vuông góc với một cạnh tại bất cứ điểm nào của cạnh đó đều cắt cạnh kia" Mệnh đề này cũng là một mệnh đề tương đương với định để V Tuy rằng công
trình này không đạt được mục đích nhưng nó da tung cấp cho
chúng ta những mệnh đề tương đương với định để V
gn pin
Trong việc chứng minh định đề V ba giả thiết cua Lo jang dro về tổng các góc trong một tam giác ứng với ba giả thiết về góc tù, góc vuông và góc nhọn của Xác kê ri và Lăm be
Nếu ta công nhận giả thiết tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hai vuông thì cũng tương đương với việc công nhận giả thiết góc nhọn đối với tứ giác Xắc kê ri và đối với tứ giác của Lăm be Trong việc nghiên cứu về định đề V, Xác kê ri và Lắm be đã tìm ra nhiều kết quả phong phú hơn Lơ jăng đrơ
5, Sự ra đời của hình hoc Lobasepxki
Trong hơn 20 thế kỉ, các nhà toán học ở nhiều nước và thuộc
nhiều thế hệ khác nhau đã tìm cách chứng minh định để V từ những tiên đề khác, nhưng đều không đạt đuợc mục đích Khác với các nhà toán học trước đó, Nicolai Ivanovic Lobasepxki (1793 - 1856)
giáo sư trường Đại học Kadan (Nga) đã nghiên cứu định đề V và đã tìm ra được một lời giải hết sức độc đáo, đầy sáng tạo Ông đã
không tìm cách chứng minh định đề V như nhiều nhà toán học
trước đó đã thực hiện mà chứng minh rằng định đề V không thể suy ra được từ các định đề khác Để chứng minh điều đó ông đã giữ nguyên các tiên đề khác của Ởclit và thay định đề V bằng một
tiên đề khác phủ nhận định đề V (mà trước đó được nhiều người
coi là một chân lí tuyệt đối) rồi xây dựng nên một thứ hình học
mới không có mâu thuẫn, Nhiều ménh dé do Lobasepxki tìm ra đã
được Xác kê ri và Lãm be tìm thấy khi phát triển giả thiết về góc nhọn, nhưng ông không tìm cách bác bỏ nó mà tiếp tục nghiên cứu phát triển nó thành một môn hình học mới Thời đó hình học Ơclit phát triển đến mức nào thì Lobasepxki cũng phát triển hình học của ông đến mức ấy và không tìm thấy một mâu thuẫn nào về
phương diện logic
Có thể tóm tắt kết quả nghiền cứu của Lobasepxki như sau : a/ Định đề V về đường song song không phải là một kết quả suy ra của các định đề khác trong hình học Ơclit
Trang 19
b/ Vì định đề V độc lập với các tiên để khác nên đi đôi với hình học Ơclit trong đó định đề V được công nhận, có thể có hình học khác trong đó không có định đề V gọi là hình học phi Ơclit
Ngày 6-2-1826 Lobasepxki đã trình bày trước khoa Toán - Lí trường Đại học Kadan (Nga) về công trình của mình Các nhà toán học đương thời ít người có thể hiểu và đánh giá đúng công trình của ông Chính Gauss (1777 - 1855) "ơng vua tốn học" người Đức cũng đã nghiên cứu lí thuyết về các đường song song và đã có một
quan niệm rõ ràng về một thứ hình học mới, nhưng ông không
phát triển một cách đẩy đủ, chỉ để lại sơ thảo của những định lí
riêng lẻ và không dám cho công bố vì sợ không được mọi người
công nhận Một nhà toán hoc Hungari la Bolyai Janos (1802-1860) đã cho in công trình của mình ba năm sau lần xuất bản thứ nhất của Lobasepxki (ông đã không biết gì về sự xuất bản của Lobasepxki) Trong công trình của mình Bolyai đã trình bày một lí thuyết như Lobasepxki nhưng không được phát triển bằng và tất nhiên lúc đó Bolyai cũng không được ủng hộ và lí thuyết của ông chưa được các nhà toán học đương thời công nhận Chỉ sau khi Lobasepxki đã mất, thế giới khoa học mới đánh giá được công trình của ông Ông đã đặt cơ sở-cho sự tổng quát hóa các quan niệm đối với việc xây dung © hình học Điều đó đã dẫn tới việc xây dựng các không gian hình | học trừu tượng bằng một hệ tiên đề, giải phóng hình học ra khỏi trực giác, mở rộng sự hiểu biết và phạm vi áp dụng của hình học
Tuy nhiên sau khi hình học Lobasepxki được thừa nhận thì các nhà
khoa học còn phải tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện việc dùng lí luận chính xác để xây dựng hình học Cuối thế kỉ XIX có nhiều công trình của nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu về vấn đề này nhưng nổi bật nhất là tác phẩm "Cơ sở hình học" của Hinbe (Hilbert) xuất bản năm 1899 Từ đó phương pháp tiên đề đã đi từ hình học lan rộng sang các ngành toán học khác và đồng thời cũng đã có ảnh hưởng trở lại đối với hình học, giúp cho hình học có ˆ
thêm các công cụ mới để nghiên cứu và phát triển-ghanh hơn 34
CÁC CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG |
1 Hãy nêu các ưu điểm và các thiếu sót trong tác phẩm của Ơclit
đồng thời bãy phân tích các ưu điểm và các thiếu sót đó
2 Hãy phát biểu định đề V của Ơclit và tiền đề Ơclit về đường song song được dùng trong sách giáo khoa ở trường phổ thông hiện nay Hãy chứng mỉnh sự tương đương của hai mệnh đề đó
3 Tại sao định đề V của Ơclit được nhiều người quan tâm nghiên cứu ? Hãy nêu một số mệnh dé tương đương với định đê V của Ơclit
4 Việc chứng minh định đề V của Proclus đã có thiếu sót ở điểm nào ? 5 Hãy nói qua về công trình của Xác ke ri va cia Lam be nghiên cứu về định đề V : 6 Hay chimg minh rang : "Néu téng cdc géc trong méi tam giác bằng hai vuông thì định đề V là đúng"
7 Khác với các nhà toán học trước, Lobasepxki đã nghiên cứu về định đề V như thế nào ? Tính chất độc đáo và sáng tạo được thể hiện, như thế nào ?'
8 Hay tom tất các kết quả nghiên cứu của Lobasepxki về định đề Ý, về đường song song
9 Hãy chứng tổ rằng nếu ta công nhận có những tam giác đồng dạng và không bằng nhau thì chứng minh được định đề V (hoặc một mệnh đề tương đương với định đề Vì)
10 Chứng minh rằng tổng các góc trong của một tam giác không thể lớn hơn hai vuông Từ đó suy ra các hệ quả của mệnh đề này
11 Chứng minh rằng trong mặt phẳng xác định bởi điểm A va mot đường thẳng a không chứa A có một đường thẳng đi qua A và không
cất a
35
Trang 20HE TIEN DE CUA HINH HOC OCLIT MỞ ĐẦU
Muốn xây dựng một mơn tốn học nói chung và hình học nói
riêng tất yếu người ta cần phải có các khới niệm cơ bản là những khái niệm đầu tiên không được định nghĩa Đỏ là những khái niệm xuất phát dùng để định nghĩa các khái niệm khác Các khái niệm cơ bản gồm có các đối tượng cơ bửn và cúc tương quan co ban Trong hình học người ta thường dùng ba đối tượng cơ bản sau đây: "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" Giữa các đối tượng cơ bản này lại có các mối liên hệ gọi là các tương quan cơ bản như "thuộc", "ở giữa", "bằng" Người ta hiểu các tính chất của các khái niệm cơ bản đó thông qua các tiên đề là những mệnh đề toán học được công nhận là đúng, làm điểm xuất phát để suy ra các định lí bằng lập luận logic chặt chẽ Các đối tượng cơ bản và các tương quan cơ bản có thể được hiểu theo những cách hiểu cụ thể khác nhau miễn sao chúng phải thỏa mãn các yêu cầu nêu ra trong các tiên đề Những
hình ảnh cụ thể của các khái niệm cơ bản thỏa mãn tất cả các tiên
đề của một hệ tiên đề gọi là mô hình của hệ tiên để đó
Khi nghiên cứu một hệ tiên để chúng ta cần chú ý tới các vấn đề sau đây :
a/ Sự phi mâu thuẫn của hệ tiên để : Từ các tiền đề của hệ ta không bao giờ có thể suy ra các kết quả trái với các tiên đề hoặc hai kết quả trái ngược nhau
b/ Sự độc lập của các tiên để : Mỗi tiên để của hệ phải độc lập nghĩa là không có bất cứ tiên để nào của hệ là hệ quả của những tiên đề khác Do sự độc lập của các tiên đề tạo nên một hệ tiên đề gồm có một số tối thiếu các tiên đề, nghĩa là trong hệ tiên đề đó không có tiền để nào thừa cả
c/ Sự đẩy đủ của hệ tiên để : Số tiên đề của hệ phải đảm bảo
day đủ để xây dựng nên môn học bằng suy luận chặt chẽ
Các yêu cầu này sẽ được xét kĩ hơn ở chương IV
Từ hệ tiên đề đầu tiên của Ơclit, nhiều nhà toán học đã tìm cách hoàn chỉnh nó và mãi đến cuối thế kỉ XIX nhà toán học Đức Ja Hin—be(David Hilbert) mới đưa ra được một hệ tiên đề ngắn gọn và đầy đủ của hình học Ởclit thỏa mãn ba yêu cầu nêu ở phần trên Trong tác phẩm "Cơ sở hình học" xuất bản năm 1889, Hin—-be đã trình bày hệ tiên để của hình học Ơclit Hệ tiên dé nay đã tránh được các thiếu sót của hệ tiền đề do Ơclit đưa ra Ngày nay có nhiều tác giả khác đưa ra những hệ tiên để mới của hình học Ơclit nhưng về cơ bản vẫn dựa vào hệ tiên đề của Hin-be Trong chương này chúng ta trình bày về hệ tiên để của Hin-be dựa vào quyển sách của ông tái bản lần thứ bảy ở Đức năm 1930 và có được cải tiến đôi chút
Sl MHÓM | CÁC TIÊN ĐỂ VỀ LIÊN THUỘC
Tương quan cơ bản được xét trong nhóm này là tương quan "buộc" Tương quan này thường được phát biểu dưới các dạng thông thường như : "nằm trên", "đi qua", "chứa" Thí dụ như điểm năm trên đường thẳng, đường thẳng di quơ điểm, mặt phẳng chứa điểm hay đi qua điểm v.v
1 Các tiên để
I, : Cho bat cứ hai điểm A, B nào bao giờ cũng có một đường thắng a thuộc mỗi điểm đó
la : Cho bất cứ hai điểm A, B nào phân biệt không bao giờ có quá một đường thẳng thuộc mỗi điểm đó
lạ : Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm Có ít nhất là ba
Trang 21
1a : Cho bất, cứ ba điểm A, B, C nào bao giờ cũng có một mặt phẳng œ thuộc mỗi điểm đó Mỗi mặt phẳng có ít nhất là một điểm
1s : Cho bất cứ ba điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thắng, không bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó
1s : Nếu hai điểm A, B phân biệt đều thuộc một đường thang a và đồng thời cùng thuộc mat phang a thi moi diém cia đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng ơ
Định nghĩa 1 Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt
phẳng a thì ta nói tầng đường thẳng œ thuộc mặt phẳng œ hay mặt phẳng œ thuộc đường thang a
CHÚ Ý Chỉ có tương quan thuộc giữa điểm với đường thẳng và giữa điểm với mặt phẳng mới là tương quan cơ bản
1; : Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thi chúng sẽ cùng thuộc ít nhất một điểm thứ hai B
lạ : Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng Với các tiên đề liên thuộc chúng ta có thể chứng minh được một
số định lí đơn giản sau đây :
2 Các định lí
Định lí 1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là một điểm chung
CHỨNG MINH
- Nếu hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung thì theo tiên đề la, chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa và điều này trái với giả thiết
Định lí 2 Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung
CHUNG MINH
Nếu đường thang và mặt phẳng có hai điểm chang thì theo tiên dé Ig, đường thẳng đó sẽ thuộc mặt phẳng Điều này trái với giả thiết và do đó chúng có nhiều nhất là một điểm chung
38
Định lí 3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của bai mặt phẳng
CHỨNG MINH
Giả sử hai mặt phẳng P và Q có một điểm chung A thì theo
tiên đề I¡ hai mặt phẳng đó còn có một điểm chung thứ hai là B
Theo tiên dé Ig moi điểm của đường thẳng a xác định bởi A và B
đều là điểm chung của P và Q Ngoài các điểm chung trên đường thẳng a thì P và Q không còn có một điểm chung nào khác Thực vậy nếu P và Q còn có thêm một điểm chung nữa là Cc thi theo tien dé Is hai mặt phẳng P và Q phải trùng nhau là điều trái với
giả thiết
Định nghĩa 2
— Nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng chúng cát nhau và điểm chung đó là giao điểm của hai đường thẳng đã cho
— Nếu đường thẳng và mặt phẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng đường thẳng và mặt phẳng cốt nhơu Điểm chung đó là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho
— Nếu hai mặt phẳng chỉ có một đường thang chung, ta nói rang chúng cốt nhœu và đường thắng chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước
Định lí 4 Qua một đường thắng và một điểm không thuộc đường thẳng đó hoặc qua hai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng cô một mặt phẳng và chỉ một mà thôi
CHỨNG MINH
Cho đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng đó Theo tiên đề lạ trên đường thẳng a có ít ra là hai điểm B và C Theo tiên để lạ và theo giả thiết thì ba điểm A, B, C không
Trang 22
đề lạ ta có mặt phẳng œ chứa đường thẳng a Như vậy ngoài œ ra không có mặt phẳng nào khác chứa a và điểm A
Trường hợp đối với hai đường thẳng cắt nhau được suy ra từ kết quả của việc chứng minh trên
Định lí š Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm không thang hang
CHUNG MINH
Gọi P là mặt phẳng cho trước và giả sử A là một điểm của mặt phang P theo tién dé I, Theo tiên dé lạ mặt phẳng P có ít nhất một điểm B không thuộc P Theo tiên đề lạ có ít nhất một điểm C không thuộc đường thẳng AB Hai mặt phẳng (ABC) và P có một điểm chung A nên theo tiên đề I„ , chúng còn có một điểm chung thứ hai là D Như vậy là trên P đã có hai điểm A va D (H.20) Lai theo tiên đề I; ta có một điểm E không thuộc mặt phẳng (ABCD) và điểm C có thể thuộc hay không thuộc mặt phẳng P
— Nếu E thuộc P, khi đó ta có ba điểm A, D, E không thẳng
hàng và định lí được chứng minh
— Nếu E không thuộc P thì hai mặt phẳng (ABE) và P theo tiên để Ï; ngoài điểm A chung ra, chúng còn có một điểm chung thứ hai F Điểm F không thể trùng với D vì nếu trùng thì khi đó hai mặt phẳng (ABCD) và (ABE) phải trùng nhau theo tiên đề lã, là điều vô lí Vậy mặt phẳng P có chứa ít ra là ba điểm A, D, F không thẳng hàng
CHÚ Ý : a) Theo tiên đề ls ta chỉ mới biết mỗi đường thẳng chứa ít nhất là hai điểm và theo tiên đề l¿ ta chỉ mới biết mỗi mặt phẳng chứa ít nhất một điểm Với các tiên đề của hhóm I ta chi mới chứng minh được mỗi mặt phẳng chứa ít nhất là ba điểm không thang hang va sau nay nhờ các tiên đề khác ta mới chứng mỉnh 40
==
được mỗi đường thẳng và mỗi mặt phẳng đều chứa vô số điểm Còn trong không gian, với nhóm I ta chi mới biết là không gian có ít nhất là bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
b) Có một số tác giả đã ghép tiên đề I) va Ig thanh một mệnh đê để nêu lên sự tồn tại và sự duy nhất của đường thẳng bằng một tiên dé va ghép tiên để I¿Is thành một mệnh dé để nêu lên sự tồn tại và duy nhất của mặt phẳng bằng một tiên đề
c) Cac tién dé Ig va Ig có dụng ý nêu lên sự mở rộng số chiều từ đường thẳng (là không gian một chiều) thành mặt phẳng đà không gian hai chiểu) và từ mặt phẳng (là không gian hai chiều) thành không gian ba chiều Tiên để le nêu lên mối quan hệ liên thuộc giữa một đường thẳng với một mặt phẳng còn tiên để ]; điêu lên mối quan hệ liên thuộc giữa hai mặt phẳng và cho ta biết không gian ta đang xét là không gian 3 chiều trong đó giao của hai mặt phẳng nếu có là một đường thẳng
$2 NHOM IL CAC TIEN DE VE THU TU
Các tiên đề về thứ tự cho chúng ta biết về vị trí tương đối của các điểm trên một đường thẳng và trong một mặt phẳng Mỗi điểm trên một đường thẳng có tương quan "ở giữa" đối với hai điểm khác trên đường thẳng đó Đó là tương quan cơ bản được đưa ra trong nhóm tiên đề này
1 Các tiên đề
li Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, € là ba điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở
giữa C va A me
Hạ Cho bất cứ hai điểm A, C nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm B trên đường thẳng AC sao cho C ở giữa A và B
Hạ Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ có quá một điểm ở giữa hai điểm kia
Trang 23
Định nghĩa 3 Một cặp điểm A va B gọi là một đoạn thẳng kí hiệu là AB hay BA Các điểm ở giữa A và B gọi là các điểm trong của đoạn AB hay thuộc đoạn AB Hai điểm A, B gọi là hơi đu mút của đoạn thẳng đó Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB mà không thuộc đoạn
AB và hai đầu mút được gọi là các điểm ngoài của đoạn AB
Ha : Tiên đề Pát (Posch,)
Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một
đường thẳng a thuộc mặt phẳng A
(ABC) nhưng không thuộc bất
cứ điểm nào trong ba điểm A, a
B, C ca Néu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC (H:21) "HN Hình 21 CHU Y :
a) Tiên đề IIị cho biết tương quan "ở giữa" chỉ đặt ra đối với ba điểm khác nhau thẳng hàng và tương quan này không phụ thuộc vào
thứ tự của hai đầu mút :
b) Tiên đề Ha cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài đoạn AC nghĩa là mỗi đoạn thẳng có ít ra là một điểm ở ngoài Do tiên đề này ta biết thêm mỗi đường thẳng có ít ra là ba điểm
c) Tién dé Ils cho biết rằng-trong ba điểm thang hang thì có nhiều nhất là một điểm ở giữa hai điểm kia
Như vậy với ba tiền đề trên ta vẫn chưa biết được mỗi đoạn thẳng đều có điểm trong hay không và các định lí sau đây sẽ nói rõ điều đó
2 Các kết quả của các tiên để liên thuộc và thứ tự
| Dinh li 6 Bất kì một đoạn thẳng AB nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm C ở giữa hai điểm A và B đó ^
42
CHỨNG MINH E Theo tiên dé lạ có một
điểm D không thuộc đường
thẳng AB Theo tiên đề Ha trên p B
đường thang AD có một điểm E
sao cho D ở giữa A và E Cũng ¢ theo tiên đề Ilạ- trên đường
thẳng EB có một điểm F sao cho B ở giữa E và F (H.22)
Theo tiên đề I¿ (tiên để Pát) đối với ba điểm A, B, Ð không thẳng hàng, đường thẳng FD có điểm chung với đoạn AB là D nên nó phải
có điểm chung với đoạn AB hoặc với đoạn EB Nếu đường thắng FD có
điểm chung với đoạn EB thì đường thẳng FD và đường thẳng EF phải
trùng nhau theo tiên đề Iạ và đó là điều vô lí vì D và E là hai điểm khác
nhau Vậy đường thẳng FD phải có một điểm chung C với đoạn AB Ta nói rằng FD cắt đoạn AB tại C và như vậy C ở giữa A và B
Hình 22 F
Định lí 7 Trong bất cứ ba điểm A, B, C nào trên một đường thẳng bao giờ cũng có một điểm ở giữa hai điểm kia
CHỨNG MINH Giả sử điểm A không ở giữa
B và C, điểm C không ở giữa A va B Ta cần chứng mỉnh khi đó chỉ xảy ra trường hợp điểm B ở giữa A va C (H.23)
Theo tiên đề la có một điểm D không thuộc đường thẳng AC Theo tiên dé IÏa trên đường thẳng BD có một điểm G sao cho D ở
giữa B va G Ap dung tién dé Ty
đối với ba điểm B, C, G va đường =
thắng AD ta có AD cắt đoạn CG tại E ở giữa C và G Nó không thể cắt
Hình 23
Trang 24
đoạn BC vì nếu cắt thì AD và AC la 2 đường thẳng trùng nhau và như - vậy là điều trái với việc ta lấy điểm D không thuộc đường thẳng AC
Tương tự ta chứng minh được đường thẳng CD cắt đoạn AG tại F ở giữa A và G Lại áp dụng tiên đề Ta đối với ba điểm A, E, G và đường thẳng CF ta có D ở giữa A và Ð Tiếp tục áp dụng tiên đề Hạ đối với ba điểm A, C, E và đường thẳng DG ta có B ở giữa A và C
Hệ quả Với các tiên đề IIạ, IIạ kết hợp với các định lí 6 và 7 ta có: a/ Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta cũng có những điểm ở trong và ở ngoài đoạn AC
-b/ Với ba điểm trên một đường thẳng bao giờ cũng có một uờ chỉ một điểm ở giữa hai điểm kia
Định lí 8 Nếu điểm B ở giữa A va C, điểm C ở giữa B+và D thì các
điểm B và C đều ở giữa A và D CHỨNG MINH
Theo tiên đề lạ có một điểm E không thuộc đường thang AB Theo tién dé Iz cd một điểm F sao cho E ở giữa C
và:F (H.24)
Ta hãy áp dụng tiên đề
TỊa (tiên đề Pát) : Hình 24
— đối với bộ ba điểm A, E, C và đường thẳng FB ta có G ở giữa A và H — đối với bộ ba điểm F, B, C và đường thẳng AE ta có G ở giữa B và F — đối với bộ ba điểm G, B, Ð và đường thẳng FC ta có H ở giữa D và G
— đối với bộ ba điểm G, A, D và đường thẳng FC ta có C ở giữa A và D
1á luận tương tự ta chứng minh được B ở giữa A và D
Định lí 9 Nếu điểm Ở ở giữa A và D, điểm ở giữa A và C
thì điểm B ở giữa A và D và điểm C ở giữa B và D 44
7
CHUNG MINH
Theo tiên đề lạ có một điểm G không thuộc đường thẳng AB Theo tiên để Hạ trên đường thẳng BG có một điểm F sao cho
G ở giữa B và F Áp dụng tiên đề Hạ :
— đối với ba điểm A, D, G và đường thắng CF ta có H ở giữa D và G ~ đối với ba điểm B, D, G và đường thẳng CF ta có C ở giữa B và D
Theo giả thiết ở đây ta ^ ` ` D> € 8 có B ở giữa A va C va theo chứng mìỉnh trên ta có C ở giữa B và D nên áp dụng định lí 8 ta có B ở giữa A và D (H.25) Định lí 10 Nếu B là một F
điểm của đoạn AC thì đoạn
AB và đoạn BC đều thuộc ;
đoạn AC nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB hoặc của doan BC đều
thuộc đoạn AC 4 Hình 25 CHUNG MINH Vi B 1A một điểm của đoạn AC nên B ở giữa A và Œ Nếu một điểm X thuộc
đoạn AB nghĩa là X ở giữa A 4 8 _¢
va B thi theo dinh li 9 diém x
X đó ở giữa A và C hay X Hình 26
thuộc đoạn AC (H26) Ta
chứng minh tương tự cho điểm X thuộc đoạn BC
Định lí 11 Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của
đoạn AC khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC CHỨNG MINH
Trang 25
Nếu một điểm X không thuộc đoạn AB thì hoặc là B ở giữa A và X hoặc là A ở giữa X và B theo tiên đề Hạ
— Nếu B ở giữa A và X (H.27) và theo giả thiết X ở giữa A
và thì theo định lí 9 điểm X ở giữa B và C nghĩa là X thuộc
đoạn BC
— Nếu A ở giữa X và B (1128) và theo giả thiết B ở giữa A
và C thi theo định lí 8 điểm A ở giữa X và C
A 8 ic
Hình 28
Như vậy điểm X không thuộc đoạn AC là điều trái với giả thiết
và do đó không xảy ra trường hợp A ở giữa X và B
Do đó ta đã chứng minh được nếu một điểm X không thuộc đoạn AB thì nó phải thuộc đoạn BC Tương tự nếu điểm X không
thuộc đoạn BC thì ta chứng minh được nó phải thuộc đoạn AB
Định lí 12 Nếu mỗi điểm B và C đều ở giữa A và D thì mọi điểm của đoạn BC đều thuộc đoạn AD (H29)
CHỨNG MINH
Hình 29
Ta biết rằng trong 3 điểm A, B, C thì chỉ có một điểm ở giữa hai điểm kia và chỉ một mà thôi (theo định lí 7 và theo tiên đề Hạ) Trước hết ta cần lưu ý rằng điểm A không thể ở giữa B và € vì nếu Á ở giữa 3 và C (H.30) và theo giả thiết C ở giữa A và D thì theo định lí 8 các điểm A và C đều ở giữa B và D
8 A4 c b
am T + 4
=
Điều này trái với giả thiết là điểm B phải ở giữa A và D Do đó chỉ xảy ra trường hợp hoặc điểm B ở giữa A và C hoặc điểm C ở giữa A và B Ta giả sử rằng điểm B ở giữa A và C (H31) (Nếu xây ra trường hợp điểm C ở giữa A và B ta chị việc đổi tên gọi hai điểm B và C cho nhau là được)
A + 8 3 € D
Ỹ 7 +
Hình 31
Gọi X là một điểm bất kì của đoạn BC, ta có X ở giữa B và C va vi B ở giữa A và C nên theo định lí 9, điểm X ở giữa A và | C Bay giờ vì X ở giữa A và C, còn C ở giữa A va D nên lại áp dụng định lí 9 ta có X ở giữa A-và D hay mọi điểm X thuộc đoạn | BC đều thuộc đoạn AD
Định lí 13 Mỗi đường thẳng có vô số điểm CHÚNG MINH
Theo tiên đề lạ trên mỗi đường thẳng có ít ra là hai điểm A, B Theo định lí 6 giữa A và B có ít ra là một điểm C Cũng theo định lí đó giữa A và C có ít ra là một điểm D (H32)
A, gB_
E D €© c4 Đ
Hình 32
Theo định lí 9 ta có điểm D ở giữa A và C đồng thời D khác C Bay giờ giữa A và D ta có điểm E và lí luận tương tự như trên ta có điểm E này khác với D và C, đồng thời Ð cũng ở giữa A và B Tiếp tục làm như vậy thì giữa hai điểm A và B ta có vô số điểm
làC, D, E,
Trang 26
nhự vậy thì ngoài đoạn AB ta cũng có vô số điểm C’, D’, EB’, Các điểm này khác nhau và khác với các điểm nằm trong đoạn AB, Vậy mỗi đường thẳng có vô số điểm
3 Nửa đường thẳng — Tia
Định nghĩa 4 Cho ba điểm O, A, B cùng thuộc một đường thắng Nếu điểm O không ở giữa A và B thì ta nói rằng A oờ B ở cùng phía đối với O Nếu điểm O ở giữa A và B thì ta nói rằng A uà B ở khác phía đối uới O
Định lí 14 Một điểm O của đường thẳng a chia tất cả các điển còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía đối với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O
CHỨNG MINH
Trên đường thẳng a ta lấy một điểm A khác O và ta chia các điểm của đường thẳng a (trừ điểm O) ra làm hai lớp theo tiêu chuẩn
sau đây :
— Điểm A và các điểm cùng phía với nó thuộc về lớp thứ nhất — Mọi điểm khác phía với A đối với O thuộc về lớp thứ hai (H.33) a A ° B 4 † Hình 33 Theo cách phân lớp này ta nhận xét rằng các lớp đều không rong
Lớp thứ nhất có điểm A và theo tiên để II; trên đường thẳng a có ít ra một điểm B sao cho O ở giữa A và B hư vậy có điểm
B thuộc lớp thứ hai Sau đó dựa vào các định li 8, 10, 11 ta chứng
mình được các tính chất sau đây :
48
a/ Mọi điểm của đường thẳng a trừ O đêu được sắp xếp vào một lớp và chỉ một lớp mà thôi (nghĩa là không có điểm M nào không thuộc lớp nào cũng như không có điểm M nào: lại đồng thời thuộc cả hai lớp)
b/ Nếu M và N là hai điểm thuộc cùng một lớp thì điểm O
không thuộc đoạn MN
c/ Nếu M và N khác lớp thì điểm O thuộc đoạn MN
CHÚ Ý : Để cho chứng minh trên được chặt chẽ chúng ta còn phải chứng tỏ rằng sự phân lớp trên không phụ thuộc vào việc chọn
điểm À và với tiêu chuẩn phân lớp như trên có nhiều nhất là hai
lớp mà thôi
Định nghĩa 5 — Một điểm O trên đường thẳng a chia tập hợp các điểm trên đường thẳng này ra làm hai lớp (theo định lí 14)
Mỗi lớp là một mw đường thẳng hay một /z nhận O làm gốc Hai nửa đường thang hay hai tia gọi là bờ nhơu (hay đối nhau) nếu
chúng có chung gốc và tạo nên một đường thẳng -
Định nghĩa 6 - Trên một tia gốc O điểm A goi lờ đi trước điểm B nếu A thuộc đoạn OB (H34)
o t A 8 +
t † + ——>
Hình 34
CHÚ Ý : Theo định lí 8 ta suy ra nếu A ởi trước B và B ải trước C thì A đi trước C Như vậy là các điểm trên một tia của đường thắng a được sắp xếp theo một thứ tự xác định Từ quan hệ đi trước đối với một tia ta có thể mở rộng để sắp xếp thứ tự các điểm trên một đường thẳng theo một cách xác định, và như vậy ta đã xác định được mội hướng (hay chiều) trên một đường thẳng
Trang 27
AB, BC, CA gọi là các cạnh của tam giác Trong một tam giác, một đỉnh và một cạnh không thuộc nhau gọi là mét dinh va một canh đối
điện
Dinh lí 15 - Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng a chia tất cả các điểm không thuộc a của œ ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa một điểm của đường thẳng a, còn hai điểm A, A' bất kì thuộc cùng một lớp nếu đoạn AA' không chứa điểm nào của a cả
CHUNG MINH
Ta lấy trong œ một điểm P bất kì không thuộc a và chia các điểm của mặt phẳng œ (trừ các điểm thuộc a) ra làm hai lớp theo tiêu chuẩn sau đây :
— Lớp thứ nhất gồm mọi điểm A của œ không thuộc a sao cho đoạn PA không chứa điểm nào của a Điểm P cũng thuộc lớp này — Lớp thứ hai gồm mọi điểm B của œ không thuộc a sao cho đoạn PB chứa một điểm của a Khi đó ta cần chứng minh :
1) Mỗi lớp đều không rỗng Thực vậy lớp thứ
A nhất có điểm P và nếu gọi
P Q là một điểm nào đó của
a thì theo tiên dé Il2 trén đường thẳng PQ có ít ra
, @ A là một điểm R sao cho Q
ở giữa P và R Vậy điểm
l, R thuộc lốp thứ hai
Œ1.35)
2) Bất kì một điểm nào của œ (trừ các điểm trên a) đều thuộc một lớp và chỉ một lớp mà thôi Thực vậy một điểm M bất kì có thể thuộc một đoạn thẳng
bất kì và đoạn thẳng này hoặc chứa một điểm~của a hoặc không
chứa điểm nào của a cả
Hình 35
ES
thang hang thi các đoạn PB,
3) Mỗi cap diém A, A’ cla lớp thứ nhất xác định đoạn thẳng AA’ và đoạn này không chứa điểm nào của a cả Thực vậy nếu P,
A, A’ khong cing thuộc một đường thắng và nếu đoạn AA' chứa
một điểm của a thì theo tiên để Pát một trong hai đoạn PA hoặc PA' phải chứa một điểm của a là điều trái với giả thiết Còn nếu P, A, A' cùng thuộc một đường thẳng ta xét hai trường hợp :-
: A’ — Nếu P không ở giữa A
' pss ; va A’, ta gia su A G gitta P va
mM A', khi đó nếu điểm M của a ở
gitta A va A’, theo định lí 9 thì
điểm M cũng ở giữa P và A' là
điều trái với giả thiết (H.36)
Hình 36
; — Nếu P ở giữa A va A’
thì một điểm M thuộc đoạn AA'
theo định li 11 sẽ thuộc hoặc đoạn PA hoặc đoạn PA’ (H.37)
Điều này cũng trái với giả thiết
+S r» >
Hình 37
4) Một cặp điểm B, B' thuộc lớp thứ hai xác định một đoạn BB' không chứa điểm nào của a cả
— Nếu P, B, B` không PBR' lần lượt chứa các điểm M, M' của đường thẳng a (H38) Đường thẳng a cắt đường thẳng BB' tại N Điểm Ñ phải nằm ngoài đoạn MM'
Thực vậy nếu N ở giữa M và
M' thì theo tiên đề Pát đối
Trang 28
Chứng mính tương tự ta có điểm M 6 ngo&i doan NM’ va diém M° cũng ở ngoài đoạn MN Nhu vay la trong ba điểm M, N, M’ không có điểm nao 6 gitta hai diém kia, diéu nay mau thuẫn với
dinh li 7
5) Mọi cặp gồm hai diém A, B thuộc hai lớp khác nhau xác định một đoạn AB chứa một điểm nào đó của a
Thực vậy theo giá thiết đoạn PB chứa một điểm M của a (H39) Nếu P, Á, B không
thuộc một đường thẳng thì theo a
tiên đề Pát hoặc là PA, hoặc là M
AB phải chứa một điểm của a /
Theo giả thiết PA không chứa
nên AB chứa một điểm của a B
(H.39) Hinh 39
Néu P, A, B thẳng hàng thi điểm M của a phải ở giữa P và
B (H440) Mặt khác theo định lí 14 điểm M của a chia tất cả các
P A 8 _ điểm còn lại của đường thẳng
M 7 PB thành hai lớp, mỗi lớp „
ih, 40 nằm về hai phía đối với M
Do đó điểm A phải nằm về phía điểm P đối với M nghĩa là đoạn AB chứa điểm M của a
Chú ý : Dùng định lí lỗ và các tiên đề của các nhém I, II ta có thể chứng minh được tiên để Pat (Tién dé Ils)
Định nghĩa 8 — Mỗi lớp của mặt phẳng œ trong định lí lỗ là một nửa mt phẳng có đường biên là đường thẳng a Hai điểm Mị và Ma thuộc cùng một nửa mặt phẳng gọi là cùng phía đối uới đường thẳng œ Hai điểm M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau gọi là khác phía đối uới d
NHẬN XÉT Cho đến nay ta mới biết một đoạn thẳng chứa vô số điểm và suy ra một đường thẳng cũng chứa vô số điểm, nhưng chưa biết gì về tính chất liên tục của nó Tuy vậy nhưng đường thẳng đã có khả năng chia mặt phẳng ra hai miền vì nếu ta lấy một đoạn thẳng
52
m—
bất kì có hai đầu mút thuộc hai miền khác nhau thì đoạn thẳng đó buộc phải cắt đường thẳng biên tại một điểm nào đó
4 Góc
Định nghĩa 9 Một cặp tia h, k có cùng gốc O gọi là một
góc và được kí hiệu la th, k) Điểm O gọi là đỉnh và các tia h, k gọi là cạnh của góc Nếu A, B là hai _điệm lần lượt lấy trên hai tia
h, k thi ta có thể dùng kí hiệu góc AOB thay cho góc (h, k) Gọi h, k lần lượt là
các tỉa bù của các tia h và k Tập hợp những điểm nằm cùng phía với tịa h đối với đường thẳng kk và nằm cùng phía với tia k đối với đường thẳng hh' gọi là miễn trong của
góc (h, k) đà miền gạch gạch trên hình vẽ) (H41)
Hình 41
Định lí 16 Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnh h, k của một góc thì mọi tia xuất phát từ gốc O và thuộc miễn trong của góc đều cát đoạn AB Ngược lại mọi tỉa nối đỉnh của góc với một điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc miễn trong của góc CHỨNG MINH Gọi A, B là các điểm lần lượt mm nà _ các cạnh h, k của góc (h, k) (H42a) và ! là một tỉa phát xuất từ O và nằm trong miền trong của góc (miễn chấm chấm trên hình vẽ) Hinh 42a
Trên tia h bù với tỉa h, ta lấy một điểm C tùy ý sao cho O ở giữa C và A Gọi Ï là tia bà với tia l
`
và l* là đường thẳng chứa | va I Áp dụng tiên để 53
Trang 29
eV"
Pat đối với tam giác ABC, ta có đường thẳng l* cắt cạnh CB hoặc
cắt cạnh AB Vì vì đường thắng l* không có điểm nào thuộc miền
trong của góc (h’, k) nên l* cắt cạnh AB Hơn nữa tia không có
điểm nào thuộc góc đ K k) nên tỉa l cắt đoạn AB tại một điểm M
nào đó
Ngược lại với mọi _điểm M thuộc đoạn AB thì tia OM thuộc
miền trong của góc đ w vì điểm M thuộc miền trong đó và tia ]
luôn luôn nằm cùng một phía đối với đường thắng hh' và đối với đường thẳng kk'`
CHỦ Ý : Trong không gian, một mặt phẳng ¿ cũng chia tất cả các điểm của không gian không thuộc œ ra hai lớp và ta cũng có
một định lí tương tự như định li 15
Với các tiên đề thứ tự, người ta tiếp tục xây dựng thêm các khái niệm mới như đường gấp khúc, đa giác, hình lồi, hình đa diện, miền _ trong và miễn ngoài của một đa giác hoặc của một hình đa điện
§3 NHOM II CÁC TIÊN ĐỀ VỀ BẰNG NHAU
Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một đoạn thẳng với một đoạn thẳng khác và của một góc với một góc khác Trong hệ tiền để này khái niệm đời hình là một khái niệm dẫn xuất, còn trong tác phẩm của Ơclit thì khái niệm dời hình được chọn làm khái niệm cơ bản
1 Các tiên để
THỊ Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A’ bao git cũng có một „điểm B’ sao cho
doan thang A’ B''bing’ doan thang AB va à được kí hiệu là
A'B' = AB
Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có AB = BA
54
IHz Nếu A'B° = AB va A”B” = AB thi A’B’ = A”B' Hạ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với B ở giữa A và C và
ba diém A’, B’, C’ thẳng hàng với B° ở giữa A' và C’ Néu AB = A’B’, BC = B’C’ thi AC = A’C’
IHa Cho một góc đ Đ k) và một nửa mặt phẳng xác định bởi
'đường thẳng chứa tỉa h` Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ một địa | k` cùng gốc
với tỉa h’ sao cho góc (h (h’, k’) bang géc (h, k) va và được kí
hiệu ]: là a Ch’, k) = & wb k), Doi với mọi góc đ& k) ta đều
có đ B= (h, k) va (h, k) = (k, h)
Ills Cho tam gidc ABC va tam gidc A’B’C’ Néu AB = AB’, _—G Bar ¬ =
AC = AC v và BAC = BAC’ thi bao giờ ta cũng c ABC = NBC va ACB = A’C’B’
CHÚ Ý :
a/ Tiên đề III, chưa nêu lên tính chất xác định duy nhất của AB, con tién dé IIT, doi hoi
ao
(h, k) điểm B` thỏa mãn điều kiện A’B’ =
a tia k` phải là được xác địnH duy nhất sao cho géc (h’, k’) =
b/ Trong tiền đề II, không có mệnh đề AB = AB còn trong
` + » ,
tiên đề II, lại có mệnh đề (h, k) = (h, k) (phan xa)
2 Các kết quả suy ra từ các tiên để của các
nhóm I, II, III
Định lí 17
1/ Néu AB = A’B’ thi AB = B’A’
2/ Moi đoạn thẳng AB đều bằng chính nó nghĩa là AB = AB
(phản xạ)
3/ Nếu AB = A'B' thì A'B' = AB (đối xứng)
Trang 30
CHUNG MINH
1/ Theo giả thiết AB = A’B’
B’A’ = A’B’ Do do theo tiên đề Ha ta có AB = Theo tiên để II ta có BA’ 2/ Theo tiên dé III, ta c6'AB = BA va áp dụng phần Í của định lí 17 ta có : AB = AB 3/ Theo phần 2 của định lí 17 ta có A’B’ = A’B’ va theo giả thiết ta có AB = A’B’
Do đó áp dụng tiên dé IIIạ ta suy ra A’B’ = AB
4/ Theo gia thiét A’B’ = A”B” va theo phan 3 cla dinh lí 17 ta có A”’B’” = A'B' Mặt khác theo giả thiết ta còn có AB = AB và áp dụng tiên đề IIa ta suy ra AB = A”B' CHÚ Ý Ta nhận thấy rằng tương quan “bằng” của các đoạn thẳng là một quan hệ tương đương Do đó ta có thể dùng khái niệm
“bằng nhau” đối với hai đoạn: thẳng
Định lí 18 — Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên nửa đường thẳng gốc A' có duy nhất một điểm B sao cho A’B’ = AB CHUNG MINH Giả sử trên nửa đường thẳng gốc A' ta có hai điểm Bì và Bạ sao cho AB): = =AB va A’B’, = AB (H.42b) Trên nửa đường thẳng tùy ý có chung gốc A' và khác với nửa đường thẳng nói trên ta lấy một đoạn A'C Hai tam giác A’CB’, va A’CB’, cé géc
a
CA’B’) = CAB’ g (méi góc bằng chính nó theo IH¿) va A’C = A’C theo Phe 2 cua oo lí 17 Ta có A'Bìạ-= A'B'; Theo tiên đề IH; ta cé A’CB’, = KCB, 2 Do đó B)¡ trùng với B'a theo tiên đề Ill, va theo dinh li 1 By Hình 42b A’ Bz 56 m—
Định nghĩa 10 Tơn giác ABC gọi là bằng tam 1 gid 4 A'B'C' nếu
AB = A'B, AC = AC, BƠ = BC và Â = Á,B=É,Ê=Ê
Ta kí hiệu AABC = AA’B’C’,
Định lí 19 Nếu hai tam giác ABC va A’B’C’ cé AB = A’B’,
AC = AC’ va A = & thi tam gidc ABC bang tam gidc AB" C’
(Ta thường kí hiệu trường hợp này IA (c, g, ©)) CHỨNG MINH A B a) ø Hình 43 Theo giả thiết và theo tiền đề II; ta có B= B’C’ (H.43)
Gia st BC khéng bang B’C’ Theo tién dé III, va theo định lí 18, trén tia B’C’, ta cé mot diém D’ duy nhất sao cho B’D’ = BC
va khi d6 2 tia A’C’ va A’D’ phai khdc nhau (H.43b)
Ap dung tiên đề II; đối với tam giác ABC và tam mù giác ABT D’
vita 6 B= B’, AB AB’, BC = B’D’ nén ta c6 BAC = BAD
Theo giả thiết BAC EAU' nên D phải trùng với C’, néu D’
khác với Cˆ thì mâu thuẫn với tiên để II
B’, &€=ê Vậy ta còn phải chứng minh BC =
hai tam giác ABC va A’B’C’ cé AB
tam giác ABC bằng tam gidc A’B’C’
Định lí 20 Nếu = AB, = A’, B = B’ thi
(Ta thường kí hiệu trường hợp này là (g, c, g)).,
Giả sử cạnh BC không bằng BC, trên tia B’C’ theo tién dé lil, va theo định lí 18 có duy nhất một điểm D' sao cho B'D' =
: oN
= BC Theo định lí 19 ta có AABC = AA'B'D' Do đó BAC = B'A'D'
Trang 31B c B’ dD’ 6c Hinh 44 „ - —> _——— ` Mat khác theo giả thiết ta có BAC = B.A'C' và theo tiên đề III, ta có D' trùng với C°* (H.44) — — Định lí 21 Nếu tam giác ABC có AC = CB thì CAB = CBA ——_ — -va CBA = CAB CHUNG MINH Ap dung tién dé Ill, déi véi tam giác ABC và tam giác CBA iii —— ta có CA = CB, CB = CA va ACB = BCA Do dé ta suy ra —— —>> oo ——
CAB = CBA va CBA = CAB (H.45)
Định nghĩa 11, Tam giác ABC có
2 AC = CB goi la tam gide can tai C va theo
định lí 21 trong tam giác này ta có hai góc B và A bằng nhau B và ÀÁ gọi là hai góc
đáy của tam giác cân ABC
Định lí 22 Cho hai bộ ba tia {h, k, ]}
và {h, k, !}, mỗi bộ nằm trong một mặt phẳng và xuất phát từ hai điểm O va O’ Nếu sự sắp xếp thứ tự của các tỉa trong
hai bộ giống nhau (chẳng hạn Ì thuộc miền trong của của góc (h, _k) va 1 |' thuộc miền trong của góc (h',k' ko) thì nếu th, D lI) = (h’, 1’), (l, k) = (7, k’) ta suy ra (hk) k) = 3 Hình 45 CHUNG MINH Sng ho in —— Ta hãy xét trường hợp tia Ì thuộc miền trong của góc (h, kì 58 — (ik) = (j k) nên theo tiên đề IH¿ ta có wk k) = là k' và k” phải trùng nhau Hình 46 — ` nh in
Gia stt géc (h, k) khéng bang géc (h’, k’) Theo tién dé Ill, ta o6_tia k” duy_nhat nằm cùng phía véi k’ đối với tia h` sao cho (h’,
ik) = (h, k) (H.46b) Trén hai tia h, k ta lần lượt lấy hai điểm A, B và trên tỉa h, k” ta lần lượt lấy hai điểm A', B”” sao cho O’A’ = OA va O’B” = OB Theo dinh lí 19 (c.g.c) ta có tam giác OAB bằng tam giác O'A'B” và do đó AB = AB
A = &,8 = B” ŒH 46a và H 46)
Vì tia I thuộc miền trong của góc a) nên tỉa ] cAt đoạn AB ở một điểm C nào đó (theo định lí 16) Trên đoạn A’B” ta lay một điểm C’ sao cho AC = A’C’ Vi AB = A’B” va ding tién đề Hạ ta suy ra BC = B”C’ Theo định lí 19, tam giác AOC bằng tam
giác A'O'C' vì có A = A’, OA = OPA’, AC = A'C' Do đó
AOC = A’O’C’ Mat khác, tam giác BOC bằng tam giác B*Q'C' vì
có OB = O'B”, BC = B”C” và B = B” Do dé COB = COB” Vì a 2
i? = A’O’C’ nén theo tien dé III, diém C’ phai nam trên tỉa I’
Do COB = COB” nén q, Œ Mì = Œ Te) Theo gid thiét
(Œ, k") nghĩa
Trường hợp tia h hay tia k thuộc miễn trong của góc tạo bởi lôi tia còn lại được chứng minh tương tự
Định H 23 Nếu hai tam giác ABC và ABC' có AB = AB), AC = A'C, BC = BC' thì tam giác ABC bằng tam giác A'BÌC'
Trang 32(Trường hợp này ta thường kí hiệu là (ec, œ, c)) CHUNG MINH , A A a) Hinh 47
Theo giả thiết AB = A'B), AC = A'C) nên muốn chứng minh tam giác ABC bằng tam giác A'B'C' ta chỉ cần chứng minh
CAB = C’A’B’ (H.47)
——> —m - ——
_ Giả sử góc CAB khác góc C°A'B' Đối với góc C°A'B' theo tiên
đề II ta có tia A'P' về phía B` đối với tia A'C' sao cho _— ——— a
C’A’P’ = CAB va nhu vay tia A’P’ khac véi tia A'B' Trên tia A'P' theo tiên đề HH; có mét diém B’, sao cho A’B’, = A’B’ = AB Theo dinh li 19 (c, g, c) ta cé tam gidc A’C’B’, bang tam gidc ACB Do dé B’,C’ = BC = BC’
Bay giờ ta dựng tam giác A'B'2C' nằm khác phía đối với đường
thing A’C’ c6 C’A’B’, = C’A’B’, va A’B’, = A’B’, (H.47b)
Khi đó tam giác A’B’,C’ bang tam gidc A’B’,C’ (c, g, c) va ta
có Cũ; = CB Theo định lí 21 tam giác A'B);B cân tai A’ ——
nên A'B);B = ABBạ và tam giác CB';B cân tại C° nên
8) 1h ng no hy Lt aes hs
C’B 2B 1 = C’B’;B’s Ap dung định lí 22 (nói về cộng các góc tương
ling bang nhau) ta cé A’B’,C’ = A’B’,C’
- Mặt khác ta lại có tam giác A’B’C’ bing tam giác
A’B’,C’ (c, g, c) nén C’A’By = C’A’B’ ma theo cdch dung 6 trén —— —vÓ ‘ 1 “+ il
ta c6 C’A’B’, = C’A’B’, , do đó theo tién_dé III, , “tia A’B’, phai — SG, —t SG
trùng với tia A'B` có nghĩa là CAB = C’A’B’ Vay tam giác ABC bằng tam giác A'B'C! 60 m— nh — 7 ` Định lí 24 Nếu ta có (h, k) = th’, k k) Œ, th, ) = (h”, k”) thi —— i ey th’, k’) = (h’,k”) CHUNG MINH — cản: Gọi O, O, O” lần lượt là đỉnh của các góc (h, k), (h, k), Gk”) ⁄ vy x! k a 8” 8 8 + ⁄Á \ fh VÀ £ QO A o A’ xế A7 Hình 48
Trên tia h ta lấy một điểm A và trên tia k ta lấy một điểm B Sau đó trên các tỉa h, k, h”, k” ta lần lượt lấy các điểm A',
B’, A’, B’’ sac cho O’A’ = OA, O’B’ = OB, OA” = OA,
O”B” = OB (H.48) Vi sy bang nhau cia các đoạn thẳng có tính
chất đối xứng và bắc cầu nên ta suy ra tam giác ' O’A’B’ bang tam
giáo O°A”B” Do đó AO'B' = ÔO°B” hay (h, k) = (h”,k”)
CHÚ Ý : Nội dung định lí 24 trên đây đối với góc cũng bung
tự như nội dung của tiên đề II; đối với đoạn thẳng
Mặt khác ta nhận thấy tương quan “bần ng” của góc cũng có
tính ‹ chất đối đối xứng Thực vậy giả sử ta có (h, k) = (Œh', k’) Vi
&w k) = th, k) theo tién dé IHạ nên theo định lí 24 ta có
(, &) = , k) Do tính chất đối xứng trên và do định lí 24 ta
suy ra tương quan “bằng” của góc củng có tính chất bắc cầu Như vậy tương quan bằng của góc cũng là một quan hệ tương đương và do đó ta có thể nói tới sự bằng nhau của hai góc
x Ị : ` a d 2) ` ` Ð *
‘Ti sy bang nhau của hai đoạn thẳng và sự bang nhau của hai gỐc ta suy ra có sự bằng nhơu của hai tam giác
Trang 33Dinh nghia 12
a) Hai góc có chung đỉnh và một cạnh, còn các cạnh thứ hai
| là hai tỉa bù nhau gọi là hai góc bù nhơu (H.50)
°
Hai góc đối dinh
Hình 49 Hai góc bù nhau Hình 50
b) Hai góc có chung đỉnh còn các cạnh của chúng là các tỉa bù nhau gọi là hai góc đối đứunh (H49)
c) Một góc bằng góc bù của nó gọi là góc uuông
eS
Theo tien dé III; ta co AC = A’C’ Theo tién dé IIT; ta có
ẾẤB = AB Theo định lí 19 ta có AB = A'B và lại dùng định
lí 19 đối với các tam giác ABC và A'B'C' ta có BC = BƠ Hai
tam giác OBC và O'BC có các cạnh bằng nhau từng đôi một nên theo định lí 23 ta có BOƠ = Ñ'Q'Ở hay Œ&hị) = (kh)
Định lí 26 Hai góc đối đỉnh bằng nhau CHUNG MINH
Vì hai góc đối đỉnh có cùng một góc bù nên áp dụng định lí 25 ta chứng mính được hai góc đó bằng nhau
Định lí 27 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau CHỨNG MINH ——~ a m ` ; , Cho hai góc vuông (h, k) và Œh', k’) có đỉnh O va O’ Gọi các Định lí 25 Nếu hai góc mà bằng nhau thì các góc bù của chúng cũng bằng nhau CHUNG MINH > ma ——
Giả sử (h, k) = (h’,k’) có các đỉnh là O va O’ (H.51) Goi hy là tia bù của h và h là tỉa bù của h’ ⁄ ‘ ba Ye Kk Cc’ Oo’ A’ Hinh §1 Trên cdc tia h, k va h, ta lan lugt lay các điểm A, B, C, Theo “ 3
tien dé III, trén cdc tia h’, k’, h’, c6 các điểm A’, B’, C’ sao cho - O’A’ = OA, O’B’ = OB, O’'C’ = OC 62 góc bù cua chúng lần lượt là (k, hạ) và (k,h';) (H 52a và H 52b) ko, Ak” ! Ị ! “a k a \ \ \ ont | fu A Wo KX 4 ~ O = ° 4 Bg a) b) U ‹ Hình 52 5 7 ea, ` ——m—= ea,
= “Giả sử góc (h, k) không bằng géc (h’, k’) va ta ki higu (h, k)#
a, k’) Theo tién dé ITI, có một tia k” xud&t phat tir O’ vé phia = _— 5 ss X
“6ó tia k' đối với h” sao cho (h’, k”) = (h, k) Như vậy tia k” phải
“khác với tia k` và nó hoặc phải thuôc miễn trong của góc (h, k) _ hoặc thuộc miền trong của góc (hìq, k)
a 7
_-GiA sit tia k” nim trong géc (h’, k’) (H.52b) Theo tien để
Trang 34` F “xua “ * » 4 Z9 4® 2 tia k”; phải i nam trong BÓC (h\ị,k) Do đó tia k” khác với tia k nên ta có (hq,k”;) # (hịk”) ()
sc (h’, R’) = na kì vì chú 3ùng bù với hai góc bề
XU hác (hịk ) = (hy,k) vì chúng cùng bù với hai góc bằng
nhau là (h, k”) và (h, k) Do (h, k) vuông nên (h, kỳ = (hịk)
——m — ,
Theo định lí 24 ta suy ra (hị k”) = (h, kì
Hơn nữa do cách dựng ở trên ta có (hìị (hk) = th’, k k”) =
= (h,k) Do d6 ta suy ra (h’y,k”) = (h,k”;) là điều trái với kết quả (1) mà ta đã nêu ở phần trên
„ ` ——
Nếu tia k” nằm trong góc (h’,, k) ta chứng mỉnh tương tự Định lí 28 Một đoạn thẳng có một điểm duy nhất chia nó thành hai đoạn bằng nhau
CHUNG MINH
Cho doan thang AB va trong mặt phẳng chứa đường thẳng AB ta lấy về hai phía của đường thẳng đó hai tia AM và BN sao cho MAB = NBA (theo tién để II, ) Trên hai tia AM va BN ta lấy hai đoạn AC và BD bằng nhau Vì C và D nằm về hai phía khác nhau
w của đường thẳng AB nên
đoạn CD cát đường thẳng
Hình 63 AB tai O (H53)
Hai tam giác ABC và BAD bằng nhau vì có Â = B, AC = và AB = AB Do đó AD = BC Mặt khác hai tam giác ACD và BDC bằng nhau vì có ba cặp cạnh tương ứng ,bằng nhau Do đó ACD = CDB Hai tam giác ACO và BDO có A= B, G=eDdw AC = BD nên bằng nhau Do đó AO = OB Điểm O ở giữa A va B vì nếu A và B ở cùng phía đối với O thì theo định lí 18 hai điểm
64 -
ee
Ava B phai trùng nhau là điều trái với giả thiết "*a gọi O là trung điểm của đoạn AB
Bây giờ ta còn phải chứng minh mỗi đoạn thẳng chỉ có một
trung điểm Giả sử đoạn AB có hai trung điểm O¡ vàO; Ta biết
rằng trong ba điểm A,O¡O; chỉ có một điểm ở giữa hai điểm kia Giả sử O ở giữa À và O; (H.ð4) AT GQ 8 = ĩ o 0 7 ¬ Hinh 54 Vi O, ở giữa A và:B và O, 6 gitta A va O; nên theo định lí 9 điểm O; ở giữ O, va B Trên tia O;B ta lấy một điểm O’ sao cho 0,0’ vậy O` ở giữa O; và B Vì O; là trung điểm của đoạn AB nên ta có : AO, = BO,
hơn nữa O,Oˆ = 0,0,
Vi O2 6 gitta A va O’, vi Og cling ở giữa B và'O¡ nên từ sự bằng nhau của hai đoạn thẳng nói trên ta suy ra
AO,+O,O? BO,+0,0,
hay AO’ = BO,
mặt khác AOI = BƠI vì O1 là trung điểm của đoạn AB Do đó ta
c6 AO’ = AOI và O°, Oi đều nằm cùng phía đối với A nên theo định lí 18 ta có Q' trùng với OI
ha,
Như vậy điểm Ôi ở giữa O; và B (vì O¡ trùng với O') và O đồng thời lại ở giữa Ạ và O; theo giả thiết trên nên đây là điều vô lí Vay O, vaO, buộc phải trùng nhau
Trang 351 | II[Ÿ W[ II tl mitt ii 3 So sánh các đoạn thẳng và các góc
Định nghĩa 13 Cho hai đoạn thẳng AB và A'B' Nếu trên đoạn AB ta có một điểm C sao cho'AC = A'B' thì ta nói rằng đoạn AB
lớn hơn đoạn A’B’ hay doan A'B' bé hơn đoạn AB Ta kí hiệu AB > A’B’ hay A’B’ < AB
—mXỐ tie „ „
Định nghĩa 14 Cho hai góc (h, k) và (h, k) Nếu xuất phát
từ gốc O của góc (h, k) ta có một tia ] nằm trong góc đó sao cho
(h, 1) = ( (h’, k’) thi ta ndi di rằng góc (h, k) lớn hơn góc (h}, i’, he’) hay
góc ih’, k k’) bé hon géc ih, B k) i ———~ ——= — Ta ki hiéu (h, k) > (h’, k’) hay (h’, k’) <.(h, kì Định lí 29 Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với góc đó CHỨNG MINH
Cho tam giác ABC Ta cần chứng minh mỗi góc ngoài thí dã
góc lớn hơn mỗi góc trong không kể nó thí dụ góc B (H.Bð)
Hình 55
Gọi O là trung điểm của đoạn BC Ta kéo dài AO ra một đoạn OD = OA, Nối DC, ta có tam giác AOB bằng tam giác DOC (, g, c) Do đó ABO = DCO Mặt khác vi diém D thudéc nva_mat phang xe định-bởi đường thẳng BC ; đồng thời thuộc nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng AC nên D thuộc miền trong của góc xác định bởi tí 66
~~
CB va tia CS” ŒCA' (đà tia bù của tia CA) Điều đó có nghĩa là góc BCD bé hon goc BCA BCA’ hay géc ngoai BCA’ tai đỉnh C của tam giác ABC lớn hơn góc ABC ABC không kê với góc đó
Định lí 30 Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đối diện với góc lớn hơn có cạnh lớn hơn
CHÚNG MINH
Giả sử tam giác ABC có
AB > AC Trên tia AB ta lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC Do đó tam _giac ACC’ can tai A va ta c6 ACC’ = AC’C (H.56) Đối với tam giác BCC’, góc
CC’A là góc ngoài tại C' nên
lớn hơn góc trong không kề nó là góc CBC Điểm Cỏ giữa đoạn AB nên : ACB > ACC’ ma
oh 56
Acc” > ABC” theo chttng minh trén, do dé ACB > ABC
Ngược lại trong tam giác ABC nếu ACB > ABC thì đi ngược lại phần chứng minh trên ta suy ra AB > AC
Hệ quả : a) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một
đường thẳng thứ ba thì không cắt nhau
m
b) Hai đường thẳng tạo với một đường thẳng thứ ba hai góc bằng nhau và cùng nằm về một phía đối với đường thẳng thứ ba đó thì không cắt nhau
CHÚ Ý : Với các tiên đề và các định lí của các nhóm I, HI, HH ta con ching minh duge cdc định lí về so sánh đường vuông góc
và đường xiên, và các định lí về so sánh mỗi cạnh của tam giác với tổng hoặc hiệu của hai cạnh còn lại
4 Phép dời hình
Trang 36
với bất cứ hai điểm A, B nào của T và hai điểm tương ứng A’, B’ của T” ta cũng có AB = A'B), thì ta nói rằng có một phép dời hình
ƒ biến T thành T” (và phép dời hình đảo ngược fˆ biến T” thành T)
b) Tính chất Dựa vào định nghĩa trên đây người ta có thể chting minh được các tính chất quen biết của phép dời hình như :
1) Phép đời hình biến các điểm thẳng hàng thành các điểm thẳng hàng và biến các điểm thuộc một mặt phẳng thành các điểm
cũng thuộc một mặt phẳng Ta suy ra phép dời hình biến đường
thẳng thành đường thẳng và biến mặt phẳng thành mặt phẳng 2) Phép dời hình biến một góc thành một góc bằng góc đã cho
3) Tích của hai phép đời hình là một phép dời hình và tập hợp các phép đời hình trong mặt phẳng hoặc trong không gian lập
thành một nhóm
CHÚ Ý : Trong việc xây dựng hình học, hiện nay cũng có những
tác giả coi khái niệm “đời hình” là khái niệm cơ bản bằng cách đưa ra một số tiên đề để nói về khái niệm đó và tiếp theo mới đưa ra định nghĩa khái niệm “bằng”
Chúng ta biết rằng trong tác phẩm của mình Oclit đã xem
khái niệm đời hình như là hiển nhiên, không dựa trên một tiên để
nào cả Trong khi chứng minh, Ơclit đã xem hai hình “chồng khít” lên nhau là bằng nhau và như vậy thực chất ông đã xem “dời hình” là khái niệm cơ bản và “bằng” là khái niệm dẫn xuất Hơn nữa chúng ta thấy rằng khái niệm “chồng khít” có nghĩa còn hẹp hơn khái niệm đời hình rất nhiều
~—=
68
=
§4 NHOM IV TIEN DE LIEN TỤC
Trong nhóm này không có thêm tương quan cơ bản mới nào
mà chỉ có một tiên để là tiên đề Đơđơkin (Dedekind)
1 Tiên để Đơđơkin hay tiên để IV
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai
lớp không rỗng sao cho :
~ mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một
mà thôi
— mdi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp
thứ hai
Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất hoặc là điểm đầu tiên của lớp thứ hai (H.57)
Cc
83 1 2 —-—— ®“ Hình 57
Định nghĩa 16 Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên để Đơđơkin là mộ lát cắt Đơđơkin của đường thẳng
CHÚ Ý : Sau khi trên một đường thẳng đã có một lát cắt Đơ đơ kin ta có thể chọn một trong hai lớp làm lớp thứ nhất và khi đó lớp còn lại là lớp thứ hai Việc lựa chọn này thực chất là việc xác định hướng cho một đường thẳng
2 Các định lí
Định lí 31 Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một lát cắt Đơđơkin thì điểm đó là duy nhất
Trang 37CHUNG MINH
Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C, va Cg Khi dé ta có thể lấy một điểm P thuộc doan C,C, (H.58)
é, P Ca
jue 4 t 4 † £} © 6 vo HD
Hinh 58
Theo tiên đề Đơđơkin điểm P chỉ có thể thuộc một và chỉ một lớp mà thôi Nếu có hai lát cắt C, va Cg thì khi đó vì P ở giữa C¡ và Cạ nên P vừa thuộc lớp thứ nhất đồng thời lại vừa thuộc lớp
thứ hai là điều trái với giả thiết Định lí 32, (Tiên đề Căngto)
Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn các đoạn thẳng A¡Bq, AzB;„, A,Bạ , sao cho :
= mdi doan sau déu ndm trong đoan trước đơ
CAjIBi CC Ái Bị g)
— cho trước bất cứ đoạn thẳng AB nào ta cũng có một số tự nhiên n dé cho doan A,B, cla day bé hon đoạn AB, thì khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn thẳng A;B; của dãy a A, = Az An ‘Cc Bn Bz By LA L8 T ] Hình 59 CHUNG MINH
Trước hết ta chứng minh sự duy nhất của điểm C (H.59) Thue vậy nếu có hai điểm C¡ và C¿ cùng thuộc tất cä»các đoạn thẳng của dãy nghĩa là C¡C¿ < A,Bạ với bất kì số n nào Điều này trá với giả thiết là với bất cứ đoạn thẳng AB nào cho trước (ở đây lỗ 70
C¡Ö; ) ta cũng có một số tự nhiên n đủ lớn để cho đoạn A,B„ của dãy bé hơn đoạn thang C,Cy do Vay điểm C là duy nhất
Bây giờ ta giả sử trên đường thẳng a có một đãy vô hạn các đoạn AIBI, AzBaz, thỏa mãn các điều kiện nêu ra trong tiên để Căngto Tạ cân chứng minh có một điểm C thuộc tất cả các đoạn của dãy
Ta chọn một hướng trên đường thẳng a và giả sử các điểm A, déu đi trước các điểm Bị (H.60) + a Ai AS oc + Bi ƒ 7 —— Se te —C- J Hình 60
Ta chia các lớp điểm A;, B; với ¡ = 1, 2, , n, đó như sau: Tập hợp các điểm A; thuộc lớp thứ nhất và tập bợp các điểm
Bị thuộc lớp thứ hai Khi đó theo giả thiết với ¡ < j ta có đoạn
AB; thuộc đoạn A:B;
_ Wi A; 6 giữa À¡ và Bị nên A;¡ đi trước Bị Tương tự vì B; 6
sữa A; và B¡ nền À; đi trước Bị
Như vậy với i, j bất kì ta có A; đi trước B¡ Do đó sự phân
lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên để Đơđơkin nên trên đường
thẳng a có một lát cắt C Điểm C này ở giữa hai điểm bất kì thuộc
hai iớp và là điểm thuộc bất cứ đoạn A,B, nao
Thực vậy nếu có một đoạn A,B, nào đó không chứa điểm C
thì thai điểm đó sẽ cùng thuộc một lớp là điều trái với rgiả thiết của sự chia lớp ở trên
Định lí 33 (Tiên dé Acsimet)
lệ ; : 7
Trang 38
!
cho Ay ở giữa A và Ao : Ao 6 giữa Ay va Ag ờng An-l ở giữa
An-2 va A, , BG gitta A va A, va sao cho cdc doan AA, , AIAs, «› Ẩn -1Ân đều bằng đoạn CD, (H61) A A; Az An-4 B Ân ®——t———+—— Ì—®—†+———> E—— c D Hình 61 CHUNG MINH
Ta chon chiều trên đường thẳng AB sao cho A đi trước B Giả sử đối với hai đoạn thẳng AB và CD nào đó tiên đề Acsimet không đúng nghĩa là với mọi n ta đều có điểm A, đi trước điểm B (h62 A Ay Az L + Ỹ t fi An 8 Hình 62 Ta hãy chia tập hợp các điểm của đường thẳng AB ra hai lớp như sau : a
Mỗi điểm đi trước một điểm A; nao dé (tất nhiên điểm này cũng đi trước các điểm A;,¡, A¡,as, ), được xếp vào lớp thứ nhất, Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB được xếp vào lớp thứ hai Mỗi lớp này đều không rỗng vì lớp thứ nhất chứa các điểm Á¡ và lớp thứ hai ít nhất cũng chứa điểm B Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơđơkin nên ta có một lát cắt X, Theo tiền đề II, và định lí 18 thì đi trước điểm X có một điểm M sao cho XM = CD (H63)
A M X B
Ag Ag,
Hinh 63 a
Vi M đi trước X nên M thuộc lớp thứ nhất và giả sử M đi trước một điểm A, nào đó (vì mọi điểm Ay đều đi trước điểm X)
4
72
Điểm Ay,¡ cũng thuộc lớp thứ nhất nên A,„¡ đi trước X Vậy đoạn XM chứa đoạn AtA¿¿¡ và do đó A¿A¿¿¡ < XMmàXM = CD nên ta suy ra AyA¿+¡ < CD là điều vô lí và định lí được chứng minh CHÚ Ý : Dựa vào các nhóm tiên để L, II, II cùng với các tiên
đề Căngto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên dé
Đơđơkin Như vậy là tiên dé Cangto va Acsimet tương đương với tiên đề Đơđơkin
4 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Định nghĩa 17 Trong mặt phẳng cho
một điểm O cố định và một đoạn thẳng M
AB = r Đường tròn tam O ban kính r
là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phẳng sao cho OM=r_ Tập hợp các điểm X của mặt phẳng sao cho OX < r gọi là những điểm trong của đường tròn (H.64) Tập hợp các điểm Y của mặt phẳng sao cho OY > r gọi là những điểm ngodi cha đường tròn «Y Hình 64
Định lí 34 Cho đường tròn tâm O bán kính r Nếu: một đường thắng d đi qua một điểm trong P của đường tròn thì cắt đường tròn đó tại hai điểm và chỉ hai điểm mà thôi
CHỨNG MINH Ta xét hai trường hợp :
_ 8/ Trường hợp đường thẳng
d di qua tam O (H65) của x
đường tròn thì trên mỗi tia gốc © của đường thẳng d có một
điểm X duy nhất sao cho d
OX =r (theo dinh li 18 va tian
dé III, )
Hinh 65
Trang 39b/ Trường hợp đường thang d khong di qua O thi ta dựng qua Ơ một đường thẳng vng góc với d tại A (ŒH.66) Ta có OA<OP (A có thể trùng với P) nên A là một điểm trong của đường tròn Điểm A chia
đường thẳng d ra hai tia bù nhau a' và a” có chung gốc A
Hình 66
Chọn a' là tia chứa điểm P và a” là tia còn lại Ta hãy chia tập hợp tất cả các điểm của tia a’ ra làm hai lớp :
— lớp thứ nhất gồm những điểm X của tia a' sao cho OX < r _— lớp thứ hai gồm những điểm Y còn lại của tia a’
Sy phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơđơkin, Thật vậy mỗi lớp đều không rỗng Lớp thứ nhất ít ra có điểm P Trên
tỉa a' có một điểm Y duy nhất sao cho AY = r (theo định lí 18) Điểm Y này thuộc lớp thứ hai vì trong tam giác vuông OAY ta có OY > AY
= rnên OY > r
Bây giờ ta cần chứng minh mọi điểm X của lớp thứ nhất
A đều đi trước mọi điểm Y của
⁄ lớp thứ hai Theo giả thiết ta
có OX < r và OY > r nên
OY > OX Áp dụng tính chất
của đường vuông góc và đường xiên cùng với hình chiếu của chúng, ta có AY > AX Điều đó có nghĩa là X ở giữa A và Y hay
X đi trước Y Do đó trên tia a' gốc A theo tiên đề Đơđơkin có một
điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc Tai lớp Ta cẩn
chứng mỉnh OC =r Giả sử OC < r (H67) Từ € trên tia a°
dat doan CE = r — ÓC sao cho € đi trước E Hình 67 74 — Trong tam giác OCE ta có : OE < OC + CE OE < OC +-r- OC OE < r Do đó điểm E phải thuộc lớp thứ nhất, và E đi trước C
là điều trái với giả thiết
Bây giờ ta giả sử OC > r (H.68)
Trên tỉa a' ta lấy một điểm
D đi trước - sao cho IS JEnR
DC = OC -r Trong tam giác
OCD ta có :
OD > JOC — DC|
OD > |OC - OC + r| =
Vay OD > r
Do đó điểm D phải thuộc lớp thứ hai và phải di trước D là
điều trái với giả thiết Vậy OC = r và điểm C thuộc đường tròn tam Oo bán kính r và C là giao điểm của tia a` với đường tròn Chứng mình tương tự, trên tia bù a” của tia a` ta cũng có một điểm C’ là giao điểm của tia a” với đường tròn
tr Vậy ta đã chứng minh có hai điểm C và C° của đường thẳng d nằm trên đường tròn Ngoài ra trên d không có một giao điểm
nào khác nữa Thực vậy nếu có thêm một điểm C” là giao điểm
của d với đường tròn thì hai tam giác cân OCC' và OCC” có đáy la CC’ va CC”, Gọi E và F là trung điểm của hai cạnh đáy này, ta co OF va OF cing vuông góc với đường thẳng d là điều vô lí Vậy d cắt đường tròn tại hai điểm C, C’ va chỉ hai điểm đó mà thôi
Trang 40
¬ CƠ TỐ TNỐ ren man vn
4 Đo đoạn thẳng
Định nghĩa 18 Với một đoạn thẳng AB cho trước tổn tại duy nhất một hàm số f(AB) thỏa mãn các điều kiện sau đây :
1/ Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(AB) > 0
2/ Nếu hai đoạn thẳng AB và A'B' bằng nhau thì
f(AB) = f(A’B’)
3/ Nếu có một điểm C ở giữa hai điểm A và B thì : f(AO) + f(CB) = f(AB)
4/ C6 mét doan OF sao cho f(OE) = 1
Ham sé f(AB) goi la dé dai ctia doan théng AB Doan OE gọi la don vi dài hay là đoạn thing don vi
CHÚ Ý : Bốn điều kiện nêu trong định nghĩa trên thực chất là các tiên đề về độ dài đoạn thẳng Như vậy là ứng với một đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định gọi là độ đài của đoạn
thẳng đó "
Định lí 35 Với mỗi đơn vị dài cho trước, mỗi đoạn thẳng có một độ dài duy nhất
Để chứng mình định lí này chúng ta cần chứng mình hai bổ đề sau:
Bổ đề L Nếu AB > A'B' thì (AB) > f(A’B’) !
CHUNG MINH
Nếu AB > A’B’ thì giữa hai điểm A va B có một điểm P duy nhất sao cho AP = A'B'` Khi đó ta có :
f(AB) = f(AP) + f(ŒPB) theo điều kiện 3
f(A’B’) + f(PB) vì theo điều kiện 2 ta có f(AP) = f(A’B’) Do đó f(AB) > f(A'B) vì độ dài đoạn thẳng là một số thực dương lí 76
Bổ đề I Nếu ta chia đoạn thẳng đơn vị OE làm 2" phần bằng
nhau (bằng cách chia 2 phần, 4 phần, 8 phần, ) thì độ dài của mỗi
đoạn thẳng ứng với mỗi phần đó bằng — 8 2n
CHUNG MINH
Nếu ta chia đôi đoạn OB bằng điểm OI ta có OOI = OIE Theo điều kiện 2 của định nghĩa ta có f(OOI) = f(OIE)
Nhưng ta lại có f(OOt) + f(OIE) = f(OE) = 1 theo điều kiện 3 và 4 Do đó f(OOi) = f(OIE) = h (H.69) Oo 9% 2 O4 E Hình 69 Ta lại chia đôi đoạn OOI bằng điểm Os và lí luận tương tự như trên ta có : f(002)=— 2 _ 2 2 1 Nếu tiếp tục chia như vậy cho đến điểm Ơn ta có f(OOn)=— 2 CHUNG MINH DỊNH LÍ 35
Bây giờ ta hãy chứng minh với đoạn thẳng AB cho trước ta có f(AB) được xác định duy nhất Trên nửa đường thắng AB gốc
O ta lấy các đoạn AAI, AIAs, đều bằng OE Ta hãy xét các
trường hợp sau đây :
1/ Nếu có một điểm Ak trùng với điểm B ta có :
f(AB) = f(AAI) + f(AIAs) + + f(Ak-IAk) = k (H.70)
SÁU Ae Aud 4 k
A 8