Đại số sơ cấp giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ đại học, cao đẳng sư phạm (tái bản lần thứ 10)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đ ẳng sư ph ạm) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990026094721000000 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀNG HUY SƠN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đẳng sư ph ạm ( Tái lần thứ 10) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 512/GD-01/6725.413-00 Mã số: 85k94v3 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Đại số sơ cấp” viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán Nội dung tài liệu đề cập đến vấn đề: Hàm số đồ thị; Phương trình hệ phương trình; Bất đẳng thức bất phương trình Một số nội dung đề cập tài liệu, sinh viên học sơ lược chương trình Tốn phổ thơng Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt mơn Tốn trường, địi hỏi sinh viên phải nắm vững lý thuyết hoàn thiện phương pháp giải toán sơ cấp Xuất phát từ u cầu trên, chúng tơi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống sở lý thuyết khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương trình Các nội dung chiếm phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng như: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Phương trình lượng giác, chúng tơi trình bày thành chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu Tài liệu trình bày thành chương: Chương 1: Hàm số; Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình; Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình; Chương 4: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Chương 6: Phương trình lượng giác Một yêu cầu quan trọng giải tốn là: Việc trình bày giải phải chặt chẽ logic Để rèn cho sinh viên kỹ đó, chúng tơi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ thực hành giải tốn Các ví dụ chiếm khối lượng đáng kể tài liệu, giúp sinh viên tự nghiên cứu tài liệu trước đến lớp Điều phù hợp với phương thức đào tạo theo hệ thống tín trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010 Cuối chương có hệ thống tập lựa chọn, nhiều số lượng, đủ mức độ từ dễ đến khó (đối với số khó, chúng tơi có hướng dẫn cách giải), u cầu sinh viên tự giải để rèn kỹ tìm lời giải toán Với khối lượng quy định đơn vị học trình, tài liệu khơng thể đề cập hết tất dạng toán hay gặp nội dung phương trình, bất phương trình hệ phương trình số tài liệu khác Chúng mong muốn sinh viên tự tổng kết đúc rút cho kỹ giải tốn thơng qua tự giải tập tài liệu Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp q báu cho nội dung hình thức trình bày tài liệu bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm bạn sinh viên để tài liệu hồn chỉnh tốt An Giang, tháng 02 năm 2009 Tác giả MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa hàm số Đồ thị hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn Hàm số hợp 10 Hàm số ngược 11 Hàm số sơ cấp 13 §2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 18 Trục đối xứng, tâm đối xứng đồ thị 18 Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 Phép tịnh tiến song song trục tung 21 Phép tịnh tiến song song trục hồnh 21 Một số ví dụ 22 Đồ thị số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 28 Định nghĩa 28 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 28 Một số ví dụ 29 BÀI TẬP CHƯƠNG I 37 CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 42 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 42 Phương trình 42 Hệ phương trình – Tuyển phương trình 45 §2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 46 Phương trình bậc ẩn 46 Phương trình bậc hai ẩn 50 Một số phương trình bậc bốn đưa phương trình bậc hai ẩn 55 §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 59 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai 59 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 61 Hệ phương trình đối xứng 63 Giải số hệ khác 71 BÀI TẬP CHƯƠNG II 78 CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 85 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 85 Định nghĩa 85 Tính chất bất đẳng thức 85 Một số bất đẳng thức quan trọng 86 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 86 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH 96 Định nghĩa 96 Sự tương đương bất phương trình 97 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ vào việc giải phương trình bất phương trình §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN Bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ §1 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải bất phương trình vơ tỉ BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT §1 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT Định nghĩa Các tính chất logarit §2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình mũ Một số phương pháp giải bất phương trình mũ §3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình logarit Một số phương pháp giải bất phương trình logarit BÀI TẬP CHƯƠNG V CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Công thức cộng Công thức nhân Cơng thức biến đổi tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a Phương trình cos x = a Phương trình tan x = a Phương trình cot x = a §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao hàm số lượng giác Phương trình bậc sin x cos x Phương trình bậc hai đố i với sin x cos x Phương trình đố i xứng đố i với sin x cos x §4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Sử dụng cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, góc nhân ba Dạng phân thức Dạng chứa tan x cot x Một số phương trình giải phương pháp đặc biệt Một số phương trình chứa tham số BÀI TẬP CHƯƠNG VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 98 98 101 111 116 116 116 117 132 132 133 140 146 146 146 146 147 147 147 158 166 166 166 177 184 192 192 192 192 193 193 194 194 195 195 195 196 196 197 198 200 202 202 208 209 213 214 217 220 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU ℕ : Tập hợp số tự nhiên: {0;1; 2; } ℤ : Tập hợp số nguyên: { ; −2; −1; 0;1; 2; } a  ℚ : Tập hợp số hữu tỉ:  / a, b ∈ ℤ, b ≠  b  ℝ : Tập hợp số thực ℝ* : Tập hợp số thực khác không ℝ + : Tập hợp số thực dương n ∑ : Phép lấy tổng từ đến n { / } : Tập hợp T f : Tập (miền) giá trị hàm số f Max f ( x) : Giá trị lớn hàm số f tập D x∈D Min f ( x) : Giá trị nhỏ hàm số f tập D x∈D ∈: Thuộc ⊆, ⊂: Tập ∅ : Tập hợp rỗng ∀ : Mọi ≠: Khác \: Hiệu hai tập hợp ∪ : Hợp hai tập hợp ∩ : Giao hai tập hợp n ∪ : Phép lấy hợp từ đến n n ∩ : Phép lấy giao từ đến n ∨ : Hoặc (tuyển hai mệnh đề) ⇒: Phép kéo theo, phương trình hệ ⇔: Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Nếu có quy tắc f cho tương ứng mỗ i x ∈ X với y ∈ Y ta nói f hàm từ X vào Y , kí hiệu f : X →Y x ֏ y = f ( x) Nếu X , Y tập hợp số f gọi hàm số Trong chương xét hàm số thực biến số thực, nghĩa X ⊆ ℝ ; Y ⊆ ℝ X gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f (Người ta hay dùng kí hiệu tập xác định hàm số D ) Số thực x ∈ X gọ i biến số độc lập (gọi tắt biến số hay đố i số) Số thực y = f ( x ) ∈ Y gọi giá trị hàm số f điểm x Tập hợp tất giá trị f ( x ) x lấy mọ i số thực thuộc tập hợp X gọi tập giá trị (miền giá trị) hàm số f kí hiệu T f , (như T f = { f ( x ) | x ∈ X } = f ( X )) Hiển nhiên T f ⊆ Y Chú ý T f tập hợp thực Y tập Y Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dạng x ֏ f ( x ) y = f ( x ) mà không nêu rõ tập xác định X tập hợp Y chứa tập giá trị f Khi đó, ta hiểu Y = ℝ X tập hợp số thực x ∈ ℝ cho quy tắc cho f ( x ) tồn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = x + Theo cách hiểu Y = ℝ; tập xác định f D = ℝ, tập giá trị f T f = { x + 1| x ∈ ℝ} = [1; +∞ ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = Khi đó, tập xác định D = ℝ \ {0} , tập giá trị T f = ℝ \ {0} x Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = − x Tập xác định D = [ −1;1] , T f = [ 0;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số x2 − x +1 a y = f ( x ) = ; x + x +1 sin x + 2cos x + b y = f ( x ) = sin x + cos x + Giải x2 − x + a y = Hàm số có tập xác định D = ℝ x + x +1 Giả sử y0 ∈ T f Khi y0 = x2 − x + (1) có nghiệm đố i với x x2 + x +1 (1) ⇔ y0 ( x2 + x + 1) = x − x + ⇔ ( y0 − 1) x + ( y0 + 1) x + y0 − = ( 2) Xét y0 − = ⇔ y0 = ; ( ) ⇔ x = ⇔ x = Vậy ∈ T f Xét y0 − ≠ ⇔ y0 ≠ Khi đó, (2) có nghiệm ( y0 + 1) 2 − ( y0 − 1) ≥ ⇔ −3 y02 + 10 y0 − ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ 3 Vậy T f = [ ;3] b Tập xác định hàm số cho D = ℝ Cũng tương tự câu a y0 thuộc tập giá trị sin x + cos x + hàm số cho y0 = (1) có nghiệm đố i với x sin x + cos x + (1) ⇔ y0 ( sin x + cos x + ) = sin x + cos x + ⇔ ( y0 − 1) sin x + ( y0 − ) cos x = − y0 (1) có nghiệm ( y0 − 1) + ( y0 − ) 2 ≥ (1 − y0 ) ⇔ y02 + y0 − ≤ ⇔ −2 ≤ y0 ≤ Vậy T f = [ −2;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = f ( x ) = cos 2x + x2 Tập xác định hàm số D = ℝ 2x , xem t hàm số biến x, áp dụng phương pháp trình bày ví dụ 4.a ta + x2 2x với x ∈ ℝ t ∈ [−1;1] Miền giá trị hàm số y = f ( x) = cos tập xác định + x2 D = ℝ miền giá trị hàm số y = cos t với t ∈ [−1;1] Từ hàm số 2x y = f ( x ) = cos có tập giá trị đoạn [ cos1;1] + x2 Đặt t = Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D, ta gọi tập hợp điểm ( x; f ( x ) ) với ∀x ∈ D đồ thị hàm số y = f ( x ) Việc biểu diễn điểm ( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) lên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi vẽ đồ thị hàm số Chú ý đường ( ζ ) (đường cong đường thẳng) mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số đó, cắt đường thẳng phương với trục Oy không điểm Hàm số đơn điệu 3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định tập D, khoảng ( a; b ) tập D Khi ta có Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Một hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) ta nói hàm số đơn điệu khoảng 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Hàm số y = x3 đồng biến tồn tập xác định ℝ Ví dụ Hàm số y = 3x + nghịch biến khoảng xác định ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) x−2 Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh tính chất sau 3.3 Tính chất 3.3.1 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) + c (c số) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.2 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = kf ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) k > ; hàm số y = kf ( x ) nghịch biến (đồng biến) khoảng ( a; b ) k < 3.3.3 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.4 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) không âm khoảng ( a; b ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) Chú ý Đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) cắt đường thẳng phương với trục Ox nhiều điểm Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) ; hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) Khi khoảng (a; b), đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt không điểm Áp dụng Tìm x thỏa mãn x− = − x Để ý hàm số y = f ( x ) = x −2 hàm số đồng biến ℝ , hàm số y = g ( x ) = − x nghịch biến ℝ π  cách đặt t = sin x − cos x = sin  x −  , điều kiện t ≤ 4  Khi sin x cos x = 1− t2 Ví dụ Giải phương trình ( s inx + cos x ) + 6s inx cos x − = (1) Giải π  Đặt t = s inx + cos x = s in  x +  , điều kiện t ≤ 4  (t (1) ⇔ 2t + − 1) −2 = ⇔ 3t + 2t − = t =  ⇔  −5 t = π π   Ta chọn t = ⇒ sin  x +  = ⇔ sin  x +  = 4 4   π π  ⇔ sin  x +  = sin 4  π π   x = k 2π  x + = + k 2π  ⇔ ⇒ , k ∈ℤ π  π π x k = + π  x + = π − + k 2π  4  Ví dụ Giải phương trình sin x + 2 ( s inx − cos x ) − = (1) Giải π  Đặt t = s inx − cos x = s in  x −  , điều kiện t ≤ 4  (1) trở thành − t + 2t − = ⇔ t − 2t + = ⇔ t = π  ⇒ sin  x −  = 4  π π π 3π  ⇔ sin  x −  = ⇔ x − = + k 2π ⇔ x = + k 2π, k ∈ ℤ 4 4  201 §4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng, ta cần sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình xét §1 §2 Sau ta xét số ví dụ Sử dụng cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, góc nhân ba Ví dụ Giải phương trình sin x − cos x + sin x − = (1) Giải (1) ⇔ sin x cos x − cos x + sin x − = · Xét x = π + k 2π nghiệm phương trình · Xét x ≠ π + k 2π ⇔ x π x ≠ + k π, đặt tan = t 2 Phương trình (1) trở thành 2t − t − t 2t − + −1 = 2 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t2 ⇔ t − 2t + = ⇔ t = ⇒ tan x x π π = ⇔ = + k π ⇔ x = + k 2π 2 Vậy, phương trình cho có nghiệm x = π + k 2π; x = π + k 2π, k ∈ ℤ Chú ý Khi đặt ẩn phụ tan x = t , không xét x = π + k 2π bị sót nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x cos x − cos x = (1) π  π  b) cos x + sin x + cos  x −  sin  x −  − = ( ) 4  4  Giải a) (1) ⇔ + cos x + cos x cos x − =0 2 ⇔ cos x cos x − = ⇔ ( 4cos3 x − 3cos x ) cos x − = ⇔ cos x − 3cos 2 x − =  cos 2 x =  kπ ⇔ ⇔ cos 2 x = ⇔ sin x = ⇔ x = k π ⇔ x = ; k ∈ ℤ 2 cos x = −   202 1  π  b) ( ) ⇔ ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x + sin  x −  + sin x  − = 2  2  1 ⇔ − sin 2 x + ( sin x − cos x ) − = 2 1 1 ⇔ − sin 2 x − (1 − 2sin 2 x ) + sin x − = 2 2 ⇔ sin 2 x + sin x − = sin x = π π ⇔ ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + k π; k ∈ ℤ sin x = −2 Ví dụ Giải phương trình sau a) 4cos3 x + sin x = 8cos x (1) π π   b) cos  x +  + cos  x −  + 4sin x = + (1 − sin x )( ) 4 4   Giải a) (1) ⇔ cos x + sin x cos x − 8cos x = ( ) ⇔ cos x cos x + sin x − = ⇔ cos x  (1 − sin x ) + sin x − 4 = ( ) ⇔ cos x −2sin x + sin x − =  cos x =  cos x =   ⇔ sin x = ⇔ 2  sin x =   sin x = π  x = + kπ   π ⇔  x = + k 2π;    x = 3π + k 2π  k ∈ ℤ π π   b) cos  x +  + cos  x −  + 4sin x = + (1 − sin x ) ( ) 4 4   ( ) ⇔ cos x cos π + sin x = + (1 − sin x ) 203 ( ) ⇔ 2 sin x − + sin x + = sin x =  ⇔ ⇔ sin x = sin x =  π   x = + k 2π ⇔ ; k ∈ ℤ  5π + k 2π x =  Ví dụ Giải phương trình cos 4x = cos x (1) Giải (1) ⇔ cos x + cos x = ⇔ cos 2t = + cos 3t; (t = 2x ) ⇔ cos3 t − cos t − 3cos t + = ⇔ ( cos t − 1) ( cos t − 3) =  cos t − =  ⇔ + cos 2t =  cos t =  cos t =  x = 3k π   ⇔ 1⇔ π 3k π ; k ∈ ℤ cos t = x = ± +   Ví dụ Giải phương trình cos 3x 4x + = 3cos (1) 5 Giải (1) ⇔ + cos 6x 4x 2x + = 3cos ⇔ + cos 3t = 3cos 2t ; (t = ) 5 ⇔ cos3 t − cos t − 3cos t + = ⇔ ( cos t − 1) ( cos t − 2cos t − 5) = a) cos t − = ⇔ t = 204 2x = 2k π ⇔ x = 5k π, k ∈ ℤ  − 21 cos t = b) 4cos t − cos t − = ⇔   cos t = + 21  ⇔ cos t = − 21 − 21 ⇔ x = ± arccos + 5k π, k ∈ ℤ 4 Ví dụ Giải phương trình π  sin x + cos  x +  = (1) 4  Giải  π  + cos  x +    2  − cos x     = (1) ⇔   + 2       2 ⇔ (1 − cos x ) + (1 − sin x ) = ⇔ sin x + cos x = π  ⇔ cos  x −  = 4  ⇔ x = kπ ∨ x = π + k π, k ∈ ℤ Ví dụ Giải phương trình cos3 x cos 3x + sin x sin x = (1) Giải Vế trái (1) cos 3x + 3cos x − sin x + 3sin x cos x + sin 3x 4 = cos 3x − sin 3x ) + ( cos x cos x + sin x sin 3x ) ( 4 = cos x + cos x 4 = cos3 x − 3cos x ) + cos x = cos x ( 4 (1) ⇔ cos x = 2 π ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k π, k ∈ ℤ Ví dụ Giải phương trình 205 2cos3 x + cos x + sin x = (1) Giải (1) ⇔ cos3 x + cos x − sin x + sin x = ⇔ cos x ( cos x + 1) + sin x (1 − sin x ) = ⇔ (1 − sin x ) (1 + sin x )( cos x + 1) + sin x  = ⇔ (1 − sin x ) ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x )  =   ⇔ (1 − sin x )( sin x + cos x )( sin x + cos x + ) = 1 − sin x = ⇔ sin x + cos x = sin x = ⇔ tgx = −1 π  x = + kπ ⇔ ; k ∈ ℤ  π x = − + kπ  Ví dụ Giải phương trình cos x − cos x + 2sin x = (1) Giải (1) ⇔ cos x − + 2sin x + 2sin x = ⇔ ( cos x − 1)( cos x + 1) + 2sin x (1 + sin x ) = ⇔ sin x  (1 + sin x ) − ( cos x + 1)  = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x ) = ⇔ sin x ( 2sin x + 1) = ⇔ sin x = ⇔ x = k π; k ∈ ℤ Ví dụ 10 Giải phương trình cos x − cos x − cos x = (1) Giải (1) ⇔ cos x − cos x − ( cos x + 1) = ⇔ cos x − cos x − cos 2 x = 206 ⇔ cos x − 2cos x (1 + cos x ) = ⇔ cos x − 4cos x cos x = ⇔ cos x (1 − cos x cos x ) = ⇔ cos x ( − cos x − cos x ) =  cos x = π   x = + kπ  cos x =  ⇔  cos x = ⇔ ⇔ ; k ∈ ℤ   cos x =   cos 3x = 4cos x − 3cos x =  x = 2k π  Ví dụ 11 Giải phương trình cos x − cos x + ( 3sin x − 4sin x + 1) = (1) Giải Phương trình (1) tương đương với (1 + cos x ) + (1 − cos x ) + sin 3x + = ⇔ cos x + sin 3x + sin 3x + = ⇔ cos x + ( sin x + 1) = cos x = sin x = ±1 ⇔ ⇔ sin 3x = −1 3sin x − 4sin x = −1 ⇔ sin x = ⇔ x = π + 2k π; k ∈ ℤ 2 Dạng phân thức Chú ý Khi giải phương trình có chứa ẩn mẫu, ta phải đặt điều kiện cho mẫu khác khơng Ví dụ Giải phương trình 3cos x + 4sin x + = (1) 3cos x + sin x + Giải Đặt t = 3cos x + sin x ⇒ phương trình (1) trở thành t + = (2) t +1 Điều kiện: t + ≠ ⇔ t ≠ −1 (2) ⇔ t ( t + 1) + = ( t + 1) ⇔ t ( t − ) = ⇔ t = ∨ t = ( t ≠ −1) 3 3   t = 3cos x + 4sin x =  cos x + sin x  = 5cos  x − arccos  5 5   3 π  a) t = ⇔ cos  x − arccos  = ⇔ x = arccos + + k π; k ∈ ℤ 5  3  b) t = ⇔ cos  x − arccos  = ⇔ x = arccos + 2k π; k ∈ ℤ 5  207 Ví dụ Giải phương trình 1 + = (1) cos x sin x sin x Giải Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ (*) (1) ⇔ 4sin x cos x + cos x = ⇔ 4sin x cos x + (1 − 2sin x ) = ⇔ 4sin x ( cos x − sin x ) = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x − 1) =  sin x =  ⇔ sin x = −1   sin x =  So với điều kiện (*) ta chọn sin x = π   x = + 2k π ⇔ ; k ∈ ℤ  5π + 2k π x =  Ví dụ Giải phương trình 6sin x − cos x = 5sin x cos x (1) cos x Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π kπ + , k ∈ ℤ (1) ⇔ 6sin x − 2cos x = 5sin x cos x ⇔ 6sin x − 2cos x = 10sin x cos x ( *) Vì cos x = không nghiệm nên chia hai vế phương trình (*) cho 2cos x ta nhận tan x (1 + tan x ) − = tan x ⇔ 3tan x − tan x − = ⇔ ( tan x − 1) ( 3tan x + 3tan x + 1) =   1 π ⇔ ( tan x − 1)  tan x +  +  = ⇔ tan x = ⇔ x = + k π; k ∈ ℤ  4    208 So với điều kiện phương trình x = π + k π khơng thỏa Vậy, phương trình cho vơ nghiệm Dạng chứa tan x cot x Chú ý Đối với phương trình chứa tan x cot x, ta phải đặt điều kiện cho tan x cot x xác định Ví dụ Giải phương trình cot x − tan x = sin x + cos x (1) Giải Điều kiện: sin x ≠ ∧ cos x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ (*) (1) ⇔ cos x − sin x = ( cos x + sin x ) cos x sin x ⇔ ( sin x + cos x )( sin x − cos x + sin x cos x ) = a) sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − x=− π + k π; k ∈ ℤ π + k π, k ∈ ℤ thỏa điều kiện (*) b) sin x − cos x + sin x cos x = Đặt 1− t2 π t = sin x − cos x = sin( x − ) ∈  − 2;  ⇒ = sin x cos x pt ⇔ t + 1− t2 π  = ⇔ t − 2t − = ⇔ t = sin  x −  = − 2 4  π  1−  ⇔ sin  x −  = 4   π 1− + k 2π  x = + arcsin  ⇔ ; k ∈ ℤ 5π 1−  + k 2π  x = − arcsin  (Thỏa điều kiện (*)) Ví dụ Giải phương trình cot x + cot 3x + = sin x sin x sin 3x Giải Điều kiện: sin x.sin x.sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ kπ ∧x≠ , k ∈ ℤ 209 sin x + = ⇔ sin x sin x = −1, suy sin x sin 3x sin x sin x sin 3x  sin x =  = sin x sin x = sin x sin x ≤ 1.1 = ⇒  ⇒ cos x = ⇒ sin x = (loại điều  sin x = kiện) Vậy phương trình vơ nghiệm pt ⇔ = Ví dụ Giải phương trình tan x + cot x = tan x Giải Điều kiện: cos x ≠ ∧ cos x ≠ ∧ sin 3x ≠ ⇔ x ≠ pt ⇔ ( tan x + cot x ) = tan x − tan x ⇔ ⇔ 5cos 2 x = sin x sin x = π π kπ kπ + kπ ∧ x ≠ + ∧x≠ , k ∈ ℤ 5cos x sin x = cos x sin 3x cos x cos x ( cos x − cos x ) ⇔ 12 cos2 x − cos x − = 1 ⇔ cos x = ∨ cos x = − (thỏa mãn điều kiện) 1  1 ⇔ x = ± arccos + k π ∨ x = ± arccos  −  + k π; k ∈ ℤ  4 Ví dụ Giải phương trình ( tan x − sin x ) + ( cot x − cos x ) + = Giải Điều kiện: sin x ≠ ∧ cos x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ  sin x   cos x  pt ⇔  − sin x + 1 +  − cos x +  =  cos x   sin x  ⇔0= ( sin x + cos x − sin x cos x ) + ( sin x + cos x − sin x cos x ) cos x sin x   ⇔0= +  ( sin x + cos x − sin x cos x )  cos x sin x  (a) 3  3 + = ⇔ tan x = − ⇔ x = arctan  −  + k π; k ∈ ℤ Thỏa điều kiện cos x sin x  2 ( b ) sin x + cos x − sin x cos x = t −1   Đặt t = sin x + cos x ∈  − 2;  ⇒ = sin x cos x 210 π π  1−   pt ⇔ t − 2t − = ⇒ t = cos  x −  = − ⇔ cos  x −  = 4 4   ⇔ x = ± arccos 1− π + + k 2π, k ∈ ℤ Ví dụ Giải phương trình tan x = + cos x (1) − sin x cos x ≠ π Giải Điều kiện:  ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ.(*) sin x ≠ (1) ⇔ = + cos x  − cos x  (1 + cos x )( sin x + cos x ) = 1− − sin x  + sin x  cos x  x = π + 2k π  cos x = −1  cos x = −1  ⇔ ⇔ ⇔ ; k ∈ ℤ π sin x + cos x =  tan x = −1  x = − + k π  x = π + k 2π ∨ x = − π + k π, k ∈ ℤ thỏa điều kiện (*) nên nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình tan x = − cos3 x (1) − sin x { π cos x ≠ ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ (*) − sin x ≠ 2 − cos x (1 − cos x ) (1 + cos x + cos x ) (1) ⇔ = − sin x (1 − sin x ) (1 + sin x + sin x ) Giải Điều kiện: (1 − cos x )  + cos x + cos x + cos x  − =0 (1 − sin x )  + sin x + sin x + sin x  ⇔ (1 − cos x )( cos x − sin x )( sin x + cos x + sin x cos x ) = ( a ) − cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = 2k π, k ∈ ℤ ⇔ ( b ) cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = π + k π, k ∈ ℤ ( c ) sin x + cos x + sin x cos x = π t −1 Đặt t = sin x + cos x = cos( x − ) ∈  − 2;  ⇒ sin x cos x = Ta có phương trình theo ẩn t π −1 + π  t + 2t − = ⇒ t = cos  x −  = −1 + ⇔ x = ± arccos + + 2k π k ∈ ℤ 4  Các công thức nghiệm thỏa điều kiện (*) nên nghiệm phương trình cho 211 Một số phương trình giải phương pháp đặc biệt Ngồi phương pháp giải phương trình lượng giác nêu mục trên, cịn có số cách giải đặc biệt, sử dụng kết sau  A ≤ A1 A ≤ m  A = A = m         A = A1 · A2 + B = ⇔  · B ≥ m ⇔  ·  B ≤ B1 ⇔  B =  B = m   B = B1   A + B = A1 + B1  A = B Ví dụ Giải phương trình sin x + sin 3x = sin x sin 3x (1) Giải 2 1     (1) ⇔  sin x − sin x  + sin x(1 − sin 3x ) = ⇔  sin x − sin 3x  + sin x = 2     16    sin x = (1 − cos x )  sin x − sin x  =   ⇔  ⇔  cos x = ∨ cos x = −1  sin x =  cos x =   x = kπ  sin x =    π ⇔ ⇔  x = + k 2π cos x = −1      sin x =  x = 5π + k 2π    Vậy, phương trình có nghiệm x = k π; x = π 5π + k 2π; x = + k 2π, k ∈ ℤ 6 Ví dụ Giải phương trình (cos x − cos x)2 = + sin 3x (1) Giải 2 4sin x sin x ≤ (1) ⇔ 4sin 3x sin x = + sin 3x (2) Do  , nên ta có 5 + sin 3x ≥ 2 3π   3x = + k 2π x = sin x sin x = sin 3x = −1   (2) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ π + sin x = sin x =      x = + l π  x = ⇔x= 212 π + m 2π, m ∈ ℤ π k 2π + π + lπ Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + m 2π, m ∈ ℤ Ví dụ Giải phương trình sin x − 2sin x − sin 3x = 2 (1) Giải Ta có vế trái phương trình (1) sin x − 2sin x − sin x = −2 cos x sin x − 2sin x ≤ ( −2 cos x ) + ( −2sin x ) sin x + 12 = 4(sin x + 1) ≤ 2 sin x = cos x =   Vậy, (1) ⇔  cos x sin x ⇔ 1 − 2sin x 2sin x cos x (*) = =   1  sin x  sin x Hệ (*) vơ nghiệm Vậy, phương trình (1) vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sin x + cos x = − sin x (1) 3 2 Giải Ta có vế trái (1): sin x + cos x ≤ sin x + cos x ≤ sin x + cos x ≤ Vế phải (1): − sin x ≥ cos x = cos x  π  Vậy, (1) ⇔ sin x = sin x ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π  sin x = Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + k 2π, k ∈ ℤ Một số phương trình chứa tham số Ví dụ Cho phương trình sin x + cos x = m sin x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có sin x + cos x = m sin x ⇔ − 3sin x cos x = m sin x ⇔ − sin x = m sin x (*) Do sin x = khơng thỏa phương trình nên (*) ⇔ m = − sin x Đặt t = sin x , < t ≤ Ta xét hàm số sin x 3 y = f (t ) = − t , f ′(t ) = − − < lim+ f (t ) = +∞; f (1) = t →0 t t 4 213 Suy miền giá trị hàm số f (t ) T f = [ ; +∞) Vậy, giá trị cần tìm m để phương trình (1) có nghiệm m ≥ Ví dụ Cho phương trình + tan x + m(tan x + cot x ) − = (1) sin x Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có (1) ⇔ 3(1 + cot x) + tan x + m(tan x + cot x) − = ⇔ 3(tan x + cot x) + m(tan x + cot x ) − = Đặt t = tan x + cot x, t ≥ 2, ta có phương trình 3t + mt − = ⇔ mt = − 3t − 3t ⇔m= = f (t ), f ′(t ) = − − < t t Suy hàm số f (t ) nghịch biến, mà lim f (t ) = ∓ ∞, f (−2) = 4, f (2) = −4 t →±∞ Do miền giá trị hàm số f (t ) T f = (−∞; −4] ∪ [4; +∞) Vậy, giá trị cần tìm m để phương trình (1) có nghiệm m ≤ −4 ∨ m ≥ Ví dụ Cho phương trình sin 2( x − π) − sin(3x − π) = m sin x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x ≠ k π, k ∈ ℤ Giải Ta có (1) ⇔ sin x + sin x = m sin x ⇔ sin x cos x + 3sin x − 4sin x = m sin x ⇔ sin x (2 cos x + − 4sin x ) = m sin x ⇔ sin x(4 cos x + cos x − 1) = m sin x ⇔ cos x + 2cos x − = m, ( x ≠ k π) (*) Đặt t = cos x, x ≠ k π nên t ∈ (−1;1) (*) trở thành 4t + 2t − = m Yêu cầu toán thỏa m thuộc miền giá trị hàm số f (t ) = 4t + 2t − 1, t ∈ (−1;1) 1 Ta có f ′(t ) = 8t + = ⇔ t = − ∈ (−1;1) f (− ) = − , f (−1) = 1, f (1) = 4 Miền giá trị hàm số f (t ) khoảng (−1;1) T f = [− ;5) Vậy, giá trị cần tìm m − ≤ m < Ví dụ Cho phương trình sin 3x + (m2 − 3) sin 3x + m − = (1) 214 Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ π 4π ; ] 3 Giải Đặt t = sin x, t ≤ Khi phương trình (1) trở thành t + (m − 3)t + m − = π k 2π   t = −1 sin 3x = −1 x = − + , k ∈ ℤ ⇔ ⇒ ⇔ t = − m sin 3x = − m sin x = − m (2)  Ta nhận thấy họ nghiệm x = − π k 2π 7π 2π 4π + , có giá trị x = ∈ [ ; ] 6 3 Vậy, để phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ (2) có ba nghiệm khác Ta có x ∈ [ π 4π ; ], điều kiện phương trình 3 7π π 4π thuộc đoạn [ ; ] 3  m = −2 2π 4π ; ] ⇔ x ∈ [2π; 4π], điều kiện sin 3x = ⇔ − m2 = ⇔  3  m = Khi ta ba nghiệm x = 2π 4π ∨ x = π∨ x = 3 Vậy, với m = ∨ m = −2 phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ π 4π ; ] 3 BÀI TẬP CHƯƠNG VI Bài Giải phương trình 1) sin x – cos x = 2; 2) cos x + 2cos2 x = 1; 3) cos4 x + 2cos2 x = 0; 4) 2cos x + 4cos x = 3sin2 x; 5) cos x – sin x + 3sin2 x – = 0; 6) 2sin2 x − 3 (sin x + cos x ) + 3 = 0; 7) sin2 x + π sin( x – ) = 1; 8) sin2 x + 2sin x coss x – 2cos2 x = 9) cos x + sin x = ; cos2x ; − sin x 10) sin3 x – cos3 x = + sin x cos x Bài Giải phương trình 215