Giáo trình các điều kiện hữu hạn trên vành

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG CƠNG QUỲNH GIÁO TRÌNH CÁC ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN TRÊN VÀNH ĐÀ NẴNG - NĂM 2021 i Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990021598121000000 PGS TS TRƯƠNG CƠNG QUỲNH GIÁO TRÌNH CÁC ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN TRÊN VÀNH (Tài liệu dành cho học viên Ngành Toán) ĐÀ NẴNG - NĂM 2021 ii Mục lục LỜI NÓI ĐẦU vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ Chương Iđêan nguyên tố 1.1 Iđêan nguyên tố 1.1.1 Định nghĩa số tính chất 1.1.2 Iđêan nguyên tố cực tiểu 1.2 Iđêan nửa nguyên tố tính lũy linh 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Căn nguyên tố 1.3 Linh hóa tử iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Linh hóa tử 1.3.2 Môđun trung thành 1.3.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Căn Jacobson, vành nguyên thủy nửa 1.4.1 Vành nguyên thủy 1.4.2 Căn Jacobson 1.4.3 Vành nửa nguyên thủy Bài tập Chương nguyên thủy Chương Môđun nửa đơn, Artin Nơte 2.1 Môđun vành nửa đơn 2.1.1 Môđun nửa đơn 2.1.2 Vành nửa đơn, Định lý Wedderburn-Artin 2.2 Môđun Nơte 2.2.1 Định nghĩa số tính chất 2.2.2 Môđun hữu hạn sinh 2.2.3 Định lý sở Hilbert 2.2.4 Một số lớp vành Nơte 2.3 Môđun Artin 2.3.1 Định nghĩa, số tính chất iv 4 10 10 14 16 16 17 19 20 20 22 25 26 28 28 28 30 31 31 33 35 36 39 39 2.3.2 Môđun hữu hạn đối sinh 2.3.3 Định lý Hopkins-Levitzki 2.4 Độ dài môđun 2.4.1 Định lý Jordan-Holder 2.4.2 Môđun có dãy hợp thành Bài tập Chương Chương Bao nội xạ 3.1 Môđun nội xạ mở rộng cốt yếu 3.1.1 Môđun nội xạ 3.1.2 Mở rộng cốt yếu 3.1.3 Bao nội xạ 3.2 Môđun có hạng hữu hạn 3.2.1 Định nghĩa tính chất 3.2.2 Điều kiện có hạng hữu hạn 3.3 Chiều (chiều Goldie) môđun 3.3.1 Định nghĩa tính chất 3.3.2 Điều kiện tương đương mơđun có 3.3.3 Tổng trực tiếp mơđun nội xạ 3.4 Nguyên tố triệt 3.4.1 Định nghĩa 3.4.2 Một số tính chất khác Bài tập Chương chiều Chương Vành nửa đơn vành thương 4.1 Định nghĩa vành thương 4.1.1 Tập Ore, môđun X-xoắn môđun X-không xoắn 4.1.2 Vành thương vành 4.1.3 Xây dựng vành thương 4.2 Định lý Goldie 4.2.1 Vành thương cổ điển - Thứ tự vành 4.2.2 Miền Ore 4.2.3 Vành Goldie 4.2.4 Thứ tự vành nửa đơn - Định lý Goldie Bài tập Chương 40 41 44 44 45 47 49 49 49 53 55 66 66 68 69 69 70 71 74 74 75 76 79 79 79 84 89 90 90 90 92 96 99 Chương Môđun vành Goldie nửa nguyên tố 101 5.1 Phần tử qui vành thương 101 5.1.1 Định nghĩa số tính chất 101 5.1.2 Iđêan nguyên tố cực tiểu phần tử qui 103 5.2 Môđun nội xạ không xoắn 105 5.2.1 Môđun xoắn môđun không xoắn vành Goldie nửa nguyên tố 105 5.2.2 5.2.3 Môđun nội xạ mơđun chia qui Môđun nội xạ không xoắn vành Goldie nửa nguyên tố 5.3 Môđun không xoắn vành Goldie nguyên tố 5.3.1 Môđun không xoắn 5.3.2 Môđun không xoắn vành Goldie nguyên tố Bài tập Chương Chương Bao phủ tổng quát môđun 6.1 Bao tổng quát môđun 6.1.1 Các khái niệm tính chất 6.1.2 Bao nội xạ tinh 6.2 Phủ tổng quát môđun 6.2.1 Định nghĩa tính chất 6.2.2 Mối liên hệ phủ xạ ảnh phủ tổng quát 6.2.3 Phủ phẳng phủ không xoắn 6.3 Tính bất biến mơđun 6.3.1 Môđun X -bất biến đẳng cấu 6.3.2 Môđun bất biến đẳng cấu 6.4 Bao bất biến đẳng cấu vành a-hypercyclic 6.4.1 Bao bất biến đẳng cấu môđun 6.4.2 Các vành a-hypercyclic Bài tập Chương Chỉ mục 106 107 109 109 111 112 114 114 114 120 126 126 131 133 139 139 143 150 150 154 157 160 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, ngành đại số nói riêng ngành tốn học nói chung phát triển mạnh mẽ Một số kết nghiên cứu số tác giả đóng góp cho lĩnh vực nghiên cứu toán học số ngành khoa học khác Hiện số ngành toán đào tạo sau đại học trường đại học giảng dạy học phần vành với điều kiện hữu hạn Học phần giúp cho học viên có cách nhìn tổng qt phần lý thuyết vành cổ điển đặc trưng số lớp vành liên quan Nhằm mục đích học viên ngành tốn Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng có tài liệu tham khảo lĩnh vực này, chúng tơi cố gắng tìm hiểu tài liệu để đưa giáo trình Để hiểu nghiên cứu giáo trình địi hỏi học viên phải nắm vững cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, khơng gian vectơ, lý thuyết mơđun, lý thuyết vành Nội dung giáo trình gồm chương nhằm giới thiệu kiến thức lý thuyết vành cổ điển số lớp vành lien quan Cuối phần trình bày chương chúng tơi đưa tập mục đích giúp học viên thực hành khái niệm học Trong Chương 1, giới thiệu khái niệm sở iđêan nguyên tố Trong chương này, nêu khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên tố cực tiểu, iđêan nửa nguyên tố linh hóa tử Cuối chương này, chúng tơi trình bày khái niệm Jacobson vành nguyên thủy nửa nguyên thủy Các khái niệm sử dụng nghiên cứu cho chương sau Nội dung Chương trình bày khái niệm quan trọng lý thuyết vành mơđun mơđun nửa đơn, Artin Nơte Trong chương này, nêu trình bày khái niệm và mơđun nửa đơn, sau trình bày Định lý Wedderburn-Artin Các phần cịn lại chúng tơi trình bày số tính chất liên quan Định lý Hilbert Định lý Hopkins-Levitzki cho vành Artin Nơte Các kiến thức chương làm tảng để nghiên cứu tính chất sâu cho chương sau Chương Chúng tơi trình bày khái niệm bao nội xạ mơđun Khái niệm khơng đóng vai trị quan trọng lý thuyết vành mơđun mà có nhiều ứng dụng lĩnh vực đại số kết hợp Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm bản, số tính chất vii bao nội xạ, mơđun có hạng hữu hạn chiều Goldie mơđun Chương 4, chúng tơi trình bày khái niệm vành thương vành nửa đơn Mục đích chương nêu lên tồn vành thương số điều kiện Cụ thể, chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết liên quan đến khái niệm vành thương, vành thương cổ điển vành Goldie Cuối chương, chúng tơi trình bày khái niệm thứ tự vành nửa đơn Định lý Goldie Chương Chúng tơi trình bày lớp môđun vành Goldie nửa nguyên tố Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm phần tử qui vành thương, lớp môđun nội xạ khơng xoắn Chương 6, chúng tơi trình bày nghiên cứu bao phủ tổng quát môđun Mục đích chương nêu lên tồn bao phủ tổng quát môđun Đồng thời áp dụng kiến thức nghiên cứu tính bất biến mơđun Lớp mơđun bất biến trường hợp tổng quát lớp môđun tựa nội xạ Cụ thể, chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết liên quan đến bao phủ tổng quát Tiếp theo, nghiên cứu tính bất biến mơđun Cuối chương nghiên cứu bao bất biến đẳng cấu vành a-hypercyclic Để hồn thành giáo trình tác giả nhận lời góp ý hội đồng đánh giá giáo trình đồng nghiệp Khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Qua số thiếu sót số lỗi kịp thời sửa chữa Tuy nhiên, giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót biên soạn, mong độc giả thông cảm cho chúng tơi góp ý cần thiết Tác giả DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU 1A N Z Q R Mn (R) J(R) √ I P r(R) Soc(RR ) N ≤M N ≤e M N M annR (X) annM (P ) E(M ) Mod-R Xạ đồng vật A Tập hợp số tự nhiên Vành số nguyên Trường số hữu tỷ Trường số thực Vành ma trận vuông cấp n lấy hệ số vành R Căn Jacobson vành R Căn iđêan I vành R Căn nguyên tố vành R Đế phải vành R N môđun M N môđun cốt yếu M N môđun đối cốt yếu M Linh hóa tử X R Linh hóa tử iđêan P R-mơđun phải M Bao nội xạ M Phạm trù R-môđun phải Im(f ) Ker(f ) Q I Ai ⊕I Ai MI M (I) f :A→B f −1 Hom(M, N ) End(M ) Card(A) Ảnh xạ f Hạt nhân xạ f Tích trực tiếp họ vật {Ai }i∈I Tổng trực tiếp họ vật {Ai }i∈I Tích trực tiếp I-bản M Tổng trực tiếp I-bản M Xạ f từ vật A đến vật B Xạ ngược xạ f Nhóm đồng cấu từ M đến N Vành tự đồng cấu M Lực lượng tập hợp A DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ THUẬT NGỮ TIẾNG ANH Ảnh đồng cấu image of homomorphism Bất biến đẳng cấu Automorphism-invariant Bất biến đồng cấu Endomorphism-invariant Đẳng cấu Isomorphism Căn nguyên tố Prime radical Căn Jacobson Jacobson radical Chiều Goldie hữu hạn Finite Goldie dimension Chuỗi nguyên tố prime series Đơn cấu monomorphism Hạng hữu hạn Finite rank Hạt nhân đồng cấu Kernel of morphism Hữu hạn sinh Finitely generated Hữu hạn đối sinh Finitely cogenerated Biểu diễn hữu hạn Finitely presented Iđêan nguyên tố Prime ideal Iđêan nguyên tố liên kết Associated prime ideal Iđêan nguyên tố cực tiểu Minimal prime ideal Iđêan nửa nguyên tố Semiprime ideal Linh hóa tử Annihilator Linh hóa tử nguyên tố Annihilator prime m-hệ m-system Môđun cốt yếu Essential submodule Môđun đối cốt yếu Superfluous submodule Môđun trung thành Faithful module Mơđun trung thành hồn tồn Completely faithful module Môđun đơn Simple module Môđun nửa đơn Semisimple module Môđun Uniform module vành quy von Neumann Cuối cùng, lấy f + J(End(M ) phần tử lũy đẳng End(M )/J(End(M )) Khi đó, tồn g ∈ End(X) thỏa mãn u ◦ f = g ◦ u hay ¯ + J(End(M )) g + J(End(X)) = Φ(f Vì f + J(End(M ) lũy đẳng nên g + J(End(X)) phần tử lũy đẳng End(X)/J(End(X)) Do g + J(End(X)) nâng modulo J(End(X)), nên tồn phần tử lũy đẳng e End(X) cho g + J(End(X)) = e + J(End(X)), tức g − e ∈ J(End(X)) Theo Bổ đề 6.3.1.5, tồn k ∈ J(End(M )) cho (g − e) ◦ u = u ◦ k Suy ra, g ◦ u − u ◦ k = e ◦ u hay u ◦ (f − k) = e ◦ u Do Φ(f − k) = e + J(End(X)) Như vậy, ta có u ◦ (f − k)2 = e ◦ u ◦ (f − k) = e2 ◦ u = e ◦ u = u ◦ (f − k) Vì u đơn cấu nên (f − k)2 = (f − k) Vậy (f − k) phần tử lũy đẳng End(M ) thỏa f + J(End(M ) = (f − k) + J(End(M ) Điều có nghĩa lũy đẳng End(M )/J(End(M )) nâng modulo J(End(M )) Bổ đề 6.3.1.8 Cho M môđun X -bất biến đẳng cấu giả sử hạng tử trực tiếp M có X -bao tổng quát Nếu N hạng tử trực tiếp M N X -bất biến đẳng cấu Chứng minh Giả sử M = N ⊕ L xét uN : N → XN uL : L → XL tương ứng X -bao tổng quát N, L Khi đó, u = uN ⊕ uL : M = N ⊕ L → XN ⊕ XL X -bao tổng quát M Xét f : XN → XN tự đẳng cấu xét tự đẳng cấu tự nhiên (f, 1XL ) : XN ⊕ XL → XN ⊕ XL Vì M mơđun X -bất biến đẳng cấu nên (f, 1XL )(M ) ≤ M Điều suy f (N ) ≤ N Chúng ta kết luận N X -bất biến đẳng cấu Định nghĩa 6.3.1.9 Một môđun M gọi X -bất biến đồng cấu tồn X -bao tổng quát u : M → X cho với tự đồng cấu g : X → X tồn tự đồng cấu f : M → M cho u ◦ f = g ◦ u Hiển nhiên môđun X -bất biến đồng cấu X -bất biến tự đẳng cấu cấu, ngược lại ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 6.3.1.10 Cho M môđun X -bất biến đẳng cấu u : M → X X -bao tổng quát M Nếu phần tử End(X)/J(End(X)) tổng hai phần tử khả nghịch M X -bất biến đồng cấu Chứng minh Xét s ∈ End(X) Khi s + J(End(X)) tổng hai phần tử khả nghịch, tức s + J(End(X)) = (s0 + s”) + J(End(X)) Suy s0 , s” khả nghịch End(X) tồn phần tử j ∈ J(End(X)) cho s = s0 + (s” + j) Vì s” khả nghịch nên s” + j khả nghịch Như phần tử End(X) tổng hai phần tử khả nghịch Từ suy ra, M X -bất biến đồng cấu 142 Sau kết liên quan đến phân tích mơđun X -bất biến đẳng cấu Định lý 6.3.1.11 Cho M môđun X -bất biến đẳng cấu hạng tử trực tiếp M có X -bao tổng quát Khi M có phân tích M = N ⊕ L cho: (1) L X -bất biến đồng cấu End(L)/J(End(L)) vành quy von Neumann, tự nội xạ phải lũy đẳng nâng modulo J(End(L)) (2) HomR (N, L) HomR (L, N ) chứa J(End(M )) Đặc biệt, End(M )/J(End(M )) tích trực tiếp vành quy cho lũy đẳng tâm vành quy von Neumann tự nội xạ phải Chứng minh Gọi S = End(X) Khi đó, S/J(S) = T1 × T2 với T1 vành quy abelian tự nội xạ phải phần tử T2 tổng hai phần ¯ Khi đó, tử khả nghịch Chúng ta đồng End(M )/J(End(M )) với Im(Φ) theo Bổ đề 6.3.1.6 ta có End(M )/J(End(M )) = R1 × R2 với R1 vành quy aben R2 vành quy von Neumann tự nội xạ phải mà bất biến phép nhân trái phần tử thuộc S/J(S) Gọi e + J(End(M )) phần tử lũy đẳng tâm vành thương End(M )/J(End(M )) cho R1 = e End(M )/J(End(M )) R2 = (1 − e) End(M )/J(End(M )) Vì phần tử lũy đẳng End(M )/J(End(M )) nâng modulo J(End(M )) nên chọn e lũy đẳng End(M ) Đặt N = e(M ) L = (1−e)(M ) Chú ý HomR (N, L) HomR (L, N ) chứa J(End(M )) End(M )/J(End(M )) = [e End(M )/J(End(M ))]×[(1−e) End(M )/J(End(M ))] Hơn e lũy đẳng tâm nên ta có End(N )/J(End(N )) ∼ = R1 ; End(L)/J(End(L)) ∼ = R2 Ngoài ra, N, L hạng tử trực tiếp M nên chúng môđun X -bất biến đẳng cấu Đặc biệt, lũy đẳng End(N )/J(End(N )) End(L)/J(End(L)) nâng modulo J(End(N )) J(End(L)) Vì R2 vành quy von Neumann tự nội xạ phải mà bất biến phép nhân trái phần tử thuộc S/J(S) nên suy L X -bất biến đồng cấu 6.3.2 Môđun bất biến đẳng cấu Định nghĩa 6.3.2.1 Một R-môđun phải M gọi bất biến đẳng cấu bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ E(M ) Một vành R gọi bất biến đẳng cấu phải R R-môđun phải bất biến đẳng cấu Kết sau cho lớp môđun bất biến đẳng cấu lớp môđun X -bất biến đẳng cấu trùng 143 Bổ đề 6.3.2.2 Cho M R-môđun phải X lớp R-mơđun phải nội xạ Khi điều kiện sau tương đương: (1) M X -bất biến đẳng cấu (2) M môđun bất biến đẳng cấu Chứng minh Gọi X lớp môđun nội xạ E(M ) bao nội xạ M Khi đó, phép nhúng đồng i : M → E(M ) X -bao tổng quát M Vì vậy, M X -bất biến đẳng cấu với đẳng cấu g : E(M ) → E(M ) tồn tự đẳng cấu f : M → M cho i ◦ f = g ◦ i, hay g(M ) ≤ M Một số đặc trưng khác môđun bất biến đẳng cấu: Định lý 6.3.2.3 Các điều kiện sau tương đương môđun M : (1) M môđun bất biến đẳng cấu (2) Mỗi đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đồng cấu M (3) Mỗi đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu M Chứng minh (1) ⇒ (3) Cho X, Y hai môđun cốt yếu M α : X → Y đẳng cấu Khi tồn tự đồng cấu β E(M ) cho β|X = α Hơn nữa, β tự đẳng cấu E(M ) Vì M mơđun bất biến đẳng cấu nên β(M ) ≤ M β −1 (M ) ≤ M , β|M đẳng cấu M mở rộng đến α (3) ⇒ (2) rõ ràng (2) ⇒ (1) Gọi σ tự đẳng cấu E(M ) Đặt Y = σ(M ) ∩ M, X = σ −1 (Y ) α = σ|X Vì σ song ánh, X = {x ∈ M : σ(x) ∈ Y } Hơn nữa, X, Y hai môđun cốt yếu M α : X → Y đẳng cấu Theo (2) α mở rộng đến tự đồng cấu β M Gọi y ∈ Y ∩ (σ − β)(M ) ta viết y = (σ − β)(x) với x ∈ M Khi σ(x) = y + β(x) ∈ Y , x ∈ X y = (σ − β)(x) = σ(x) − β(x) = α(x) − β(x) = Điều chứng tỏ Y ∩ (σ − β)(M ) = Vì Y cốt yếu E(M ) ta suy (σ − β)(M ) = Do đó, σ(M ) = β(M ) ≤ (M ) Cho X lớp mơđun nội xạ Khi đó, Ker(Φ) gồm tự đồng cấu M có hạt nhân cốt yếu M Vì vậy, từ Định lý 6.3.1.7 có Định lý 6.3.2.4 Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi J(End(M )) gồm phần tử có nhân cốt yếu M End(M )/J(End(M )) vành quy von Neumann lũy đẳng nâng modulo J(End(M )) 144 Mặt khác, có kết tốt so với Định lý 6.3.1.11 mơđun bất biến đẳng cấu Trước hết, ta có bổ đề sau: Bổ đề 6.3.2.5 Cho M R-môđun phải bất biến đẳng cấu Nếu E(M ) = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 với E1 ∼ = E2 , M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ E3 ) Chứng minh Gọi E(M ) = E E = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 Cho σ : E1 → E2 đẳng cấu π1 : E → E1 , π2 : E → E2 , π3 : E → E3 phép chiếu tắc Khi đó, M ∩ E1 ⊆ π1 (M ), M ∩ E2 ⊆ π2 (M ) M ∩ E3 ⊆ π3 (M ) Gọi η = σ −1 Xét ánh xạ λ1 : E → E xác định λ1 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , σ(x1 ) + x2 , x3 ) Rõ ràng, λ1 tự đẳng cấu E Vì M bất biến đẳng cấu nên M bất biến λ1 IE Suy M bất biến λ1 − IE Do vậy, (λ1 − IE )(M ) ≤ M Tiếp theo, ta xét ánh xạ λ2 : E → E xác định λ2 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + η(x2 ), x2 , x3 ) Ánh xạ λ2 tự đẳng cấu E Vậy, lập luận trên, M bất biến λ2 − IE , tức (λ2 − IE )(M ) ≤ M Cho x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ M Khi đó, (λ1 − IE )(x) = (0, σ(x1 ), 0) ∈ M Tương tự ta có (λ2 − IE )(x) = (η(x2 ), 0, 0) ∈ M Điều cho ta (λ1 − IE )(η(x2 ), 0, 0) = (0, ση(x2 ), 0) = (0, x2 , 0) ∈ M Do vậy, π2 (M ) ⊆ M Tương tự, (λ2 − IE )(0, σ(x1 ), 0) = (ησ(x1 ), 0, 0) = (x1 , 0, 0) ∈ M Vậy π1 (M ) ⊆ M Suy (0, 0, x3 ) ⊆ M , tức π3 (M ) ⊆ M Điều π1 (M ) ⊕ π2 (M ) ⊕ M3 (M ) ⊆ M kéo theo M = π1 (M ) ⊕ π2 (M ) ⊕ π3 (M ) Do đó, M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ E3 ) Bổ đề 6.3.2.6 Nếu M môđun bất biến đẳng cấu, A, B môđun đóng M với A ∩ B = 0, A B nội xạ lẫn Hơn nữa, đơn cấu h : A → M với A ∩ h(A) = 0, h(A) đóng M Chứng minh Cho K T phần bù M Khi đó, E(M ) = E1 ⊕ E2 , đó, E1 = E(K) E2 = E(T ) Gọi f : E1 → E2 đồng cấu Khi đó, ánh xạ g : E(M ) −→ E(M ) x1 + x2 7−→ x1 + x2 + f (x1 ) với xi ∈ Ei tự đẳng cấu E(M ) Suy f (K) = (g − 1E(M ) )(K) ≤ M Do đó, f (K) ≤ E2 ∩ M = T Vì vậy, T K-nội xạ Nếu A B mơđun đóng, A ∩ B = 0, lập luận trên, A nội xạ với phần bù C A chứa B Vì vậy, A B-nội xạ Cuối cùng, cho h : A → M đơn cấu với h(A) ∩ A = chọn bất 145 kỳ K đóng h(A) Vì A K-nội xạ, lập luận trên, h0 : h(A) → A mở rộng tới đơn cấu t : K → A Vì vậy, ta phải có h(A) = K Định nghĩa 6.3.2.7 Cho R-môđun phải M N (1) M N gọi trực giao khơng có mơđun khác khơng M mà đẳng cấu với môđun N (2) M gọi mơđun phương tồn môđun phải K cho M ∼ = K (3) Một môđun K môđun M gọi phương M K nhúng M (4) Mơđun M gọi khơng phương M khơng chứa mơđun phương Định nghĩa 6.3.2.8 Cho M R-môđun phải (1) Môđun M xác định Z(M ) = {m ∈ M | r.annR (m) ≤e RR } gọi môđun suy biến R (2) M gọi không suy biến Z(M ) = (3) Vành R gọi không suy biến phải RR không suy biến Kết nêu lên phân tích mơđun bất biến đẳng cấu Định lý 6.3.2.9 Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi đó, điều kiện sau đúng: (1) M = X ⊕ Y với X môđun tựa nội xạ Y mơđun khơng phương mà trực giao với X Trong trường hợp X Y hai môđun nội xạ tương hỗ (2) Nếu M khơng suy biến với hai môđun D1 D2 Y với D1 ∩ D2 = 0, Hom(D1 , D2 ) = (3) Nếu M khơng suy biến Hom(X, Y ) = = Hom(Y, X) Chứng minh (1) Đặt  Γ = (A, B, f ) : A, B ≤ M, A ∩ B = 0, f : A → B đẳng cấu 146 Trên tập Γ xét quan hệ thứ tự sau: (A, B, f ) ≤ (A0 , B , f ) A ≤ A0 , B ≤ B f mở rộng f Khi đó, Γ tập thứ tự tốt tồn phần tử tối đại (A, B, f ) Gọi C phần bù A ⊕ B M Khi đó, C mơđun khơng phương: ngược lại, tồn môđun khác không X, Y C với X ∩ Y = 0, đẳng cấu φ : X → Y Khi đó, (A ⊕ X, B ⊕ Y, f ⊕ φ) ∈ Γ điều mâu thuẫn tính tối đại (A, B, f ) Do đó, C khơng phương Bây giờ, ta xác định đồng cấu g : A ⊕ B ⊕ C −→ A ⊕ B ⊕ C a + b + c0 7−→ f −1 (b) + f (a) + c0 Vì M môđun bất biến đẳng cấu, đẳng cấu giữ hai môđun cốt yếu M mở rộng đến đẳng cấu M , g mở rộng đến đẳng cấu g M Gọi A0 mơđun đóng M mà cốt yếu chứa A Nếu A thực chứa A0 , g |A0 mâu thuẫn tính tối đại g Do A phải mơđun đóng M Tương tự, B mơđun đóng M Do đó, theo Bổ đề 6.3.2.5, M = (E(A) ∩ M ) ⊕ (E(B) ∩ M ) ⊕ (E(C ) ∩ M ) Khi đó, M = A ⊕ B ⊕ C Vì hạng tử trực tiếp môđun bất biến đẳng cấu môđun bất biến đẳng cấu nên A ⊕ B môđun bất biến đẳng cấu Bây giờ, theo Bổ đề 6.3.2.6, suy A B nội xạ tương hỗ Vì A ∼ = B, A ⊕ B tựa nội xạ Do A ⊕ B C nội xạ tương hỗ Tiếp theo, lập luận tương tự trên, ta tìm đơn cấu tối đại τ : B → B từ mơđun B ≤ C vào B Vì B C −nội xạ, τ mở rộng đơn cấu đến mơđun đóng C mà cốt yếu chứa B Theo tính tối đại τ , kéo theo B đóng C Vì C B−nội xạ τ −1 mở rộng đơn cấu đến mơđun đóng D τ (B ) Vì B cốt yếu ảnh D, suy τ (B ) đóng B Do đó, τ (B ) hạng tử trực tiếp B B tựa nội xạ Và B C −nội xạ, τ (B ) C −nội xạ, B C −nội xạ mơđun C Do C = B ⊕ C với C Bây giờ, ta chứng minh B C trực giao Giả sử B C có mơđun khác khơng đẳng cấu B1 C1 Theo tính khơng phương C , C1 B mơđun trực giao, B1 τ (B ) vậy, nên B1 ∩ τ (B ) = Mâu thuẫn với tính tối đại đơn cấu τ Do đó, C B trực giao, C A ⊕ B ⊕ B trực giao Hơn nữa, A ⊕ B ⊕ B tựa nội xạ Ta lấy X = A ⊕ B ⊕ B Y = C ta thu kết luận (2) Gọi f : D1 → D2 đồng cấu khác không Theo tính khơng suy biến, Ker(f ) đóng D1 tồn môđun L 6= D1 với Ker(f )∩L = Nhưng đó, L ∼ = f (L) ≤ D2 , mâu thuẫn với tính khơng phương 147 Y (3) Lập luận tương tự (2) Bổ đề 6.3.2.10 Cho M R-môđun phải khơng phương khơng suy biến Khi đó, điều kiện sau thỏa mãn: (1) Mọi môđun đóng M mơđun bất biến hồn tồn M (2) Nếu M bất biến đẳng cấu, họ {Ki , i ∈ I} Pcác mơđun đóng M (khơng thiết độc lập), môđun Ki bất biến i∈I đẳng cấu Chứng minh (1) Trước tiên giả sử M không phương khơng suy biến Cho K mơđun đóng M T phần bù K M Giả sử f ∈ End(M ) với f (K) * K Cho π : E(M ) → E(T ) phép chiếu với Ker(π) = E(K) Vì K khơng cốt yếu f (K) + K nên π(K + f (K)) 6= 0, suy π(f (K)) 6= N = T ∩ π(f (K)) 6= Khi đó, đặt N = {x ∈ K, πf (x) ∈ T }, ta có Hom(N , N ) 6= 0, điều mâu thuẫn (2) Giả sử M bất biến đẳng cấu {Ki : i ∈  I} họ  mơđun P đóng M g tự đẳng cấu E Ki Rõ ràng, g i∈I mở rộng tới tự đẳng cấu g E(M ) Vì M bất biến đẳng cấu, nên g (M ) ≤ M Khi đó, (1), g(Ki ) = g (Ki ) ≤ Ki với i ∈ I Định lý 6.3.2.11 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải khơng suy biến phải, R = S × T , S T vành có tính chất sau: (1) S vành tự nội xạ phải (2) TT khơng phương (3) Tổng iđêan đóng T iđêan hai phía bất biến đẳng cấu T -môđun phải T (4) Nếu P iđêan nguyên tố T không cốt yếu TT , P vành chia Chứng minh Bởi Định lý 6.3.2.9, R = eR ⊕ (1 − e)R, e ∈ R phần tử lũy đẳng, eR tựa nội xạ, (1−e)R khơng phương Hom(eR, (1− e)R) = = Hom((1 − e)R, eR) Do đó, S = eR T = (1 − e)R iđêan Ta có (1), (2) (3) suy từ Định lý 6.3.2.10 Ta chứng minh (4) Cho P iđêan nguyên tố T không cốt yếu iđêan phải Lấy phần bù N P TT Nếu N khơng đều, tồn hai iđêan phải đóng khác không N X Y với X ∩ Y = Bởi lập luận trên, chúng iđêan Nhưng điều mâu thuẫn với tính nguyên tố 148 P Vậy N iđêan phải T Chú ý rằng, P mơđun đóng TT Vì P mở rộng cốt yếu P ta có P N = 0, kéo theo P = P Vậy P đóng TT phần bù N TT Vì (N ⊕ P )/P cốt yếu T /P , kéo theo vành T /P (phải) Hơn nữa, N T -môđun bất biến đẳng cấu không suy biến cho đồng cấu khác không hai môđun đẳng cấu môđun cốt yếu Do vậy, vành tự đồng cấu vành chia Vì T /P cốt yếu chứa iđêan phải khơng suy biến (N ⊕ P )/P , nên vành không suy biến (phải), với iđêan phải cốt yếu tự nội xạ (N ⊕ P )/P Nhưng đó, (N ⊕ P )/P nội xạ, kéo theo P ⊕ N = T Thật vậy, EndT /P (N ) vành chia, T /P vành chia Đặc biệt, N iđêan phải đơn P iđêan phải cực đại T Bổ đề 6.3.2.12 Giả sử M = A ⊕ B, A B trực giao với Khi đó, với mơđun C M đơn cấu f : C → M bất kỳ, ta có (1) f (C ∩ B) ∩ B cốt yếu f (C ∩ B) (2) Nếu B khơng phương, f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) cốt yếu f (C ∩ B) C ∩ B Chứng minh (1) Cho C môđun M f : C → M đơn cấu Giả sử D môđun f (C ∩ B) với D ∩ B = Khi đó, D nhúng vào A Nhưng D đẳng cấu với mơđun C ∩ B Bởi tính trực giao A B, kéo theo D = (2) Giả sử X môđun khác không f (C ∩ B) với X ∩ (C ∩ B) = Khi đó, (1), X ∩ B 6= (X ∩ B)2 nhúng vào (X ∩ B) ⊕ (C ∩ B) ≤ B, mâu thuẫn với giả thiết B khơng phương Do đó, f (C ∩B)∩(C ∩B) cốt yếu f (C ∩ B) Tương tự, f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) cốt yếu C ∩ B Định lý 6.3.2.13 Cho M R-mơđun phải Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M bất biến đẳng cấu (2) Mỗi đơn cấu từ môđun M đến M mở rộng thành tự đồng cấu M Chứng minh (1) ⇒ (2)Giả sử M môđun bất biến đẳng cấu, C môđun M f : C → M đơn cấu Bởi Định lý 6.3.2.9, M = A⊕B, A tựa nội xạ, B khơng phương bất biến đẳng cấu, A B nội xạ lẫn Gọi K phần bù f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) B Khi đó, Bổ đề 6.3.2.12 (2), K ⊕ [f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B)] cốt yếu K ⊕ (C ∩ B) (do cốt yếu B) K ⊕ f (C ∩ B) Điều kéo theo [K ⊕ f (C ∩ B)] ∩ A = K ⊕ f (C ∩ B) ⊕ A cốt yếu M Vì 149 A B-nội xạ, Bổ đề 3.1.3.23, tồn môđun B M cho f (C ∩ B) ⊕ K ⊆ B M = A ⊕ B Trong trường hợp này, B ∼ = B Bởi phần trên, ta có f (C ∩ B) ⊕ K cốt yếu B Vì B bất biến đẳng cấu, nên đẳng cấu f |C∩B ⊕ 1K : (C ∩ B) ⊕ K → f (C ∩ B) ⊕ K mở rộng tới đẳng cấu f : B → B Vì vậy, f |C∩B = f |C∩B Đồng cấu g : C + B −→ f (C) + B c + b 7−→ f (c) + f (b) xác định mở rộng f Cho π : A⊕B → A phép chiếu tắc Khi đó, B + C = B ⊕ π(C) Chú ý rằng, π(C) = (B + C) ∩ A Vì A B A-nội xạ, nên M A-nội xạ, g|π(C) : π(C) → M mở rộng tới g : A → M Rõ ràng, g |π(C) = g |(B+C)∩A = g|(B+C)∩A Bây ta định nghĩa đồng cấu ψ : M −→ M a + x 7−→ g (a) + g(x) với a ∈ A, x ∈ B + C Khi đó, ψ mở rộng f tới M (2) ⇒ (1) theo Định lý 6.3.2.3 6.4 Bao bất biến đẳng cấu vành a-hypercyclic 6.4.1 Bao bất bin ng cu ca mụun Mt vnh Kă othe phi vành mà tất môđun phải nú l tng trc tip ca cỏc mụun xyclic Kăothe chứng minh vành iđêan Artin mt vnh Kăothe Gn õy, mt s tỏc gi ch rng nu R l vnh Kăothe phi ú tất lũy đẳng thuộc tâm R vành iđêan trái Artin Chúng ta bắt đầu phần với phần câu trả lời cho câu hi ca Kăothe: Vi vnh R nh th no thỡ R-môđun trái (hoặc trái phải) tổng trực tiếp môđun xyclic? Định lý 6.4.1.1 Một vành Artin, bất biến đẳng cấu không suy biến phải R nửa đơn Artin Chứng minh Theo Định lý 6.3.2.11, ta có phân tích R = S ⊕ T , với S vành tự nội xạ phải T khơng phương Chú ý S T iđêan phải R Do S T R-mơđun Artin phải Như S T vành Artin phải Khi đó, S nửa đơn Artin Vì T Artin phải, tồn tập lũy đẳng địa phương {e1 , e2 , , em } T cho T = e1 T ⊕ e2 T ⊕ · · · ⊕ em T 150 Mỗi vành ei T (ei thuộc tâm) vành Artin phải, địa phương không suy biến phải Nếu ei T có Jacobson khác khơng ei T -mơđun phải đơn iđêan suy biến, suy đế phải vành ei T khơng, mâu thuẩn với tính Artin Như vậy, ei T vành chia Do T nửa đơn Artin, R Hệ 6.4.1.2 Giả sử R-môđun phải xyclic bất bin ng cu Nu R l mt vnh Kă othe phải R vành iđêan trái Artin Phần nghiên cứu tồn (sai khác đẳng cấu) mở rộng cốt yếu bất biến đẳng cấu cực tiểu môđun Gọi Ω vành End(E(M )) sinh tất đẳng cấu E(M ) Định lý 6.4.1.3 Mỗi R-mơđun M có mở rộng cốt yếu bất biến đẳng cấu cực tiểu E(M ) P Chứng minh Chúng ta ký hiệu ΩM = f (M ) Khi đó, rõ ràng f ∈Ω có M ≤ ΩM ≤ E(M ) E(ΩM ) = E(M ) Điều suy Ω(ΩM ) = ΩM Vì vậy, ΩM môđun bất biến đẳng cấu Bây giờ, giả sử M ≤ N ≤ E(M ) N bất biến đẳng cấu Khi E(N ) = E(M ) Ω vành End(E(N )) sinh tất đẳng cấu E(M ) Suy ΩN ≤ N ΩM ≤ ΩN ≤ N Chú ý M ≤e ΩM Điều chứng tỏ ΩM mở rộng cốt yếu bất biến đẳng cấu cực tiểu M E(M ) Định nghĩa 6.4.1.4 Mở rộng bất biến đẳng cấu cực tiểu R-môđun M gọi bao bất biến đẳng cấu M Ký hiệu A(M ) Sau có số tính chất bao bất biến đẳng cấu môđun Mệnh đề 6.4.1.5 Cho M N R-môđun phải (1) Nếu f : N → M đơn cấu tồn đơn cấu f¯ : A(N ) → A(M ) cho f¯ mở rộng f (2) Nếu E(M ) ∼ = E(N ) A(M ⊕ E(N )) ∼ = E(M ) ⊕ E(N ) (3) Cho Ω0 vành sinh tất đẳng cấu End(A(M )) Khi Ω0 M = A(M ) Chứng minh (1) (3) suy từ định nghĩa Định lý 6.4.1.3 (2) Chúng ta kiểm tra E(M ⊕ N ) = E(M ) ⊕ E(N ) bao nội xạ A(M ⊕ N ) Mặt khác, có A(M ⊕ E(N )) = [E(M ) ∩ A(M ⊕ E(N ))] ⊕ E(N ) 151 Hơn nữa, A(M ⊕ E(N )) bất biến đẳng cấu, ta E(M ) ∩ A(M ⊕ N ) E(N ) nội xạ tương hỗ Mặt khác, E(M ) bao nội xạ E(M ) ∩ A(M ⊕ N ) Gọi φ : E(M ) → E(N ) đẳng cấu Khi đó, φ(E(M ) ∩ A(M ⊕ N )) ≤ E(N ) Hơn nữa, E(M ) ∩ A(M ⊕ N ) E(N )-nội xạ nên φ−1 (E(N )) ≤ E(M ) ∩ A(M ⊕ N ) từ có đẳng cấu φ hạn chế E(M ) ∩ A(M ⊕ N ) đến E(N ) đẳng cấu Tóm lại, có E(M ) ∩ A(M ⊕ E(N )) ∼ = = E(N ) Chúng ta kết luận A(M ⊕ E(N )) ∼ E(M ) ⊕ E(N ) Định nghĩa 6.4.1.6 Cho M R-môđun phải (1) Một môđun M gọi Σ-tựa nội xạ M (α) tựa nội xạ với α (2) Môđun M gọi Σ-bất biến đẳng cấu M (α) bất biến đẳng cấu với α Định lý 6.4.1.7 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic Σ-tựa nội xạ (2) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic Σ-bất biến đẳng cấu Hơn nữa, mơđun thương RR có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh (1) ⇒ (2) Điều rõ ràng (2) ⇒ (1) Lấy C R-môđun phải xyclic ℵ tập số Khi đó, A(C)(ℵ×ℵ) ∼ = A(C)(ℵ) ⊕ A(C)(ℵ) môđun bất biến đẳng cấu, suy A(C)(ℵ) A(C)(ℵ) -nội xạ Như A(C) Σ-tựa nội xạ Tiếp theo mơđun thương RR có chiều Goldie hữu hạn Gọi I iđêan phải R Khi đó, A(R/I) mơđun Σ-tựa nội xạ Điều suy A(R/I) = ⊕K Xi , với Xi môđun với tập số K Mặt khác, tồn tập hữu hạn F K cho R/I ≤ ⊕F Xi Từ suy R/I có chiều Goldie hữu hạn Định lý 6.4.1.8 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic Σ-nội xạ (2) Mọi môđun bất biến đẳng cấu nội xạ (3) Mọi tổng trực tiếp hai môđun bất biến đẳng cấu bất biến đẳng cấu Trong trường hợp này, R vành Nơte phải R-môđun phải đơn nội xạ 152 Chứng minh (2) ⇔ (3) suy R Nơte phải R-môđun phải đơn nội xạ (1) ⇒ (2) Lấy M môđun bất biến đẳng cấu, I iđêan phải R ϕ : I → M đồng cấu Rõ ràng, ϕ(I) ∼ = I/ Ker(ϕ) ϕ(I) có chiều hữu hạn Khi đó, tồn tổng trực tiếp U1 ⊕U2 ⊕· · ·⊕Uk cốt yếu ϕ(I) môđun xyclic Ui Theo (1), A(Ui ) Σ-nội xạ Vì A(U1 )⊕A(U2 )⊕· · ·⊕A(Uk ) nội xạ, A(U1 )⊕A(U2 )⊕· · ·⊕A(Uk ) cốt yếu A(ϕ(I)) theo Mệnh đề 6.4.1.5(1) (hoặc, cốt yếu A(U1 ) ⊕ A(U2 )⊕· · ·⊕A(Uk )) = E(ϕ(I)) Do A(ϕ(I)) = A(U1 )⊕A(U2 )⊕· · ·⊕A(Uk ) nội xạ, tồn đồng cấu ϕ : RR → A(ϕ(I)) mà mở rộng ϕ Vì M mơđun bất biến đẳng cấu thu A(ϕ(I)) ≤ M Chúng ta kết luận ϕ mở rộng từ RR đến M (2) ⇒ (1) Điều rõ ràng Một vành P R gọi CSI phải bao nội xạ R-môđun phải xyclic -nội xạ Chúng ta chưa biết CSI-vành phải có thiết Nơte phải hay không Gần đây, số tác P giả khảo sát vành mà R-mơđun phải xyclic có bao -nội xạ xạ ảnh, thu kết vành R thỏa điều kiện R Artin phải, E(RR ) xạ ảnh R-môđun phải đơn nhúng RR Từ kết có kết sau Hệ 6.4.1.9 Các điều kiện sau tương đương vành R cho R-mơđun phải khác khơng có đế khác không: (1) R nửa đơn Artin (2) Mọi R-môđun phải xyclic tựa nội xạ (3) Mọi môđun bất biến đẳng cấu nội xạ (4) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic Σ-nội xạ Theo Định lý Osofsky, R nửa đơn Artin R-môđun phải xyclic nội xạ Chúng ta có phiên định lý cho lớp môđun bao bất biến đẳng cấu môđun xyclic Định lý 6.4.1.10 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic xạ ảnh Σ-nội xạ (2) R nửa đơn Artin Chứng minh (1) ⇒ (2) Theo Định lý 6.4.1.8, R vành Nơte phải Bây ta E(RR ) xạ ảnh Ta có, tồn môđun xyclic 153 U1 , U2 , , Uk cho U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk cốt yếu RR Khi A(U1 ) ⊕ A(U2 ) ⊕ · · · ⊕ A(Uk ) cốt yếu E(RR ) Theo (1), A(Ui ) môđun vừa xạ ảnh vừa nội xạ, A(U1 ) ⊕ A(U2 ) ⊕ · · · ⊕ A(Uk ) = E(RR ) xạ ảnh Từ suy R vành Artin phải Tóm lại R vành nửa đơn Artin theo Hệ 6.4.1.9 (2) ⇒ (1) Điều rõ ràng Tiếp theo đưa điều kiện cần đủ cho vành mà mơđun phải xyclic có bao bất biến đẳng cấu nửa đơn Artin Định lý 6.4.1.11 Các điều kiện sau tương đương vành R có nguyên tố P r(R): (1) R nửa đơn Artin (2) Bao bất biến đẳng cấu R-môđun phải xyclic Σ-nội xạ R/P r(R) có iđêan phải nội xạ, trung thành Chứng minh Chúng ta cần bao nội xạ R-môđun phải xyclic C Σ-nội xạ Chú ý C ≤e A(C) ≤e E(C) Ta có A(C) Σ-nội xạ suy A(C) = E(C) Σ-nội xạ Điều suy R Artin phải Từ suy R nửa đơn Artin 6.4.2 Các vành a-hypercyclic Định nghĩa 6.4.2.1 Một vành R gọi a-hypercyclic phải R-mơđun phải xyclic có bao bất biến đẳng cấu xyclic Bổ đề 6.4.2.2 Nếu R vành a-hypercyclic phải với chiều Goldie hữu hạn R vành bất biến đẳng cấu phải Chứng minh Gọi α : RR → A(RR ) bao bất biến đẳng cấu RR Từ giả thiết ta có A(RR ) ∼ = R/I với iđêan phải I R Khi đó, tồn iđêan phải B R cho R ∼ = B/I cốt yếu R/I Điều suy B cốt yếu RR B = I ⊕ K với mơđun K B mà K∼ = RR Do dim(B) = dim(R) = dim(I) + dim(K) = dim(I) + dim(R), suy dim(I) = Như R ∼ = A(RR ) bất biến đẳng cấu Hệ 6.4.2.3 Nếu vành a-hypercyclic phải R tổng trực tiếp hữu hạn iđêan phải R vành tự nội xạ phải Chứng minh Theo Bổ đề 6.4.2.2, R vành bất biến đẳng cấu phải Hơn nữa, R tổng trực tiếp hữu hạn iđêan phải Từ suy R vành tự nội xạ phải 154 Bổ đề 6.4.2.4 Ảnh đồng cấu vành a-hypercyclic phải a-hypercyclic phải Chứng minh Đặt R := R/I với I iđêan R, R vành ahypercyclic phải Gọi R/A R-môđun xyclic với A = A/I Theo giả thiết, tồn iđêan phải K R cho R/K bao bất biến đẳng cấu R/A R-môđun phải Ta suy R/K ∼ = Ω(R/A), với Ω vành End(E(R/A)) sinh tất tự đẳng cấu E(R/A) Ta (R/A)I = (R/K)I = R/K R-môđun phải Ta thấy R/K ∼ = R/K bao bất biến đẳng cấu R/A ∼ = R/A R-môđun phải Điều chứng tỏ R vành a-hypercyclic phải Định lý 6.4.2.5 Cho R vành địa phương iđêan phía hai phía Khi R vành a-hypercyclic phải R-môđun phải xyclic bất biến đẳng cấu Chứng minh Lấy I iđêan phải R Khi I iđêan R Từ Bổ đề 6.4.2.4, ta có R/I vành a-hypercyclic phải Vì R vành địa phương nên R/I địa phương Điều suy R/I-mơđun xyclic khơng phân tích Khi đó, R/I bất biến đẳng cấu phải theo Bổ đề 6.4.2.2 Ta kết luận R/I R-môđun bất biến đẳng cấu phải Bổ đề 6.4.2.6 Giả sử R vành bất biến đẳng cấu phải cho R/J(R) ∼ = Mn (∆) với vành chia ∆ Khi đó, điều kiện sau thỏa mãn: (1) R ∼ = Mn (S) (2) S/J(S) ∼ = ∆ (3) S địa phương Chứng minh Lấy R/J(R) = ⊕m i=1 εi R/J(R), với {εi | ≤ i ≤ m} tập lũy đẳng ngun thủy trực giao Khi R/J(R) vành quy von Neumann phần tử nâng modulo J(R) Do R = ⊕m i=1 ei R, với {ei | ≤ i ≤ m} tập lũy đẳng trực giao với ei + J(R) = εi Vì tất Mn (∆)-mơđun đơn đẳng cấu, nên ta có ei R ∼ = ej R với tất i j Điều suy R ∼ = Mn (ei Rei ) Đặt S := End(ei R) ∼ = ei Rei Khi S/J(S) ∼ = ei Rei /ei J(R)ei ∼ = HomR/J (εi Mn (∆), εi Mn (∆)) ∼ =∆ Hệ 6.4.2.7 Giả sử R có chiều Goldie hữu hạn, a-hypercyclic phải R/J(R) ∼ = Mn (∆) với vành chia ∆ Khi R ∼ = Mn (S), với S/J(S) ∼ = ∆ S địa phương 155 Cho R vành Artin phải Một kết mà biết: Mọi R-mơđun phải xyclic nhúng môđun nội xạ hữu hạn sinh R-mơđun phải xyclic có bao tựa nội xạ hữu hạn sinh Tiếp theo có kết cho bao bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh Mệnh đề 6.4.2.8 Các điều kiện sau tương đương vành Nơte phải R (1) Mọi R-mơđun phải xyclic nhúng môđun bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh (2) Mọi R-mơđun phải xyclic có bao bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh Chứng minh (2) ⇒ (1) Điều rõ ràng (1) ⇒ (2) Lấy X R-môđun phải xyclic Theo giả thiết, tồn môđun bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh Y cho X xem mơđun Y Hơn nữa, Y ∼ = Rn /Z với số dương n Z ≤ Rn Điều suy Y mơđun Nơte Ta có Y bất biến đẳng cấu suy A(X) ≤ Y Tóm lại, A(X) hữu hạn sinh Chứng minh tương tự Bổ đề 6.4.2.4 có kết sau: Bổ đề 6.4.2.9 Cho R vành cho R-môđun phải xyclic có bao bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh Khi đó, ảnh đồng cấu vành R có tính chất Định lý 6.4.2.10 Cho R vành Artin phải Giả sử |End(K)| > với môđun đơn K môđun khơng phương khơng phân tích R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) Mọi R-mơđun phải xyclic nhúng mơđun bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh (2) Mọi R-môđun phải xyclic có bao bất biến đẳng cấu hữu hạn sinh (3) A(R/J(R)2 ) hữu hạn sinh R-môđun phải (4) HomR (J(R)/J(R)2 , K) hữu hạn sinh với R-môđun phải đơn K Chứng minh (1) ⇔ (2) Được suy từ Mệnh đề 6.4.2.8 (2) ⇒ (3) Điều rõ ràng (3) ⇒ (4) Theo giả thiết ta có A(R/J(R)2 ) R-môđun phải hữu hạn sinh Chú ý A(R/J(R)2 ) R-môđun với chiều dài hữu hạn Hơn nữa, từ Định lý 6.3.2.9 cho ta phân tích k M M A(R/J(R) ) = ( Xi ) Y, i=1 156