PHÒNG GD – ĐT ĐÀ LẠT TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 21/10/2023 Câu (4.0 điểm) 1.1.Cho a b 1 Tính giá trị biểu thức: x 1.2.Cho 42 M 2(a b3 ) 3(a b ) 2 9 Tính giá trị biểu thức P x x 1 2017 Câu (4.0 điểm) 2.1 Chứng minh với số nguyên n n 7n 6 chia hết cho Bạn An mua số bút máy hết tất 102 nghìn đồng Biết giá 12 nghìn đồng, giá bút 10 nghìn đồng Hỏi bạn An mua bút? Câu (4.0 điểm) 3.1 Định mức giá điện sinh hoạt năm 2021 sau: 2.2 Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 1: Từ – 50 kWh 1.678 Bậc 2: Từ 51 – 100 kWh 1.734 Bậc 3: Từ 101 – 200 kWh 2.014 Bậc 4: Từ 201 – 300 kWh 2.536 Bậc 5: Từ 301 – 400 kWh 2.834 Bậc 6: Từ 401 kWh trở lên 2.927 Tiền điện tính theo bậc, với thuế giá trị gia tăng (GTGT) 10% a) Trong tháng 6/2021, nhà bạn Xuân sử dụng hết 230 kWh điện Tính tiền điện nhà bạn Xuân phải trả b) Cũng tháng đó, nhà bác Hạ phải trả 548 680 đồng tiền điện Hỏi nhà bác Hạ sử dụng hết kWh điện? x4 y x2 y x , y , a , b a b a b 3.2 Cho số thực khác thỏa mãn 2006 2006 x y 1003 1003 2 b (a b)1003 x y 1 ( a b 0 ) Chứng minh : a Câu (4.0 điểm) 4.1 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H Tính giá trị biểu HD HE HF 2022 2023 AD BE CF thức 4.2.Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng (d) qua A cắt đường chéo BD P, cắt 1 đường thẳng BC CD M N Chứng minh : AM AN AP Câu (4.0 điểm) 3 5.1 Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x, y thỏa x y p 3 xy Tìm 5.1 giá trị lớn p 5.2 Từ nhơm hình vng cạnh dm Người ta muốn cắt hình thang (phần tơ đậm hình vẽ) Tìm tổng x y để diện tích hình thang cắt nhỏ A cm E B x cm cm H F D G ………………Hết…………… (Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay) y cm C HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU Câu 1.1 (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂ M M 2(a b3 ) 3(a b ) Cho a b 1 Tính giá trị biểu thức: M 2(a b3 ) 3(a b ) 2 a b 3ab a b a b 2ab 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 2 a b 6ab a b a b 6ab 2.13 6.ab.1 6ab 3.12 x Câu 1.2 (2,0 điểm) Cho x 42 2 9 1 2 P x x 1 5 2017 Tính giá trị biểu thức P x x 1 2017 1,5 đ 1 (5 4) 0,5 đ 1 Chứng minh với số nguyên n n 7n 6 chia hết cho Câu 2.1 (2,0 điểm ) n3 7n n3 n 6n 0,5 đ n3 n n 1 n n 1 0,5 đ Lý luận, chứng minh n 1 n n 1 6 (nêu không nêu 2,3 nguyên 0,5 đ tố cho 0,25 đ Nêu 6n 6 , từ suy đpcm 0,5 đ Bạn An mua số bút máy hết tất 102 nghìn đồng Biết giá 12 nghìn đồng, giá bút 10 nghìn đồng Hỏi bạn An mua bút? * Gọi x số , y số bút máy ( x, y ) Lập phương trình 12 x 10 y 102 x y 51 Câu 2.2 (2,0 điểm ) y 51 x x Lý luận suy 51 y y 51 y 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 51 11 Vì 51 x 3 3;5 1 y 3 0,75 đ Suy y 3 y 6 y 9 Với y 3 x 6 (thỏa mãn) Với y 9 x 1 (thỏa mãn) Kết luận Câu 3.1 (2,0 điểm ) Định mức giá điện sinh hoạt năm 2021 sau: Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 1: Từ – 50 kWh 1.678 Bậc 2: Từ 51 – 100 kWh 1.734 0,25 đ 0,25 đ Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 3: Từ 101 – 200 kWh 2.014 Bậc 4: Từ 201 – 300 kWh 2.536 Bậc 5: Từ 301 – 400 kWh 2.834 Bậc 6: Từ 401 kWh trở lên 2.927 Tiền điện tính theo bậc, với thuế giá trị gia tăng (GTGT) 10% a) Trong tháng 6/2021, nhà bạn Xuân sử dụng hết 230 kWh điện Tính tiền điện nhà bạn Xuân phải trả b) Cũng tháng đó, nhà bác Hạ phải trả 548 680 đồng tiền điện Hỏi nhà bác Hạ sử dụng hết kWh điện? a) Tính 492 888 đồng b) Tính 250kWh 1,0 đ 1,0 đ x4 y x2 y x , y , a , b a b a b Cho số thực khác thỏa mãn 2006 2006 x y 1003 1003 2 b (a b)1003 x y 1 ( a b 0 ) Chứng minh : a Câu 3.2 (2,0 điểm ) 2 2 x y x y x y x y 0,5 đ a b a b a b a b bx ay ( x y ) (bx ay )(a b) ab( x y ) 0,25 đ ab a b abx b x a y aby abx 2abx y aby b x 2abx y a y 00,5 đ x2 y x2 y2 (bx ay ) 0 bx ay a b a b a b 0,75 đ 2 2006 2006 x 2003 y 2003 x y ( ) ( ) 1003 1003 a b (a b) 2003 a b ( a b)1003 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H Tính giá Câu 4.1 (2,0 điểm ) Câu 4.2 (2,0 điểm ) HD HE HF 2022 2023 AD BE CF trị biểu thức HD S HBC AD S ABC Chứng minh HE S AHC HF S AHB ; BE S ABC ; CF S ABC HD HE HF 1 AD BE CF HD HE HF 2022 2023 4045 AD BE CF A 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ E F H B D C Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng (d) qua A cắt đường chéo BD P, cắt đường thẳng BC CD M N Chứng minh : 1 AM AN AP 0,5 đ AP DP AM DB ; AP BP AB //MN PN BD AP AP BP DP 1 AM PN BD DB 1 AM AN AP A AD//BM B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ P D C N M Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x, y thỏa x y p 3xy Tìm 5.2 giá trị lớn p p x y 13 3.1xy x y 1 x y x y xy 0,25 đ Do x, y nguyên dương nên x y p số nguyên tố nên x y p (1) 2 x y x y xy 1 (2) Câu 5.1 (2,0 điểm ) Chứng minh 0,5 đ x y xy (2) x y x y 3 xy 2 x y x y x y 3 x y 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ x y x y 0 x y x y 0 0,25 đ 0,25 đ x y 4 x y 5 p 5 Vậy GTLN P x = y = Câu 5.2 (2,0 điểm ) Từ nhơm hình vng cạnh dm Người ta muốn cắt hình thang (phần tơ đậm hình vẽ) Tìm tổng x y để diện tích hình thang cắt nhỏ A cm E B x cm cm H F D G y cm C Diện tích hình thang nhỏ S S AEH SCGF S DGH lớn Ta có: 2S 2 x y (6 x)(6 y) xy x y 36 (1) AE AH xy 6 Mà hai tam giác AEH CGF đồng dạng nên CG CF (2) 18 S 42 x x Thay (2) vào (1) ta có: 18 x nhỏ 2S lớn 18 4x x y 2 x y x 2 4x ( HS giải cách khác giám khảo tự phân bước cho điểm) 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ