Đê thi chọn hsg cấp trường 23 24

Họ tên học sinh:………………………………………………… Chữ kí GT:…………………………………… TRƯỜNG THCS (ĐỀ CHÍNH THỨC) KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023-2024 Khóa ngày:……………… Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) …………………………………………………………………………………………………………… ĐỀ: Bài 1: (4,0 điểm)  x   x M     :   x     x x x  x  x    Cho biểu thức: , với x 0 a/ Rút gọn M; b/ Tính giá trị M với x 6  Bài 2: (4,0 điểm) a/ Chứng minh với số tự nhiên lẻ n n  4n   ; b/ Tìm số tự nhiên n cho n + 12 n – 11 số phương Bài 3: (4,0 điểm) a/ Xét số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z   x  y  z   0 6069 x  y 2023  z 2024 ; Tính giá trị biểu thức A  x  x  10 b/ Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P 2022 Bài 4: (3,0 điểm) 1   y 5; a/ Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: x b/ Giải phương trình: 3x  x  2  x Bài 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác kẻ IM vng góc với BC, IN vng góc với AC, IK vng góc với AB, AH vng góc với BC, IE vng góc với AH a/ Chứng minh rằng: ANIK hình chữ nhật; b/ Gọi O giao điểm AH IK Chứng minh rằng: AK.EO = KO.IE; 2 c/ Tìm vị trí điểm I cho tổng IM  IN  IK nhỏ …………………………………………Hết…………………………………………… ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM NỘI DUNG BÀI ĐIỂ M a) Với điều kiện x 0  x   x M     :   x     x x x  x  x    Ta có:  x  x 1  x :    x 1  x (x  1)(1  x )   = (4,0 điểm) =    x1 x  (x  1)(1  x )  x 6   M 1  x 1   5  1,0 điểm 1  x (x  1)( x  1)2 = b) 1,0 điểm x 1  x : (x  1)(1  x ) x 1  1,0 điểm  51 1,0 điểm 1    a ) n  4n   n  1  n  3 n lẻ nên n =2k + 1(k  N )  n 1  n  3  2k    2k   4  k 1  k   4 (k+1).(k+2) tích hai số nguyên liên tiếp nên (k+1).(k+2) chia hết cho 2 Do đó, n2 + 4n + chia hết cho (4,0 điểm) b/ Giả sử n + 12 = a2 n – 11 = b2 (a, b  N ) Ta có a2 – b2 = (n + 12) – ( n – 11) = 23 (a – b)(a + b) =23 =1.23 = 23  a  b 23   Vì a+b>a-b>0 nên a  b 1 (4,0 điểm) a 12  n 132  b 11 2 a / x  y  z   x  y  z    x  1   y  1   z  1 0 Dấu “=” xảy x = y = z = P x Ta có 2022 6069 6069 3.2023  2022 2023 2024  2023 2023 2024  y z 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x  x  10  x  1  9  x  x  10  3   x  x  10 6 7    x  x  10  A Dấu “=” xảy  x = Vậy GTLN A 7/6 x = Vậy GTLN A 7/6 a/ 1 x y      x  y  xy 0   x  xy    25  y   25 x y xy  x   y     y   25    y   x    25   y    x   25   1   25    25    1 5.5        1  25   25   1 x   Z; y   Z 0,5 Nên ta có (3,0 điểm) x-5 -5 -1 25 -25 y-5 -5 25 -25 -1 x 10 30 -20 y 10 30 -20 0,5 0,5 Vì x, y khác nên pt cho có nghiệm nguyên : S  (10;10);(6;30);(4;  20);  30;6  ;   20;   3x  x  2  x 2  x 0  2 3 x  x    x   x 2  2 3 x  x  4  x  x  x 2  2 x  x  0  x 2   x 3 (l )      x   (n )   0,5 0,5 0,5 Vậy S = {-1/2} (5,0 điểm) Vẽ hình 0,5 B H E M K I O A N C a/ Tứ giác ANIK có AKI KAN   ANI 900 (GT ) Vậy ANIK hình chữ nhật b/ Xét hai tam giác vng AKO IEO có: 0,75   KOA EOI Do tam giác AKO đồng dạng với tam giác IEO(g-g) AK KO  IE EO =>AK.EO = KO.IE c/ Ta có EHMI hình chữ nhật IK  IN IK  AK  AI  AE IM EH  IK  AK  IM  AI  EH  AE  EH x  AE ; y EH  x  y  0,5 0,5 0,5 AH x y  2 AH IK  AK  IM  2 0,75 Dấu “=” xảy  x = Vậy GTLN A 7/6 AE = EH hay I trung điểm đường cao AH (Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng, đạt điểm tối đa) 0,5 0,5 0,5