Họ tên học sinh:………………………………………………… Chữ kí GT:…………………………………… TRƯỜNG THCS (ĐỀ CHÍNH THỨC) KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023-2024 Khóa ngày:……………… Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) …………………………………………………………………………………………………………… ĐỀ: Bài 1: (4,0 điểm) x x M : x x x x x x Cho biểu thức: , với x 0 a/ Rút gọn M; b/ Tính giá trị M với x 6 Bài 2: (4,0 điểm) a/ Chứng minh với số tự nhiên lẻ n n 4n ; b/ Tìm số tự nhiên n cho n + 12 n – 11 số phương Bài 3: (4,0 điểm) a/ Xét số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z x y z 0 6069 x y 2023 z 2024 ; Tính giá trị biểu thức A x x 10 b/ Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P 2022 Bài 4: (3,0 điểm) 1 y 5; a/ Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: x b/ Giải phương trình: 3x x 2 x Bài 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác kẻ IM vng góc với BC, IN vng góc với AC, IK vng góc với AB, AH vng góc với BC, IE vng góc với AH a/ Chứng minh rằng: ANIK hình chữ nhật; b/ Gọi O giao điểm AH IK Chứng minh rằng: AK.EO = KO.IE; 2 c/ Tìm vị trí điểm I cho tổng IM IN IK nhỏ …………………………………………Hết…………………………………………… ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM NỘI DUNG BÀI ĐIỂ M a) Với điều kiện x 0 x x M : x x x x x x Ta có: x x 1 x : x 1 x (x 1)(1 x ) = (4,0 điểm) = x1 x (x 1)(1 x ) x 6 M 1 x 1 5 1,0 điểm 1 x (x 1)( x 1)2 = b) 1,0 điểm x 1 x : (x 1)(1 x ) x 1 1,0 điểm 51 1,0 điểm 1 a ) n 4n n 1 n 3 n lẻ nên n =2k + 1(k N ) n 1 n 3 2k 2k 4 k 1 k 4 (k+1).(k+2) tích hai số nguyên liên tiếp nên (k+1).(k+2) chia hết cho 2 Do đó, n2 + 4n + chia hết cho (4,0 điểm) b/ Giả sử n + 12 = a2 n – 11 = b2 (a, b N ) Ta có a2 – b2 = (n + 12) – ( n – 11) = 23 (a – b)(a + b) =23 =1.23 = 23 a b 23 Vì a+b>a-b>0 nên a b 1 (4,0 điểm) a 12 n 132 b 11 2 a / x y z x y z x 1 y 1 z 1 0 Dấu “=” xảy x = y = z = P x Ta có 2022 6069 6069 3.2023 2022 2023 2024 2023 2023 2024 y z 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x x 10 x 1 9 x x 10 3 x x 10 6 7 x x 10 A Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN A 7/6 x = Vậy GTLN A 7/6 a/ 1 x y x y xy 0 x xy 25 y 25 x y xy x y y 25 y x 25 y x 25 1 25 25 1 5.5 1 25 25 1 x Z; y Z 0,5 Nên ta có (3,0 điểm) x-5 -5 -1 25 -25 y-5 -5 25 -25 -1 x 10 30 -20 y 10 30 -20 0,5 0,5 Vì x, y khác nên pt cho có nghiệm nguyên : S (10;10);(6;30);(4; 20); 30;6 ; 20; 3x x 2 x 2 x 0 2 3 x x x x 2 2 3 x x 4 x x x 2 2 x x 0 x 2 x 3 (l ) x (n ) 0,5 0,5 0,5 Vậy S = {-1/2} (5,0 điểm) Vẽ hình 0,5 B H E M K I O A N C a/ Tứ giác ANIK có AKI KAN ANI 900 (GT ) Vậy ANIK hình chữ nhật b/ Xét hai tam giác vng AKO IEO có: 0,75 KOA EOI Do tam giác AKO đồng dạng với tam giác IEO(g-g) AK KO IE EO =>AK.EO = KO.IE c/ Ta có EHMI hình chữ nhật IK IN IK AK AI AE IM EH IK AK IM AI EH AE EH x AE ; y EH x y 0,5 0,5 0,5 AH x y 2 AH IK AK IM 2 0,75 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN A 7/6 AE = EH hay I trung điểm đường cao AH (Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng, đạt điểm tối đa) 0,5 0,5 0,5