PHÒNG GD & ĐT HUYỆN BÙ GIA MẬP 2024 TRƯỜNG THCS ĐẮK Ơ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP NĂM HỌC 2023 – MƠN THI: TỐN - LẦN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/10/2023 Câu (5 điểm) a b a b a b Cho biểu thức A : 1 ab ab ab a) Tìm điều kiện xác định A rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a 2 c) Tìm giá trị lớn A Cho số thực dương x, y thỏa mãn 7x 13xy 2y 0 2x 6y Tính giá trị biểu thức B 7x 4y Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 11 11 0 x 1 x xy 2x y 6 Giải hệ phương trình: 2 x 1 y 8 Câu (5 điểm) Cho AB đường kính đường trịn (O; R) C điểm thay đổi b) x 3 x 1 x 3 đường trịn (C khác A B), kẻ CH vng góc với AB H Gọi I trung điểm AC; OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M; MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến (O; R) c) Chứng minh K trung điểm CH Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy ba điểm I, J, K cho K khác A, B IKJ 600 Chứng minh rằng: AJ BI AB Dấu ‘’ = ‘’ xảy ? Câu (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y 3xy a b3 b3 c c a a b c Cho a, b, c số dương, chứng minh rằng: 2ab 2bc 2ca Hết Họ tên thi sinh………………………………………… số báo danh…………… Chữ ký giám thị 1………………………… chữ ký giám thị 2……………… PHÒNG GD&ĐT BÙ GIA MẬP TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ Câu Ý ĐÁP ÁN THI HSG MƠN TỐN NĂM HỌC 2023-2024 Nội dung a b a b a b A : 1 ab ab ab a 0, b 0 a) ĐKXĐ A ab 1 b 1 a b a b Ta có: ab ab a Điểm 0,5 a b ab ab b ab 1 ab 0,25 a 2b a a b ab ab a b 1 a 1 b 1 ab ab a 1 b ab a Khi A ab 1 a 1 b a b) Với a Câu (5.0 điểm) Suy A 2 2 4 1 1 c) Vì a 0 nên ta có 4 2 1 52 3 1 0,25 0,5 1 25 12 0,25 2 a 1 A 1 a 1 7x 13xy 2y 0 7x y x 2y 0 x 2y ( x > 0, y > 0) 2.2y 6y 2y Thay vào biểu thức B, ta B 7.2y 4y 18y Vậy B 13 Dấu ‘’ = ‘’ xảy a = Vậy GTLN A a = 0,75 a 0 a a 0 a a Ta có 31 0,5 0,5 0,5 Câu Câu (5.0 điểm) Ý Nội dung a) x x 11 11 0 1 ĐKXĐ: x 11 1 x x 11 x x 11 0 x x x 11 x x 11 x x 11 x x 11 0 x x 11 0 x x 11 0 1' 2' 0,25 0,25 0,25 41 ( thỏa mãn đk) x 3 x 1 2 0,25 1 41 ; Vậy phương trình có tập nghiệm x 1 b) x 3 x 1 x 3 x ĐKXĐ: x x x 1 x 3 x 1 Xét x Khi x 3 x Đặt 0,25 x 11 0 x 0 x 1 x 1' x 11 x 2 x 11 x x 1 1 ( thỏa mãn đk) x x 2' x 11 x x 11 (x 1) x x 41 x x x 10 x 41 x Điểm y y 0 y 1 y 4y 0 y 3 n n 0,25 0,25 0,25 Câu Ý Nội dung Với y 1 x 3 x 1 Điểm x 1 1 x 2x 0 x 1 n l 0,25 Với y 3 x 1 13 3 x 2x 12 0 x 1 13 x 1 x 3 x 1 Xét x Khi x 3 x x 3 x 1 Đặt x 3 x 1 2 y y 0 y y 4y 0 y l l n l 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm 5;1 13 x 1 y 4 xy 2x y 6 2 2 x 1 y 8 x 1 y 8 Đặt a x 1, b y Ta có hệ phương trình ab 4 ab 4 ab 4 ab 4 2 a b 4 a b 8 a b 2ab 8 a b 16 ab 4 a 2 x 2 x 1 ) a b 4 b 2 y 2 y 4 2) ab 4 ) a b a b x y 0,25 x y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y 1; , 3;0 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu (5.0 điểm) 0,5 a Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn 0,5 Câu Ý Nội dung Chứng minh OI AC OIC vuông I => I thuộc đường trịn đường Điểm kính OC CH AB gt CHO vuông H => H thuộc đường trịn đường kính OC => I, H thuộc đường trịn đường kính OC Hay điểm C, I, H, O thuộc đường trịn đường kính OC Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O, R) - Chứng minh b - Chứng minh - Chứng minh AOM COM AOM COM MC CO 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 MC tiếp tuyến (O, R) Chứng minh K trung điểm CH MAB có KH // MA ( AB ) KH HB AM.HB AM.HB = KH= = 1 AM AB AB 2R c Chứng minh CB // MO AOM CBH ( đồng vị) MA AO AM HB AM HB CH (2) CH HB AO R Từ (1) (2) CH = 2CK CK = KH K trung điểm CH Chứng minh MAO CHB 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu (2.0 điểm) BIK Ta có: BKI 1800 B 1200 BIK 0,25 Mà BKI 1800 IKJ AKJ 1200 AKJ 0,25 Suy ra: BIK AKJ Suy ra: BIK AKJ 0,25 0,25 0,5 BI BK AK AJ AB AK BK AJ BI AK BK Câu Ý Nội dung Điểm Dấu ‘’ = ‘’ xảy AK = BK Hay K trung điểm AB 0,25 x y 3 xy x y xy x y 3xy Đặt x y a; xy=b ( a, b số nguyên ) ta có a 3ab 3b a 3b a 1 nên a 3 a 1 a 0,5 a 1 4 a 1 Ta lập bảng giá trị sau a+1 –1 a b Câu (3.0 điểm) a3 3 a 1 –2 –4 –2 –3 –5 –1 Không nguyên Không nguyên Không nguyên Trường hợp a 0, b cho x, y 1; 1 , x, y 1;1 Trường hợp a 3, b 5 không cho nghiệm Trường hợp a 3, b 2 cho x, y 1; , x, y 2;1 Vậy nghiệm nguyên x, y phương trình 1; 1 , 1;1 , 0,5 0,5 1; , 2;1 Với a, b, c số dương, ta có : a b3 a b a ab b a b ab 0,5 a b3 a b 2ab 3 3 Tương tự : b c b c ; c a c a 2bc Suy : 2ca a3 b3 b3 c3 c3 a3 a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca 2 Đẳng thức xảy a b c * Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa 0,25 0,5 0,25