Đề hsg9 cụm trường (23 24)

LIÊN TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2023-2024 - Vịng Mơn thi: Tốn ; Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1(4 điểm):  a) Rút gọn biểu thức: A    x 2   x 1   x 3 : 2x  x   5x  10 x x 7 (với x  0, x  ) ab bc ca    2 c a b 1 1 Chứng minh: 2023  2023  2023  2023 2023 2023 a b c a b c b) Cho abc  0, a  b  c  Bài 2(3 điểm): a) Tìm tất số tự nhiên m , n thỏa mãn 3m  2024  n b) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x3  y3  3xy   p có nghiệm nguyên dương Bài 3(3 điểm) Giải phương trình: a) x2 + 9x + 20 = 3x  10 b) x  7  x  x x x Bài 4(2 điểm): Cho x, y, z số dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 y2 z2   x  y y  z z  2x2 Bài 5: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB  AC ), có BC = 2a đường cao AH (H  BC ) Dựng HM  AB M , HN  AC N Gọi O trung điểm BC , Q giao điểm HN OA a) Chứng minh MN  AM AN BC b) Chứng minh ANQ  HMB BQ || MN   MNC  c) Gọi J giao điểm BQ AH Chứng minh BJO d) Tam giác ABC cần có điều kiện AM.BM + AN.CN đạt giá trị lớn nhất? Trên bảng ghi số 2022, 2023, 2024 Hai bạn Việt Nam luân phiên lên bảng chọn hai số a, b xóa hai số vừa chọn viết lại hai số a – (a,b) b – (a,b), với (a,b) ước chung lớn a b Trị chơi kết thúc có bạn chiến thắng cách đưa số Biết Việt chơi trước, chiến thuật để Nam người chiến thắng Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2023-2024 - Vịng Mơn thi: Tốn 9; Thời gian làm bài: 150 phút Câu Bài 1(4 điểm): Đáp án  a) Rút gọn biểu thức: A    x 2   x 1  Điểm  x 3 với x  0, x  : 2x  x   5x  10 x x 7 ab bc ca    2 c a b 1 1 Chứng minh: 2023  2023  2023  2023 2023 2023 a b c a b c b) Cho abc  0, a  b  c   x 7  x 3 A   :  x  2 x  2x  x   5x  10 x   a)    5x  10 x x 3  x  22 x  1 x  x  2 x 3 x    x  22 x  1 x  x      2 x 1  x 2  x 7 1,0 1,0 ab bc ca ab bc ca    2  1 1 1  c a b c a b abc abc abc 1 1    1    a b c a b c abc 1  1 1        a  b   0 a b c abc  ab c  a  b  c    a  b  b  c  c  a    a  b b  c c  a   a + b = b + c      abc  a  b  c  = c + a = + Nếu a + b =  a = -b c =  a 2023  b 2023 b)  a 2023  b 2023  1 0 b 2023 1 1    2023  2023  2023  2023 2023 2023   2023  a b c a b c  c  a 2023  + Nếu b + c = lập luận tương tự ta có: a 2023  b 2023  c 2023  a 2023 b 2023 c 2023     2023   a  + Nếu c + a = lập luận tương tự ta có: a 2023  b 2023  c 2023  a 2023 b 2023 c 2023     2023   b  a 2023  1 b 2023 0,5 0,5 Vậy a 2023  b 2023  c 2023  a 2023 b 2023  c 2023 1,0 Bài 2(3 điểm): a) Tìm tất số tự nhiên m , n thỏa mãn  2024  n b) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x3  y  3xy   p có nghiệm nguyên dương Giả sử m , n hai số tự nhiên thỏa mãn 3m  2024  n số phương 0,5 + Nếu m = n  30  2024  2025  452  n  45 + Nếu m = n   2024  2027 tận nên số 0,5 a) phương nên khơng có giá trị n thỗ mãn m + Nếu m   2024 chia dư nên khơng số phương nên khơng có giá trị n thỗ mãn 0,5 Vậy m  0, n  45 Biến đổi p  x  y  xy    x  y  1  x  y   xy  x  y  m Nhận xét p số nguyên tố , x  y   nên dẫn tới x  y   xy  x  y    x  y    x  1   y  1  2 b) 2 0,5 y  Th1: x   1  y      p  4( ktm) y  th : y   x   p  4( ktm) 0,5  x  12   y  1  th3 : x  1, y     x y 2 p 5  x  y   Vậy số nguyên tố p cần tìm p  0,5 Bài 3(3 điểm) Giải phương trình: a) x2 + 9x + 20 = 3x  10 b) x  7  x  x x x 10 3x + 10 - 3x  10 + + x + 6x + = ĐKXĐ: x  a)  ( 3x  10 - 1) + (x+3)  x = -3 (tmđk) 7 x2   x   x x x 2 = 0,5 0,5 0,5 7 7  x   x  x2   x  x  2 x x x x 7  x   x  x   2x x  x x x  x  2x x   4x  x  28  x   x    4x  7x  14    x    x  0,5 Thử lại: x = thoả mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 x2  b) Bài 4(2 điểm): Cho x, y, z số dương thỏa mãn: x + y + z = 0.5 x2 y2 z2   x  y y  z z  x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = M  x  xy 2 xy 2 yz 2 zx yz zx   y   z        x  y2 y  2z2 z  2x2 y  2z z  x2   x  2y    xy  yz  zx   x2 y2  z y  x2 z       3 3  7 ( x  y  z )2 M   ( xy  yz  zx)   1 9 M  3 3 0,5 0,5 0,5 0,5 Dấu "=" x = y= z = Vậy Min M = x = y = z = Bài 5: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB  AC ), có BC = 2a đường cao AH (H  BC ) Dựng HM  AB M , HN  AC N Gọi O trung điểm BC , Q giao điểm HN OA a) Chứng minh MN  AM AN BC b) Chứng minh ANQ  HMB BQ || MN   MNC  c) Gọi J giao điểm BQ AH Chứng minh BJO d) Tam giác ABC cần có điều kiện AM.BM + AN.CN đạt giá trị lớn nhất? Trên bảng ghi số 2022, 2023, 2024 Hai bạn Việt Nam luân phiên lên bảng chọn hai số a, b xóa hai số vừa chọn viết lại hai số a – (a,b) b – (a,b), với (a,b) ước chung lớn a b Trò chơi kết thúc có bạn chiến thắng cách đưa số Biết Việt chơi trước, chiến thuật để Nam người chiến thắng A PI M a) b) B N P J H Q O C  AMH   ANH  900  Xét tứ giác AMHN có MAN Tứ giác AMHN hình chữ nhật nên MN = AH Tam giác ABH vng H, đường cao HM nên ta có hệ thức AH2 = AM.AB(1) Tam giác ACH vuông H đường cao HN ta có AH2 = AN.AC (2) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có AB.AC = AH.BC (3) Từ (1) (2) (3) suy AH4 = AM.AB.AN.AC = AM.AN.(AB.AC) = AM.AN.AH.BC  AH3 = AM.AN.BC mà MN = AN  MN3 = AM.AN.BC Vì O trung điểm BC tam giác ABC vuông A nên OA  OB OC suy tam giác AOC cân O        OCA hay QAN  OCA ,lại có:OCA  BHM ( đồng vị) nên OAC   BHM  suy QAN 0,5 1,0 1,0 0,5   HMB   900 AN  HM Xét ANQ  HMB , ta có ANQ , ,   BHM  nên ANQ  HMB (Cạnh góc vng, góc nhọn) nên QAN 1,0 NQ MB   QMB  Tam giác MNQ QBM có MN chung, NQ MB , MQN   MQB  BQ / /MN nên MNQ  QBM (c.g.c) dẫn đến QMN 1,0 Từ câu a suy IA  IH , IM  IN mà AMH  MAN (c.g.c) nên AH  MN suy IA  IN dẫn đến c)   IAN   IHM   900  MHB   900  A   INA CO  900 OAC   OA   INA C  900 0,5 hay OA  MN Kết hợp với QB / /MN suy BQ  AO Tam giác ABO có AH  BO , BQ  AO , J giao điểm AH BQ nên J trực tâm tam giác, dẫn đến OJ  AB mà AC  AB suy OJ / /AC   MNC  Từ suy BJO d) Tam giác ABH vng H, đường cao HM nên ta có AM.BM = MH2 Tam giác ACH vuông H đường cao HN ta có AN.BN = NH2 Do AM.BM + AN.CN = MH2 + NH2 = MN2 0,5 0,5 BC 2a   a (vì AO đường trung tuyến ứng với 2 cạnh huyền tam giác vuông ABC)  AH  a  AH  a  MN  a mà MN = AH(vì AMHNlà hình chữ nhật)  AM BM  AN CN  a (khơng Ta có HA  AO mà AO  đổi) Dấu “=” xảy AH = AO  Tam giác ABC vuông cân A Vậy AM.BM + AN.CN đạt giá trị lớn tam giác ABC vuông cân A * TH1: Nếu Việt xóa 2023 2024 cịn 2022, 2022, 2023, Nam xóa 2022 2022 xong * TH2: Nếu Việt xóa 2022 2024 cịn 2020, 2022, 2023, Nam xóa 2022 2023 cịn 2020, 2021, 2022 Tức trạng thái ban đầu với số giảm đơn vị Cứ tình cuối cịn 2, 3, Nam xóa 2, chiến thắng * TH3: Nếu Việt xóa 2022 2023 cịn 2021, 2022, 2024, Nam xóa 2022 2024 cịn 2020, 2021, 2022 Tức trạng thái ban đầu với số giảm (Trở tình 2) 0,5 1,0