Đang tải... (xem toàn văn)
Báo cáo một số ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến và của phương trình vi phân trong các bài toán kinh tế Học phần: Giải tích
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO NHĨM HỌC PHẦN: TỐN KỸ THUẬT BS6004 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ Hà nội, tháng 11 năm 2022 MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Giới thiệu bao quát nội dung II PHẦN NỘI DUNG Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến: 1.1 Kiến thức chung 1.2 Ứng dụng Một số ứng dụng phương trình vi phân: II.1 Kiến thức chung 2.2 Ứng dụng III CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG IV KẾT LUẬN CHUNG V DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I PHẦN MỞ ĐẦU: Giới thiệu bao quát nội dung: Giải tích mơn khoa học quan trọng sinh viên ngành khoa học tự nhiên kĩ thuật Là mơn học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn, giải tích muốn giới thiệu kiến thức tảng quan trọng ứng dụng chúng sử dụng nhiều việc học tập môn khoa học Mở đầu môn học phần giải tích hàm nhiều biến số cực trị hàm nhiều biến kiến thức trọng tâm quan trọng Nó ban đầu để sinh viên tìm hiểu áp dụng cho học Trong đó, phải kể đến tốn phương trình vi phân Những ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến phương trình vi phân tâm, ứng dụng nhiều, phố biến lĩnh vực khác đặc biệt sinh viên ngành kinh tế “tốn kinh tế” Từ đó, nhóm em chọn “Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến phương trình vi phân tốn kinh tế” đề tài báo cáo cho buổi thuyết trình Các toán cực trị hàm nhiều biến phương trình vi phân đa dạng phong phú, phần trình bày này, nhóm muốn giới thiệu đến thầy bạn số ứng dụng thông dụng hai chủ đề toán kinh tế, qua để người thấy phần mạch ứng dụng toán học cao cấp vào lĩnh vực kinh tế II PHẦN NỘI DUNG: Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến: 1.1 Kiến thức chung: 1.1a: Cực trị không điều kiện: a) Định nghĩa: Hàm số z = f ( x , y ) đạt cực trị M( x y 0) Nếu điểm M(x,y) gần khác M hiệu f = f ( x , y ) − f ¿) có dấu khơng đổi - Nếu f < f ¿ ) giá trị cực đại M điểm cực đại hàm z= f ( x , y ) - Nếu f > f ¿ ) giá trị cực tiểu M điểm cực tiểu hàm z= f ( x , y ) b) Định lí: * Điều kiện cần: - Nếu hàm số z = f ( x , y ) đạt cực trị điểm M 0( x y 0) hàm số có đạo hàm riêng f x ¿) = f y ¿ ) = - Điểm M 0( x y 0) thoả mãn f x ¿) = f y ¿ ) = gọi điểm dừng Điểm dừng M khơng điểm cực trị hàm số * Điều kiện đủ: Giả sử z = f ( x , y ) có điểm dừng M có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M } left ({M } rsub {0 } right ¿ } left ({M } rsub {0 } right ) , C= {f } rsub {{y } ^ {2 } } rsup { Đặt A = f x , B = f xy ( M 0) Khi đó: Nếu B − AC < f ( x , y ) đạt cực tiểu M { A>0 Nếu {B − AC < f ( x , y ) đạt cực đại M A0 f ( x , y ) khơng có cực trị M Nếu B2 − AC =0 chưa có kết luận ( M điểm ngℎii ngờ ¿ c) Quy trình giải tốn tìm cực tìm cực trị hàm số z = f ( x , y ) Bước 1: Tìm điểm chung M 0( x y 0) cách giải hệ f 'x ( x , y )=0 f 'y ( x , y ) =0 { Bước 2: f xy} left ({M } rsub {0 } Tính A = f x} left ({M } rsub {0 } right ) , C= {f } rsub {{y } ^ {2 } } rsup { right ¿ , B = ( M 0) B2 − AC Bước 3: Dựa vào điều kiện đủ để kết luận cực trị hàm số 1.1b: Cực trị có điều kiện: a) Định nghĩa: Ta nói hàm số z = f ( x , y ) đạt cực đại (cực tiểu) điểm M 0( x y 0) với điều kiện g ( x , y ) = Nếu tồn lân cận D điểm M cho f ( M ) < f ( M ) ( f ( M ) > ( M ) ) với điểm M∈ D , M ≠ M , g ( M )=0 b) Điều kiện có cực trị * Điều kiện cần Giả sử M 0( x y 0) điểm cực trị hàm số z = f ( x , y ) với điều kiện g ( x , y ) = Trong f ( x , y ) , g ( x , y ) hàm số có đạo hàm riêng liên tục Khi đố tồn số cho: { f 'x ( x y ) + g'x ( x y ) =0 f 'y ( x y ) + g'y ( x y ) =0 g ( x y )=0 (1) Số gọi nhân tử Lagrange Hàm số L ( x , y , )=f ( x , y )+ g ( x , y ) gọi hàm Lagrange * Điều kiện đủ: Giả sử điểm M 0( x y 0) thoả mãn (1) ứng với nhân tử ❑0 Ta gọi M điểm dừng tốn cực trị có điều kiện Ta chuyển tốn tìm cực trị hàm số z = f ( x , y ) với điều kiện g ( x , y ) = thành toán cực trị không điều kiện hàm Lagrange Xét L xy} − biểu thức {L } rsub {{x } ^ {2 } } rsup { det ( H) = g'x g'y ( g ¿ ¿ y ' ) − L y} {{(g } rsub {x } rsup {' } ) } ^ {2 ¿ ¿ Khi - Nếu det ( H ( M ) ) >0 M điểm cực đại hàm số - Nếu det ( H ( M ) )