034 đề thi hsg toán 9 tỉnh đồng nai 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 29/3/2019 Câu (4,5 điểm)  x  y m   x  y m  x ; y   1) Cho nghiệm hệ phương trình  (với m tham số thực) Tìm m để biểu thức P x  y đạt giá trị nhỏ  x  y 1  3 x  y  (với x, y thuộc R)   2) Giải hệ phương trình Câu (4,5 điểm) 1) Giải phương trình x  x  24 x  27 x  0  x    2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c b c   a    4     b c a  a b b c c a  Câu (4,5 điểm) 1   1) Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa a b c Chứng minh : abc chia hết cho 2) Tìm số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Câu (2 điểm) 99 A     1 2 3 99  100 tổng 99 số hạng Cho B      100 tổng 99 số hạng Tính A  B Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm    I AB, AC với đường tròn   Biết ba góc BAC , ABC , BCA góc nhọn Gọi M N trung điểm hai đoạn BC AC 1) Chứng minh : 2AD  AB  AC  BC 2) Chứng minh ba đường thẳng BI , DE , MN đồng quy ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có:  x  y m    2 x  y m  3 x  y 3m    2 x  y m   x 2m  x 2m   m      y x  m   y m  2 2 P  x  y  m  m   m  8m   2m    12  12   Ta có: Dấu " " xảy 2m  0  m  Giá trị nhỏ P – 12 m   x  y 1  x  y   xy 1   3  x  y   x  y   3xy  x  y   2)  x  y S  xy P Đặt  Ta có:  1 S2  1 S2  P   S  P 1 P      S  SP  1  S   S  3S  2 S  3S  3S  0   1 S2 2  1 S  1 S P  P  P      S  5S  3S  0  S  1  5S  5S   0       5S  5S  0(VN )   x 0   1 S  P 0  x  y    y 1 P        y 0 S  xy     S      x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     0;1 ;   1;0   Câu Giải: x  x  24 x  27 x  0  * Với x 0,  *  x  0  phương trình vơ nghiệm Với x 0, chia hai vế phương trình (*) cho x : 27 3  *  x  x  24   0   x     x    18 0 x x x x    x   0   x  3x  0(VN ) 3    x   x     x    0     x x    x  x    x   0   x  S  3  x 3    x 3   Ta có: a b c b c   a    4     b c a  a b b c c a  b c  a  b  c   a    1    1    1 4     b  c  a   a b b c c a   a b 4a bc 4b ca 4c      0 b a b c b c a c a   a  b    b  c    c  a  0 b a  b c  b  c a  c  a 2 Ln a, b, c số dương Dấu xảy a b c Câu 1    bc a  b  c  (1) a b c Ta có: TH1:Nếu a số nguyên chẵn, suy a  b  c  2 , theo (1) suy : b.c2 , Vậy abc4 TH2: Nếu a số nguyên lẻ Với b, c hai số lẻ  b  c  2  a  b  c  2 , mà abc khơng chia hết cho (vì a, b, c lẻ) Suy mâu thuẫn Vậy hai số a, b, c tồn số chẵn +)Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn, (vì bc chẵn nên a  b  c  chẵn suy c chẵn, a lẻ), suy abc chia hết cho +)Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 2) Gọi A số số nguyên dương không vượt 1000 Suy A 1000 B số số nguyên dương không vượt 1000 mà không nguyên tố với 999 C số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Ta có: 999 3 37 B=(số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 3) – (số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3) +Số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho là: 999   333 +Số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 999  37  27 37 Số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 (chia hết 999  111  9 111 cho 111) là: Số số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho : 27  18 Suy B 333  18 351 Vậy C  A  B 1000  351 649 Câu 1 99 A     1 2 3 99  100     2  Ta có:   2 3 3   3   4    98  99   98  99  100  99  99 100 Và B      100  A  B 100 100  999 Câu A E B N I D S 1 M C a) Gọi F tiếp điểm BC với đường tròn (I) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD  AE; BD BF ; CE CF Suy ra: AB  AC  BC  AD  DB    AE  CE    BF  CF   AD  AE 2 AD b) Gọi S giao điểm BI MN Ta cần chứng minh D, E , S thẳng hàng Thật vậy: 99    Do MN đường trung bình tam giác ABC nên MN / / AB  B2 BSM (so le trong)     B2 B1  BSM B1 suy MBS cân M nên MB MS MC SM  BC Tam giác BSC có đường trung tuyến nên tam giác BSC vng S Ta có: Tứ giác IECF IESC tứ giác nọi tiếp (đường tròn đường kính IC) Nên điểm I , E , S , C , F thuộc đường trịn đường kính IC         Ta có: SEC SIC ; SIC B1  C1 (tính chất góc ngồi)  SEC B1  C1 (1)   AED  ADE 180  A 900  A B  C  (2) 1 2 Lại có tam giác ADE cân A nên   Từ (1) (2) suy SEC  AED mà A, E , C thẳng hàng nên D, E , S thẳng hàng Vậy ba đường thẳng BI , DE , MN đồng quy