SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN : TỐN Câu x x x 1 x x x 4 P : x x x x 1 x x x a) Rút gọn 3 b) Cho a 50 , b 50 Chứng minh biểu thức M a b; N a b7 có giá trị số chẵn Câu 2 a) Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình x 2kx 0 ( k tham số) Tìm 2 x1 x2 3 k giá trị cho x2 x1 x x 2 y y y 2 x b) Giải hệ phương trình: Câu 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y x y x 2 y x 1 b) Cho n * Chứng minh 2n 3n số phương n chia hết cho 40 Câu Cho đường tròn O; R điểm A cố định bên đường tròn, OA 2 R Từ A kẻ O tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC I Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến M đường tròn O cắt AB, AC E , F Dây BC cắt OE , OF điểm P Q a) Chứng minh ABI 60 tứ giác OBEQ nôi tiếp b) Chứng minh EF 2 PQ c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theo R Câu x3 y P x yz y zx z xy x , y , z x y z GTLN Cho thỏa mãn Tìm ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: P x x x b) chẵn x x 5 x 1 a 1 Ta có : x : x1 x 2 1 x 1 : x x 1 b 3 1 x 1 x Do M 2 số a b 2 a b a b 2ab 6 ab Ta lại có: , đó: 7 N a b a a 4b3 b7 a 3b a 4b3 a 3b a b3 a b a 3b3 a b a b a b ab a b 2a 2b 478 số chẵn Câu 2 a) Để phương trình có nghiệm ' 0 k 0 k 2 x1 x2 2k x x 4 x Ta thấy nghiệm, theo Vi-et 2 x x 3 x14 x24 48 x2 x1 2 x12 x22 x12 x22 48 x1 x2 x1x2 80 4k 80 k k 2 k x y x 2 y y xy x 0 x x 2 y 2 y x 1 2 y x 0 b) Ta có: y x y 2 x y xy y 0 y y 2 x 2 x y 1 2 x y 0 2 y y xy x 0 2 x y 0 x y x y 3 0 x y 0 2 y x x x xy y Suy Vì Do x y x y 0 nghiệm hệ phương trình Câu a) Phương trình tương đương Suy x y x y 1 xy x y xy x2 y xy x y 1 x y x y 1 x y x y 1 5 x y 1 x y 1 1;5 x y 0;4 xy 2;0;2 x y 2 x; y 0;2 ; 2;0 Xét xy 0 Xét xy x y 0 y x x 2(ktm) xy 2 x y (ktm) Xét Vậy x; y 0;2 ; 2;0 2n a 2 b) Đặt 3n b với a, b *, suy a 2n 1là số lẻ nên a lẻ Do đó: 2n a 1 a 1 4 n2 3n b số lẻ nên b lẻ Đặt b 2c 1 c * Ta có: 3n 2c 1 4c c 1 8 n8 (1) Mặt khác số phương chia cho dư 0;1hoặc Do - Nếu n chia cho dư 2n chia cho dư 3, vô lý - Nếu n chia cho dư 3n+1 chia cho dư 2, vơ lý - Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư 2, vô lý - Nếu n chia cho dư 3n +1 chia cho dư 3, vô lý Vậy n5 (2) Từ (1) (2) suy n chia hết cho 40 Câu H E B P M I A O Q F C K a) Ta chứng minh OA BC I OB cos ABI cos AOB ABI 600 OA Do đó, COM BOM BOC EOF FOM EOM AOB 600 2 Mặt khác EOF ABI OBEQ nội tiếp PQ OQ OQP OEB OEF OQP OEF (1) EF OE b) Ta có Mặt khác OBE OQE 180 mà OBE 90 OQ OQE 900 OEQ 900 EOF 300 sin OEQ 2 OE Từ (1) (2) suy EF 2 PQ c) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB AC K H SOPQ S Vì OQP OEF nên OEF EF S OM EF R.EF SOPQ OEF PQ 4 8 R BOI K 600 HC KB OB.cot K OB.cot 600 Vì Lại có EF FM EM FC EB HF HC KE KB 2R Mặt khác, ta chứng minh HFO OFE KOE OFE nên HF HO R 4R HFO KOE HF KE OK OH OK OK KE sin 60 HF KE HC KB HF KE 2HC 2 HF KE R.EF R R2 SOPQ 12 Diện tích tam giác OPQ nhỏ 12 Khi M Do đó, điểm cung BC Câu x yz y zx z xy x yz y zx z xy 3 P x y y x x2 y2 Ta có: 2 4z x y x x z z z z 1 z z 1 z z y x xy y y xy x y 2 4z z z 1 12 z 1 z z 2 z z 1 z 1 z 1 12 z 1 z z 1 z 8 z Áp dụng BĐT Cơ si ta có: 2 12 3 z 1 z z 1 729 33 P P z 4 729 z 1 8 Vậy GTLN P 729 , đạt x y 2, z 5 1 2