SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HĨA LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút A TRẮC NGHIỆM (8 điểm) 1024 n 15 Câu Có tất số nguyên dương n cho số tự nhiên A B C D Câu Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB, CD cho AB 4, CD 9 , DAB DBC Độ dài đường chéo BD bằng: A B C D 10 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng di qua điểm M 2;5 song song với đường thẳng y 2 x có phương trình là: A y 2 x B y 2 x C y x D y x Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;3 B 6;1 Độ dài đường cao hạ từ đỉnh O tam giác OAB bằng: 5 2 A B C D Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;3 ; B 2; ; C 2; , D 3;3 Diện tích tứ giác ABCD bằng: 15 15 A B C 15 D 30 Câu Cho bốn điểm A, B, C , D nằm đồ thị hàm số y x cho ABCD tứ giác lồi nội tiếp đường trịn đường kính AC Gọi M x1; y1 ; N x2 ; y2 trung điểm AC , BD Giá trị y1 y2 bằng: A B C D Câu Cho tam giác ABC vuông A có AB 3, AC 4 phân giác AD Giá trị DC DB bằng: A B C D Câu Gọi S tập nghiệm phương trình, số nghiệm phương trình x x x 2019 x 2019 x 2020 là: A B Câu 10 Biết x Giá trị A C 2019 D 2020 3 nghiệm phương trình x a 1 x 2a 0 a a bằng: 3 B 1 C 6 2 D 3 Câu 11 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH , trung tuyến AM Biết AH 24 AM 25 cạnh huyền BC 35 Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC bằng: A 3,5 B C 8,75 D 14 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A có AB , đường cao AH 2 Kẻ HK vng góc AC ( K thuộc AC) Độ dài CK bằng: 16 5 5 A B C D Câu 13 Một học sinh đứng mặt đất cách tháp ăng-ten 100m Biết học sinh nhìn thấy đỉnh tháp góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất 1,5m Chiều cao tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng: A 34 B 35 C 36 D 38 Câu 14 Tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là: 1 A B C D Câu 15 Cho tam giác ABC vng A, đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Biết BD 2 DC 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A 25 B 50 C 50 D 100 Câu 16 Có tất cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành hàng ngang cho hai bạn Thắng Việt không ngồi cạnh A 48 B 72 C 96 D 118 B Tự luận (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên dương đôi phân biệt tồn số có tổng hợp số b) Bạn Thắng chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 viết 2018 số dư tương ứng sau bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 viết 2019 số dư tương ứng Hỏi có tổng số dư lớn lớn Câu (3,0 điểm) 2 x y xy 0 x y x y 32 0 a) Giải hệ phương trình: 1 x 10 11x x 1 x b) Giải phương trình: Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp O , D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C) O ' tiếp xúc với O K, tiếp xúc với đoạn CD, AD F, E Các đường thẳng KF , KE cắt (O) M, N a) Chứng minh MN / / EF b) Chứng minh MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c) Chứng minh EF qua điểm cố định D chạy BC Câu (1,0 điểm) Cho số thực x1 , x2 , , xn 0;1 x1 x2 x3 xn Chứng minh rằng: 4 x12 x22 x32 xn2 ĐÁP ÁN Câu 1, a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ Xét trường hợp sau: Ta có a, b, c chẵn nên đương nhiên chọn cặp có tổng hiệu chúng số chia hết cho Ta có a, b, c củng lẻ nên đương nhiên chọn cặp có tổng hiệu chúng số chia hết cho Ta có a, b, c có cặp số lẻ nên hiệu tổng số lẻ chiaa hết cho a, b, c có cặp số chẵn nên hiệu tổng số chẵn chia hết cho Hai trường hợp đầu có cặp số thỏa mãn đầu Hai trường hợp cuối có cặp số thỏa mãn đầu Vậy có cặp số mà tổng hiệu chúng chia hết hợp số Áp dụng quy tắc số dư Ta thấy phép chia cho số dư 0,1,2 , 3,4, Xét trường hợp: *Cả số có số dư khác 0,1, 2,3 ; 0,2,3,4 ; 0,1, 4,2 ; 0,4,2,3 1,2,3,4 có cặp số có số dư 3 nên tổng cặp số chia hết cho Với nhóm số dư 1,2,3,4 nên suy cặp có tổng chia hết cho *Cả số có số dư trùng nên cặp đơi có hiệu nên chia hết cho *Cả cặp số có số dư trùng nên hiệu cặp số chia hết cho *Cả cặp có số dư trùng nên hiệu cặp số chia hết cho Vậy chọn cặp số mà tổng hiệu chúng chia hết cho Hay số nguyên dương đôi phân biệt tồn số có tổng hợp số b) Gọi T tổng số dư Thắng, V tổng số dư Việt Gọi t1; t2018 số dư chia 2018 cho 1,2, ,2018 ; gọi v1; v2019 số dư chia 2019 cho 1,2 2019 Ta thấy rằng: T t1 t2 t2018 ;V v1 v2 v2019 với i 1,2,3, 2018 Nếu 2019i v1 0 ti i Nếu v1 i v1 ti V t1 1 t2 1 t2018 1 S 2019 T 2018 S 2019 Trong S 2019 tổng ước không vượt 2018 2019 Ta có 2019 1.3.773 Suy S 2019 677 nên ta có V T 2018 677 T 1341 Suy V T Và V T 1341 Câu a) Ta có: 2 x y xy 0 3 x y x y 32 2 x y xy 0 x y 3xy x y x y 32 0 x y s, xy p s 4 p Ta đặt Khi hệ tương đương với : 2s p 0 s ps 3s 32 0 Giải hệ ta có nghiệm b) Điều kiện xác định: x 0 1 2 x 9 x 1 21x x 1 x 1 12 x x x 0 x 17 x x x 0 x x 1 3x x 1 0 13 3x x 0 x 1 17 13 S ; Câu A O' E N B I K O H D F C M a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung d với O O ' Gọi H giao (d) BC KEF FKH MNK MN / / EF b) Ta có tam giác HKF cân H suy HKF HFK MB MC suy AM phân giác BAC Suy BCM MKC nên ta có MC tiếp tuyến KFC c) Gọi AM cắt EF I Ta chứng minh I cố định Thật vậy, ta có AKN AMN AIE nên tứ giác AEIK nội tiếp IKF Suy DEF EKF EAI EIA EKI IKE EIA IKF hay MIF Suy MIF MKI ( g.g ) MI MK MF (1) Ta có MC tiếp tuyến KFC suy MC MF MK (2) Từ (1) (2) suy MI MK Lúc ta có: BCI MIC MCI IAC ICA MCB BCI ICA Nên CI phân giác ABC , mà AM phân giác BAC nên I cố định Câu Áp dụng BĐT A B 4 AB với A 1; B x1 xn ta có: x1 x2 x3 xn 4 x1 x2 x3 xn với x1, x2 , xn 0;1 2 Nên x1 x1 1 0 x1 x1 0 x1 x1 Tương tự ta có: x2 x22 ; .; xn xn2 x1 x2 x3 xn x12 x22 x32 xn2 x1 x2 x3 xn Suy 4 x1 x2 x3 xn 4 x12 x22 x32 xn2 Dấu " " xảy có số 1, số lại