đại số giao hoán

Tập các phần tử khả nghịch của A, kí hiệu là A∗ lập thành một nhóm đối với phép nhân.Định nghĩa 1.1.2 Phần tử liên kết.. Một tập con a ⊂ A được gọi là một ideal nếu là một nhóm con đối v

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN - TIN

Nhập môn đại số giao hoán

G.-V Nguyễn-Chu

Ha Noi Inst of Mathematics

Bổ đề Zorn Giả sử S 6= ∅ là một tập được sắp thứ tự sao cho mọi tập con được sắp toàn phần đều có mộtchặn trên trong S Khi đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại

Trong khuôn khổ của môn học này, một vành (nói riêng, một trường) luôn được giả sử là giao hoán và cóđơn vị và dĩ nhiên một đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị

Nhận xét 1.0.1 Ta không loại trừ khả năng phần tử 1 của một vành A có thể bằng 6= 0 Một vành A với

1 = 0 nhất thiết chỉ gồm một phần tử, thật vậy x ∈ A =⇒ x = x · 1 = x · 0 = 0 và được kí hiệu A = 0

Ta sẽ chủ yếu quan tâm đến các vành sau cũng như các vành được xây dựng từ chúng

Ví dụ 1.0.2 1 k, với k là một trường;

2 Z;

3 Vành đa thức một biến A[X] với A là một vành cho trước Tổng quát hơn, với S là một tập chỉ số, ta

có vành đa thức nhiều biến A[Xi], i ∈ S với các biến tham số hóa bởi S;

4 Vành chuỗi các lũy thừa hình thức A[[X]] với A là một vành cho trước Tổng quát hơn, vành các chuỗilũy thừa hình thức A[[Xi]], i ∈ S

Định nghĩa 1.1.1 (Phần tử khả nghịch) Một phần tử a của một vành A được gọi là khả nghịch nếu là ướccủa 1, nói cách khác, tồn tại b ∈ A sao cho ab = 1 Phần tử b như vậy được gọi là nghịch đảo của A và kíhiệu là a−1 Tập các phần tử khả nghịch của A, kí hiệu là A∗ lập thành một nhóm đối với phép nhân.Định nghĩa 1.1.2 (Phần tử liên kết) Hai phần tử a, b của một vành A được gọi là liên kết với nhau nếutồn tại u ∈ A∗ sao cho a = ub

Nhận xét 1.1.3 1 Do A∗ là một nhóm với phép nhân, quan hệ liên kết là một quan hệ tương đương;

2 Một phần tử là khả nghịch khi và chỉ khi liên kết với 1

Định nghĩa 1.1.4 (Ước của 0) Cho A là một vành Một phần tử a ∈ A được gọi là ước của 0 nếu tồn tại

b 6= 0 sao cho ab = 0

Một cách xây dựng quan trọng các vành mới từ các vành đã cho là thông qua vành thương

Định nghĩa 1.1.5 (Ideal) Một tập con a ⊂ A được gọi là một ideal nếu là một nhóm con đối với phép cộng

và ổn định đối với phép nhân với các phần tử của A

Ví dụ đơn giản nhất của ideal là các ideal chính, với mọi a ∈ A, ta định nghĩa (a) = {ba; b ∈ A} Chú ýrằng một ideal a ⊂ A chứa phần tử 1 khi và chỉ khi a = (1) = A, hay tổng quát hơn, với mọi ideal a ⊂ A

a∩ A∗6= ∅ ⇔ 1 ∈ a ⇔ a = (1)Ngoài ra, ta có

Mệnh đề 1.1.6 Cho f : A → B là một đồng cấu vành

1 ker f là một ideal của A;

2 Tổng quát hơn, với mọi ideal b ⊂ B, f−1(b) là một ideal của A

Ta nhắc lại định nghĩa của vành thương

1

Định nghĩa 1.1.7 Cho a ⊂ A là một ideal Nhóm thương A/a có một cấu trúc nhân duy nhất cảm sinh từphép nhân trên A khiến A/a trở thành một vành.

Phép chiếu chính tắc

π : A → A/a

là một đồng cấu vành với hạch ker π = a

Kết quả đơn giản sau đây miêu tả các ideal của một vành thương

Mệnh đề 1.1.8 Có một phép tương ứng 1 − 1 và bảo toàn thứ tự giữa các ideal của A/a và các ideal của

A chứa a cho bởi ¯b7→ b = π−1(¯b)

Chứng minh Bài tập

Định lí 1.1.9 (Định lý đồng cấu) Cho f : A → B là một đồng cấu vành Tồn tại duy nhất một đơn cấu ¯fkhiến biểu đồ sau giao hoán

Aπ

##GGGGG

f// BA/ ker f

¯ w;;wwww

Chứng minh Bài tập

Chú ý rằng Định lý 1.1.9 có khá nhiều biến tấu Một trong số đó là phát biểu mạnh hơn sau đây.Mệnh đề 1.1.10 Cho f : A → B là một đồng cấu vành và a là một ideal của A Các khẳng định sau làtương đương

1 Tồn tại một đồng cấu vành ¯f : A/a → B sao cho biểu đồ sau giao hoán

Aπ

##GGGGG

f// BA/ ker f

¯ w;;wwww

2 a ⊂ ker f

Hơn nữa, khi đó ¯f được xác định duy nhất

Kết quả trên áp dụng cho phép chiếu chính tắc cho ta

Hệ quả 1.1.11 Cho A là một vành và a là một ideal Với mọi ideal a ⊂ b ta có đẳng cấu A/b ' (A/a)/(b/a)

Định nghĩa 1.2.1 Một vành A được gọi là một miền nguyên nếu A 6= 0 và không có ước của 0 ngoài 0

Ta nhắc lại luật giản ước trong một miền nguyên

Mệnh đề 1.2.2 Một vành A 6= 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi luật giản ước, với mọi a 6= 0,

ab = ac =⇒ b = cChứng minh Hiển nhiên

Ta cũng nhắc lại rằng mọi trường là một miền nguyên Ngoài ra, ta cũng có kết quả quen thuộc sau.Mệnh đề 1.2.3 Cho A là một vành Khi đó A là một miền nguyên khi và chỉ khi A[X] là một miền nguyên.Chứng minh Đây là một bài tập đơn giản

2

Trường các thương của một miền nguyên Việc xây dựng trường các số hữu tỉ từ vành các số nguyên

có thể được mở rộng cho mọi miền nguyên Cho A là một miền nguyên Ta đặt

b ∈ k là lớp tương đương của (a, b) Như vậy a

b = ab00 ⇔ ab0 = a0b Định nghĩa các phép + và × trên k nhưsau

Các định nghĩa trên là tốt, nói cách khác, không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện Ta kiểm tra

dễ dàng rằng các phép toán trên khiến k trở thành một trường với 0k = 0

1 và 1k = 1

1 Ngoài ra, ánh xạ tựnhiên

A → k; a 7→ (a, 1)

là một đơn cấu vành Thông thường, ta đồng nhất A với ảnh của nó trong k thông qua ánh xạ tự nhiên này

và gọi k là trường các thương của A

Nhận xét 1.2.4 Một cách nôm na, trường các thương của một miền nguyên A là một trường nhỏ nhấtchứa A

Ví dụ 1.2.5 Ngoài việc trường các thương của Z là trường các số hữu tỉ, ta chú ý rằng với mọi trường k,trưòng các thương của k[X], kí hiệu là k(X) là trường các phân thức, hay các hàm hữu tỉ

1.3 Ideal nguyên tố và ideal cực đại

Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một vành và a là một ideal

1 a được gọi là nguyên tố nếu a ( (1) và nếu với mọi a, b ∈ A, ab ∈ a =⇒ a ∈ a hoặc b ∈ a, hay mộtcách tương đương, nếu a ( (1) và ab /∈ a =⇒ a /∈ a, b /∈ a

2 a được gọi là cực đại nếu a ( (1) và cực đại trong quan hệ bao hàm giữa các ideal, nghĩa là với mọiideal b, a ⊂ b =⇒ b = a hoặc b = (1)

Ta kí hiệu Spec A, Specm A tương ứng là tập hợp các ideal nguyên tố của A và tập các ideal cực đại của A

Ta nhắc lại đặc trưng quen thuộc của các ideal nguyên tố và ideal cực đại thông qua vành thương.Mệnh đề 1.3.2 Cho a ⊂ A là một ideal Ta có

1 a nguyên tố ⇔ A/a là một miền nguyên

2 a cực đại ⇔ A/a là một trường

Chứng minh Bài tập

Ta biết rằng mọi trường là một miền nguyên nên nói riêng,

Hệ quả 1.3.3 a cực đại =⇒ a nguyên tố Nói cách khác, Specm A ⊂ Spec A

3

Mệnh đề 1.1.8 còn có thể dùng để miêu tả các ideal nguyên tố và ideal cực đại của một vành thương.Mệnh đề 1.3.4 Cho A là một vành và a là một ideal Phép tương ứng giữa các ideal của A/a và các idealcủa A chứa a cho bởi ¯b7→ b = π−1(¯b) là một song ánh, bảo toàn thứ tự giữa các

1 các ideal nguyên tố chứa a của A và các ideal nguyên tố của A/a;

2 các ideal cực đại chứa a của A và các ideal cực đại của A/a

• S 6= ∅ vì (0) ∈ S;

• S được sắp thứ tự tốt Thật vậy, gọi {ai} là một tập các phần tử của I (nghĩa là các ideal 6= (1)) sắpthứ tự toàn phần Đặt a = ∪i∈Iai Điều kiện I sắp thứ tự toàn phần đảm bảo a là một ideal 6= 1 của

A Mặt khác ai ⊂ a theo định nghĩa, có nghĩa là a ∈ I và là một chặn trên của I

Theo Bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại Nhưng các phần tử cực đại của S, theo định nghĩa, chính làcác ideal cực đại của A

Hệ quả 1.3.6 Mọi ideal a 6= (1) đều nằm trong một ideal cực đại nào đó

Chứng minh Áp dụng Định lý trên cho A/a

Hệ quả 1.3.7 Mọi phần tử không khả nghịch đều nằm trong một ideal cực đại nào đó

Chứng minh Giả sử A là một vành và a ∈ A Ta biết rằng a /∈ A∗⇔ (a) 6= (1) Như vậy, ta chỉ cần áp dụng

Hệ quả trên để có kết quả mong muốn

Bài tập 1 1 Xác định Z∗, (Z/(5))∗, (Z/(6))∗, R[X]∗, Z[X]∗

Bài tập 2 Chứng minh rằng một miền nguyên với hữu hạn phần tử là một trường

Bài tập 3 Cho k là một trường và A là một k-đại số hữu hạn (nghĩa là dimk(A) < ∞) Chứng minh rằng

A là một miền nguyên ⇔ A là một trường

Bài tập 4 Chứng minh rằng một vành giao hoán A 6= 0 là một trường khi và chỉ khi tập các ideal của Achỉ gồm (0) và (1)

Bài tập 5 Định nghĩa Z(p)⊂ Q qua công thức

Z(p)= {x ∈ Q; pnx ∈ Z với n tự nhiên nào đó}

Chứng minh rằng trường các thương của Z(p)' Q

Bài tập 6 Cho A là một miền nguyên với trường các thương K Giả sử B là một vành sao cho A ⊂ B ⊂ K.Chứng minh rằng trường các thương của B đẳng cấu với K (Bài tập này mở rộng bài tập trước)

Bài tập 7 Cho A = {a + bi; a, b ∈ Z} ⊂ C, B = {a + b√2; a, b ∈ Z} ⊂ C Chứng minh rằng trường cácthương của A và B tương ứng là K = {a + bi; a, b ∈ Q}, L = {a + b√2; a, b ∈ Q}

Bài tập 8 Cho f : A → B là một đồng cấu vành giữa các miền nguyên A, B Gọi K, F là các trường cácthương tương ứng của A và B Chứng minh rằng

1 Nếu f là đơn cấu thì f có thể mở rộng một cách duy nhất thành một đồng cấu trường ¯f : K → L;

4

2 Nếu f là một đẳng cấu thì f có thể mở rộng một cách duy nhất thành một đẳng cấu trường ¯f : K → L.Bài tập 9 Cho A là một vành Chứng minh rằng A là một miền nguyên ⇔ A[[X]] là một miền nguyên.Bài tập 10 Liệt kê các ideal của

1 Z/(6);

2 Z/(2010) Các ideal nào là nguyên tố, các ideal nào là cực đại ?

Bài tập 11 Miêu tả các ideal nguyên tố, ideal cực đại của

1 C[X];

2 R[X]

Bài tập 12 Chứng minh rằng trong một vành hữu hạn mọi ideal nguyên tố là cực đại

Nhận xét 1.3.8 Chú ý rằng khác với các nhóm Abel hữu hạn, vấn đề phân loại các vành hữu hạn là mộtbài toán khó

Bài tập 13 Cho A là một vành sao cho với mọi a ∈ A, ∃n = n(a) nguyên dương > 1 sao cho an = a.Chứng minh rằng Spec A = Specm A

Bài tập 14 Đặt A = k[X1, , Xn] với k là một trường, n ≥ 1 Chứng minh rằng với mọi bộ (a1, , an) ∈

kn ideal ma1, ,a n= (x1− a1, , xn− an) ⊂ A là một ideal cực đại

Bài tập 15 Cho A = C([0, 1], R) là vành các hàm liên tục tử [0, 1] vào R Với x ∈ [0, 1] ta đặt mx= {f ∈A; f (x) = 0}

1 Chứng minh rằng mx là một ideal cực đại

2 Chứng minh rằng mọi ideal cực đại của A đều có dạng mx với x ∈ [0, 1] nào đó

2.1 Tổng, giao, tích, thương và linh hóa tử

Định nghĩa 2.1.1 Cho A là một vành và a, b, ai, i ∈ I là các ideal

1 Tập a + b = {a + b; a ∈ a, b ∈ b} là một ideal của A gọi là tổng của a và b Tổng quát hơn, tậpP

i∈Iai= {P

i∈Ixi; ∀i, xi∈ ai với hầu hết các i, xi= 0} là một ideal của A gọi là tổng của các ai

2 ∩i∈Iai là một ideal của A;

3 Tích của hai ideal a và b là ideal của A sinh bởi các phần tử dạng ab với a ∈ a, b ∈ b Nói cách khác

i

aibi; ∀i, ai∈ a, bi∈ b}

Ta định nghĩa một cách tương tự, khi I hữu hạn, tích một số hữu hạn các ideal Q

i∈Iai Nói riêng tađịnh nghĩa các lũy thừa an bằng cách đặt a0= (1), an= a · · · a (n phiên bản của a)

Ví dụ 2.1.2 Trên vành Z, ta có

1 (a) + (b) = (d) với d = UCLN(a, b);

2 (a) ∩ (b) = (m) với m = BCNN(a, b);

3 (a)(b) = (ab)

Các đẳng thức trên có thể được mở rộng một cách hoàn toàn tương tự cho một họ hữu hạn các ideal củaZ

5

Nhận xét 2.1.3 Từ định nghĩa, ta dễ dàng kiểm tra rằng

i∈Iai là ideal nhỏ nhất của A chứa đồng thời tất cả các ai;

2 ∩i∈Iai là ideal lớn nhất nằm trong mỗi ai

Kết quả sau tóm lược một số tính chất đơn giản của các phép toán trên

Mệnh đề 2.1.4 Cho A là một vành và a, b, c là các ideal

1 Các phép toán tổng, giao, tích trên các ideal là giao hoán

2 Phép lấy tích phân phối với phép lấy tổng c(a + b) = ca + cb

Chứng minh Bài tập

Nhận xét 2.1.5 1 Nói chung hợp của các ideal không là một ideal

2 Trong vành Z, phép giao và lấy tổng là phân phối với nhau Tuy nhiên, với A tổng quát, điều này nóichung không còn đúng nữa Kết quả tốt nhất theo hướng này mà ta có thể có là

(a + b) ∩ c = a ∩ c + b ∩ c nếu c⊂ a hoặc c ⊂ b

3 Trong Z ta có đẳng thức (a + b)(a ∩ b) = ab Điều này được suy ra từ đẳng thức quen thuộc

BCNN(m, n) UCLN(m, n) = mnvới mọi m, n nguyên dương Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, đẳng thức này không đúng mà tachỉ có bao hàm

(a + b)(a ∩ b) ⊂ abBởi vì (a + b)(a ∩ b) = a(a ∩ b) + b(a ∩ b) ⊂ ab + ab = ab

Mệnh đề 2.1.6 Cho A là một vành, a1, , an là một tập hữu hạn các ideal của A và p là một ideal nguyêntố

1 a1· · · an ⊂ p ⇔ ai⊂ p với i nào đó;

2 ∩n

i=1ai⊂ p ⇔ ai⊂ p với i nào đó

Chứng minh 1 Nếu ai ⊂ p thì a1· · · an ⊂ ai⊂ p Ta chứng minh bao hàm ngược lại bằng phản chứng.Giả sử ai 6=⊂ p với mọi i Với mỗi i, gọi ai là một phần tử của ai\p Ta có a1· · · an ∈ a nhưnga1· · · an ∈ p vì p nguyên tố, vô lý./

2 Dễ thấy nếu a và b nguyên tố cùng nhau và c ⊃ b thì a và c cũng nguyên tố cùng nhau

Mệnh đề 2.1.9 Cho a, b1, , bn là các ideal của một vành A Khi đó a nguyên tố với b1· · · bn khi và chỉkhi a nguyên tố cùng nhau với mỗi bi

6

Chứng minh Giả sử a nguyên tố cùng nhau với mỗi bi nhưng a và b1· · · bn không nguyên tố cùng nhau.Khi đó tồn tại một ideal nguyên tố p chứa đồng thời a và b1· · · bn Nhưng theo Mệnh đề 2.1.6 thì p ⊃ bi với

i nào đó, điều này mâu thuẫn với giả thiết a và bi nguyên tố cùng nhau

Chiều ngược lại là hiển nhiên vì b1· · · bn nằm trong mỗi bi

Nhận xét 2.1.10 Ta có thể tránh sử dụng Mệnh đề 2.1.6 bằng cách tiến hành như sau Giả sử a nguyên tốcùng nhau với mỗi bi Khi đó, tồn tại các phần tử x1, , xn∈ a, y1 ∈ b1, , yn ∈ an sao cho xi+ yi = 1.Đặt y = y1· · · yn ∈ b1· · · bn Ta có y = (1 − x1)(1 − x2) · · · (1 − xn) Do mỗi xi ∈ a, rõ ràng y = 1 + x với

x ∈ a nào đó, như vậy −x + y = 1 và do đó a nguyên tố cùng nhau với b1· · · bn Cũng như trong chứng minhtrên, chiều ngược lại là hiển nhiên

Mệnh đề 2.1.11 Cho A là một vành và a, b, a1, , an là các ideal của A

1 Nếu a, b là nguyên tố cùng nhau thì

ab= a ∩ b

2 Tổng quát hơn, nếu a1, a2, , an là các ideal đôi một nguyên tố cùng nhau thì

nYi=1

ai= ∩ni=1ai

Chứng minh 1 Ta luôn có ab ⊂ a ∩ b Bao hàm ngược lại đến từ tính toán đơn giản

a∩ b = (1)(a ∩ b) = (a + b)(a ∩ b) = a(a ∩ b) + b(a ∩ b) ⊂ ab

2 Ta tiến hành qui nạp theo n Trường hợp n = 2 được giải quyết ở trên Giả sử n > 2 và đẳng thứcđúng với n − 1 Đặt b =Qn−1i=1 ai= ∩n−1i=1ai Do ai và an nguyên tố cùng nhau, theo Mệnh đề 2.1.9, b

và an nguyên tố cùng nhau và ta áp dụng phần 1

Định lí 2.1.12 (Thặng dư Trung Hoa) Cho A là một vành và a, b, a1, , an là các ideal của A

1 Nếu a, b là nguyên tố cùng nhau thì

A/ab ' (A/a) × (A/b)

2 Nếu a1, a2, , an là các ideal đôi một nguyên tố cùng nhau thì

A/(a1a2· · · an) ' (A/a1) × (A/a2) × · · · × (A/an)Chứng minh 1 Đồng cấu tự nhiên A → (A/a) × (A/b), a 7→ (a mod a, a mod b) có hạch a ∩ b = ab, vìthế cảm sinh một đơn cấu

φ : A/ab → (A/a) × (A/b)

Ta sẽ chứng minh φ là toàn cấu Do a, b nguyên tố cùng nhau nên tồn tại x2 ∈ a, x2 ∈ b sao chox2+ x1 = 1 (chú ý cách đánh thứ tự) Với mọi a, b ∈ A ta có ax1+ bx2 ≡ a mod a, ax1+ bx2 ≡ bmod b Các đồng dư này chứng tỏ

φ(ax1+ bx2 mod ab) = (a mod a, b mod b)

2 Được suy ra từ qui nạp

7

Ví dụ 2.1.13 Với A = Z, ta có phát biểu cụ thể hơn như sau Cho n1, , nk là các số nguyên dương đôimột nguyên tố cùng nhau Ta có đẳng cấu vành

Z/(n1· · · nk) ' Z/(n1) × · · · × Z/(nk)Định nghĩa 2.1.14 (Thương và linh hóa tử) Cho a, b là các ideal của một vành A Ta đặt

Ta có một số tính chất của phép lấy thương các ideal

Định lí 2.1.17 Cho a, b, c, {ai}i∈I là các ideal của một vành A và 0 6= x ∈ A Khi đó

Nhận xét 2.1.18 Về mặt hình học, khái niệm ideal thương khá thuận tiện, chẳng hạn

1 Nếu X, Y là hai tập con của một đa tạp đại số thì (I(X) : I(Y )) = I(X\Y ) trong đó I(X), I(Y ),

là các ideal định nghĩa của X, Y, ;

2 Nếu a, b ⊂ k[X1, , Xn] là các ideal của một vành đa thức trên một trường thì V (a : b) = V (a)\V (b)trong đó V (a), V (b) là các tập các không điểm của a, b và X kí hiệu bao đóng Zariski của X

8