Nhập môn đại số giao hoán G V Nguyễn-Chu
2.2 Căn lũy linh và căn Jacobson
Định nghĩa 2.2.1 (Phần tử lũy linh). Một phần tử acủa một vành Ađược gọi là lũy linh nếu an= 0 với một số nguyênn >0nào đó. Số nguyên dương nnhỏ nhất sao choan= 0 được gọi là chỉ số lũy linh củaa.
Nhận xét 2.2.2. 1. Chú ý rằng0 là một phần tử lũy linh, đây cũng là phần tử lũy linh duy nhất với chỉ số lũy linh bằng 1.
2. Một phần tử lũy linh là một ước của0. Nói riêng nếuA là một miền nguyên thì0 là phần tử lũy linh duy nhất củaA.
Mệnh đề-Định nghĩa 2.2.3(Căn lũy linh). Tập các phần tử lũy lính của một vànhAtạo thành một ideal, gọi là căn lũy linh của Avà kí hiệu lànilrad(A).
Chứng minh. Giả sửa, b∈nilrad(A), như vậyan = 0, bm= 0vớim, nnguyên dương nào đó, vàx∈A. Ta có(xa)n=xnan=xn·0 = 0, như vậyxa∈nilrad(A). Việca+b∈nilrad(A)được suy ra từ công thức nhị thức. Thật vậy (a+b)m+n−1 = an+m−1+ n+m−1 1 an+m−2b+· · ·+ n+m−1 n anbm−1+ + n+m−1 n−1 an−1bm+· · ·+ n+m−1 1 abn+m−2+bm = 0 + 0 +· · ·+ 0 = 0
bởi vìnhạng tử đầu tiên triệt tiêu do an= 0,mhạng tử sau dobm= 0.
Ví dụ 2.2.4. 1. NếuAlà một miền nguyên thìnilrad(A) = 0;
2. NếuA =Z/(n) với n nguyên dương nào đó thì nilrad(A) = (d)/(n) =dZ/nZ trong đó d là ước lớn nhất không chứa chính phương củan. Nói cách khác, nếu n=Qk
i=1psi
i thìd=Qk i=1pi.
Định nghĩa 2.2.5(Vành rút gọn). Một vànhA được gọi là rút gọn nếu không có phần tử lũy lính6= 0, nói cách khác, nếunilrad(A) = 0.
Ví dụ 2.2.6. 1. Mọi miền nguyên là một vành rút gọn;
2. VớiA=Z/(n),nnguyên dương>1nào đó, thìArút gọn khi và chỉ khinkhông có ước chính phương (nghĩa là nlà tích của các ước nguyên tố phân biệt của nó).
Ta có một miêu tả khác của căn lũy linh.
Mệnh đề 2.2.7. Ta cónilrad(A)là giao của các ideal nguyên tố của A, nghĩa là
nilrad(A) =∩p∈SpecAp
Chứng minh. Thật vậy một ideal nguyên tố luôn chứa tất cả các phần tử lũy linh nên giao của tất cả các
ideal nguyên tố chứanilrad(A). Ngược lại, giả sửf không lũy linh. GọiΣlà tập các idealasao choa không
chứa bất kì một lũy thừa nguyên dương nào củaf. Do(0)∈ΣnênΣ6=∅. Áp dụng bổ đề Zorn cho tậpΣ
(với thứ tự bao hàm quen thuộc) ta được một phần tử cực đạip. Khi đóplà một ideal nguyên tố: thật vậy,
giả sửx, y /∈p. Các ideal(x) +p,(y) +p không phải là các phần tử củaΣ(vì chứap) nên ta tìm đượcm, n
sao chofm∈p+ (x), fn=p+ (y). Ta suy ra fm+n ∈p+ (xy). Như vậyp+ (xy)∈/Σ, do đóxy /∈p.
Mệnh đề 2.2.8. ChoA là một vành. Vành thươngA/nilrad(A)là một vành rút gọn. Chứng minh. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.7 ở trên, ta có
nilrad(A/nilrad(A)) =∩p¯∈SpecA/nilrad(A)¯p
Nhưng ta biết rằngp7→¯p=p mod nilrad(A)tạo thành một song ánh giữa{p∈SpecA;p⊃nilrad(A)}và
SpecA/nilrad(A). Nhưng cũng theo Mệnh đề 2.2.7,p⊃nilrad(A)với mọip∈SpecA. Như vậy vế phải của
đẳng thức trên chính là ảnh trongA/nilrad(A)của ∩p∈SpecAp= nilrad(A)và như vậy bằng0.
Kết quả trên giải thích khái niệm sau.
Định nghĩa 2.2.9. VànhAred:=A/nilrad(A)được gọi là vành rút gọn của A.
Nhận xét 2.2.10. Ta có thể nhìn vành rút gọn Ared như vành thương rút gọn lớn nhất củaA.
Trước hết ta đưa ra khái niệm sau.
Định nghĩa 2.2.11. Một ideal nguyên tố được gọi là cực tiểu nếu không chứa một ideal nguyên tố nào ngoài chính nó. Nói cách khác p∈SpecA là cực tiểu nếuq∈SpecA,q⊂p =⇒ q=p.
Dĩ nhiên, do0 ⊂p với mọip ∈SpecA nên nếuAlà một miền nguyên thì0 là ideal nguyên tố cực tiểu
duy nhất.
Mệnh đề 2.2.12. Tồn tại ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu. Chứng minh. Sử dụng bổ đề Zorn.
Theo Nhận xét 2.2.8, ta biết rằng căn lũy linh của một vành A luôn chứa 0 và nằm trong tập các ước
của0. Kết quả sau đây đưa ra một mối liên hệ lý thú khác giữa chúng.
Mệnh đề 2.2.13. Giả sử A không là một miền nguyên. Khi đó A là một vành không rút gọn hoặc A có nhiều hơn một ideal nguyên tố cực tiểu.
Chứng minh. Nhắc lại rằngAkhông rút gọn có nghĩa làAchứa một phần tử lũy lính6= 0, haynilrad(A)6= 0.
Giả sửnilrad(A) = 0, ta sẽ chứng minhAcó nhiều hơn một ideal nguyên tố cực tiểu. Theo Mệnh đề 2.2.7
ta có
nilrad(A) =∩p∈SpecAp= 0
Trước hết, dễ thấy rằng mọi ideal nguyên tố luôn chứa ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu (nói riêng mọi
vành có chứa ít nhất một ideal nguyên tố cực tiểu). Mặt khác nếup ⊂qvới p,q là các ideal nguyên tố thì
trong giao∩p⊂A;pnguyên tốp ta có thể bỏqđi. Nói cách khác,
nilrad(A) =∩p,pnguyên tố cực tiểup
Như vậy nếuAchỉ có một ideal nguyên tố cực tiểu, chẳng hạnp, thì ta cónilrad(A) =p. Nhưngnilrad(A) = 0
theo giả thiết nênp= 0và do đóAlà một miền nguyên, vô lý.
Nhận xét 2.2.14. Kết quả trên sẽ trở nên có ý nghĩa hơn khi ta biết rằng nếu Alà một vành Noether thì
A chỉ chứa một số hữu hạn các ideal nguyên tố cực tiểu.
Mệnh đề 2.2.7 gợi ý một khái niệm tương tự như căn lũy linh khi thay các ideal nguyên tố bằng các ideal cực đại.
Định nghĩa 2.2.15(Căn Jacobson). Căn Jacobson của A, kí hiệu làJ(A)được định nghĩa như là giao của tất cả các ideal cực đại củaA, nghĩa là
J(A) =∩m∈SpecmAm
Ví dụ 2.2.16. 1. VớiA=Z/(n),n nguyên dương thìJ(A) = nilrad(A).
2. Với A = Z(p) thì J(A) = Ap (và nilrad(A) = 0). Đây là một trường hợp đặc biệt của các vành địa phương mà ta sẽ đề cập tới.
Nhận xét 2.2.17. 1. Định nghĩa như một giao cùa ideal, rõ ràngJ(A) là một ideal củaA. 2. Vì một ideal cực đại luôn là nguyên tố nên Định nghĩa trên cùng với Mệnh đề 2.2.7 chứng tỏ
nilrad(A)⊂J(A) Mệnh đề 2.2.18. Cho Alà một vành. Ta cóJ(A/JA) = 0.
Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như chứng minh của Mệnh đề 2.2.8
Các phần tử củaJ(A)có thể được đặc trưng bởi kết quả sau. Mệnh đề 2.2.19. J(A) ={x;xy−1 khả nghịch với mọiy∈A}.
Chứng minh. Giả sử x∈J(A) vày ∈ Asao cho 1−xy không khả nghịch. Như vậy (1−xy) là một ideal
riêng do đó nằm trong một ideal cực đạim⊂A. Dox∈m, xy∈mta suy ra1∈m, vô lí.
Giả sử x /∈ J(A), nghĩa là x /∈ m với một ideal cực đại m nào đó. (x) +m chứa m nên = A. Do vậy
xy+m= 1vớiy∈A, m∈mnào đó. Do đó1−xy∈m nên không phải là một phần tử khả nghịch.
Nhận xét 2.2.20. Cho dù có một số điểm tương đồng, hai khái niệm căn lũy linh và căn Jacobson khác nhau rất xa về bản chất. Thật vậy, căn lũy linh đặc trưng tính rút gọn của một vành, trong khi đó cho dù ta không đề cập đến ở đây, căn Jacobson miêu tả tính nửa đơn của một vành đã cho.
2.3 Căn của một ideal và ideal căn
Mệnh đề-Định nghĩa 2.3.1 (Căn của một ideal và ideal căn). Cho Alà một vành vàa⊂Alà một ideal. Tập hợp
√
a={x∈A;xn∈a với một n≥1 nào đó}
là một ideal củaA, gọi là căn của a.
Chứng minh. Tương tự như với Định nghĩa 2.2.3.
Ví dụ 2.3.2. Với A=Z vàa= (n), với nnguyên dương nào đó, thì √
a= (d), trong đó dlà ước lớn nhất không chứa chính phương củan.
Nhận xét 2.3.3. Các tính chất sau dễ dàng được suy ra từ định nghĩa 1. nilrad(A) =√
0; 2. Với mọi ideala ta có√
a⊃a; 3. Nếua⊂bthì √
a⊂√b; 4. √
a= (1)⇔a= (1).
Định nghĩa 2.3.4(Ideal căn). Ta nóia là một ideal căn nếu√
a=a.
Ta có một miêu tả khác về căn của một ideal như sau.
Mệnh đề 2.3.5. Căn của một ideala là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứaa. Nói cách khác,
√
a=∩p∈SpecA;p⊃ap
Chứng minh. Thật vậy, chỉ cần áp dụng mệnh đề 2.2.7 choA/a.
Mệnh đề 2.3.6. ChoA là một vành vàa⊂Alà một ideal. Ta có nilrad(A/a) =√
a/a. Chứng minh. Gọiπ:A→A/alà phép chiếu chính tắc. Ta có
nilrad(A/a) =∩¯p,p∈SpecA/a¯p=∩p∈SpecA,p⊃aπ(p) =π(∩p∈SpecA,p⊃ap) =π(√
a) =√
a/a
Nhận xét 2.3.7. 1. Nói một cách khác, vành rút gọn của A/alà A/√
a. 2. Như vậy,a là một ideal căn khi và chỉ khi A/a là một vành rút gọn.
Một số tính chất khác của căn ideal được tóm tắt trong kết quả sau đây. Mệnh đề 2.3.8. ChoA là một vành vàa,blà các ideal của A. Ta có
1. Giả sửa6= (1). Ta có √
a=a khi và chỉ khia là giao của một họ các ideal nguyên tố củaA.
2. p√ a=√ a; 3. √ ab=√ a∩b=√ a∩√b; 4. √ a+b= q√ a+√ b;
5. Với mọi ideal nguyên tốp, với mọi số nguyên dương n,√
pn=p. 6. √
a,√
bnguyên tố cùng nhau khi và chỉ khia,bnguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. 1. Giả sử a=∩i∈Ipi trong đó pi ∈SpecA với mọii∈I. Ta sẽ chứng minh√
a =a. Bao
hàm a ⊂√a là hiển nhiên. Giả sử x∈ √a, như vậy xn ∈ a với nnguyên dương nào đó. Ta suy ra
xn∈pi với mọii∈I. Dopi nguyên tốxn∈pi =⇒ x∈pi. Như vậyx∈ ∩i∈Ipi=a.
Ngược lại nếu a=√
athìa=√
a=∩p∈SpecA,p⊃ap.
2. Bao hàm √
a ⊂p√
a là hiển nhiên. Ta chứng minh√
a⊃p√
a. Giả sửx∈p√
a như vậyxn ∈√a
với nnguyên dương nào đó, nhưng điều này lại chứng tỏ (xn)k ∈avới knguyên dương nào đó. Như
vậyxnk∈avà do đóx∈√a.
3. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.1.6, với mọi p∈SpecAta có p⊃a∩b⇔p⊃a hoặcp⊃b⇔p⊃ab.
4. Ta cóa⊂√a,b⊂√bnên√
a+b⊂
q√
a+√
b. Ngược lại. Nếux∈
q√
a+√
bthì xn∈√a+√
bvới
n nguyên dương nào đó. Ta suy ra tồn tại các phần tửα1, α2, . . . , αs ∈√a, β1, . . . , βs∈ √bsao cho
xn =α1β1+· · ·αsβs. Gọim1, . . . , ms, k1, . . . , ks là các số nguyên dương sao choαmi
i ∈a, βki
i ∈bvới mọii= 1, . . . , k. ĐặtN = max{m1, . . . , ms, k1, . . . , ks}thế thìαN
i ∈a, βN
i ∈bvới mọii. Khi đó ta dễ
dàng kiểm tra được rằng sau khi khai triển, mỗi hạng tử của
xnN s= (α1β1+· · ·αsβs)N s
đều một phần tử củaa hoặc củab. Như vậyxnN s∈a+bvà do đóx∈√a+b.
5. Theo phần trên √ pn = √ p. Một mặt, ta biết rằng p ⊂ √p, mặt khác, √ p = ∩q∈SpecA,q⊃pq = pT ∩q∈SpecA,q⊃p,q6=pq⊂p.
6. Giả sửa,bnguyên tố cùng nhau, nghĩa làa+b= (1). Khi đó √
a+√
b= (1) bởi vìa⊂√a,b⊂√b,
như vậy√
a,√
bnguyên tố cùng nhau. Ngược lại, giả sử√
a,√
bnguyên tố cùng nhau. Ta có, theo một
đẳng thức ở trên√ a+b= q√ a+√ b=p(1) = (1), và do đóa+b= (1). 2.4 Mở rộng và co rút các ideal
Choφ:A→B là một đồng cấu vành, (nói cách khácB là mộtA-đại số) vàa ⊂A,b là các ideal, khi đó
φ−1(b)là một ideal của Anhưngφ(a)nói chung không phải là một ideal củaB (trừ khiφlà toàn cấu). Ta
biết rằng nếublà nguyên tố thìφ−1(b)cũng là nguyên tố. Tuy nhiên, ảnh ngược của một ideal cực đại nói
chung không phải là một ideal cực đại.
Định nghĩa 2.4.1. Choφ:A→B là một đồng cấu vành và a⊂A,b⊂B là các ideal. 1. Ta gọi mở rộngae của một ideala⊂A idealaB củaB sinh bởi φ(a);
2. co rútbc củab, theo định nghĩa, là ảnh ngược củabbởi φ, nghĩa làbc=φ−1(b)⊂A.
Ta có một số tính chất của mở rộng và co rút các ideal.
Định lí 2.4.2. Cho φ:A→B là một đồng cấu vành và a,a1,a2⊂A,b,b1,b2⊂B là các ideal. 1. a⊂aec,b⊃bce;
2. ae=aece,bc =bcec;
3. GọiΣ là tập các co rút của các ideal củaB vàΩlà tập các mở rộng của các ideal củaA. Ta có
Σ ={a⊂A;aec=a}
Ω ={b⊂B;bce=b}
Hơn nữaa7→ae là một song ánh giữa ΣvàΩvới nghịch đảob7→bc; 4. (a1+a2)e=ae1+ae2,(b1+b2)c=bc1+bc2; 5. (a1∩a2)e⊂ae 1∩ae 2,(b1∩b2)c=bc 1bc 2; 6. (a1a2)e=ae 1ae 2,(b1b2)c⊃bc 1bc 2; 7. (a1:a2)e⊂(ae 1:a2)e,(b1:b2)c ⊂(bc 1:bc 2); 8. √ ae⊂√ae;√ bc⊂√bc. Chứng minh. Bài tập.
Bài tập 16. Vớia= (X1, . . . , Xn)⊂K[X1, . . . , Xn], miêu tảan.
Bài tập 17. ChoA=Z[X]. Tính a+b,a∩b,ab,√
a,√
bvới 1. a= (X−1),b= (X);
2. a= (X2+ 1),b= (X+ 2).
Bài tập 18. Cho m là một ídeal cực đại của một vành A vànlà một số nguyên dương. Chứng minh rằng
m là ideal nguyên tố duy nhất củaAchứa mn.
Bài tập 19. Chứng minh rằng hai ideal cực đại phân biệt của một vành luôn nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 20. Các vànhZ/(4)vàZ/(2)×Z(2)có đẳng cấu với nhau không? Vì sao?
Bài tập 21. Chứng minh rằng A 'B và hãy xây dựng cụ thể một đẳng cấu vànhf : A →B trong các truờng hợp sau
1. A=Z/(2)×Z/(3)vàB=Z/(6);
2. A=R[X]/(X−1)×R[X]/(X+ 1)vàB=R[X]/(X2−1);
3. A=R[X]/(X2+X)×R[X]/(X2+ 5X+ 6) vàB=R[X]/(X(X+ 1)(X+ 2)(X+ 3));
Bài tập 22. Giải các hệ hệ phương trình đồng dư trong Z
(a) x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 1 (mod 3),(b) x ≡ 4 (mod 6) x ≡ 3 (mod 4),(c) x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 3 (mod 4),(d) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 4 (mod 5) Bài tập 23. Tìm tất cả các đa thứcf(X)∈R[X]sao cho X−1|f(X) + 1vàX2+ 1|f(X) +X.
Bài tập 24. Có bao nhiêu số nguyên dươngn,1≤n <20102 thỏa mãnn2= 1 mod 20102 ?
Bài tập 25. ChoK là một trường. Tìm căn lũy linh của A=K[X]/(X2)?
Bài tập 26. ChoA là một vành vàf(X) =a0+a1X+· · ·+anXn∈A[X]. Chứng minh rằng 1. f(X)∈A[X]∗⇔a0∈A∗ vàa1, . . . , an là các phần tử lũy linh;
2. f(X)∈nilrad(A[X])⇔ai∈nilrad(A)với mọi i;
3. f(X)là một ước của0 trongA[X] khi và chỉ khi tồn tạia∈Asao cho af(X) = 0.
Bài tập 27. ChoA là một vành. Chứng minh rằng
nilrad(A[X]) = J(A[X]) Bài tập 28. ChoA là một vành vàf(X) =P∞
n=0anXn∈A[[X]]. Chứng minh rằng 1. f(X)∈A[[X]]∗⇔a0∈A∗;
2. f(X)∈nilrad(A[[X]]) =⇒ an∈nilrad(A)với mọi n; 3. f(X)∈J(A[[X]])⇔a0∈J(A);
4. Từ đó suy ra nếuAkhông rút gọn thì nilrad(A[[X]])(J(A[[X]]).
Bài tập 29. ChoAlà một vành vàj :A→A[[X]] là phép nhúng chuẩn tắc. Chom∈SpecmA[[X]]. Chứng minh rằng
1. mc∈SpecmA;
2. m=mce+ (X)(nghĩa làm sinh bởi mc vàX).
Bài tập 30. Chứng minh một vành là rút gọn khi và chỉ khi đẳng cấu với một vành con của một tích một họ các trường nào đó.
3 Miền nhân tử hóa
3.1 Phần tử nguyên tố, phần tử bất khả qui
Định nghĩa 3.1.1 (Phần tử bất khả qui). ChoA là một miền nguyên. Một phần tửa∈A được gọi là bất khả qui nếua6= 0, không phải là một phần tử đơn vị và không có ước ngoài các phần tử liên kết vớia, nghĩa là nếua=bcthì hoặcb∈A∗ hoặc c∈A∗.
Định nghĩa 3.1.2(Miền nhân tử hóa). Một miền nguyênAđược gọi là nhân tử hóa nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
NTH1. Mọi phần tử06=a∈A có thể được phân tích dưới dạng
a=u·a1· · ·an
với u∈A∗ và các ai là các phần tử bất khả qui củaR.
NTH2. Các phân tích trên là duy nhất theo nghĩa sau. Nếu
a=u0a01· · ·a0m
là một phân tích tương tự (nghĩa là u0 ∈A∗, bi bẩt khả qui) thìn=m và tồn tại một hoán vị σcủa
{1,2, . . . , n}sao cho ai liên kết vớibσ(i) với mọii.
Ví dụ 3.1.3. 1. Ví dụ điển hình của một miền nhân tử hóa là vànhZ mà ở đó các điều kiện của định nghĩa trên chính là phát biểu của Định lý cơ bản của số học.