đại số đại cương – trần huyên

Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửanhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x0 tức xx0 = e Nhóm là nửa nhóm X mà các p

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

TS Trần Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004

Mở Đầu

Độc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán Tin ĐHSP Tp HCM Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứngviên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuật

-cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao họccủa ĐHSP Tp HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường Chuyên đề bámsát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vữngtâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho học viên một khả năng, phương pháp tự học,

tự đào tạo mình Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạngcác bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần.Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tớingày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng

05 − 2005 Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúngtôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn Chúng tôi cũng sẳn sàng traođổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độcgiả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình

Các bài tập kiểm tra nhóm

Nhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắngbóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở Vì vậy bạn phải nắm vững kỹnăng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm Dĩnhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho vàphép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không?

Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau nhưsau :

Nhóm là một tập hợp X 6= ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa cácđiều kiện :

1 N1 : (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz)

2 N2 : (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì  ex = x

xe = x

3 N3 : (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X sao cho  x−1x = e

xx−1 = e

Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x0 (tức x0x = e)Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N2 chỉ cần kiểmtra ex = x và ở điều kiện N3 chỉ phải kiểm tra x−1x = e

Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửanhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x0 (tức xx0 = e)

Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm)trong X với mọi a, b ∈ X

Để kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợp

cụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp

Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2 ∈ Z} xác định trên X phép toán sau :

(k1, k2).(l1, l2) = (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm Giải :

1 Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sau:)

• X = Z × Z 6= ∅ vì Z 6= ∅

• Dễ dàng thấy là nếu (k1, k2), (l1, l2) là cặp số nguyên thì (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2) cũng

là một cặp số nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi

• ∀(k1, k2), (l1, l2), (t1, t2) ∈ X ta có :[(k1, k2)(l1, l2)](t1, t2)

= (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)(t1, t2) = (k1+ l1+ t1, k2+ (−1)k1l2+ (−1)k1+l1t2) (1)Mặt khác : (k1, k2)[(l1, l2)(t1, t2)]

= (k1, k2)(l1+ t1, l2+ (−1)l1t2) = (k1+ l1+ t1, k2+ (−1)k1l2+ (−1)k1+l1t2 (2)

So sánh ( 1) vào ( 2) ta có điều kiện kết hợp

• Tồn tại (0, 0) ∈ X mà với mọi (k1, k2) ∈ X thì

(0, 0)(k1, k2) = (0 + k1, 0 + (−1)0k2) = (k1, k2)và

(k1, k2)(0, 0) = (k1+ 0, k2+ (−1)k1.0) = (k1, k2)Vậy (0, 0) là đơn vị trong X

• ∀(k1, k2) ∈ X, ∃(−k1, (−1)k1+1k2) ∈ X mà

(−k1, (−1)k1+1k2)(k1, k2) = (−k1+ k1, (−1)k1+1k2 + (−1)−k1k2) = (0, 0)(k1, k2)(−k1, (−1)k1+1k2) = (k1− k1, k2+ (−1)2k1+1k2) = (0, 0)tức

(k1, k2)−1 = (−k1, (−1)k1+1k2)Vậy X là một nhóm

• Nhận xét : Như vậy để kiểm tra một nhóm theo định nghĩa 1, ta đã làm theo đúngcác yêu cầu của định nghĩa là kiểm tra tập X 6= ∅, kiểm tra phép toán cho trên Xthật sự là phép toán hai ngôi (hai phần tử bất kỳ của tập hợp X phải có tích là mộtphần tử thuộc X!) và ba tiên đề N1, N2, N3 Dĩ nhiên, trong các bước đó, nếu cóbước nào mà các đòi hỏi đuợc thỏa mãn một cách hiển nhiên thì ta có thể bỏ qua.Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu xem bước 1, bước 2 là hiển nhiên thỏa mãn thì vẫn cóthể chấp nhận được Tuy nhiên trong một số trường hợp cần kiểm tra một cách cẩntrọng, tránh sự sai sót

2 Cách 2 : Nếu sử dụng định nghĩa 2 thì trong lời giải trên chỉ cần bỏ đi hai đẳng thứckiểm tra đơn vị phải, kiểm tra nghịch đảo phải (hoặc bỏ đi hai đẳng thức kiểm tra đơn

vị trái, kiểm tra nghịch đảo trái)

3 Cách 3 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3 ) Trước hết hết ta kiểm tra X 6= ∅, phép toán trên

X thật sự là phép toán hai ngôi, kiểm tra điều kiện kết hợp của phép toán (Điều này lànhư cách 1) Tiếp theo ta kiểm tra các phương trình ax = b và xa = b là có nghiệm trong

Vậy tập X với phép toán đã cho lập thành nhóm

• Nhận xét : Để tìm được phần tử đơn vị (0, 0) hay nghịch đảo (k1, k2)−1= (−k1, (−1)k1+1k2)

ở cách 1, ta sử dụng việc giải các phương trình đưa ra ở cách 3 với b = a khi tìmđơn vị e hay với b = e = (0, 0) khi tìm a−1

Cho X = a b

0 c

: ac 6= 0

Chứng minh rằng X là nhóm đối với phép nhân ma trận

Giải :

• Theo đại số tuyến tính, phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp.

ma trận, đơn vị hay nghịch đảo của một ma trận không suy biến ở ví dụ trên Tuynhiên trong trường hợp đơn vị hay nghịch đảo, cần phải chỉ ra, phần tử đang nói tớiphải thuộc tập X đã cho

• Tương tự chứng minh phương trình xa = b có nghiệm Vậy X là nhóm.

• Nhận xét : Thật ra cách 2 này khá dài dòng, chúng tôi đưa ra nhằm để các bạnlàm quen nhiều hơn với định nghĩa 3, và muốn khẳng định điều rằng, mỗi bài toánđều có thể có nhiều lời giải khác nhau nếu ta ta biết huy động và vận dụng kiếnthức đã biết một cách hợp lý, năng động

1 -1 1Kết quả của một tích bất kỳ hai phần tử của M lại thuộc M nên phép nhân các sốtrên M là phép toán 2 ngôi

• Phép nhân các số (nói riêng trên M ) có tính kết hợp

• ∀x, y ∈ M thì |x| = |y| = 1 nên |xy| = |x|.|y| = 1, do đó xy ∈ M , tức phép nhân các

số trên M là phép toán hai ngôi

• Nhận xét : Mỗi tập hợp có thể được biểu diễn dưới các dạng khác nhau Và vớimỗi cách biểu diễn, chúng ta có thể có những cách xử lý khác nhau để có được cáclời giải không giống nhau Ví dụ này muốn các bạn khi nhìn nhận một vấn đề phảibiết xem xét ở những góc độ khác nhau để thấy được các cách tiếp cận khác nhaugiải quyết vấn đề đó.

xi = xj) nên |aX| = |X| suy ra aX = X Một cách tương tự có thể chứng minh Xa = X.Vậy X là nhóm

2 Cách 2 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 1 (hay định nghĩa 2 với chú ý rằng do

X 6= ∅ nên ∃a ∈ X và do X hữu hạn nên có m > n > 0 và am = an Đơn vị của X khi

đó là e = am−n (hãy tự chứng minh) Với mọi x ∈ X, ắt tồn tại k > l > 0 mà xk = xl và

x−1 = xk−l−1 (hãy tự chứng minh) Lưu ý trong chứng minh luôn luôn có ý thức sử dụngluật giản ước

• Nhận xét : Đây là một ví dụ tương đối khó Việc sử dụng dạng tương đương cho

sự tồn tại nghiệm các phương trình ax = b, xa = b là hoàn toàn có quyền chấp nhận,không cần phải chứng minh Thật ra đó là dạng phát biểu khác của các điều kiệntrên theo ngôn ngữ tập hợp

Cách thứ 2 chúng tôi chỉ đưa ra các cách tìm đơn vị và nghịch đảo, việc hoàn thiện chứngminh dành cho độc giả để tự khám phá lấy chính mình, thử khơi dậy bản năng khéo léocủa mình

BÀI TẬP LÀM THÊM

1 Cho X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2 ∈ Z} Trên X xác định phép toán sau :

(k1, k2)(l1, l2) = (k1+ (−1)k2l1, k2+ l2)Chứng minh X với phép toán trên là nhóm

2 Cho X =  a 0

b c

: ac 6= 0

 Chứng minh X với phép nhân ma trận lập thành mộtnhóm Nhóm X có giao hoán không?

3 Cho tập các số phức D = {1, i, −1, −i} Chứng minh rằng D là nhóm với phép nhânthông thường các số

4 Cho tập X 6= ∅ và Φ(X) là tập các song ánh của X lên X Chứng minh Φ(X) là nhómđối với phép nhân ánh xạ

5 Cho Mn∗ là tập hợp các ma trận cấp n không suy biến Chứng minh Mn∗ là nhóm vớiphép nhân ma trận.

6 Ta gọi ma trận vuông A = (aij) cấp n có dạng tam giác nếu aij = 0 khi i > j Chứngminh rằng tập các ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhómvới phép nhân ma trận

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004

Các bài tập kiểm tra nhóm con

Một dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con Muốn kiểm tranhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau

Bài giải: Ta chứng minh Mn1 ⊂n Mn∗ theo tiêu chuẩn 1 Trước hết hiển nhiên Mn1 6= ∅, đồngthời ta có

n thỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên M1

n ⊂n Mn∗

2 Tiêu chuẩn 2

Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả củahai đòi hỏi còn lại) Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải taloại bỏ đòi hỏi E ∈ M1

n

Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m Chứng minh rằng

mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n (Z, +)Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n (Z, +) theo tiêu chuẩn 2 Trước hết, hiển nhiên mZ 6= ∅ và ta có:

• ∀ mz1, mz2 ∈ mZ : mz1+ mz2 = m(z1+ z2) ∈ mZ

• ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ

Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂n (Z, +)

Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toán trong nhóm là nhân và kýhiệu phần tử nghịch đảo là (·)−1 Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả cácdấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tửđối và viết là −(·)

cả Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm rà

ta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũngdài ngang với dùng tiêu chuẩn 2

Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp hai

K = a b

0 1

: a 6= 0



Chứng minh K ⊂n M2∗ (M2∗ là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến)

Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậy

ta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K 6= ∅ (hiển nhiên) Và đồng thời:

Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂n M2∗

Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tậphợp A 6= ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bàitập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bàitập đã cho

Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạngkhác của kiểm tra nhóm Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùngvới phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểmtra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơngiản hơn

Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị Chứng minh rằng X cùngvới phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm

Bài giải: Hiển nhiên X 6= ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhómnhân C∗ các số phức khác 0 Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂n (C∗, )

zn 2

= 1

1 = 1

⇒ z1.z2−1∈ XVậy X ⊂n (C∗), tức là X là nhóm

Nhận xét: Mỗi tập hợp X cho trước có thể có một số cách biểu diễn khác nhau, tương đươngnhau và do vậy có thể cho chúng ta những lời giải khác nhau Chẳng hạn trong Ví dụ 4, ta còn

z1z−12 = cos2(k1− k2)π

n + i sin

2(k1− k2)π

n ∈ X(Dĩ nhiên nếu độc giả có biết dạng Ơle của một số phức thì lời giải trên đây sẽ còn được viếtngắn gọn hơn!)

Ví dụ 5: Cho tập hợp các số phức Z(√−3) = {a + b√−3 : a, b ∈ Z} Chứng minh rằngZ(

√

−3) là một nhóm với phép cộng thông thường các số phức

Bài giải: Hiển nhiên Z(√−3) 6= ∅ và cùng với phép cộng nói trên là một bộ phận của nhómcộng C các số phức Vậy ta chỉ cần kiểm tra Z(√−3) ⊂n (C, +) theo tiêu chuẩn 3: với mọi

a1+ b1√

−3, a2+ b2√

−3 ∈ Z(√−3) thì(a1+ b1√

−3) − (a2+ b2√

−3) = (a1− a2) + (b1 − b2)√

−3 ∈ Z(√−3)Đến đây hiển nhiên một câu hỏi đặt ra là những nhóm như thế nào được gọi là quen biết

Đó chính là những nhóm được ngiên cứu trong những chuyên ngành trước đây một cách khá kỹlưỡngvà gần như trở thành thông dụng Chẳng hạn đó là các nhóm (C, +); (C∗, ) các số phức;các nhóm (Mm×n, +) các ma trận cấp m × n với phép công ma trận; (Mn∗, ) các ma trận vuôngcấp n không suy biến; nhóm nhân các song ánh S(X) từ tập X 6= ∅ vào chính nó; nhóm côngcác đa thức hệ số thực Khi tiếp cận một bài toán kiểm tra nhóm, điều đầu tiên phải xem xét

là tập hợp cho trước cùng phép toán có là bộ phận của một nhóm quen biết nào không, từ đó

mà lựa chọn hợp lý phương thức kiểm tra: theo định nghĩa hay theo tiêu chuẩn nhóm con



và K1 = 1 a

0 1

: a ∈ R



Chứng minh rằng các tập hợp trên đều là nhóm với phép nhân ma trận

2 Chứng minh rằng tập hợp Mn±1 gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 hay

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004

Bài 3 Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong

Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic, X = hai Chứng minh rằng mọi nhóm con A ⊂n X đều lànhóm cyclic

Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = hei

Trường hợp A 6= {e}, do A ⊂n X = {an : n ∈ Z}, ắt tồn tại một lũy thừa ak6= e mà ak ∈ A,

và khi đó a−k ∈ A do A là nhóm con Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào

A (hoặc ak, hoặc a−k)

Đặt m = min{k > 0 : ak ∈ A}, ta chứng minh A = hami Thật vậy, với mọi x ∈ A thì

x = akvới k = q.m+r(0 ≤ r < m), và từ ak = aq.m+r = (am)q.arta suy ra: ar = ak (am)−q ∈ A

do ak, am ∈ A Bởi điều kiện 0 ≤ r < m và m là một số nguyên dương bé nhất để am ∈ A,buộc r = 0 Tức là k = q.m hay x = ak = (am)q Vậy A là nhóm cyclic

Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am ∈ A, tacăn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu am là phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak ∈ Atất phải có ak = (am)q, tức k = m.q từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước củamọi số k mà ak∈ A

Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1 Chứng minh A với phép nhân thôngthường các số phức là một nhón cyclic.

Phân tích ban đầu: Vì A ⊂ (C∗, ·) nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của (C∗, ·)bằng cách tìm một phần tử a ∈ C∗ mà A = hai, và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic

Bài giải Ta biểu diễn A =

cos2kπ

n + i sin

2πn

tử của A dưới dạng cụ thể, để từ đó có thể nhận ra được phần tử sinh của A

Liên quan đến các nhóm cyclic là khái niệm cấp của phần tử trong nhóm

Định nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X Cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinhbởi phần tử a

(cấp của nhóm con là số phần tử của nhóm đó, khi nhóm là hữu hạn; còn nếu nhóm con có

Ví dụ 3 Cho X là nhóm và a ∈ X với cấp a = n Chứng minh rằng ak= e khi và chỉ khi k .n.Bài giải – Hiển nhiên khi k .n thì k = l.n, do đó ak= al.n = (an)l = el = e

– Nếu ak = e và k = q.n + r với 0 ≤ r < n thì từ ak = aqn+r = (an)q.ar = eq.ar = ar Suy

ra ar = e với 0 ≤ r < n Vì n là số nguyên dương bé nhất mà an = e nên các điều kiện

ar = e và 0 ≤ r < n, buộc r = 0

Vậy: k = q.n hay k .n.

Nhận xét Ví dụ này cho thấy khái niệm bé nhất của cấp a còn có thể được hiểu theo quan

hệ thứ tự chia hết: "Cấp a là số tự nhiên n thỏa an = e và là ước số của mọi số nguyên k mà

Bài giải Trước hết ta có: bnd = ak
nd



= 1)

Vậy: cấp b = n

d.Nhận xét Bài toán sẽ khó hơn chút ít nếu yêu cầu tìm cấp b (thay cho chứng minh cấp b = n

d)Nếu vậy bạn có thể xử lý được không?

Đến đây ta quay lại vấn đề nhóm cyclic Để chứng minh nhóm cyclic, như ta đã lưu ý ởtrên là thông thường dùng định nghĩa, tuy nhiên trong trường hợp nhóm cho trước X là hữuhạn, tức cấp X = n thì có thể chứng minh X là cyclic bằng cách chỉ ra trong X có tồn tại mộtphần tử a ∈ X mà cấp a = n = cấp X

Ví dụ 5 Cho X và Y là các nhóm cyclic và cấp X = m, cấp Y = n Chứng minh rằng nếu(m, n) = 1 thì nhóm tích X × Y là cyclic (Ta nhắc rằng X × Y = {(x, y), x ∈ X, y ∈ Y } vàphép nhân được xác định như sau:

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2, y1y2) biến X × Y trở thành nhóm)

Bài giải Ta chỉ cần chỉ ra nếu X = haim và Y = hbin thì phần tử (a, b) ∈ X × Y có cấp làm.n = cấp X × Y

• Hiển nhiên là (a, b)mn = (amn, bmn) = (e, e) - là đơn vị của X × Y

• Và nếu (a, b)k= (e, e) thì ak, bk
= (e, e)

Suy ra: X × Y = h(a, b)imn

Bài tập

1 Cho A ⊂n (Z; +) Chứng minh rằng tồn tại số m sao cho A = m.Z

2 Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic

3 Cho X là nhóm và các phần tử a, b ∈ X Chứng minh rằng cấp (ab) = cấp (ba)

4 Cho nhóm X và 2 phần tử a, b ∈ X thỏa ab = ba Chứng tỏ rằng cấp a.b = [m, n], trong

7 Cho X là nhóm con đơn, tức X chỉ có duy nhất hai nhóm con là {e} và X Chứng minh

X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004

Bài 4 Các Bài Toán Kiểm Tra Nhóm

Vậy : AC X nếu A ⊂n X và A thỏa điều kiện chuẩn tắc

Và để kiểm tra AC X thì ta phải kiểm tra :

• A là nhóm con của X và sau đó tiếp tục

• Kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc

Ví dụ 1 Cho nhóm

X = a b

0 c

: ac 6= 0



và A = 1 b

0 c

: c 6= 0

Theo tiêu chuẩn 2 về nhóm con ta có A ⊂n X

Tiếp tục kiểm tra điều kiện chuẩn tắc:

Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử a = (0, 1) là nhóm con chuẩn tắc của X.Phân tích ban đầu: Trong bài toán này giả thiết đã cho A là nhóm con < a > Vì vậy chỉ cònphải kiểm tra A thoả điều kiện chuẩn tắc Tuy nhiên muốn làm điều đó thì phải biết được dạngtổng quát phần tử của A, tức trước hết phải mô tả tường minh các phần tử của A

Vậy : B là nhóm con không chuẩn tắc của X.

Khái niệm nhóm con chuẩn tắc còn có thể được định nghĩa nhờ vào các lớp ghép trái và lớpghép phải

Ta nhắc lại các khái niệm lớp ghép theo nhóm con để dùng cho các ví dụ tiếp theo

Cho nhóm X, A ⊂n X và x ∈ X Khi đó:

- Lớp ghép trái xA = {xa : a ∈ A}

- Lớp ghép phải Ax = {ax : a ∈ A}

Về mối quan hệ giữa các lớp ghép theo nhóm con ta có vài kết quả cần ghi nhớ để sử dụng:

• Nếu y ∈ xA thì yA = xA

• Hai lớp ghép xA và yA thì hoặc xA ∩ yA = ∅ hoặc xA ≡ yA

Khái niệm nhóm con chuẩn tắc định nghĩa trên cơ sở các lớp ghép là :

” Nhóm con A ⊂n X là nhóm con chuẩn tắc của X nếu với mọi x ∈ X thì xA = Ax”

Hiển nhiên là định nghĩa mới này hoàn toàn tương đương với định nghĩa ban đầu, độc giả cóthể xem các chứng minh trong các tài liệu về đại số đại cương, ở đây ta chỉ nhắc lại để sử dụng

Ví dụ 4 Cho nhóm X và các nhóm con chuẩn tắc của X là A, B Chứng minh AB = BA và

Để chứng minh AB C X, truớc hết ta cần chỉ ra AB ⊂n X

Hiển nhiên AB 6= ∅ và để kiểm tra AB ⊂n X ta dùng tiêu chuẩn 3:

∀a1b1, a2b2 ∈ AB thì

(a1b1)(a2b2)−1 = a1(b1b−12 )a−12 = a1a−12 b ∈ AB(do b1b−12 a−12 ∈ Ba−12 = a−12 B nên ∃b ∈ B mà b1b−12 a−12 = a−12 b)

Nhận xét 2: Ví dụ này hoàn toàn có thể giải bằng định nghĩa ban đầu, tuy nhiên định nghĩa

mới giúp ta tiết kiệm ngôn ngữ trình bày hơn

Ví dụ 5 Cho nhóm X và A ⊂n X sao cho tập thương

Ta chứng minh A thỏa điều kiện chuẩn tắc:

- Nếu x ∈ A và a ∈ A thì hiển nhiên xax−1 ∈ A

- Nếu x /∈ A và a ∈ A mà xax−1 ∈ A, tức xax/ −1 ∈ x \ A

Suy ra: ax−1 ∈ A, do đó x−1 ∈ A và x ∈ A

Điều vô lí này chứng tỏ xax−1 ∈ A

Vậy ∀x ∈ X, ∀a ∈ A : xax−1 ∈ A, tức A C X

BÀI TẬP

1 Trong nhóm X = a b

0 c

: ac 6= 0

, chứng minh các bộ phận

B = a b

0 1

: a 6= 0



và C = 1 b

0 1

: b ∈ R

3 Trong nhóm nhân Mn∗ _ các ma trận vuông cấp n không suy biến, chứng minh rằng các

bộ phận sau là các nhóm con chuẩn tắc:

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 10 tháng 12 năm 2004

Bài 5 Các Bài Tập Liên Quan Đến

Đồng Cấu

Để xử lí các bài tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu và các kết quả

cơ bản liên quan tới đồng cấu

Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu:

"Cho X, Y là các nhóm Ánh xạ f : X → Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi x1, x2 ∈ Xthì f (x1.x2) = f (x1).f (x2)(∗)"

Hiển nhiên là trong các định nghĩa lý thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhómđược ký hiệu theo lối nhân, tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thì phép toán có thể được kíhiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng Bởi vậy, khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyểnđổi kí hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế

Ví dụ 1 Chứng minh rằng ánh xạ: exp : (R, +) → (R∗, ·) mà với mỗi x ∈ R thì exp(x) = ex làmột đồng cấu

Rõ ràng dấu phép toán trong nhóm (R, +) là phép cộng, còn dấu trong nhóm (R, ·) là phép nhân

Vì vậy, biểu thức đồng cấu lúc đó phải là:

∀x1, x2 ∈ R : exp(x1 + x2) = exp(x1).exp(x2)

và việc kiểm tra tính đúng đắn của hệ thức này là không mấy khó khăn nhờ tính chất của hàm số

mũ, xin nhường cho độc giả

Ta có:h là đồng cấu khi và chỉ khi:

∀x1, x2 ∈ X : h(x1.x2) = h(x1).h(x2)

⇔ (f (x1.x2), g(x1.x2)) = (f (x1), g(x1))(f (x1), g(x2))

⇔ (f (x1.x2), g(x1.x2)) = (f (x1).f (x2)), (g(x1).g(x2))

⇔ f (x1.x2) = f (x1)f (x2)g(x1.x2) = g(x1)g(x2)

⇔ f và g là các đồng cấu

Ví dụ 3 Cho X, Y là các nhóm cyclic có các phần tử sinh lần lượt là x, y và có cấp m, n tươngứng, tức là:

X =< x >m , Y =< y >na/ Chứng minh rằng quy tắc ϕ cho tương ứng mỗi phần tử xl ∈ X với phần tử (yk)l (trong đó

k là số tự nhiên cho trước) là một đồng cấu khi và chỉ khi km là bội của n

b/ Khi ϕ là đồng cấu, hãy tính Kerϕ

**Phân tích ban đầu: Có thể nhận thấy rằng nếu quy tắc ϕ là ánh xạ, thì hiển nhiên ϕ thỏa cácyêu cầu về đồng cấu Vì vậy thực chất của bài toán là: ϕ là ánh xạ ⇔ km .n Vì rằng mỗi phần tử

của một nhóm cyclic hữu hạn có thể được biểu diễn dưới các lũy thừa khác nhau Do vậy, để chứngminh ϕ ánh xạ ta cần chỉ ra ϕ không phụ thuộc vào các dạng biểu diễn khác nhau của một phần tử

Giải:

a/ • Nếu ϕ là đồng cấu, thì theo tính chất đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị, ta có:

eY = ϕ(eX) = ϕ(xm) = (yk)m = ykm (∗∗)

Vì cấp y = n, nên từ (**) suy ra: km .n

• Nếu km .n, trước hết ta chứng minh ϕ lá ánh xạ, tức cần chứng minh nếu xα = xβ thì(yk)α = (yk)β Thật vậy:

Vậy Kerϕ = nd là nhóm con cyclic xinh bởi phần tử xnd, với d = (k, n).

**Nhận xét 1: Do câu a/, ϕ là đồng cấu nên km .n Suy ra m .n

d và hiển nhiên là n

n

d, vậyn

d là ước chung của m và n Do vậy, từ câu b/ ta có thể đưa ra một bài toán sau:

"Cho các nhóm cyclic X =< x >m, Y =< y >n và t là số nguyên dương mà là ước đồng thời

cả m, n Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu ϕ : X → Y sao cho Kerϕ = hxti là nhómcyclic sinh bởi xt "

Xem như bài tập, độc giả hãy xem xét lại các lời giải của ví dụ trên và hãy tự mình xây dựngthử đồng cấu ϕ theo yêu cầu!

**Nhận xét 2: Kết quả của ví dụ 3 giúp cho ta một phương tiện hữu hiệu để xử lí các bàitoán tìm số các đồng cấu có thể có giữa các nhóm cyclic cấp m và n Nếu ϕ : X → Y với

X =< x >m Y =< y >n là đồng cấu mà ϕ(x) = yk, thì do tính chất đồng cấu mà ∀xl ∈ Xthì ϕ(xl) = (yk)l, tức ϕ có dạng như mô tả trong ví dụ 3 Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y đó

là số tất cả các số nguyên k mà 0 ≤ k < n sao cho km .n

Ví dụ 4 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm cyclic cấp 24

Giải:

Cho các nhóm X =< a >6, Y =< b >24 là các nhóm cyclic cấp 6 và 24 Nếu ϕ : X → Y là đồngcấu, thì ắt tồn tại k mà 0 ≤ k < 24 sao cho với mọi al ∈ X thì ϕ(al) = (bk)l Ta biết rằng ϕ làđồng cấu khi và chỉ khi 6k .24 Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y bằng số các số nguyên k mà

0 ≤ k < 24 thỏa 6k .24 Có 6 số nguyên k như vậy là k = 0, 4, 8, 12, 16, 20 Vậy có tất cả 6 đồng

cấu khác nhau từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm cycic cấp 24

Các bài toán tìm số các đồng cấu từ một nhóm tới một nhóm khác là các bài toán khá hấp dẫn

và rất đa dạng Ví dụ 3 chỉ cho ta một phương tiện để xử lí một phạm vi khá hẹp của lớp các bàitoán đó Ví dụ sau cũng thuộc lớp bài toán trên

Ví dụ 5 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm (Q, +) các số hữu tỉ với phép cộng tới nhóm (Q∗, ·)các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân.

**Phân tích ban đầu: một đồng cấu ϕ : Q → Q∗ là hoàn toàn xác định ⇔ xác định được giá trịϕ(1) Độc giả hãy thử tự mình lí giải điều nhận xét này! Và do vậy thay cho việc tìm số các đồngcấu ϕ ta tìm xem có bao nhiêu cách cho ϕ(1) một cách hợp lí

Kết luận cuối cùng chỉ thỏa mãn với giá trị duy nhất a = 1

Vậy chỉ có một đồng cấu duy nhất ϕ : Q → Q∗ mà ϕ(1) = 1, đó chính là đồng cấu tầm thường.(bạn đọc có thể tự mình kiểm tra một cách chi tiết khi ϕ(1) = 1 thì ∀m ∈ Z : ϕ(m) = 1m =

Đặt n = max{n1, , nk, m1, , ml} khi đó nếu √n

a ∈ Q∗ là một phân số tối giản có dạng:

1 qtstn = pn11 pnkk =(tử số phân số tối giản a)

dα1n1 dαhnh = cm11 cmll =(mẫu số phân số tối giảng a)Tuy nhiên các đẳng thức này không thể xảy ra vì số mũ lũy thừa của các nhân tử nguyên tố vếtrái luôn lớn hơn hẳn số mũ lũy thừa các nhân tử nguyên tố vế phải Vậy √n

a /∈ Q∗

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004

Bài 6 Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng Cấu

Theo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X ∼= Y ) nếu tồn tại một ánh xạđẳng cấu f : X → Y Để chỉ ra X đẳng cấu với Y theo ánh xạ f , ta viết X

f

∼

= Y Quan hệ đẳng cấu trong lớp các nhóm là quan hệ tương đương, vì

Ví dụ 1: Cho tập hợp các ma trận cấp hai sau

A = 1 a

0 1

: a ∈ R



a) Chứng minh rằng A là nhóm với phép nhân ma trận

b) Chứng minh rằng A ∼= (R+, ·) trong đó (R+, ·) là nhóm nhân các số thực dương

Giải

a) Để chứng minh A là nhóm với phép nhân ma trận ta chỉ cần chứng minh A ⊂n (M2∗, ·), trong

đó (M2∗, ·) là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến Xin dành việc kiểm tra chi tiếtcho bạn đọc

b) Để chứng minh A ∼= (R+, ·) ta xây dựng ánh xạ:

f : R+→ A mà ∀a ∈ R+ thì f (a) = 1 ln a

0 1



Dễ thấy f là đồng cấu vì ∀a, b ∈ R+ ta có

Vậy f đơn cấu

Hiển nhiên f toàn ánh vì với mọi  1 x

Nhận xét 1: Chúng ta đã khá quen biết với ánh xạ đẳng cấu ln : (R+, ·) → (R, +), từnhóm nhân các số thực dương tới nhóm cộng các số thực, đồng thời từ phép nhân trongA:  1 a

sự kết hợp hai ánh xạ nói trên

Nhận xét 2: Nếu chúng ta nhớ rằng, một ánh xạ song ánh f từ một nhóm X tới tập Y có trang

bị phép toán hai ngôi mà f bảo toàn các phép toán thì khi đó Y cũng là một nhóm Và do vậytrong bài toán trên, kết quả câu (a) có thể được suy trực tiếp từ câu (b) mà không cần phảikiểm tra độc lập

Ví dụ 2: Cho nhóm X và A, B là các nhóm con chuẩn tắc của X thỏa A.B = X và A ∩ B = {e}.Chứng minh:

a) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba

b) X ∼= A × B

Giảia) Ta có ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì

aba−1b−1 = (aba−1)b−1 ∈ B vì B C Xaba−1b−1 = a(ba−1b−1) ∈ A vì A C XNhư vậy: aba−1b−1 ∈ A ∩ B = {e} tức là aba−1b−1 = e ⇔ ab = ba

b) Để chứng minh X ∼= A × B (tích trực tiếp của A và B) ta xây dựng ánh xạ f : A × B → X

mà với mọi (a, b) ∈ A × B thì f (a, b) = ab

• Ta kiểm tra f là đồng cấu: ∀(a1, b1), (a2, b2) ∈ A × B thì

f [(a1, b1), (a2, b2)] = f (a1a2, b1b2) = a1(a2b1)b2 = (a1b1)(a2b2)

= f (a1, b1).f (a2, b2) ( vì a2b1 = b1a2 theo (a))

• Tính

Ker f = {(a, b) : ab = e} = {(a, b) : a = b−1 ∈ A ∩ B}

= {(a, b) : a = b−1 = e} = {(e, e)}

Vậy f đơn cấu

• Tính toàn ánh của f được suy ra từ X = A.B Thật vậy, với mọi x ∈ X, ∃a ∈ A, b ∈ Bsao cho x = ab nên tồn tại (a, b) ∈ A × B mà f (a, b) = x

Nhận xét 1: Để ý rằng tính chuẩn tắc của hai nhóm con A, B ở đây chỉ được dùng để chứngminh cho tính chất giao hoán của hai phần tử a ∈ A, b ∈ B tức là ab = ba, phục vụ cho việckiểm tra f : A × B → X là đồng cấu Bởi vậy, một biến dạng của ví dụ 2 là: Cho A, B là cácnhóm con của X thỏa A.B = X, A ∩ B = {e} và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba Chứng minh rằng

X ∼= A × B

Nhận xét 2: Trong đẳng cấu X ∼= A × B ở nhận xét 1 sẽ cho ta A C X và B C X Như vậyvới các giả thiết A.B = X và A ∩ B = {e} của hai nhóm con A, B cho trước, hai giả thiết cònlại là A, B C X và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì ab = ba là tương đương nhau Bạn hãy thử chứng minhtrực tiếp sự tương đương này được không?

Ví dụ 3: Cho X là nhóm cộng giao hoán và E(X) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của X Xácđịnh trên E(X) phép cộng ∀f, g ∈ E(X) thì f +g : X → X mà ∀x ∈ X (f +g)(x) = f (x)+g(x).Chứng minh rằng

a) E(X) là nhóm cộng giao hoán với phép cộng trên

b) E(Q) ∼= Q với Q là nhóm cộng các số hữu tỷ

Giảia) Để kiểm tra E(X) là nhóm cộng giao hoán ta lần lượt kiểm tra:

• Phép cộng trên E(X) là phép toán hai ngôi, nói cách khác nếu f, g : X → X là đồng cấuthì f + g là đồng cấu tức là: ∀x1, x2 ∈ X : (f + g)(x1+ x2)= (f + g)(x) + (f + g)(y).?

• Phép cộng trên E(X) là kết hợp, giao hoán

• Phần tử 0 ∈ E(X) là ánh xạ θ : X → X mà θ(X) = 0

• ∀x ∈ E(X) thì (−f ) : X → X mà (−f )(x) = −f (x) là đồng cấu và là đối của f

Tất cả các tính toán chi tiết để hoàn tất các nội dung kiểm tra trên không mấy khó khăn xinnhường cho độc giả

b) Để chứng minh E(Q) ∼= Q ta thiết lập ánh xạ ϕ : E(Q) → Q mà ∀f ∈ E(Q) thì ϕ(f ) = f (1)

Dễ thấy ϕ là đồng cấu vì ∀f, g ∈ E(Q) thì ϕ(f +g) = (f +g)(1) = f (1)+g(1) = ϕ(f )+ϕ(g)

Ta chứng minh ϕ là song ánh, tức là ∀q ∈ Q thì tồn tại và duy nhất đồng cấu f : Q → Q mà

f (1) = q Đồng cấu f đó được xác định bởi công thức:

mà g(1) = q thì ∀n 6= 0: n.g(1n) = g(n.n1) = g(1) = q Suy ra g(1n) = nq và do đó ∀mn ∈ Q:g(mn) = m.g(n1) = m.nq = mn.q = f (mn) Vậy f = g

Do vậy, ϕ là đẳng cấu

Ngoài cách thiết lập các đẳng cấu trực tiếp giữa hai nhóm đôi khi để chứng minh hai nhómđẳng cấu với nhau trong trường hợp một nhóm được biểu diễn dưới dạng một nhóm thương ta

có thể áp dụng định lý Nơte về toàn cấu nhóm Ta nhắc lại định lý đó:

Định lý (Nơte) Cho f : X → Y là toàn cấu Khi đó tồn tại và duy nhất đẳng cấu ˜f :X/Ker f →

Y sao cho f = ˜f p trong đó p : X →X/Ker f là đồng cấu chiếu

Sử dụng định lý này nếu ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thươngX/A∼= Y , ta chỉ cần thiếtlập toàn cấu f : X → Y sao cho Ker f = A và từ định lý ta có đẳng cấu ˜f :X/A∼= Y

Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n là đẳng cấu với nhau

Phân tích: Trong các nhóm cyclic cấp n có nhóm Zn =Z/nZ Để chứng minh các nhóm cycliccấp n đều đẳng cấu với nhau, ta chỉ cần chứng minh chúng đều đẳng cấu với Zn Vậy lấy bất

kỳ nhóm cyclic cấp n: hain ta phải chứng minh Zn∼= hai

n.Giải

Cho nhóm cycilc cấp n: hain Ta xây dựng ánh xạ f : Z → hanin mà ∀m ∈ Z thì f (m) = am

Dễ thấy f là đồng cấu vì ∀m1, m2 ∈ Z ta có

f (m1+ m2) = am1+m2 = am1.am2 = f (m1).f (m2)Hiển nhiên f là toàn ánh Vậy f toàn cấu Đồng thời

Ker f = {m : am = e} = {m : n|m} = nZVậy theo định lý Nơte, tồn tại đẳng cấu

đó D là nhóm nhân các số phức có môđun bằng 1

Ta biểu diễn các số phức thuộc H dưới dạng lượng giác và được:

H =

r

coskπ

2 + i sin

kπ2

: r ∈ R+, k ∈ Z



Hiển nhiên H 6= ∅ và ta kiểm tra H ⊂n C∗, theo tiêu chuẩn thứ ba: với mọi z1 = r1 cosk12π + i sink1π2
,

z2 = r2 cosk2π2 + i sink22π
thuộc H, ta có

z1.z2−1 = r1

r2

cos(k1− k2)π

2 + i sin

(k1− k2)π2

˜

f :C∗/H ∼= DNhận xét: Mấu chốt của lời giải này là việc biểu diễn H dưới dạng lượng giác, điều đó có đượcnhờ nhận xét các phần tử thuộc H đều nằm trên hai trục có argument là bội nguyên của π/2.Việc xây dựng đồng cấu f : C∗ → D mà Ker f = H, do cách biểu diễn H mà thỏa hai đòi hỏi:chuyển mỗi phần tử tới phần tử có mođun bằng 1 (bằng cách chia phần tử đó cho chính môđuncủa nó) và chuyển mỗi phần tử có argument kπ/2 thành phần tử có argument k2π (bằng cáchnhân argument lên 4 lần); từ đó cho ta ánh xạ cần tìm

Bài tập

1) Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu với nhau

2) Cho X là nhóm Aben hữu hạn cấp m.n với (m, n) = 1 Đặt A = {x ∈ X : xm = e},

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 31 tháng 1 năm 2005

Bài 7 Các Bài Toán Xác Định Tính Chất Và Mô Tả Cấu Trúc Của Một

Nhóm

Các bài toán dạng này thường có nội dung sau: Cho nhóm X thỏa mãn một số điều kiệncho trước nào đó, kết luận của bài toán yêu cầu chỉ ra rằng, khi đó nhóm X cũng thỏa mãnmột số tính chất xác định

Ví dụ 1 Cho X là nhóm mà với mọi phần tử a ∈ X thì a2 = e Chứng minh rằng khi đó X lànhóm aben

Về mặt nguyên tắc, muốn xử lý bài toán xác định một tính chất nào đó của nhóm, chúng

ta cần sử dụng các tính chất thông dụng của nhóm, kết hợp với các điều kiện bổ sung của bàitoán, phân tích, đánh giá và biến đổi các tính chất đã có tới các tính chất cần có theo đòi hỏicủa kết luận bài toán

Các tính chất thông dụng của một nhóm bao gồm, trước hết là các tiên đề trong định nghĩanhóm, và các tính chất dẫn xuất từ các tiên đề đó, chẳng hạn như:

• Trong nhóm X luôn có luật giản ước (tức là từ mỗi đẳng thức ax = ay (hay xa = ya)đều suy ra được x = y!)

• Trong nhóm X, phần tử a ∈ X là đơn vị của nhóm X ⇐⇒ a2 = a (tức a lũy đẳng!)

• Trong nhóm X, nghịch đảo của mỗi phần tử a ∈ X là duy nhất và b = a−1 ⇔ ab = ehoặc ba = e

• Trong nhóm X, nghịch đảo của một tích bằng tích các nghịch đảo theo thứ tự ngược (tức

là (a1a2 an)−1 = a−1n a−12 a−11 )

•

Quay trở lại ví dụ 1, để chứng minh X là nhóm aben ta cần chỉ ra: ∀a, b ∈ X thì ab = ba.

Để có được tính chất cần thiết này ta sử dụng điều kiện bổ sung của bài toán là a2 = e, ∀a ∈

X, kết hợp với một số nào đó các tính chất thông dụng đã có trong nhóm, biến đổi để có đượccác lời giải sau:

• Lời giải thứ nhất: Từ điều kiện bài toán, ta có với mọi a, b ∈ X thì:

a2 = e, b2 = e =⇒ a2.b2 = e.e = eđồng thời (ab)2 = e Do đó: a.a.b.b = ab.ab (= e) Thực hiện luật giản ước trái a và luậtgiản ước phải b ở đẳng thức cuối cùng ta được: ab = ba (đpcm)

• Lời giải thứ hai: Từ điều kiện bài toán: a2 = e, ∀a ∈ X =⇒ a = a−1, ∀ ∈ X

Do đó ∀a, b ∈ X : ab = (ab)−1 = b−1a−1= ba, tức ta có đpcm

Ở đây, chúng tôi chỉ đưa vài lời giải cơ bản, nếu các bạn thực hiện các bước biến đổi hơikhác một chút các bạn sẽ có thêm các lời giải của riêng mình Các bạn hãy thử sức mình xem!

Ví dụ 2 Cho X là nhóm có vô hạn phần tử Chứng minh rằng X chứa vô hạn các nhóm conkhác nhau

Giải

Vì X có vô hạn phần tử nên X 6= {e} Xét cấp các phần tử của X, có hai khả năng duynhất sau đây:

a) Trong X có một phần tử cấp vô hạn Khi đó, nhóm con cyclic sinh bởi phần tử a là < a >

có vô hạn phần tử; và bản thân < a > chứa vô hạn các nhóm con khác nhau sau đây:

< a >, < a2 >, , < ak >, Đó cũng là các nhóm con của X Vậy, khi đó X chứa vôhạn nhóm con

b) Mọi phần tử trong X đều có cấp hữu hạn Khi đó, xét họ J tất cả các nhóm con cyclicsinh bởi các phần tử của X, J = {< x >: x ∈ X} Dễ thấy là X = [

x∈X

< x >, do đónếu họ J chỉ chứa hữu hạn các nhóm con khác nhau thì do:

Đặc biệt trong các nhóm hữu hạn chúng ta có một tính chất quan trọng liên hệ giữa cấpcủa nhóm và cấp các nhóm con, chính là nội dung của định lý sau:

Định lí 1 (Lagran) Cho nhóm hữu hạn X, và A ⊂n X Khi đó, cấp A là ước số của cấp X.Định lý này có vài hệ quả cũng thường được sử dụng trong các bài toán xác định tính chấtcho các nhóm hữu hạn và mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn đó là:

Hệ quả 1 Cấp của một phần tử a trong nhóm X là ước số của cấp X.

Hệ quả 2 Nếu cấp của nhóm X là số nguyên tố thì X là nhóm cyclic

Ví dụ 3 Cho X là nhóm aben cấp 6 Chứng minh rằng X là nhóm cyclic

Giải

Để chỉ ra X là nhóm cyclic, ta cần chỉ ra trong X có chứa một phần tử cấp 6

Vì X cấp 6 nên tồn tại một phần tử a ∈ X và a 6= e Theo hệ quả 1 của định lý Lagrangthì cấp a chỉ có thể là 2, 3, 6 Nếu cấp a = 6 thì ta có đpcm

Nếu cấp a = 2 thì nhóm thương X/< a > có cấp 3

Khi đó nếu b ∈ X/<a> mà b 6=< a > thì cấp b = 3

Do đó, phần tử đại diện b ∈ b phải có cấp 6 hoặc cấp 3 Trường hợp cấp b = 3 thì tích abphải có cấp 6

Nếu cấp a = 3 thì nhóm thương X/<a> có cấp 2

Khi đó nếu b ∈ X/<a> mà b 6=< a > thì cấp b = 2

Do đó, phần tử đại diện b ∈b phải có cấp 6 hay cấp 2 Trường hợp cấp b = 2 thì tích ab cócấp 6

Vậy trong mọi khả năng có thể xảy ra cho cấp phần tử của a, ta đều chỉ ra trong X có chứamột phần tử cấp 6, tức X là cyclic

? Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng sự kiện: Các phần tử đại diện b của lớp ghép

b trong nhóm thương là bội của cấp b, điều này có thể chứng minh đơn giản như sau: gọi cấp

b = n, khi đó bn= e ⇒ (b)n = bn= e Vậy n là bội của cấp b

Ví dụ 4 Hãy mô tả cấu trúc của các nhóm cấp 6 không đẳng cấu với nhau

Xét cấp của các phần tử x 6= e của nhóm X cấp 6 Theo hệ quả 1 của định lý Lagrang cótất cả các khả năng sau:

a) Tồn tại một phần tử a cấp 6 Khi đó X là nhóm cyclic cấp 6 và X ∼= Z6

b) Không tồn tại một phần tử nào cấp 6; tức X không là nhóm cyclic Do kết quả của ví dụ

3, ta suy ra X không là nhóm aben (vì nhóm cấp 6 aben là nhóm cyclic!)

Vì X không aben nên tồn tại một phần tử a ∈ X mà cấp a = 3 (vì nếu mọi phần tử của

X mà cấp ≤ 2 thì X lại là nhóm aben!) Khi đó nhóm con sinh bởi a là < a > có chỉ

số 2 nên là ước chuẩn tắc của X và nhóm thương X/ < a > có đúng 2 phần tử Chọn

b /∈< a > thì b ∈ X/ < a > và b 6= e nên cấp b = 2, suy ra cấp b = 2 (vì cấp b 6= 6!) Vậy,nếu tồn tại nhóm X cấp 6 không aben thì X =< {a, b} > với cấp a = 3, cấp b = 2, vàgồm 6 phần tử sau:

X = {e, a, a2, b, ab, a2b} thỏa hệ thức ba = a2b (Bạn đọc hãy sử dụng tính chất trongnhóm để chứng minh nếu X với 6 phần tử trên là nhóm thì tích ba chỉ có thể là ba = a2b

mà không thể là 1 trong 5 giá trị còn lại!)

Bây giờ xét nhóm S3 các phép thế bậc 3, xem như được sinh bởi 2 phần tử α = (1 2 3)

và β = (1 2) ta có: S3 = {e, α, α2, β, αβ, α2β} thỏa βα = α2β Điều này đảm bảo rằngánh xạ ϕ : X → S3 mà ϕ(e) = e, ϕ(a) = α, ϕ(a2) = α2, ϕ(b) = β, ϕ(ab) = αβ vàϕ(a2b) = α2β là song ánh bảo toàn các phép toán Từ đó, X là một nhóm và X ∼= S3

BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng các nhóm có cấp nhỏ hơn 6 đều là nhóm aben

2 Cho X là nhóm hữu hạn cấp chẵn Chứng minh số các phần tử cấp 2 trong X là số lẻ

3 Cho X là nhóm và x, y ∈ X Ta gọi x−1y−1xy là hoán tử của x và y Chứng minh rằng:a) Nhóm con A của X sinh bởi tập tất cả các hoán tử của mọi cặp x, y ∈ X là nhómcon chuẩn tắc của X

b) Nhóm thương X/A là aben Đồng thời nếu HC X thì X/H aben ⇐⇒ A ⊂ H

4 Cho A là nhóm con của nhóm X và a ∈ X, chứng minh rằng tập aA = {ax : x ∈ A} lànhóm con của X khi và chỉ khi a ∈ A

5 Mô tả cấu trúc của các nhóm cấp 4 không đẳng cấu với nhau

6 Môt tả cấu trúc các nhóm cấp 9 không đẳng cấu với nhau

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005

Bài 8 Các Bài Toán Kiểm Tra Vành

Và Vành Con

Cũng như kỹ năng kiểm tra nhóm, kỹ năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơbản luôn có mặt trong các đề thi đại số cơ sở

Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định nghĩa khái niệm vành như sau :

Định nghĩa : Vành là một nhóm cộng giao hoán (X; +) được trang bị thêm một phéptoán nhân có tính chât kết hợp:

3 Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Muốn kiểm tra một tập X cho trước với các phép toán đã cho là một vành, hiển nhiên làchúng ta sẽ phải lần lượt kiểm tra các điều kiện định nghĩa đã đưa ra ở trên

1 Ví dụ 1:

Chứng minh rằng tập Mn các ma trận thực vuông cấp n là một vành với hai phép toáncộng và nhân ma trận

GiảiHiển nhiên tổng hay tích của hai ma trận thực vuông cấp n lại là một ma trận thựcvuông cấp n nên các phép cộng, nhân ma trận là các phép toán hai ngôi trên Mn Theo

lý thuyết nhóm ta đã có (Mn;+) là nhóm cộng giao hoán Theo đại số tuyến tính ta biếtphép nhân các ma trận có tính chất kết hợp và có tính chất phân phối đối với phép cộng

ma trận Vậy theo định nghĩa : (Mn ; + ; ) là một vành

Nhận xét :

Khi kiểm tra vành X đòi hỏi trước hết phải kiểm tra (X;+) là nhóm giao hoán, nếu điều

đó đã được kiểm tra trong phần nhóm thì ta có thể không cần phải kiểm tra lại mà chỉnhắc rằng điều đó đã được kiểm tra trước đây trong lí thuyết nhóm rồi Cũng như ởbên nhóm nếu như một đòi hỏi nào đó trong định nghĩa vành (chẳng hạn tính chất kếthợp của phép nhân ) nếu đã được đảm bảo bởi kết quả của một chuyên ngành nào đó(chẳng hạn đại số tuyến tính, số học, ) thì ta cũng chỉ cần nói lại rằng điều đó đã cótheo chuyên ngành đó mà không cần viết biểu thức kiểm tra chi tiết

Ta nhận xét rằng phép cộng trong vành đã có đủ các tính chất thông dụng : kết hợp,giao hoán, có đơn vị, tồn tại phần tử đối cho mỗi phần tử; trong lúc đó phép nhân chỉđòi hỏi thêm duy nhất tính chất kết hợp Tức là có thể bổ sung thêm cho phép nhân cáctính chất thông dụng còn lại

Khi phép nhân trong vành X có tính chất giao hoán ta gọi vành X là vành giao hoán.Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn vị (kí hiệu 1 hay e) ta gọi vành X là vành cóđơn vị

Vành (Mn; +; ) kiểm tra ở ví dụ 1 là vành có đơn vị (đơn vị của Mn là ma trận đơn vịE) tuy nhiên không là vành giao hoán

Chứng minh X × Z là vành có đơn vị Vành này có giao hoán không Với diều kiện nàocho X thì X × Z giao hoán?

Giải :

Theo cách xác định phép toán cộng trong X × Z (là phép cộng theo từng thành phần !)

ta thấy (X × Z, +) là tích Decac của hai nhóm cộng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo

lí thuyết nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm cộng giao hoán Vậy ta còn phải kiểm tra phépnhân kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng Thật vậy :

Như vậy X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán.

Khái niệm vành con của một vành cho trước X dược định nghĩa một cách tương tự kháiniệm nhóm con của một nhóm Đó là tập ø 6= A ⊂ X, ổn định đối với hai phép toán cộng

và nhân trong X, đồng thời A cùng với hai phép toán cảm sinh tự nó là một vành Khi

đó ta viết : A ⊂vX Tuy nhiên, cũng như trong lý thuyết nhóm, để kiểm tra một vành con

ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn về vành con được phát biểu như sau :

Tiêu chuẩn vành con : Cho vành X, bộ phận A 6= ø của X là một vành con của X

⇔ ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A và xy ∈ A Nói vắn tắt ø 6= A ⊂vX ⇔ A ổn định đối với phéptrừ và phép nhân