Theo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X ∼= Y) nếu tồn tại một ánh xạ
đẳng cấu f :X →Y. Để chỉ ra X đẳng cấu với Y theo ánh xạ f, ta viết X
f
∼ =Y. Quan hệ đẳng cấu trong lớp các nhóm là quan hệ tương đương, vì
• Với mọi nhóm X: X 1∼=X X • Nếu X f ∼=Y thì Y f∼=−1 X • Nếu X f ∼=Y và Y ∼=g Z thì X gf∼=Z
Như vậy, để chứng tỏ hai nhómX,Y là đẳng cấu với nhau ta có thể thiết lập một ánh xạ đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X hoặc có thể thiết lập các ánh xạ đẳng cấu từ X, Y tới một nhóm thứ ba.
Ví dụ 1: Cho tập hợp các ma trận cấp hai sau A= 1 a 0 1 :a∈R
a) Chứng minh rằngA là nhóm với phép nhân ma trận.
b) Chứng minh rằngA∼= (R+,·)trong đó (R+,·)là nhóm nhân các số thực dương. Giải
a) Để chứng minhA là nhóm với phép nhân ma trận ta chỉ cần chứng minhA⊂n (M2∗,·), trong đó (M2∗,·) là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến. Xin dành việc kiểm tra chi tiết cho bạn đọc. b) Để chứng minh A∼= (R+,·) ta xây dựng ánh xạ: f :R+→A mà ∀a ∈R+ thì f(a) = 1 lna 0 1
Dễ thấy f là đồng cấu vì∀a, b∈R+ ta có f(a.b) = 1 lnab 0 1 = 1 lna+ lnb 0 1 = 1 lna 0 1 1 lnb 0 1 =f(a)f(b) Tính Kerf = a∈R+:f(a) = 1 lna 0 1 = 1 0 0 1 =a∈R+: lna= 0 ={1}
Vậy f đơn cấu.
Hiển nhiên f toàn ánh vì với mọi
1 x 0 1 ∈A, tồn tại a=ex ∈R+ mà f(a) = 1 x 0 1 . Vậy f là đẳng cấu:A∼= ( R+,·).
Nhận xét 1: Chúng ta đã khá quen biết với ánh xạ đẳng cấu ln : (R+,·) → (R,+), từ nhóm nhân các số thực dương tới nhóm cộng các số thực, đồng thời từ phép nhân trong A: 1 a 0 1 1 b 0 1 = 1 a+b 0 1
ta dễ phát hiện ra: A ∼= (R,+). Vì vậy ta có thể chứng
minh A ∼= (R+,·) thông qua hai đẳng cấu này và thật ra ánh xạ đẳng cấu xây dựng ở trên là sự kết hợp hai ánh xạ nói trên.
Nhận xét 2: Nếu chúng ta nhớ rằng, một ánh xạ song ánhf từ một nhómX tới tậpY có trang bị phép toán hai ngôi mà f bảo toàn các phép toán thì khi đóY cũng là một nhóm. Và do vậy trong bài toán trên, kết quả câu (a) có thể được suy trực tiếp từ câu (b) mà không cần phải kiểm tra độc lập.
Ví dụ 2:Cho nhómXvàA, B là các nhóm con chuẩn tắc củaX thỏaA.B =X vàA∩B ={e}. Chứng minh:
a) ∀a∈A,∀b∈B :ab=ba b) X ∼=A×B
Giải a) Ta có ∀a∈A,∀b∈B thì
aba−1b−1 = (aba−1)b−1 ∈B vì B CX aba−1b−1 =a(ba−1b−1)∈A vì ACX Như vậy: aba−1b−1 ∈A∩B ={e} tức là aba−1b−1 =e⇔ab=ba.
b) Để chứng minhX ∼=A×B (tích trực tiếp của A vàB) ta xây dựng ánh xạ f :A×B →X
mà với mọi (a, b)∈A×B thì f(a, b) = ab.
• Ta kiểm tra f là đồng cấu: ∀(a1, b1),(a2, b2)∈A×B thì f[(a1, b1),(a2, b2)] = f(a1a2, b1b2) =a1(a2b1)b2 = (a1b1)(a2b2)
=f(a1, b1).f(a2, b2) (vì a2b1 =b1a2 theo (a))
• Tính
Kerf ={(a, b) :ab=e}={(a, b) :a=b−1 ∈A∩B} ={(a, b) :a=b−1 =e}={(e, e)}.
Vậy f đơn cấu.
• Tính toàn ánh của f được suy ra từ X =A.B. Thật vậy, với mọi x∈ X, ∃a ∈A, b ∈ B sao cho x=abnên tồn tại (a, b)∈A×B mà f(a, b) = x.
Nhận xét 1: Để ý rằng tính chuẩn tắc của hai nhóm con A, B ở đây chỉ được dùng để chứng minh cho tính chất giao hoán của hai phần tử a ∈ A, b ∈ B tức là ab = ba, phục vụ cho việc kiểm tra f :A×B →X là đồng cấu. Bởi vậy, một biến dạng của ví dụ 2 là: Cho A, B là các nhóm con của X thỏa A.B =X, A∩B ={e} và ∀a ∈A,∀b ∈B :ab=ba. Chứng minh rằng X ∼=A×B.
Nhận xét 2: Trong đẳng cấu X ∼= A×B ở nhận xét 1 sẽ cho ta A C X và B C X. Như vậy với các giả thiếtA.B =X và A∩B ={e}của hai nhóm con A, B cho trước, hai giả thiết còn lại là A, B CX và ∀a∈A,∀b ∈B thì ab=ba là tương đương nhau. Bạn hãy thử chứng minh trực tiếp sự tương đương này được không?
Ví dụ 3: ChoX là nhóm cộng giao hoán vàE(X)là tập hợp tất cả các tự đồng cấu củaX. Xác định trênE(X)phép cộng∀f, g ∈E(X)thìf+g :X →X mà∀x∈X(f+g)(x) = f(x)+g(x). Chứng minh rằng
a) E(X)là nhóm cộng giao hoán với phép cộng trên b) E(Q)∼=Qvới Qlà nhóm cộng các số hữu tỷ.
Giải
a) Để kiểm tra E(X) là nhóm cộng giao hoán ta lần lượt kiểm tra:
• Phép cộng trên E(X)là phép toán hai ngôi, nói cách khác nếuf, g :X →X là đồng cấu thì f +g là đồng cấu tức là: ∀x1, x2 ∈X : (f +g)(x1+x2)= (? f +g)(x) + (f +g)(y).
• Phép cộng trên E(X) là kết hợp, giao hoán.
• Phần tử0∈E(X) là ánh xạθ :X →X mà θ(X) = 0.
• ∀x∈E(X)thì (−f) :X →X mà (−f)(x) =−f(x) là đồng cấu và là đối của f.
Tất cả các tính toán chi tiết để hoàn tất các nội dung kiểm tra trên không mấy khó khăn xin nhường cho độc giả.
b) Để chứng minhE(Q)∼=Qta thiết lập ánh xạϕ:E(Q)→Qmà∀f ∈E(Q)thìϕ(f) =f(1).
Dễ thấyϕlà đồng cấu vì∀f, g ∈E(Q)thìϕ(f+g) = (f+g)(1) =f(1)+g(1) =ϕ(f)+ϕ(g). Ta chứng minh ϕ là song ánh, tức là ∀q∈ Q thì tồn tại và duy nhất đồng cấu f :Q→Q mà f(1) =q. Đồng cấu f đó được xác định bởi công thức:
∀ m
n ∈Q thì f(m
n) = m
n.q
Bạn đọc dễ dàng kiểm tra đây là một đồng cấu và f(1) =q. Nếu có một đồng cấug :Q→Q
mà g(1) = q thì ∀n 6= 0: n.g(1n) = g(n.n1) = g(1) = q. Suy ra g(1n) = nq và do đó ∀m n ∈ Q: g(mn) =m.g(n1) =m.nq = mn.q=f(mn). Vậy f =g.
Do vậy, ϕ là đẳng cấu.
Ngoài cách thiết lập các đẳng cấu trực tiếp giữa hai nhóm đôi khi để chứng minh hai nhóm đẳng cấu với nhau trong trường hợp một nhóm được biểu diễn dưới dạng một nhóm thương ta có thể áp dụng định lý Nơte về toàn cấu nhóm. Ta nhắc lại định lý đó:
Định lý (Nơte) Chof :X →Y là toàn cấu. Khi đó tồn tại và duy nhất đẳng cấuf˜:X/Kerf →
Y sao cho f = ˜f .p trong đó p:X →X/Kerf là đồng cấu chiếu.
Sử dụng định lý này nếu ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thươngX/A∼=Y, ta chỉ cần thiết
lập toàn cấuf :X →Y sao cho Kerf =A và từ định lý ta có đẳng cấu f˜:X/A∼=Y.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n là đẳng cấu với nhau.
Phân tích: Trong các nhóm cyclic cấp n có nhóm Zn =Z/nZ. Để chứng minh các nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu với nhau, ta chỉ cần chứng minh chúng đều đẳng cấu với Zn. Vậy lấy bất kỳ nhóm cyclic cấp n: hain ta phải chứng minh Zn∼=hai
n. Giải
Cho nhóm cycilc cấp n: hain. Ta xây dựng ánh xạ f :Z → hanin mà ∀m ∈Z thì f(m) = am. Dễ thấy f là đồng cấu vì∀m1, m2 ∈Z ta có
f(m1+m2) = am1+m2 =am1.am2 =f(m1).f(m2)
Hiển nhiên f là toàn ánh. Vậyf toàn cấu. Đồng thời
Kerf ={m :am =e}={m:n|m}=nZ Vậy theo định lý Nơte, tồn tại đẳng cấu
˜
f :Z/nZ∼=hai
n
Vậy mọi nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu vớiZn và do vậy chúng đẳng cấu với nhau.
Ví dụ 5: Trong nhóm nhân C∗ các số phức khác 0, xét tập hợp H gồm tất cả các số phức nằm trên trục thực và trục ảo. Chứng minh rằng H ⊂n C∗, đồng thời có đẳng cấu: C∗/H ∼= D trong
Giải
Ta biểu diễn các số phức thuộcH dưới dạng lượng giác và được: H = r coskπ 2 +isin kπ 2 :r∈R+, k∈Z
Hiển nhiênH 6=∅và ta kiểm traH ⊂n C∗, theo tiêu chuẩn thứ ba: với mọiz1 =r1 cosk1π
2 +isink1π 2 , z2 =r2 cosk2π 2 +isink2π 2 thuộc H, ta có z1.z2−1 = r1 r2 cos(k1−k2)π 2 +isin (k1−k2)π 2 ∈H Vậy H ⊂n C∗.
Để chứng minh C∗/H ∼= D ta thiết lập ánh xạ f : C∗ → D mà f[r(cosϕ +isinϕ)] = cos 4ϕ+isin 4ϕ với ∀z = r(cosϕ+isinϕ) ∈ C∗. Độc giả có thể dễ dàng kiểm tra f là đồng cấu và toàn ánh!
Đồng thời
Kerf ={r(cosϕ+isinϕ) : (cos 4ϕ+isin 4ϕ) = 1} ={r(cosϕ+isinϕ) : 4ϕ= 2kπ}
={r(cosϕ+isinϕ) :ϕ= kπ 2 }=H Vậy, theo định lý Nơte, tồn tại đẳng cấu
˜
f :C∗/H ∼=D
Nhận xét: Mấu chốt của lời giải này là việc biểu diễnH dưới dạng lượng giác, điều đó có được nhờ nhận xét các phần tử thuộc H đều nằm trên hai trục có argument là bội nguyên của π/2. Việc xây dựng đồng cấu f :C∗ →D mà Kerf =H, do cách biểu diễn H mà thỏa hai đòi hỏi: chuyển mỗi phần tử tới phần tử có mođun bằng 1 (bằng cách chia phần tử đó cho chính môđun của nó) và chuyển mỗi phần tử có argumentkπ/2thành phần tử có argument k2π (bằng cách nhân argument lên 4 lần); từ đó cho ta ánh xạ cần tìm.
Bài tập
1) Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu với nhau.
2) Cho X là nhóm Aben hữu hạn cấp m.n với (m, n) = 1. Đặt A = {x ∈ X : xm = e}, B ={x∈X :xn=e}. Chứng minh rằng X ∼=A×B.
3) Cho C∗ là nhóm nhân các số phức khác 0,R∗ là nhóm nhân các số thực khác 0,D là nhóm nhân các số phức có môđun bằng 1. Chứng minh rằng C∗/R∗∼=D.
4) Cho E(X) là nhóm cộng các đồng cấu của nhóm cộng giao hoán X (xem ví dụ 3). Chứng minh rằng E(Z)∼=Z.
5) Cho Mn∗ và M1
n là tập các ma trận vuông cấp n không suy biến và tập các ma trận có định thức bằng 1. Chứng minh rằng Mn∗/Mn1 ∼= (R∗,·).
6) Cho f : (R,+) → (R∗,·) là đẳng cấu nhóm. Chứng minh rằng tồn tại phần tử a ∈ R sao cho f(x) = ax,∀x∈R.
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửa Phiên bản đã chỉnh sửa
TS. Trần HuyênNgày 31 tháng 1 năm 2005