Một miền nguyên bất kì X, dù được xem là sự mở rộng trực tiếp vành các số nguyên Z, còn khá xa mới có được các tính chất cơ bản của lí thuyết chia hết trong vànhZ. Nghiên cứu nguồn gốc của các tính chất cơ bản này, có thể thấy hầu hết chúng đều được suy ra từ một tính chất khá đặc biệt của vành Z. Đó là Iđêan bất kì của vành Z là Iđêan chính. Điều này dẫn ta tới khái niệm vành chính được định nghĩa như sau :
Định nghĩa 1 Vành chính là một miền nguyên X, trong đó Iđêan bất kì đều là Iđêan chính.
Trong đại số cơ sở ta đã biết rằng : vành Z, vành các đa thức K[x] trên một trường K đều là các vành chính.
Để kiểm tra một vành cho trước X là vành chính, theo định nghĩa ta cần kiểm tra X là miền nguyên và phải chỉ ra rằng mỗi Iđêan của X là Iđêan chính.
Ví dụ 1 Chứng minh rằng trường K bất kì là vành chính Giải
Trước tiên ta chỉ ra rằng trong K chỉ có duy nhất hai Iđêan tầm thường là {0} và K. Thật vậy, nếu I 6= 0 là một Iđêan của K thì ∃a 6= 0, a ∈ I, và khi đó ∀x ∈K thì x=a(a−1x)∈ I. vậy I =K.
Bây giờ nếu I = 0 thì I = 0·K Còn nếu I =K thì I = 1·K
Vậy mỗi Iđêan của K đều là Iđêan chính, tức trường K là vành chính.
Nhận xét : Trong ví dụ trên vì trường K chỉ có 2 iđêan duy nhất nên ta đã lần lượt kiểm tra riêng từng Iđêan là Iđêan chính. Trường hợp chung nhất, ta thường lấy một Iđêan bất kìI 6= 0
và tìm cách chứng minh I là Iđêan chính (khi I = 0 thì hiển nhiên I là Iđêan chính !). Để làm điều này, ta để ý rằng nếuI là Iđêan chính thìI phải được sinh bởi một phần tử nào đóa∈I∗, mà a là ước của mọi phần tử trong I, tức a là phần tử nhỏ nhất trong I theo quan hệ thứ tự chia hết. Căn cứ vào cấu trúc cụ thể của vành đang xét, tính chất nói trên của a giúp ta xác định được a và ta chỉ còn phải tìm cách chứng minh là I =hai. Chẳng hạn, nếu 06=ICZ thì từ điềua là nhỏ nhất theo quan hệ chia hết trong I suy ra a cũng là nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối trong I∗, do vậy ta xác định a =min{k >0 : k ∈I}. Hay nếu I 6= 0 là Iđêan trong vành đa thứcK[x], thì từ điều alà nhỏ nhất theo quan hệ chia hết trongI suy raa có bậc nhỏ nhất trong I∗ và dẫn đến việc xác địnha là đa thức có bậc nhỏ nhất trong các đa thức của I∗. Vành chính như đã biết, còn giữ được khá nhiều các tính chất quan trọng của lí thuyết chia hết trong Z như :
• Trong vành chính A, ước chung lớn nhất hai phần tử bất kì là tồn tại.
• Trong vành chínhA, hai phần tử a, blà nguyên tố cùng nhau⇔ ∃s, t ∈A mà sa+tb= 1
• Trong vành chính A nếu ab...cvà (a, c) = 1 thì b...c
• Trong vành chính A phần tửp6= 0 không khả nghịch là bất khả qui ⇔nếu ab...p thì hoặc a...p hoặc b...p
• Trong vành chínhA mỗi phần tửa 6= 0 không khả nghịch đều phân tích được thành tích các nhân tử bất khả qui và sự phân tích là duy nhất nếu không tính đến thứ tự các nhân tử hay sự sai khác các nhân tử khả nghịch.
. . .
Các tính chất này là công cụ giúp ta giải quyết các bài toán về tính chất và mối quan hệ giữa các phần tử trong vành chính.
Ví dụ 2 Trong vành chính A cho a...b, a...c và (b, c) = 1. Chứng minh rằng a...bc Giải Vì a...b nên tồn tại k ∈A mà a =kb (3) Vì a...cnên tồn tại l ∈A mà a =lc (4) Vì (b, c) = 1 nên tồn tạis, t ∈A: sb+tc= 1 (5) Nhân hai vế của (5) với a ta được :
sba+tca=a.
thay a ở hạng tử đầu đẳng thức này theo (4), thay a ở hạng tử thứ hai theo (3) ta được :
a=sb(lc) +tc(kb) = (sl+tk)bc Vậy: a...bc.
Các tính chất trên của vành chính cũng giúp cho chúng ta trong việc xử lí các bài toán phủ định một vành cho trước là vành chính.
Ví dụ 3 Chứng minh rằng vành các đa thức hệ số nguyên Z[x] không là vành chính. Giải
Xét hai đa thức x và 2nguyên tố cùng nhau trong Z[x]. Nếu Z[x] là vành chính thì ắt tồn tại các đa thức h(x), g(x)∈Z[x] sao cho :
xh(x) + 2·g(x) = 1
Tuy nhiên hệ thức này không thể có trong Z[x] bởi số hạng tự do của đa thức vế trái luôn là số chẵn, trong khi đó số hạng tự do của đa thức vế phải là số lẻ !
Vậy Z[x]không là vành chính.
Nhận xét : Để chỉ ra Z[x] không là vành chính, ta đã đưa ra một tính chất có trong vành chính nhưng trong Z[x] lại không có. Đây là một trong những phương pháp thường dùng để phủ định một vành không là vành chính. Ngoài phương pháp này ta có thể sử dụng một trong các phương pháp truyền thống : phản chứng, chẳng hạn ở ví dụ trên ta có thể xử lí bằng phản chứng như sau :
Giả sử Z[x] là vành chính khi đó IđêanI sinh bởi hai đa thức x và3 nguyên tố cùng nhau là Iđêan sinh bởi ước chung lớn nhất của chúng(x,3) = 1, tứcI =Z[x], trong khi đó I =hx,3i
chỉ là tập các đa thức có hạng tử tự do là bội của3, hoàn toàn là Iđêan con thực sự của Z[x]. Mâu thuẩn này chỉ ra giả sử ban đầu là sai, tức Z[x] không là vành chính.
Ví dụ 4 Cho Z(√ −5) = {a+b√ −5 :a, b∈Z}. Chứng minh rằng : 1. Z(√ −5) là miền nguyên và các phần tử2,3,1 +√ −5 và 1−√−5 là các phần tử bất khả qui trong Z(√ −5). 2. Z(√ −5) không là vành chính. Giải
1. Việc kiểm traZ(√
−5)là miền nguyên xin phép dành lại cho độc giả. Ở đây ta chỉ kiểm tra 2,3,1 +√
−5và 1−√−5 là các phần tử bất khả qui. Ta có nhận xét rằng cả4 phần tử trên đều có mô đun bé hơn 4, lớn hơn 1, và vì vậy để chứng minh cả 4 phần tử bất khả qui, ta chứng minh một điều tổng quát hơn sau đây : nếu phần tử z ∈ Z(√
−5)mà
1<|z|<4 thì z bất khả qui.
Trước hết ta thấy rằng trongZ(√
−5)các phần tử khả nghịch chỉ là1+0√
−5,−1+0√ −5. Vậy z =a+b√
−5không khả nghịch ⇔ hoặc b 6= 0 hoặc b= 0 và |a| ≥2.
Khi b 6= 0 thì |z| ≥√−5và khi b = 0 và |a| ≥2thì |z| ≥2.
Vậy z không khả nghịch thì |z| ≥2. Do đó một phần tử không bất khả qui vì luôn phân tích được thành tích hai phần tử không khả nghịch z1·z2 với |z1|,|z2| không bé hơn 2, tức phải có mô đun không bé hơn 2·2 = 4.
Vậy nếu z có1<|z|<4 thì z bất khả qui, và cả bốn phần tử nói trên là bất khả qui. 2. TrongZ(√ −5) xét phần tử 6∈Z(√ −5) ta thấy 6 = 2·3và6 = (1 +√ −5)(1−√−5) Vậy trong Z(√
−5)tồn tại phần tử có tới hai cách phân tích thành các nhân tử bất khả qui khác nhau, vi phạm vào tính duy nhất của sự phân tích thành nhân tử bất khả qui trong vành chính. Vậy Z(√ −5) không thể là vành chính. Bài tập 1. Chứng minh rằng vành Z(√ −2) ={a+b√ −2 :a, b∈Z}là vành chính.
2. Giả sử p6= 0 là phần tử của vành chínhA. Chứng minh rằng pbất khả qui ⇔ Iđêan pA là Iđêan nguyên tố. Chứng minh rằngp là bất khả qui khi và chỉ khi vành thương A/pA là trường. 3. Vành Z(√ 2)[x] có là vành chính không ? 4. Cho Z(√ −3) = {a+b√ −3 : a, b ∈ Z}. Khi đó Z(√
−3) là miền nguyên. Chứng minh rằng:
(a) Các phần tử 2,1 +√
−3,1−√−3 là các phần tử bất khả qui của Z(√ −3).
(b) Z(√
−3)không là vành chính.
5. Vành con chứa đơn vị của một vành chính có là vành chính không ? Ảnh toàn cấu của một vành chính có là vành chính không ?
6. Trong vành chínhA choa, b∈A mà(a, b) = 1. Chứng minh rằng với mọi sốm, nnguyên dương, ta cũng có(am, bn) = 1.
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửa Phiên bản đã chỉnh sửa