Bài BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Từ khoá: Đường conic; Eip; Hypebol; Parabol; Tiêu điểm; Đường chuẩn; Phương trình tắc; Đỉnh; Trục; Trục lớn: Trục nhỏ; Trục thực; Trục ảo; Tâm đối xứng; Tham số tiêu Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng vng góc với trục khơng qua đỉnh mặt nón ta thu đường trịn © Nếu thay đổi vị trí mặt phẳng, ta có thêm loại “đường” khác hình trên, đường gọi đường conic Chúng ta tìm hiều đặc điểm “ đường” cách viết phương trình chúng mặt phẳng toạ độ blog hotrohoctap.com Elip Nhận biết elip Lấy bìa, ghim hai đinh lên hai điểm F1 F2 Lấy vòng dây kín khơng đàn hồi có độ dài lớn hai lần đoạn F1 F2 Qng vịng dây qua hai đinh kéo căng điểm M Tựa đầu bút chì vào vịng dây điểm M di chuyển cho dây luôn căng Đầu bút vạch lên bìa đường mà ta gọi đường elip Cho biết 2c khoảng cách F1 F2 2a + 2c độ dài vịng dây Tính tổng hai khoảng cách F1M F2M Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip (E) tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M + F2M=2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1 F2 = 2c gọi tiêu cự elip (a > c) Phương trình tắc elip Cho elip (E) có tiêu điểm F1 F2 đặt F1 F2 = 2c Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho F1(-c; 0) F2(c; 0) Xét điểm M(x; y) a) Tính F1M F2M theo x, y c b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (E) √ (x +c )2+ y + √ (x−c)2 + y = 2a Người ta chứng minh được: M(x; y) ∈ (E) x2 y + =1 a b2 (1) b = √ a2−c Phương trình (1) gọi phương trình tắc elip Chú ý: (E) cắt Ox hai điểm A1(-a; 0), A2(a; 0) cắt Oy hai điểm B1(0; -b), B2(0; b) Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip blog hotrohoctap.com Đoạn thẳng A1 A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1 B2 gọi trục nhỏ elip Giao điểm O hai trục gọi tâm đối xứng elip Nếu M(x; y) ∈ (E) |x| ≤ a, | y| ≤ b Ví dụ Viết phương trình tắc elip (E) có độ dài hai trục 26 10 Giải Ta có: 2a = 26; 2b = 10, suy a= 13; b =5 Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + = 169 25 Ví dụ Viết phương trình tắc elip có độ dài trục lớn 20 tiêu cự 12 Giải Ta có: 2a = 20; 2c = 12, suy a = 10; c = b = √ a2−c = √ 102−6 = Vậy phương trình tắc elip x2 y2 + =1 100 64 Viết phương trình tắc elip Hình Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao m, rộng 10 m (Hình 5) Viết phương trình tắc elip Hypebol Nhận biết hypebol Lấy bìa, đánh dấu hai điểm F1 F2 Lấy thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d đoạn dây khơng đàn hồi có chiều dài l cho d – l = 2a nhỏ khoảng cách F1 F2 (Hình 6a) Đính đầu dây vào đầu A thước, dùng đinh ghim đầu dây lại vào điểm F2 Đặt thước cho đầu B thước trùng với điểm F1 đoạn thẳng BA quay quanh F1 Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyên M bìa giữ cho dây ln căng, đoạn AM ép sát vào thước, M vạch bia đường (H) (xem Hình 6b) blog hotrohoctap.com a) Chứng tỏ M di động, ta ln có MF1 – MF2 = 2a b) Vẫn đính đầu dây vào đầu A thước đổi chỗ cố định đầu dây lại vào F1, đầu B thước trùng với F2 cho đoạn thẳng BA quay quanh F2 làm tương tự lần đầu đề đầu bút chì M vẽ nhánh khác đường (H) (Hình 6c) Tính MF2 – MF1 Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a nhỏ F1 F2 Hypebol (H) tập hợp điểm M mặt phẳng cho |F M −F M | = 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm hypebol Độ dài F1 F2 = 2c gọi tiêu cự hypebol (c > a) Phương trình tắc hypebol Cho hypebol (H) có tiêu điểm F1 F2 đặt đặt F1 F2 = 2c Điểm M thuộc hypebol (H) |F M −F M | = 2a Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho F1 = (-c; 0) F2 = (c; 0) Xét điểm M(x; y) a) Tính F M F M theo x, y c b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (H) |√( x + a)2 + y 2− √ (x−c )2 + y 2| = 2a blog hotrohoctap.com Người ta chứng minh được: M(x; y) ∈ (E) x2 y – =1 a2 b2 (2) Phương trình (2) gọi phương trình tắc hypebol Chú ý: (H) cắt Ox hai điểm A1 = (-a; 0) A2 = (a; 0) Nếu vẽ hai điểm B1 = (-b; 0) B2 = (b; 0) vào hình chữ nhật OA2PB2 OP = √ a2 +b = c Các điểm A1, A2 gọi đỉnh hypebol Đoạn thẳng A1A2 gọi trục thực, đoạn thắng B1B2 gọi trục ảo hypebol Giao điểm O hai trục tâm đối xứng hypebol Nếu M(x; y) ∈ (H) x ≤ -a x ≥ a Ví dụ Viết phương trình tắc hypebol có độ dài trục thực 16 tiêu cự 20 Giải Ta có: 2a = 16 ⇒ a = 8; 2c = 20 ⇒ c = 10; b = √ a2−c = √ 102−8 = Vậy phương trình tắc hypebol x2 y2 – = 64 36 Viết phương trình tắc hypebol có tiêu cự 10 độ dài trục ảo x2 y2 – =1 272 402 (Hình 9) Cho biết chiều cao tháp 120 m khoảng cách từ tháp đến tâm đối xứng hypebol nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy Tính bán kính đường trịn bán kính đường trịn đáy tháp Một tháp làm nguội nhà máy có mặt cắt hypebol có phương trình blog hotrohoctap.com Parabol Nhận biết parabol Trong mặt phằng Oxy, cho điểm F (0; 1 ), đường thẳng ∆: y + = điểm M(x; y) 2 Để tìm hệ thức x y cho M cách F ∆, học sinh làm sau: Tính MF MH (với H hình chiếu M lên ∆): MF = x 2+( y− ) , MH = d(M, ∆) = y + 2 | | √ Điều kiện để M cách F ∆: MF = d(M, ∆) x 2+( y− ) = y + 2 √ | | 1 x 2+( y − ) = ( y + )2 2 x = 2y y = + x 2 (*) Hãy cho biết tên đồ thị (P) hàm số (*) vừa tim Cho điểm F đường thẳng ∆ cố định không qua F Parabol (P) tập hợp điểm M cách F ∆ F gọi tiêu điểm ∆ gọi đường chuẩn parabol (P) Phương trình tắc parabol Cho parabol (P) có tiêu điểm F đường chuẩn ∆ Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn p hiển nhiên p > P P Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho F( ; ¿ ∆: x + = 2 Xét điểm M(x; y) a) Tính MF d(M, ∆) b) Giải thích phát biểu sau: P M(x; y) ∈ (P) (x− P ) + y = x + 2 √ | | blog hotrohoctap.com Người ta chứng minh được: M(x; y) ∈ (P) y = 2px (3) (3) Phương trình (3) gọi phương trình tắc parabol Chú ý: gọi đỉnh parabol (P) Ox gọi trục đối xứng parabol (P) p gọi tham số tiêu parabol (P) Nếu M(x; y) ∈ (P) x ≥ M’(x; -y) ∈ (P) Ví dụ Viết phương trình tắc parabol (P) có tiêu điểm F( ; ¿ (Hình 12) Giải P (P) có tiêu điểm F( ; ¿, suy = hay p = 2 Vậy (P) có phương trình y2 = 6x Ví dụ Cổng ngơi trường có dạng parabol Đề đo chiều cao h cổng, người đo khoảng cách hai chân cổng m, người thấy đứng cách chân cổng 0,5 m đầu chạm cổng Cho biết người cao 1,6 m, tính chiều cao cổng Giải Ta vẽ lại parabol chọn hệ trục toạ độ Hình 14 Gọi phương trình parabol y2 = 2px Ta có chiều cao cổng OH = BK = h, bề rộng cổng BD = 9, suy BH = 4,5 Vậy điểm B có toạ độ (h; 4,5) Chiều cao người đo AC = 1,6 khoảng cách từ chân người đo đến chân cổng BA = 0,5 Suy FC = FA – AC= h – 1,6 EC = BH – AB = 4,5 – 0,5 = Vậy điểm C có toạ độ (h – 1,6; 4) blog hotrohoctap.com Ta có hai điểm B C nằm parabol nên thay toạ độ B C vào phương trình (P) ta được: 4,52=2 ph 2=2 p (h−1,6) { ⇒ 2p = ⇒h= 4,52 42 4,52−4 = = h h−1,6 1,6 1,6 4,5 ≈ 7,62 (m) 4,52−4 Vậy cổng trường cao khoảng 7,62 m Viết phương trình tác parabol (P) có đường chuẩn ∆: x + = Một cổng chào có hình parabol cao 10 m bề rộng cổng chân cổng m Tính bề rộng cổng chỗ cách đỉnh m BÀI TẬP Viết phương trình tắc của: a) Elip có trục lớn 20 trục nhỏ 16; b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 độ dài trục thực 2a = 12; c) Parabol có tiêu điểm Viết phương trình tắc đường conic Gọi tên tìm toạ độ tiêu điểm chúng a) (C1): 4x2 + 16y2 = 1; b) (C2): 16x2 – 4y2 = 144; c) C3): x = y2 Đề cắt bảng hiệu quảng cáo hình clip có trọc lớn 80 cm trọc nhỏ 40 cm từ ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip lên ván ép hướng dẫn sau: Chuẩn bị: - Hai đinh, vịng dây kín khơng đàn hồi, bút chì Thực hiện: - Xác định vị trí (hai tiêu điểm elip) ghim hai đinh lên hai điểm ván - Quàng vòng dây qua hai đinh kéo căng thành điểm M Tựa đầu bút chì vào vịng dây blog hotrohoctap.com điểm M di chuyển cho dây ln căng Đầu bút chì vạch lên bia đường elip (Xem minh hoạ Hình 15) Phải ghim hai đinh cách mép tầm vàn ép xentimét lấy vịng dây có độ dài bao nhiêu? Một nhà vịm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao m, rộng 20 m (Hình 16) a) Chọn hệ toạ độ thích hợp viết phương trình elip nói b) Tính khoảng cách theo phương thắng đứng từ điểm cách chân tường m lên đến nhà vịm 5 Một tháp làm nguội nhà máy có mặt cắt hình hypebol có phương trình x2 y2 − = (Hình 17) Biết chiều cao tháp 150 m khoảng cách từ tháp đến tâm 282 422 đối xứng hypebol khoảng cách từ tâm đối xứng đến Tính bán kính bán kính đáy tháp Một cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 100 m nâng thẳng đứng treo từ cáp xuồng, dài 30 m, ngăn m (Hình 18) Tính chiều dài cách điểm cầu 18 m blog hotrohoctap.com Bạn có biết? Tính chất quang học ba đường conic Người ta chứng minh được: - Tiếp tuyến điểm M parabol có tiêu điểm F trục d hợp với hai đường thẳng d MF góc - Tiếp tuyến điểm M elip hay hypebol có tiêu điểm F1, F2 hợp với hai đường thẳng MF1 MF2, góc Áp dụng tính chất trên, người ta chế tạo choá đèn chiếu chảo ăng-ten có mặt cắt hình parabol Khi đặt bóng đèn tiêu điểm F chùm tia sáng chiếu từ F tới choá cho chùm tia phản chiếu song song với trục parabol, khiển ánh sáng chiếu xa tập trung Đối với ăng-ten parabol ngược lại, tia tín hiệu song song với trục parabol tới chảo cho tia phản xạ hội tụ F nơi đặt đầu thu tín hiệu, khiến sóng vơ tuyến thu tập trung rõ Đối với elip, tính chất dùng việc chế tạo máy tán sỏi thận Trong đó, đầu phát siêu âm đặt F1, bệnh nhân đặt nằm cho viên sỏi thận vị trí F2 chùm siêu âm xuất phát từ F1 tới clip hội tụ F2 khiến việc điều trị hiệu (Nguồn: https:/medical dictionary, thefreedictionary com/lithotripsy) Các tính chất vừa nêu thường gọi chung tính chất quang học ba đường conic blog hotrohoctap.com THỬ THÁCH Áp dụng tính chất quang học parabol để giải vấn đề sau Một đèn pin có chố đền có mặt cắt hình parabol với kích thước Hình 21 a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho gốc O đinh parabol trục Ox qua tiêu điểm Viết phương trình parabol hệ toạ độ vừa chọn b) Để đèn chiều xa phải đặt bóng đèn cách đỉnh choá đèn xentimét?