Ctst tap 2 9 2

Bài ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Từ khố: Vectơ pháp tuyến; Vectơ phương; Hệ số góc; Phương trình tham số; Phương trình tổng qt; Góc hai đường thẳng Tìm giá trị tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = biểu diễn đường thẳng hình Phương trình đường thẳng Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng Trong mặt phăng Oxy, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (xo; yo) cho hai vectơ n⃗ = (a; b) u⃗ = (b; -a) khác vectơ-không Cho biết u⃗ có giá song song trùng với ∆ a) Tính tích vơ hướng n⃗ u⃗ và nêu nhận xét phương hai vectơ n⃗ , u⃗ b) Gọi M(x; y) điểm di động ∆ Chứng tỏ vectơ ⃗ M M ln phương với vectơ u⃗ ln vng góc với vectơ n⃗ Vectơ u⃗ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ u⃗ ≠ 0⃗ giá u⃗ song song trùng với ∆ Vectơ n⃗ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n⃗ ≠ 0⃗ n⃗ vng góc với vectơ phương ∆ Chú ý:    Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n⃗ = (a; b) ∆ nhận ∆ = (b; -a) u⃗ = (-b; a) vectơ phương Nếu u⃗ vectơ phương đường thẳng ∆ k⃗u (k ≠ O) vectơ phương ∆ Nếu n⃗ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ k⃗n (k ≠ O) vectơ pháp tuyển ∆ blog hotrohoctap.com Ví dụ Cho đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n⃗ = ( 12 ;− 52 ) Tìm vectơ phương ∆ Giải ∆ có vectơ pháp tuyến n⃗ = ( 12 ;− 52 ), suy ∆ có vectơ pháp tuyến 2⃗n = (1;-5) có vectơ phương u⃗ = (5; 1) Phương trình tham số đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0; y0) nhận u⃗ = (u1; u2) làm vectơ phương Với điểm M(x; y) thuộc ∆, tìm toạ độ M theo toạ độ M0 u⃗ Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi: { x=x +t u1 y= y +t u (với u12 + u22 > 0, t∈ R) phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0; y0) có vectơ phương u⃗ = (u1; u2) Chú ý: Cho t giá trị cụ thể ta xác định điểm đường thẳng ∆ ngược lại Ví dụ a) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm A(2; 7) nhận u⃗ = (-3; 5) làm vectơ phương b) Tìm toạ độ điểm M ∆, biết M có hồnh độ -4 Giải a) Phương trình tham số đường thẳng ∆: t {x=2−3 y=7+5 t b) Thay x = -4 vào phương trình x = – 3t, ta -4 = – 3t, suy t = Thay t = vào phương trình y = + 5t, ta y = 17 Vậy M = (-4; 17) a) Viết phương trình tham số đường thẳng d di qua điểm B(-9; 5) nhận ⃗v = (8; -4) làm vectơ phương b) Tìm toạ độ điểm P ∆, biết P có tung độ blog hotrohoctap.com Một trị chơi đua xe tơ vượt sa mạc máy tính xác định trước hệ trục toạ độ Oxy Cho biết ô tô chuyển động thăng từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc ⃗v = (40; 30) a) Viết phương trình tham số đường thẳng d biểu diễn đường ô tô b) Tìm toạ độ xe ứng với t = 2; t = Phương trình tổng quát đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thắng ∆ qua điểm M0(x0; y0) nhận n⃗ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến Với điểm M(x; y) thuộc ∆, chứng tỏ điểm M(x; y) có toạ độ thỏa mãn phương trình: ax + by + c = (với c = -ax0 – by0) Trong mặt phẳng Oxy, đường thắng có phương trình tổng quát dạng ax + by + c= với a b không đồng thời Chú ý:  Mỗi phương trình ax + by + c = (a b không đồng thời 0) xác định đường thẳng có vectơ pháp tuyến n⃗ = (a; b)  Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a b khơng đồng thời Ví dụ Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d trường hợp sau: a) Đường thẳng d qua điểm A(2; 1) có vectơ phương u⃗ = (3; 2); b) Đường thẳng d qua điểm B(3; 3) có vectơ pháp tuyển n⃗ = (5; -2); c) Đường thẳng d qua hai điểm C(1; 1), D(3;5) Giải a) Đường thẳng d qua điểm A(2; 1) có vectơ phương u⃗ = (3; 2), nên ta có phương trình tham số d là: t {x=2+3 y=1+2 t blog hotrohoctap.com Đường thẳng d có vectơ phương u⃗ = (3; 2) nên có vectơ pháp tuyền n⃗ = (2; -3) Phương trình tổng quát d là: 2(x – 2) – 3(y – 1) =  2x – 3y – = b) Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n⃗ = (5; -2) nên có vectơ phương u⃗ = (2; 5) Phương trình tham số d là: {x=3+2t y=3+5 t Phương trình tổng quát d là: 5(x – 3) – 2(y – 3) =  5x – 2y – = c) Đường thẳng d qua hai điểm C(1; 1),D(3; 5) nên có vectơ phương u⃗ = ⃗ CD = (2; 4) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (4; -2) Phương trình tham số d là: t { x=1+2 y=1+4 t Phương trình tổng quát d là: 4(x – 1) – 2(y – 1) =  4x – 2y – =  2x – y – =0 Nhận xét:  Phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng: x−x A y− y A = (với xB ≠ xA, yB ≠ yA) x B−x A y B− y A  Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox Oy A(a; 0) B(0; b) (a, b khác O) phương trình ∆ có dạng x y + = a b (1) Phương trình (1) cịn gọi phương trình đoạn chắn Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) Đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 1) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (3; 5); b) Đường thẳng ∆ qua gốc toạ độ O(0; 0) có vectơ phương u⃗ = (2; -7); c) Đường thẳng ∆ qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) Một người lập trình trị chơi máy tính, Trên hình máy tính xác định trước hệ trục toạ độ Oxy, Người viết lệnh để điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng với vectơ vận tốc ⃗v = (3; -4) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ biểu diễn đường điểm M b) Tìm toạ độ điểm M ∆ cắt trục hoành blog hotrohoctap-com Liên hệ đồ thị hàm số bậc đường thẳng Ta biết đồ thị hàm số bậc y = kx + y, (k ≠ 0) đường thẳng d qua điểm M(0; y0) có hệ số góc k Ta viết: y = kx + y0,  kx – y + y0 = Như vậy, đồ thị hàm bậc y = kx + y0 đường thẳng có vectơ pháp tuyến n⃗ = (k; -1) có phương trình tổng qt kx – y + y0 = Đường thẳng khơng vng góc với Ox Oy Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng qt ax + by + c = với a b khác 0, −a c ta viết: ax + by + c =  y = x –  y = kx + y0 b b Như d đồ thị hàm bậc y = kx + y0, với hệ số góc k = −a c tung độ gốc y0 = - b b Chú ý:  c Nếu a = b ≠ phương trình tổng quát ax + by + c = trở thành y = - b c Khi d đường thẳng vng góc với Oy điểm (0; - ) (Hình 3a) b  c Nếu b = a ≠ phương trình tổng quát ax + by + c = trở thành x = - a c Khi d đường thẳng vng góc với Ox điểm (- ; 0) (Hình 3b) a Trong hai trường hợp này, đường thẳng d đồ thị hàm số bậc Ví dụ Viết phương trình tổng quát đường thẳng đồ thị hàm số bậc sau: a) d1: y = 2x + 3; b) d2: y = −1 x + 5; c) d3: y = x Giải a) Ta có y = 2x +  2x – y + = Vậy phương trình tổng quát d1 là: 2x – y + = blog hotrohoctap.com b) Ta có y = −1 x +  x + 2y – 10 = Vậy phương trinh tổng quát d2 là: x + 2y – 10 = c) Ta có y = x  x – y = Vậy phương trình tổng quát d3 là: x – y = Tìm hàm số bậc có đồ thị đường thắng Một người bắt đầu mở vỏi nước Nước từ vòi chảy với tốc độ m3/h vào bể chứa sẵn m3 nước a) Viết biểu thức tính thể tích y nước có bề sau x b) Gọi y = f(x) hàm số xác định từ câu a) Vẽ đồ thị d hàm số c) Viết phương trình tham số phương trình tổng qt đường thẳng d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thắng ∆ ∆ có vectơ pháp tuyển n⃗ n⃗ Nêu nhận xét vị trí tương đối ∆ ∆ trường hợp sau: a) n⃗ n⃗ phương (Hình 5a, b); b) n⃗ n⃗ khơng phương (Hình 5c, d); c) n⃗ n⃗ vng góc (Hình 5d) Trong mặt phằng Oxy, cho hai đường thắng ∆ 1:a1x + b1y + c1 = (a12 + b12 > 0) có vectơ pháp tuyến n⃗ 1, đường thẳng ∆ 2: a2x + b2y + c2 = (a22 + b22 > 0) có vectơ pháp tuyển n⃗ blog hotrohoctap.com Ta dùng phương pháp toạ độ để xét vị trí tương đối ∆ ∆ sau: Nếu n⃗ n⃗ phương ∆ ∆ song song trùng Lấy điểm P tuỳ ý ∆   Nếu P ∈ ∆ ∆ ≡ ∆ Nếu P ∉ ∆ ∆ // ∆ Nếu n⃗ n⃗ khơng phương ∆ ∆ cắt điểm M(x0; y0) với (x0; y0) nghiệm hệ phương trình: a1 x+ b1 y + c1=0 a2 x+ b2 y + c2 =0 { Chú ý: a) Nếu n⃗ n⃗ = n⃗ ⊥ n⃗ 2, suy ∆ ⊥ ∆ b) Đề xét hai vectơ n⃗ (a1; b1) n⃗ (a2; b2) phương hay không phương, ta xét biểu thức a1b1 – a2b2:   Nếu a1b1 – a2b2 = hai vectơ phương Nếu a1b1 – a2b2 ≠ hai vectơ khơng phương Trong trường hợp tất hệ số a1, a2, b1, b2 khác 0, ta xét hai trường hợp: a1 b = hai vectơ phương a2 b a1 b ≠ Nếu hai vecto khơng phương a2 b Nếu   Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng ∆ ∆ trường hợp sau: a) ∆ 1: 2x + y – = ∆ 2: x – = 0; b) ∆ 1: 2x + y – = ∆ 2: x – y – = 0; c) ∆ 1: 2x + y – = ∆ 2: 4x + 2y + = 0; d) ∆ 1: 2x + y – = ∆ 2: e) ∆ 1: x=3 t ; { y=2−6 t x=t x=1+2t ∆ : { { y=2−2t y =t Giải a) ∆ ∆ có vectơ pháp tuyển n⃗ = (2; 1) n⃗ = (1; 0) Ta có: a1b1 – a2b2 = – = -1 ≠ 0, suy n⃗ n⃗ hai vectơ không phương Vậy ∆ ∆ cắt điểm M Giải hệ phương trình: + y−2=0 ta M(2; -2) {2 xx−2=0 blog hotrohoctap.com b) ∆ ∆ có vectơ pháp tuyến n⃗ = (2; 1) n⃗ = (1; -1) Ta có: ≠ , suy n⃗ n⃗ hai vectơ không phương −1 Vậy ∆ ∆ cắt điểm M Giải hệ phương trình: y−2=0 ta M(1; 0) {2x−x +y−1=0 c) ∆ ∆ có vectơ pháp tuyển n⃗ = (2; 1) n⃗ = (4; 2) Ta có ≠ , suy n⃗ n⃗ hai vectơ phương Vậy ∆ ∆ song song −2 trùng Lấy điểm M(1; 0) thuộc ∆ 1, thay toạ độ M vào phương trình ∆ 2, ta + + = ≠ 0, suy M không thuộc ∆ Vậy ∆ // ∆ d) ∆ ∆ có vectơ pháp tuyến n⃗ = (2; 1) n⃗ = (6; 3) Ta có ≠ , suy n⃗ n⃗ hai vectơ phương Vậy ∆ ∆ song song trùng Lấy điểm P(0; 2) thuộc ∆ 2, thay toạ độ P vào phương trình ∆ ta + – = 0, suy P thuộc ∆ Vậy ∆ ≡ ∆2 e) ∆ ∆ có phương trình tổng quát 2x + y – = x – 2y – = 0, có vectơ pháp tuyến n⃗ = (2; 1) n⃗ = (1; -2) Ta có n⃗ n⃗ = + (-2) = nên n⃗ n⃗ hai vectơ vng góc, suy ∆ ⊥ ∆ Giải hệ phương trình x + y −2=0 x =1 ta nghiệm { {2x−2 y−1=0 y=0 Vậy ∆ ∆ vng góc cắt M(1; 0) Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d1 d2 trường hợp sau: a) d1: x – 5y + = d2: 10x + 2y + = 10; b) d1: 3x – 4y + = d2: c) d1: t ; {x=1+4 y=1+3 t 4t x=1+ 8t { {x=5+ y=4+3 t y=1+6 t Viết phương trình đường thẳng d1 a) Đi qua điểm A(2; 3) song song với đường thẳng d2: x + 3y + = 0; b) Đi qua điểm B(4; -1) vng góc với đường thẳng d3: 3x – y + = blog hotrohoctap.com Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng xy zt cắt O cho biết ^ xOz = 380 (Hình 6) ^ ^ Tính số đo góc ^ xOt , tOy yOz Khái niệm góc hai đường thẳng Hai đường thẳng ∆ ∆ cắt tạo thành bốn góc   Nếu ∆ khơng vng góc với ∆ góc nhọn bốn góc gọi góc hai đường thẳng ∆ ∆ Nếu ∆ vng góc với ∆ ta nói góc ∆ ∆ 900 Ta quy ước: Nếu ∆ ∆ song song trùng góc ∆ ∆ 00 Như góc α hai đường thẳng thoả mãn: 00 ≤ α ≤ 900 Góc hai đường thẳng ∆ ∆ kí hiệu (^ ∆ 1, ∆ ) (∆ 1, ∆ 2) Ví dụ Cho hình vng ABCD (Hình 7), tính góc: (AB, AC), (AB, AD), (AB, DC), (AC, CD) Giải Ta có:     0 ^ BAC = 45 , suy (AB, AC) = 45 AB vng góc với AD, suy (AB, AD) = 900 AB // DC, suy (AB, DC) = 00 0 ^ ACD = 45 , suy (AC, CD) = 45 Cơng thức tính góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆ a1x + b1y + c1 = (a12 + b12 > 0) ∆ 2: a2x + b2y + c2 = (a22 + b22 > 0) có vectơ pháp tuyến n⃗ n⃗ Tìm toạ độ n⃗ , n⃗ tính cos(⃗n1 , n⃗ 2) blog hotrohoctap.com Ta thấy góc (∆ 1, ∆ 2) hai đường thẳng góc (⃗n1 , n⃗ 2) hai vectơ pháp tuyến ln bù (Hình 8) Ta có cơng thức: cos(∆ 1, ∆ 2) = |a1 a2 +b1 b2| √a + b12 √ a22 +b22 Nhận xét: Nếu ∆ ∆ có vectơ phương u⃗ , u⃗ cos(∆ 1, ∆ 2) = |cos(⃗u1 , u⃗ 2)| Chú ý: Ta biết hai đường thẳng vng góc chúng có hai vectơ pháp tuyến vng góc Do đó:  Nếu ∆ ∆ có phương trình a1x + b1y + c1 = a2x + b2y + c2 = ta có: (∆ 1, ∆ 2) = 900  a1a2 + b1b2 =  Nếu ∆ ∆ có phương trình y = k1x + m1 y = k2x + m2 ta có: (∆ 1, ∆ 2) = 900  k1.k2 = -1 Nói cách khác, hai đường thẳng có tích hệ số góc -1 vng góc với Ví dụ Tim số đo góc hai đường thẳng d1 d2 trường hợp sau: a) d1: 2x + 4y + = d2: 3x + y + 2022 = 0; b) d1: x + 2y + = c) d1: x=2+2 t { y=3−7 t d2: d2: x=t ; { y=99+ 2t x=2022+ t ; { y=2023−14 t Giải a) Ta có: cos(d1, d2) = |2.3+4.1| 2 = √2 + √3 +1 10 = Suy (d1, d2) = 450 √200 √2 b) d2 có phương trình tổng qt 2x – y + 99 = Ta có: a1 a2 – b1 b2 = + (-1) = 0, suy (d1, d2) = 900 Hai đường thẳng d1, d2 có vectơ phương u⃗ = (2; -7), u⃗ = (4; -14) Ta có u⃗ = 2⃗u1, u⃗ // u⃗ 2, suy (d1, d2) = 00 blog hotrohoctap.com Tìm số đo góc hai đường thắng ∆ ∆ trường hợp sau: a) ∆ 1: x + 3y – = ∆ 2: x – 2y + = 0; b) ∆ 1: 4x – 2y + = ∆ 2: c) ∆ 1: x=1+t { y=3+2 t ∆ 2: x=t ; { y=13+2 t t ; {x=−7+2 y=1−t Tìm số đo góc hai đường thẳng đồ thị hai hàm số y = x y = 2x + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 > 0) có vectơ pháp tuyến n⃗ cho điểm M0(x0; y0) có hình chiếu vng góc H(xH; yH) ∆ a) Chứng minh hai vectơ n⃗ ⃗ HM phương tìm toạ độ chúng HM Chứng minh p = ax0 + by0 + c b) Gọi p tích vơ hướng hai vectơ n⃗ ⃗ ¿ c) Giải thích cơng thức | ⃗ HM 0| = ¿ p∨ ¿ n⃗ ∨¿ ¿ ¿ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0(a2 + b2 > 0) điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thắng ∆, kí hiệu d(M0, ∆), tính cơng thức: d(M0, ∆) = ¿ a x +b y +c ∨ ¿ ¿ √ a +b Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0), M(1; 2) đến đường thẳng ∆: 4x + 3y + = Giải Ta có: d(O, ∆) = ¿ 4.0+ 3.0+5∨ ¿ ¿ ¿ 15 = = 1, d(M0, ∆) = ¿ 4.1+3.2+5∨ 2 ¿ = = 5 √4 +3 √ +3 Ví dụ Trong khu vực phẳng, ta lấy hai xa lộ vng góc với làm hai trục toạ độ đơn vị độ dài trục tương ứng với km Cho biết với hệ trục toạ độ vừa chọn trạm viễn thơng T có toạ độ (2; 3) Một người gọi điện thoại dị động xe khách chạy đoạn cao tốc có dạng đường thẳng ∆ có phương trình 6x + 8y – = Tính khoảng cách ngắn người trạm viễn thơng T blog hotrohoctap.com Giải Khoảng cách ngắn người trạm viễn thơng T khoảng cách từ T đến đường thẳng ∆ Ta có: d(T, ∆) = ¿ 6.2+8.3−5∨ ¿ ¿ 31 √ +82 = 10 = 3,1 (km) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4) Tính độ dài đường cao tam giác ABC Tính khoảng cách hai đường thắng d1: 4x – 3y + = d2: 4x – 3y + 12 = BÀI TẬP Các toán sau xét mặt phẳng Oxy Lập phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua điểm A(-1; 5) có vectơ phương u⃗ = (2; 1); b) d qua điểm B(4; -2) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (3; -2); c) d qua P(1; 1) có hệ số góc k = -2; d) d qua hai điểm Q(3; 0) R(0; 2) Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) C(5; 4) a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng BC b) Lập phương trình tham số trung tuyến AM c) Phương trình đường cao AH Lập phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) ∆ qua A(2; 1) song song với đường thẳng 3x + y + = 0; b) ∆ qua B(-1; 4) vng góc với đường thẳng 2x – y – = Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d1 d2 sau đây: a) d1: x – y + = d2: x + y + = 0; c) d1: b) d1: =1+ 2t d : 5x – 2y + = 0; {xy=3+5 t x=2−t d : 3x + y – 11 = { y=5+3 t blog hotrohoctap.com Cho đường thẳng d có phương trình tham số x=2−t { y=5+3 t Tìm giao điểm d với hai trục toạ độ Tìm số đo góc hai đường thẳng d1 d2 trường hợp sau: a) d1: x – 2y + = d2: 3x – y – 11 = 0; b) d1: x=t { y=3+5 t d2: x + 5y – = 0; c) d1: t { x=3+2 y=7+ t d2: x=t { y=−9+ 2t Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ trường hợp sau: x=t { y=−t a) M(1; 2) ∆: 3x – 4y + 12 = 0; b) M(4; 4) ∆: x=t −19 ; c) M(0; 5) ∆: y= d) M(0; 0) ∆: 3x + 4y – 25 = 0; { Tính khoảng cách hai đường thẳng: ∆: 3x + 4y – 10 = ∆’: 6x + 8y – = Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động đường thẳng d: 12x – 5y + 16 = Tính khoảng cách ngăn từ điểm M(5; 10) đến điểm S 10 Một người viết chương trình cho trị chơi bóng đá rơ bốt Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) ba vị trí hình a) Viết phương trình đường thẳng AB, AC, BC b) Tính góc hợp hai đường thẳng AB AC c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC blog hotrohoctap-com