Bài Tích vơ hướng hai vectơ Từ khố: Góc hai vectơ; Tích vơ hướng hai vectơ ⃗ ⃗ Tác dụng lực F vào vật làm cho vật dịch chuyển theo vectơ d sinh ⃗|.|d⃗|.cosθ, θ góc hai vectơ cơng A tính theo công thức A = |F ⃗ F d⃗ Góc hai vectơ Cho hình vng ABCD có tâm I (Hình 1) a) Tính ^ IDC b) Tìm hai vectơ có điểm đầu D điểm cuối I C c) Tìm hai vectơ có điểm đầu D vectơ ⃗ AB IB ⃗ Cho hai vectơ a⃗ b⃗ ⃗ 0⃗ OA a⃗ ⃗ OB b⃗ khác Từ điểm O ta = , = Góc ^ AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a⃗ b⃗ Ta kí hiệu góc hai vectơ a⃗ b⃗ (⃗a , b⃗ ) Nếu (⃗a , b⃗ ) = 90° ta nói a⃗ b⃗ vng góc với nhau, kí hiệu a⃗ b⃗ Chú ý: - Từ định nghĩa ta có (⃗a , b⃗ ) = (b⃗ , a⃗ ) - Góc hai vectơ hướng khác 0⃗ ln 0° - Góc hai vectơ ngược hướng khác 0⃗ 180° - Trong trường hợp có hai vectơ⃗a b⃗ vectơ 0⃗ ta quy ước số đo góc hai vectơ tùy ý (từ 0° đến 180°) Ví dụ Cho hình vng ABCD có tâm I giao điểm hai đường chéo Tìm góc: a) (⃗ AB); IB, ⃗ b) (⃗ AI); IB, ⃗ c) (⃗ IB, ⃗ DB); d) (⃗ IA, ⃗ IC) Giải a) Ta có: ⃗ DC = ⃗ AB, suy (⃗ AB) = (⃗ DC) = ^ DI = ⃗ IB, ⃗ IB, ⃗ DI , ⃗ IDC = 45° b) Ta có: ⃗ IC = ⃗ AI, suy (⃗ AI) = (⃗ IC) = ^ IB, ⃗ IB, ⃗ BIC = 90° c) Do hai vectơ ⃗ IB, ⃗ DB hướng nên ta có (⃗ IB, ⃗ DB) = 0° d) Do hai vectơ ⃗ IA, ⃗ IC ngược hướng nên ta có (⃗ IA, ⃗ IC) = 180° Cho tam giác ABC có H trung điểm cạnh BC Tìm góc: (⃗ AB, ⃗ AC ), (⃗ AB, ⃗ BC ), (⃗ AH , ⃗ BC ), (⃗ BH , ⃗ BC ), (⃗ HB, ⃗ BC ) Tích vơ hướng hai vectơ ⃗ Một người dùng lực F có cường độ 10N kéo xe qng đường dài 100 m Tính cơng sinh lực ⃗ F , biết góc vectơ ⃗ F hướng di chuyển 45° (Công A (đơn vị: J) tích ba đại lượng: cường độ lực ⃗ F , độ dài quãng đường cơsin góc ⃗ ⃗ hai vectơ F độ dịch chuyển d ) Cho hai vectơ a⃗ b⃗ 0⃗ khác Tích vơ hướng a⃗ b⃗ số, kí hiệu a⃗ b⃗ , xác định công thức: a⃗ b⃗ = |⃗a| |b⃗|.cos (⃗a , b⃗ ) Chú ý: a) Trường hợp hai vectơ a⃗ b⃗ 0⃗ , ta quy ước a⃗ b⃗ = b) Với a⃗ = b⃗ khác 0⃗ , ta có a⃗ b⃗ ⇔ a⃗ b⃗ = c) Khi a⃗ = b⃗ tích vơ hướng a⃗ b⃗ kí hiệu a⃗ gọi bình phương vơ hướng vectơ a⃗ Ta có a⃗ = |⃗a|.|⃗a| cos0° = |⃗a|2 Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh có đường cao AH Tính tích vơ hướng: a) ⃗ AB ⃗ AC; b) ⃗ AB ⃗ BC; c) ⃗ AH ⃗ BC Giải a) ⃗ AB ⃗ AB, ⃗ AC = |⃗ AB|.|⃗ AC|.cos( ⃗ AC ) = 4.4.cos 60° = 16 = 8; b) ⃗ AB ⃗ BC = |⃗ AB|.|⃗ BC|.cos( ⃗ AB, ⃗ BC) = 4.4.cos120° = 16.(- ) = -8 c) ⃗ AH ⃗ BC = |⃗ AH| |⃗ BC|.cos(⃗ AH , ⃗ BC) = |⃗ AH| |⃗ BC|.cos90° = Chú ý: Trong Vật lí, tích vơ hướng ⃗ F d⃗ biểu diễn công A sinh lực ⃗ F thực độ dịch chuyển d⃗ Ta có cơng thức: A = ⃗ F d⃗ Cho tam giác ABC vng cân A, có cạnh huyền Tính tích vơ hướng: ⃗ AB ⃗ AC, ⃗ AC ⃗ BC, ⃗ BA ⃗ BC √2 ⃗ a⃗ Hai vectơ b có độ dài và có tích vơ hướng 12√ Tính góc hai vectơ a⃗ b⃗ ⃗ F Một người dùng lực có độ lớn 20 N kéo vật dịch chuyển đoạn 50 m hướng với ⃗ F Tính cơng sinh lực ⃗ F Tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: a⃗ b⃗ c⃗ Với ba vectơ , , số k, ta có: a⃗ b⃗ = b⃗ ⃗a ; a⃗ (b⃗ +⃗c ) = a⃗ b⃗ + a⃗ ⃗c ; (k⃗a ).b⃗ = k(⃗a b⃗ ) =⃗a (kb⃗ ) Ví dụ Áp dụng tính chất tích vơ hướng, chứng minh rằng: (⃗a +b⃗ )2 = a⃗ + 2⃗a b⃗ + b⃗ Giải Ta có: (⃗a + b⃗ )2 = (⃗a + b⃗ ).(⃗a + b⃗ ) = a⃗ ⃗a + a⃗ b⃗ + b⃗ ⃗a +b⃗ b⃗ = a⃗ +⃗a b⃗ + a⃗ b⃗ + b⃗ = a⃗ + 2⃗a b⃗ + b⃗ Vậy (⃗a + b⃗ )2 = a⃗ + 2⃗a b⃗ + b⃗ Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta có: (⃗a - b⃗ )2 = a⃗ – 2⃗a b⃗ + b⃗ 2; (⃗a + b⃗ ) (⃗a - b⃗ ) = a⃗ - b⃗ Ví dụ Cho tam giác ABC Tính cạnh AB theo hai cạnh cịn lại góc C Giải Ta có AB2 = ⃗ AB = (⃗ CB – ⃗ CA)2 = ⃗ CB + ⃗ CA -2⃗ CB.⃗ CA = CB2 + CA2 - 2CB.CA.cosC hay c2 = a2 + b2 – 2bc cosC i⃗ ⃗j Cho hai vectơ , , vng góc, có độ dài a) Tính: (i⃗ + ⃗j )2; (i⃗ - ⃗j )2; (i⃗ + ⃗j ) (i⃗ - ⃗j ) b) Cho a⃗ = 2i⃗ + ⃗j , b⃗ = 3i⃗ – ⃗j , Tính tích vơ hướng a⃗ ,b⃗ tính góc (⃗a , b⃗ ) ^ ° OSO Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết gần 120 μ1 ⃗ μ2, Người ta biểu diễn phân cực nguyên tử S với nguyên tử O vectơ ⃗ có phương với liên kết cộng hố trị, có chiều tử nguyên tử S nguyên tử O μ1 + ⃗ μ2 dùng để biểu diễn phân có độ dài 1,6 đơn vị (Hình 6) Cho biết vectơ tổng ⃗μ = ⃗ cực phân tử SO2 Tính độ dài ⃗μ BÀI TẬP Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính tích vơ hướng: ⃗ AB ⃗ AD , ⃗ AB ⃗ AC , ⃗ AC ⃗ CB , ⃗ AC ⃗ BD Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O cho AD = a, AB = 2a Tính: a) ⃗ AB ⃗ AO ; b) ⃗ AB.⃗ AD Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng OA = a, OB = b Tinh tích vơ hướng ⃗ OA.⃗ OB hai trường hợp: a) Điểm O nằm đoạn thẳng AB; b) Điểm O nằm đoạn thẳng AB Cho đoạn thẳng AB có O trung điểm cho điểm M tuỳ ý Chứng minh rằng: ⃗ MA.⃗ MB = 2 MO – OA Một người dùng lực ⃗ F có độ lớn 90 N làm vật dịch chuyển đoạn 100 m Biết lực ⃗ F hợp với hướng dịch chuyển góc 60° Tính cơng sinh lực ⃗ F Cho hai vectơ có độ dài và có tích vơ hướng -6 Tính góc hai vectơ Bạn có biết? Tại muỗi số virus gọi vectơ? Ta biết vectơ ⃗ AB có hướng từ A đến B Trong Sinh học, vectơ dùng để sinh vật truyền bệnh từ đối tượng A sang đối tượng B Ví dụ muỗi vectơ bệnh sốt xuất huyết Vacxin vectơ sử dụng virus vi khuẩn làm giảm độc lực để đưa DNA vào tế bào thể người Từ “ vectơ” để ám virus vi khuẩn đóng vai trị vật chủ Trong tự nhiên, virus bám vào tế bào đưa vật chất di truyền chúng vào tế bào Trong phịng thí nghiệm, nhà khoa học “lợi dụng” trình để bào chế vacxin Cụ thể, nhà khoa học tìm cách chèn thêm đoạn vật chất di truyền vi sinh vật khác vào đoạn gen virus vơ hại Sau đó, virus mang DNA tới tế bào thể Vacxin vectơ tái tổ hợp mơ q trình nhiễm trùng tự nhiên, có khả kích thích hệ miễn dịch hiệu (Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Vira_ vector)