Bài Tích số với vectơ Từ khố: Tích số với vectơ; Tích vectơ với số; Điều kiện phương hai vectơ Xe B hướng với xe A có tốc độ gấp lần xe A Xe C ngược hướng với xe A có tốc độ gấp lần xe A Tích số với vectơ tính chất a⃗ a⃗ a⃗ a⃗ a⃗ Cho vectơ Hãy xác định độ dài hướng hai vectơ: + , (- ) + (- ) (Hình 1) Cho số k khác vectơ a⃗ a⃗ a⃗ 0⃗ khác Tích số k với vectơ vectơ, kí hiệu k Vectơ k a⃗ hướng với a⃗ k > 0, ngược hướng với a⃗ k < có độ dài |k| |a| Ta quy ước 0⃗a k0⃗ = 0⃗ Người ta cịn gọi tích số với vectơ tích vectơ với số Ví dụ Cho tam giác ABC có M, N trung điểm cạnh AB, AC (Hình 2) Tìm hình vectơ bằng: 2⃗ AB; - 2⃗ CN MN; - ⃗ Giải AB = ⃗ Ta có: 2⃗ BC; - ⃗ MA; - 2⃗ CN = ⃗ AC MN = ⃗ BM = ⃗ Cũng phép nhân phép cộng số thực, người ta chứng minh phép tốn vectơ có tính chất sau: Với hai vectơ a⃗ b⃗ bất kì, với số thực h k, ta có: k (⃗a +b⃗ ) = k⃗a + kb⃗ ; (h + k)⃗a = h⃗a + k⃗a ; h(k⃗a ) = (hk)⃗a ; 1.⃗a = a⃗ (- 1).⃗a = -⃗a Ví dụ Thực phép tốn vectơ sau: a) 5(⃗u + ⃗v); b) (x + 2)⃗a ; c) - 3(4⃗e ); d) c⃗ – 2⃗c Giải a) 5(⃗u + ⃗v) = 5⃗u + 5⃗v b) (x + 2) a⃗ = x⃗a + 2⃗a ; c) - 3(4⃗e ) = (-3.4)⃗e = - 12⃗e ; d) c⃗ - 2⃗c = (1-2)⃗c = (-1) c⃗ = - c⃗ Ví dụ Cho đoạn thẳng AB điểm M tùy ý Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng AB ⃗ MA + ⃗ MB = 2⃗ MI Giải Ta có ⃗ MA + ⃗ IA + ⃗ MB = 2MI ⇔ ⃗ MI + ⃗ MI + ⃗ IB = 2⃗ MI IA + ⃗ ⇔ 2⃗ MI + ⃗ IB = 2⃗ MI IA + ⃗ ⇔⃗ IB = ⇔ I trung điểm đoạn thẳng AB a⃗ b⃗ Cho hai vectơ , điểm M Hình a) Hãy vẽ vectơ ⃗ MN = 3⃗a , ⃗ MP = 3b⃗ b) Cho biết vng có cạnh Tính: |3 b⃗| , |−3 b⃗| , |2 ⃗a +2 b⃗| Cho tam giác ABC Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC ⃗ MC = 3⃗ MG MB + ⃗ ⃗ MA + Một tàu chở hàng A hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ Cùng lúc đó, tàu chở khách B hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ Biểu diễn vectơ vận tốc b⃗ tàu B theo vectơ vận tốc a⃗ chất tàu A Điều kiện để hai vectơ phương ⃗a Cho hai vectơ a⃗ b⃗ phương, b⃗ khác 0⃗ cho c⃗ = ⃗ b⃗ So sánh độ dài hướng b || hai vectơ a⃗ c⃗ Hai vectơ a⃗ a⃗ 0⃗ b⃗ b⃗ b⃗ ( khác ) phương có số k cho = k Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để ⃗ AB = k⃗ AC Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC a) Tính ⃗ BI theo ⃗ BA, ⃗ BC b) Tính ⃗ BK theo ⃗ BA, ⃗ BC c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Giải a) ⃗ BA + ⃗ AI = ⃗ BA + BI = ⃗ 1 1 ⃗ AM = ⃗ BA + (⃗ BA) = ⃗ BA + ⃗ BM - ⃗ BC (1) 2 1 AC = ⃗ BA + ⃗ BC (2) b ⃗ BA + ⃗ AK = ⃗ BA + ⃗ BA + (⃗ BC - ⃗ BA) - = ⃗ BK = ⃗ 3 3 c) Ta có: (1) ⇔ 4⃗ BI = 2⃗ BA + ⃗ BC BA + ⃗ BC (2) ⇔ 3⃗ BK = 2⃗ nên ⃗ BI - ⃗ BK (3) Từ (3) ta suy ba điểm B, I, K thẳng hàng Chú ý: Cho hai vectơ a⃗ b⃗ không phương Với vectơ c⃗ tồn cặp số thực (m; n) cho c⃗ = m⃗a + nb⃗ Cho tứ giác ABCD có I J trung điểm AB CD Cho điểm G thoả mãn ⃗ GA + ⃗ GB + ⃗ GC + ⃗ GD = 0⃗ Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng BÀI TẬP Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo, Với M điểm tuỳ ý, chứng minh rằng: a) ⃗ MA + ⃗ MB + ⃗ MC + ⃗ MD = 4⃗ MO; b) ⃗ AB + ⃗ AC + ⃗ AD = 2⃗ AC Cho tứ giác ABCD Gọi M M trung điểm cạnh AB CD Chứng minh rằng: a) ⃗ AC + ⃗ BD = 2⃗ MN; B) ⃗ AC + ⃗ BC + ⃗ AD BD = ⃗ Cho hai điểm phân biệt A B Xác định điểm M cho ⃗ MA + 4⃗ MB = 0⃗ Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF Lấy điểm M tuỳ ý, chứng minh ⃗ MA + ⃗ MC + ⃗ MG MB + ⃗ MD = 4⃗ Máy bay A bay hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h Cùng lúc đó, máy bay B bay hướng tây nam với tốc độ 800 km/h Biểu diễn vectơ vận tốc b⃗ máy bay B theo vectơ vận tốc a⃗ máy bay A Cho hai điểm phân biệt A B a) Xác định điểm O cho ⃗ OA + 3⃗ OB = 0⃗ b) Chứng minh với điểm M, ta có ⃗ MA + 3⃗ MB = 4⃗ MO Cho tam giác ABC BC , ⃗ a) Xác định điểm M, N, P thoả mãn: ⃗ AN = 3⃗ CP = ⃗ PA MB = ⃗ NB, ⃗ b) Biểu thị vectơ ⃗ MN, ⃗ MP theo hai vectơ ⃗ BC , ⃗ BA c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng