Ctst tap 1 5 2

Bài Tổng hiệu hai vectơ Từ khoá: Tổng hai vectơ; Hiệu hai vectơ; Quy tắc ba điểm; Quy tắc hình bình hành Một kiện hàng vận chuyển từ điểm A đến điểm B lại vận chuyển từ điểm B đến điểm C Tìm vectơ biểu diễn tổng hai độ dịch chuyển: ⃗ + ⃗ AB BC Tổng hai vectơ Một rô bốt thực liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển biểu diễn hai vectơ ⃗ ⃗ (Hình 1) Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển rô bốt AB BC sau hai chuyển động ⃗ a⃗ b⃗ AB a⃗ ⃗ BC b⃗ Cho hai vectơ Từ điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C cho = , = Khi ⃗ AC gọi tổng hai vectơ a⃗ , b⃗ kí hiệu a⃗ + b⃗ Vậy a⃗ + b⃗ = ⃗ AB+ ⃗ BC = ⃗ AC Phép tốn tìm tổng hai vectơ cịn gọi phép cộng vectơ.Từ định nghĩa tổng hai vectơ, ta suy quy tắc cộng vectơ sau đây: Quy tắc ba điểm Với ba điểm M, N, P, ta có: ⃗ MN + ⃗ NP = ⃗ MP Chú ý: Khi cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối vectơ thứ phải điểm đầu vectơ thứ hai Ví dụ Cho điểm E, F, G, H, K Thực phép cộng vectơ: ⃗ EF + ⃗ FH ; ⃗ FK + ⃗ KG; ⃗ EH + ⃗ HE Giải Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: ⃗ KG = ⃗ FG ; ⃗ EF + ⃗ FH = ⃗ EH ; ⃗ FK + ⃗ EH + ⃗ HE = ⃗ EE = 0⃗ Cho hình bình hành ABCD (Hình 4) Chứng minh ⃗ AB + ⃗ AD = ⃗ AC Từ ta suy quy tắc cộng vectơ sau đây: Quy tắc hình bình hành Nếu OABC hình bình hành ta có Ví dụ Tìm tổng hai vectơ a⃗ b⃗ Hình ⃗ OA + ⃗ OC = ⃗ OB Giải Ta có: a⃗ = ⃗ AB, b⃗ = ⃗ AD, suy a⃗ + b⃗ = ⃗ AB + ⃗ AD Theo quy tắc hình bình hành, ta có ⃗ AB + ⃗ AD = ⃗ AC Vậy a⃗ + b⃗ = ⃗ AC Chú ý: Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa tốn tìm tổng hai vectơ tốn tìm tổng hai vectơ có chung điểm đầu Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB DC.Cho biết a⃗ = ⃗ +⃗ ; ⃗ = ⃗ + AC CB b DB ⃗ BC Chứng minh hai vectơ a⃗ b⃗ hướng Cho tam giác ABC có cạnh a Tìm độ dài vectơ ⃗ AB + ⃗ AC Một máy bay có vectơ vận tốc theo hướng bắc, vận tốc gió vectơ theo hướng đơng Hình Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói ⃗ F1 ⃗ F2 ⃗ OA ⃗ OB Hai người kéo thuyền với hai lực = , = có độ lớn 400 N, 600 N (Hình 8) Cho biết góc hai vectơ 60° Tìm độ lớn vectơ hợp lực ⃗ F F ⃗ F tổng hai lực ⃗ Tính chất phép cộng vectơ Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ biểu diễn Hình Hãy hồn thành phép cộng vectơ sau so sánh kết tìm được: a) a⃗ + b⃗ = ⃗ AB + ⃗ BC = ?; AE + ⃗ EC = ? b⃗ + a⃗ = ⃗ b) (⃗a + b⃗ ) + c⃗ = (⃗ AB + ⃗ BC) + ⃗ CD = ⃗ AC + ⃗ CD = ?; a⃗ + (b⃗ + c⃗ ) = ⃗ AB + (⃗ BC + ⃗ CD) = ⃗ AB + ⃗ BD = ? Phép cộng vectơ có tính chất sau:    Tính chất giao hoán: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ ; Tính chất kết hợp: (⃗a + b⃗ ) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗ ); Với vectơ a⃗ , ta ln có: a⃗ + 0⃗ = 0⃗ + a⃗ = a⃗ Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta xác định tổng ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ , kí hiệu a⃗ +b⃗ + c⃗ với a⃗ + b⃗ + c⃗ = (⃗a + b⃗ ) + c⃗ Ví dụ Cho tứ giác ABCD Thực phép cộng vectơ sau: a) (⃗ AB + ⃗ CA ) + ⃗ BC ; b) ⃗ AB + ⃗ CD + ⃗ BC + ⃗ DA Giải Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng vectơ, ta có: a) (⃗ AB + ⃗ CA ) + ⃗ BC = (⃗ CA + ⃗ AB) + ⃗ BC = ⃗ CB + ⃗ BC = ⃗ CC = 0⃗ b) ⃗ AB + ⃗ CD + ⃗ BC + ⃗ DA = ⃗ AB + ⃗ BC + ⃗ CD + ⃗ DA = ⃗ AA = 0⃗ Cho hình vng ABCD có cạnh Tính độ dài vectơ sau: a) a⃗ = (⃗ AC + ⃗ CB; BD) + ⃗ b) a⃗ = ⃗ AB + ⃗ AD + ⃗ BC + ⃗ DA Chú ý: Cho vectơ tuỳ ý a⃗ = ⃗ AB Ta có a⃗ + (-⃗a ) = ⃗ AB + ⃗ BA = ⃗ AA = 0⃗ Tổng hai vectơ đối vectơ-không: a⃗ + (-⃗a ) = 0⃗ Hiệu hai vectơ ⃗ ⃗ Tìm hợp lực hai lực đối F - F (Hình 11) Cho hai vectơ a⃗ a⃗ b⃗ a⃗ a⃗ b⃗ b⃗ b⃗ Hiệu hai vectơ vectơ + ( - ) kí hiệu - Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Ví dụ Cho điểm M, N, P, Q Thực phép trừ vectơ sau: ⃗ PQ MN - ⃗ PN ; ⃗ PM- ⃗ Giải Ta có: ⃗ MN – ⃗ PN = ⃗ MN + ⃗ NP = ⃗ MP; ⃗ PM - ⃗ PQ = ⃗ PM + ⃗ QP = ⃗ QP + ⃗ PM = ⃗ QM Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: ⃗ OB - ⃗ OA = ⃗ AB Cho hình vng ABCD có cạnh điểm O tuỳ ý Tính độ dài vectơ sau: a) a⃗ = ⃗ OB - ⃗ OD; b) b⃗ = (⃗ OC - ⃗ OA ) + (⃗ DB - ⃗ DC ) Tính chất vectơ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác a) Cho điểm M trung điểm đoạn thẳng AB Ta biết ⃗ MB =- ⃗ MA = ⃗ AM Hoàn thành phép cộng vectơ sau: ⃗ MA + ⃗ MA + ⃗ AM = ⃗ MB = ⃗ MM = ? b) Cho điểm G trọng tâm tam giác ABC có trung tuyến AI Lấy D điểm đối xứng với G qua I Ta có BGCD hình bình hành G trung điểm đoạn thẳng AD Với lưu ý ⃗ GB + ⃗ GC =⃗ GD ⃗ GA = ⃗ DG, hoàn thành phép cộng vectơ sau: ⃗ GA + ⃗ GB + ⃗ GC = ⃗ GA + ⃗ GD = ⃗ DG + ⃗ GD = ⃗ DD = ? Người ta chứng minh tính chất: Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB ⃗ MA + ⃗ MB 0⃗ = Điểm G trọng tâm tam giác ABC ⃗ GA + ⃗ GB + ⃗ GC = 0⃗ Ví dụ Cho tứ giác ABCD có I,J trung điểm AB, CD O trung điểm IJ Chứng minh ⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC + ⃗ OD = 0⃗ Giải Do I, J, O trung điểm AB, CD IJ nên: ⃗ IA + ⃗ JC + ⃗ OI + ⃗ OJ = 0⃗ IB = 0⃗ ; ⃗ JD = 0⃗ ; ⃗ Ta có: ⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC + ⃗ OD = (⃗ OI + ⃗ IA) + (⃗ OI + ⃗ IB) + (⃗ OJ + ⃗ JC ) + (⃗ OJ + ⃗ JD) = (⃗ OI + ⃗ OJ ) + (⃗ IA + ⃗ IB) + (⃗ OI + ⃗ OJ ) + (⃗ JC + ⃗ JD) = 0⃗ Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm ba điểm M, N, P thoả mãn: a) ⃗ MA + ⃗ MD + ⃗ MB = 0⃗ ; b) ⃗ NC = 0⃗ ; ND + ⃗ NB + ⃗ c) ⃗ PM + ⃗ PN =0⃗ BÀI TẬP Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo điểm M tùy ý Chứng minh rằng: a) ⃗ BA + ⃗ DC = 0⃗ ; b) ⃗ MA + ⃗ MC = ⃗ MB + ⃗ MD Cho tứ giác ABCD, thực phép cộng trừ vectơ sau: a) ⃗ AB + ⃗ BC + ⃗ CD + ⃗ DA; b) ⃗ AB - ⃗ AD c) ⃗ CB - ⃗ CD Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ: a) ⃗ BA + ⃗ AC ; b) ⃗ AB + ⃗ AC ; c) ⃗ BA - ⃗ BC Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh a) ⃗ OA - ⃗ OB = ⃗ OD - ⃗ OC; b) ⃗ OA - ⃗ OB + ⃗ DC = 0⃗ F1 = ⃗ F2 = ⃗ F3 = ⃗ Cho ba lực ⃗ MA, ⃗ MB ⃗ MC tác động vào vật điểm M vật đứng F 1, ⃗ F 10N ^ F yên Cho biết cường độ ⃗ AMB = 90° Tìm độ lớn lực ⃗ Khi máy bay nghiêng cánh góc α, lực ⃗ F khơng khí tác động vng góc với cánh F 1| F lực cản ⃗ F (Hình 16) Cho biết α = 30° |⃗ tổng lực nâng ⃗ F| = a Tính |⃗ F 2|, theo a |⃗ Cho hình vng ABCD có cạnh a ba điểm G, H, K thoả mãn: ⃗ KA + ⃗ KC = 0⃗ ; ⃗ GA + ⃗ GB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + GC = ; HA + HD + HC = Tính độ dài vectơ ⃗ KA, ⃗ GH , ⃗ AG Một tàu có vectơ vận tốc theo hướng nam, vận tốc dịng nước vectơ theo hướng đơng Hình 17.Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói