Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong chương IV, mở rộng khải niệm tỉ số lượng giác góc nhọn qua việc thìết lập giá trị lượng giác góc từ 0˚ đến 180˚ Chúng ta tìm hiểu hệ thức lượng tam giác, cụ thể là: định lí cơng thức tính diện tích tam giác, đồng thời vận dụng định lí, cơng thức nói vào tốn giải tam giác giải số tình thực tiễn Cầu Cần Thơ bắc ngang sông Hậu Học xong chương này, bạn có thể: - Nhận biết tính giá trị lượng giác góc từ 0˚ đến 180˚ - Tính giá trị lượng giác góc từ 0˚ đến 180˚ máy tính cầm tay - Giải thích hệ thức liên hệ giá trị lượng giác góc phụ bù - Giải thích hệ thức lượng tam giác định lí cơsin, định lí sin cơng thức tính diện tích tam giác - Mô tả cách giải tam giác vận dụng vào việc giải số tốn có nội dung thực tiễn Bài Giá trị lượng giác góc từ 0˚ đến 180˚ Từ khố: Giá trị lượng giác, sin; côsin; tang; côtang Làm để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn cho góc từ 0˚ đến 180˚? Giá trị lượng giác Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường trịn tâm O bán kính R = nằm phía trục hồnh gọi nửa đường trịn đơn vị Cho trước góc nhọn α, lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho ^ xOM = α Giả sử điểm M có toạ độ (x0, y0) Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác trị góc nhọn học lớp 9, chứng tỏ rằng: sinα = y0; cosα = x0; tanα = y0 x0 ; cotα = x0 ; y0 Mở rộng khái niệm ti số lượng giác góc nhọn cho góc α với 0˚ ≤ α ≤ 180˚, ta có định nghĩa sau đây: Với góc α (0˚ ≤ α ≤ 180˚) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho ^ xOM = α Gọi (x0, y0) toạ độ điểm M, ta có: - Tung độ y0, M sin góc α, kí hiệu sinα = y0 - Hồnh độ x M cơsin góc a, kí hiệu cosα = x0 - Ti số y0 y0 (x0 ≠ 0) tang góc α, kí hiệu tanα = x0 ; x0 ; - Ti số x0 x0 (y0 ≠ 0) côtang góc α, kí hiệu cotα = y0 ; y0 Các số sinα, cosα, tanα, cotα, gọi giá trị lượng giác góc α Ví dụ Tìm giá trị lượng giác góc 120˚ Giải Lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho ^ xOM = 120˚ Ta có ^ MOy = 120˚ - 90˚ = 30˚ −1 √3 ; ) 2 Ta tính toạ độ điểm M ( Vậy theo định nghĩa ta có: sin120˚= √ ;cos120˚= −1 ; 2 tan120˚ = −√ 3; cot120˚= −√ Chú ý: a) Nếu α góc nhọn giá trị lượng giác α dương Nếu α góc tù sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < b) tanα xác định α ≠ 90˚ cotα xác định α ≠ 0˚ α ≠ 180˚ Tìm giá trị lượng giác góc 135˚ Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Từ lớp ta biết hai góc phụ tỉ số lượng giác chúng có mối liên hệ: sin(90˚ - α) = cosα; cos(90˚ - α) = sinα; tan(90˚ - α) = cotα; cot(90˚ - α) = tanα Sau ta tìm hiểu mối liên hệ giá trị lượng giác hai góc bù Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4) Tính tổng số đo hai góc ^ xOM ^ xON Nếu ^ xOM = α ta có ^ xON = 180˚ - α Giả sử điểm M có toạ độ (xo, yo) Do xN = - xM; yN = yM = yo, nên ta có tính chất sau: Với góc α thố mãn 0˚ ≤ α ≤ 180˚, ta ln có: sin(180˚ - α ) = sinα; cos(180˚ - α ) = cosα; tan(180˚ - α ) = tanα(α ≠ 90˚); cot(180˚ - α ) = -cotα (0˚ ¿ α ¿180˚) Ví dụ √2 ;tan60˚ = Tính sin150˚; cos135˚; tan120˚ Cho biết sin30˚ = ; cos45˚ = √ 2 Giải −√ sin 150˚ = sin30˚ = ; cos135˚ = -cos45= ; tan120˚ = tan60 = √ 2 Tính giá trị lượng giác: sin120˚; cos150˚; cot135˚ Cho biết sinα = , tìm góc α (0˚ ≤ α ≤ 180˚) cách vẽ nửa đường tròn đơn vị Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Giá trị lượng giác góc tính máy tính cầm tay Dưới bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt α 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 135˚ 150˚ 180˚ sinα √2 √3 √3 √2 2 2 cosα √3 √2 2 −1 −√ 2 −√ -1 tanα √3 √3 || −√ -1 −√ 3 cotα || √3 √3 −√ 3 -1 −√ || Giá trị lượng giác 3 Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để giá trị lượng giác khơng xác định Tính: A = sin150˚ + tan135˚ + cot45˚; B = 2cos30˚ - 3tan150˚ + cot 135˚ Tìm góc α: (0˚ ≤ α ≤ 180˚) trường hợp sau: a) sinα = √3 b) cosα = −√ ; c) tanα = - 1; d) cotα = √ Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác góc Có nhiều loại máy tính cầm tay giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác góc Chẳng hạn, ta thực loại máy tính cầm tay sau: Sau mở máy, ấn liên tiếp phím để hình lên bảng lựa chọn Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc Ấn phím để vào chế độ tính tốn a) Tính giá trị lượng giác góc Ví dụ Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125˚34’28” Giải Để tính sin125˚34’28”, ta ấn liên tiếp phím sau đây: kết sin125˚34’28” = 0,8133603236, với hiển thị hình bên Để tính cosα, tanα ta làm trên, thay phím phím Trường hợp muốn tính cotα, ta tính tan α b) Xác định số đo góc biết giá trị lượng giác góc Ví dụ Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0˚ ≤ α ≤ 180˚) biết cosα = -0,2341 Giải Để tìm α biết cosα, = -0,2341, ta ấn liên tiếp phím sau đây: kết α ≈ 103˚32’19” với hiển thị hình bên Để tìm a biết sinα, tanα ta làm tương tự trên, thay phím phím a) Tính cos80˚43’51”; tan147˚12’25” ; cot99˚9’19” b) Tìm α (0˚ ≤ α ≤ 180˚), biết cosα = -0,723 BÀI TẬP √ ;tan45˚ = Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác Cho biết sin30˚ = ; sin60˚ = 2 hai góc bù nhau, phụ để tính giá trị E = 2cos30˚ + sin150˚ + tan135˚ Chứng minh rằng: a) sin20˚ = sin160˚ b) cos50˚ = cos130˚ Tìm góc α (0˚ ≤ α ≤ 180˚) trường hợp sau: a) cosα = −√ ; b) sinα = 0; c) tanα = 1; d) cotα không xác định Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) sinA = sin(B + C); b) coSA = -cos(B + C) Chứng minh với góc α (0˚ ≤ α ≤ 180˚), ta có: a) cos2α + sin2α = 1; c) + tan2α = b) tanα cotα = (0˚ ¿ α ¿180˚, α ≠ 90˚); ; cos2 α Cho góc α với cosα = d) + cot2α = (0˚ ¿ α ¿180˚) sin2 α −√ Tính giá trị biểu thức A = 2sin2α + 5cos2α Dùng máy tính cầm tay, thực yêu cầu đây: a) Tình: sin168˚45’33”; cos17˚22’35”; tan156˚26’39”; cot56˚36’42” b) Tìm α (0˚ ≤ α ≤ 180˚) trường hợp sau: i) sinα = 0,862; ii) cosα = -0,567; iii) tanα = 0,334