Ctst tap 1 4 2

Bài Định lí cơsin định lí sin Từ khố: Định lí cơsin; định lí sin; Diện tích tam giác; Cơng thức tính diện tích tam giác Làm để tính độ dài cạnh chưa biết hai tam giác đây? Định lí cơsin tam giác a) Cho tam giác ABC tam giác vng với góc A nhọn C ^ ≥ ^B Vẽ đường cao CD đặt tên độ dài Hình Hãy thay ? chữ thích hợp để chứng minh cơng thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA theo gợi ý sau: Xét tam giác vng BCD, ta có: a2 = d2 + (c - x)2 = d2 + x2 + c2 - 2xc Xét tam giác vng ACD, ta có: b2 = d2 + x2 = d2 = b2 - x2 cosA = ?  ? = bcosA b (1) (2) (3) Thay (2) (3) vào (1), ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA ^ ta vẽ đường cao BD chứng minh tương tự Lưu ý: Nếu ^B > C b) Cho tam giác ABC với góc A tù Làm tương tự trên, chứng minh ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA Lưu ý: Vì A góc tù nên cosA = −x b c) Cho tam giác ABC vuông A Hãy chứng tỏ công thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA viết a2 = b2 + c2 Định lí cơsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = C, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA; b2 = a2 + c2 - 2cacosB; c2 = a2 + b2 - 2abcosC Từ định lí cơsin, ta có hệ sau : Hệ b2 +c 2−a ; cosA= bc c 2+ a2−b ; cosB= ca a2 +b2 −c cosC= 2a b Ví dụ ^ = 115˚, AC = BC = 12 Tính độ dài cạnh AB góc A, Cho tam giác ABC có C B tam giác Giải Theo định lí cơsin, ta có: AB2 = BC2 + AC2 - 2.BC.AC cosC = 122 + 82 - 12.8.cos115˚ ≈ 289,14 Vậy AB ≈ √ 289,14 ≈ 17 Theo hệ định lí cơsin, ta có cosA = AB + AC 2−BC 172 + 82−122 = ≈ 0,7684 AB AC 2.17 ^ ) ≈ 25˚13’ Suy ^ A ≈ 39˚47’, ^B = 180 - ( ^ A+C Tính cạnh góc chưa biết tam giác ABC Hình Tính khoảng cách hai điểm hai đầu hồ nước Biết từ điểm cách hai đầu hồ 800 m 900 m người quan sát nhìn hai điểm góc 70˚ (Hình 5) 2 Định lí sin tam giác a) Cho tam giác ABC tam giác vng có BC = a, AC = b, AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Vẽ đường kính BD i) Tính sin ^ BDC theo a R ii) Tìm mối liên hệ hai góc ^ BAC ^ BDC Từ chứng minh 2R = a sin A b) Cho tam giác ABC với góc A vng Tính sinA so sánh a với 2R để chứng tỏ ta có cơng thức 2R = Từ a sin A ta có định lí sau: Định lí sin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = C, ta có: a b c = = = 2R sin A sin B sin C R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: Hệ a = 2RsinA; sinA = a ; 2R b = 2RsinB; sinA = b ; 2R c = 2RsinC; sinA = c 2R Ví dụ Cho tam giác ABC có ^ A = 72˚, B = 83˚, BC = 18 Tính độ dài cạnh AC, AB bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Giải Đặt a = BC, b = AC, c = AB ^ = 180˚ - (72˚ + 83˚) = 25˚ Ta có: a = 18, C Áp dụng định lí sin, ta có a = b = c = sin A sin B sin C Suy ra: AC = b = a sin B 18.sin 83 ˚ = ≈ 18,8; sin A sin72 ˚ AB = c = a sin C 18.sin 25 ˚ = ≈ 8; sin A sin72 ˚ R= a 18 = ≈ 9,5 2.sin A 2.sin 72 ˚ Tính cạnh góc chưa biết tam giác MNP Hình Trong khu bảo tồn, người ta xây dựng tháp canh hai bồn chứa nước A, B để phòng hoả hoạn Từ tháp canh, người ta phát đám cháy số liệu đưa Hình Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn? Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC Hình 10 a) Viết cơng thức tính diện tích S tam giác ABC theo a b) Tính theo b sinC c) Dùng hai kết để chứng minh công thức S = absinC d) Dùng định lí sin kết câu c) để chứng minh công thức S = abc 4R Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c (I; r) đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11) a) Tính diện tích tam giác IBC, IAC, IAB theo r a, b, c b) Dùng kết để chứng minh cơng thức tính diện tích tam giác ABC: S= r (a+ b+c ) Bằng cách áp dụng hệ thức lượng tam giác, ta tìm thêm nhiều cơng thức tính diện tích tam giác Ví dụ: Thay = c.sinB vào cơng thức tính diện tích S = aha, ta S = acsinB Cho tam giác ABC Ta kí hiệu:  ha, hb, hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB  R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác  r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác  p nửa chu vi tam giác  S diện tích tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác sau: 1 1) S = aha = bhb, = chc; 3) S = abc ; 4R 1 2) S = absinC = bcsinA = acsinB; 4) S = pr; 5) S = √ p ( p−a)( p−b)( p−c) (cơng thức Heron) Ví dụ ^ = 30˚ Cho tam giác ABC có a = 2√ 3, b = C a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải a) Áp dụng cơng thức S = absinC, ta có: 1 S = 2√ 3.2.sin30˚= 2√ 3.2 = √ ≈ 1,7 2 b) Áp dụng định lí cơsin, ta có: c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 12 + - 2.2√ √3 = Suy c = Áp dụng định lí sin, ta có: R = c = = 2.sin C 2.sin 30 ˚ = Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a = 30, b = 26, c = 28 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Giải a) Ta có p = (30 + 26 + 28) = 42 Áp dụng cơng thức Heron, ta có: S = √ p ( p−a)( p−b)( p−c) = √ 42(42−30)( 42−26)¿ ¿) = 336 b) Ta có S = abc abc 30.26.28 , suy R = = = 16, 25 4R 4S 336 Ta lại có S = pr, suy r = S = P Tính diện tích tam giác ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trường hợp sau: a) Các cạnh b = 14, c = 35 ^ A = 60˚; b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = Tính diện tích cánh buồm hình tam giác Biết cánh buồm có chiều dài cạnh 3,2 m hai góc kề cạnh có số đo 48˚ 105˚ (Hình 12) BÀI TẬP Tính độ dài cạnh x tam giác sau: Tính độ dài cạnh c tam giác ABC Hình 14 ^ = 61˚ Tính góc, cạnh cịn lại bán Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, ^B = 79˚, C kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Một cơng viên có dạng hình tam giác với kích thước Hình 15 Tính số đo góc tam giác 5 Tính diện tích cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên thành 90 cm góc đỉnh 35˚ Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = A = 60˚ a) Tính diện tích tam giác ABC b) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác IBC Cho tam giác ABC có trọng tâm G độ dài ba cạnh AB, BC, CA 15, 18, 27 a) Tính diện tích bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác GBC Cho đường cao vẽ tử đỉnh A, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh hệ thức: = 2RsinBsinC Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD CE hai đường cao a) Chứng minh S BDE BD BE = S BAC BA BC b) Biết SABC = 9SBDE DE = 2√ Tính cosB bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 10 Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, BD = y góc AC BD α Gọi S diện tích tứ giác ABCD a) Chứng minh S = xysinα b) Nêu kết trường hợp AC ⏊ BD