Ctst tap 1 3 2

Bài Hàm số bậc hai Từ khoá: Hàm số bậc hai; Tập giá trị hàm số bậc hai; Biến thiên; Parabol; Đỉnh; Trục đối xứng; Quỹ đạo parabol y=a x2 y=a x2 +bx y=a x2 +bx +c Các hàm số có chung đặc điểm gì? y=a(x−m)( x−n) y=a(x−h)2 +k Hàm số bậc hai Khai triển biểu thức hàm số sau xếp theo thứ tự lũy thừa (nếu có thể) Hàm số có lũy thừa bậc cao x bậc hai? a) y=2 x ( x −3 ) ; x giảm dần c) y=−5 ( x +1 ) ( x−4 ) b) y=x ( x 2+ )−5 ; Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho cơng thức có dạng y=f ( x )=a x 2+ bx+ c với a , b , c số thực a khác Tập xác định hàm số bậc hai R Ví dụ Hàm số hàm số sau hàm số bậc hai? a) y=2 x 2+ x ; b) y=x + x +1; c) y= x +1 ; x +2 d) y=−3 x 2−1 ; e) y= √ 5−2 x Giải Hàm số y=2 x 2+ xvà hàm số y=−3 x 2−1đều hàm số bậc hai Các hàm số y=x + x +1; y= x +1 ; y= √5−2 x hàm số bậc hai x +2 Hàm số hàm số cho Đồ thị hàm số bậc hai hàm số bậc hai? a) Xét hàm số: y=f ( x )=x 2−8 x+ 19=( x−4 )2 +3 có bảng giá trị: x f (x) 4 Trên mặt phẳng toạ độ, ta có điểm ( x ; f (x )) với x thuộc bảng giá trị cho (Hình 1) Hãy vẽ đường cong qua điểm A , B , S , C , D nêu nhận xét hình dạng đường cong so với đồ thị hàm số y=x 2trên Hình b) Tương tự, xét hàm số: 2 y=g ( x )=−x +8 x−13=−( x−4 ) +3 có bảng giá trị: x g( x ) -1 -1 Trên mặt phẳng toạ độ, ta có điểm ( x ; g (x)) với x thuộc bảng giá trị cho (Hình 2) Hãy vẽ đường cong qua điểm A, B, S, C, D nêu nhận xét hình dạng đường cong so với đồ thị hàm số y=−x2 Hình Từ , ta thấy hai dạng đồ thị hàm số bậc hai ứng với hai trường hợp a< [ ( )] ( ) −b Một cách tổng quát, sau biến đổi y=a x +bx +c=a x− 2a a> + −∆ ,với a ≠ 0và 4a ∆=b 2−4 ac người ta chứng minh mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai −b ∆ ;− ) y=a x2 +bx +c có hình dạng parabol có đỉnh S( 2a 4a Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y=a x2 +bx +c (với a ≠ 0) parabol ( P): −b −∆ - Có đỉnh S với hồnh độ x S = , tung độ y S = ; 2a 4a −b - Có trục đối xứng đường thẳng x= (đường thẳng qua đỉnh S song song với 2a trục Oy); - Bề lõm quay lên a> 0, quay xuống a< 0; - Cắt trục tung điểm có tung độ c, tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0 ; c ) Chú ý: a) Nếu b=2 b' (P) có đỉnh S ( −b ' ∆ ' ;− a a ) b) Nếu phương trình ax +bx +c=0 có hai nghiệm x , x đồ thị hàm số bậc hai y=ax 2+ bx+ c cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ hai nghiệm này? (xem Hình 3) Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y=ax 2+ bx+ c (với a ≠ 0): −b ∆ ;− ) 1) Xác định toạ độ đỉnh S( 2a 4a −b 2) Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x= 2a 3) Tìm toạ độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có) −b ;c Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, điểm B a 4) Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, qua điểm tìm ( ) Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số : a) y=f ( x )=−x 2+ x−3 ; b) y=f ( x )=x 2+ x +2 Giải a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y=f ( x )=−x 2+ x−3 parabol (P): - Có đỉnh S với hồnh độ x S =2, tung độ y S =1; - Có trục đối xứng đường thẳng x = (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); - Bề lõm quay xuống a< 0; - Cắt trục tung điểm có tung độ −3, tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0 ;−3) Ngồi ra, phương trình −x 2+ x−3=0 có hai nghiệm phân biệt x 1=1 x 2=3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm có toạ độ (1; 0) (3; 0) Ta vẽ đồ thị Hình b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y=f ( x )=x 2+ x +2 parabol (P): - Có đỉnh S với hồnh độ x S =−1, tung độ y S =1; - Có trục đối xứng đường thẳng x=−1(đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); - Bề lõm quay lên a > 0; - Cắt trục tung điểm có tung độ 2, tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0; 2) Ta vẽ đồ thị Hình y=x 2−4 x +3 Vẽ đồ thị hàm số so sánh đồ thị hàm số với đồ thị hàm số Ví dụ 2a Nêu nhận xét hai đồ thị Sự biến thiên hàm số bậc hai Từ đồ thị hàm số bậc hai cho hai hình sau, tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số trường hợp Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y=ax 2+ bx+ c(với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: Chú ý: Từ bảng biến thiên hàm số bậc hai, ta thấy: - Khi a> 0, hàm số đạt giá trị nhỏ T= [ −∆ ;+∞ 4a ) −∆ −b x= hàm số có tập giá trị 4a 2a −∆ −b x= hàm số có tập giá trị 4a 2a - Khi a< 0, hàm số đạt giá trị lớn ( T = −∞ ;− ∆ 4a ] Ví dụ Lập bảng biến thiên hàm số y=−x2 + x−3 Hàm số có giá trị lớn hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị Giải Đỉnh S có tọa độ x S = −b −4 = =2 ; y S =−22 +4.2−3=1 2a (−1) Hay S ( 2; ) Vì hàm số bậc hai có a=−1