Bài Tập hợp Từ khoá: Tập hợp; Phần tử; Thuộc; Không thuộc; Tập hợp rỗng; Tập con; Nằm trong; Chứa; Đoạn; Khoảng; Nửa khoảng Nhắc lại tập hợp Như biết cấp Trung học sở, toán học, người ta dùng từ tập hợp để nhóm đối tượng hồn tồn xác định Mỗi đối tượng nhóm gọi phần tử tập hợp Ví dụ a) Các học sinh lớp 10A tạo thành tập hợp Các học sinh nữ lớp tạo thành tập hợp b) Các nghiệm phương trình x - = tạo thành tập hợp (gọi tập nghiệm phương trình x - = 0) Tập hợp có hai phần tử -2 2 Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu phần tử tập hợp chữ in thường a, b, c, Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp” Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc “a thuộc A”) Để a không phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Ví dụ a) Cho A tập hợp số tự nhiên chẵn nhỏ 10, ∈ A, ∈ A, ∉ A, 10 ∉ A b) Nếu gọi B tập hợp tháng năm âm lịch có 31 ngày, B tập rỗng Người ta thường kí hiệu tập hợp số sau: N tập hợp số tự nhiên; Z tập hợp số nguyên; Q tập hợp số hữu tỉ; R tập hợp số thực a) Lấy ba ví dụ tập hợp số phần tử chúng b) Với tập hợp N, Z, Q, R, sử dụng kí hiệu ∈ ∉ để hai phần tử thuộc, hai phần tử không thuộc tập hợp Cách xác định tập hợp Xét tập hợp A số tự nhiên chẵn nhỏ 15 Ta viết tập hợp A dạng liệt kê phần tử: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}, dạng tính chất đặc trưng cho phần tử: A = {x |x ∈ N, x chẵn x < 15} Chú ý: Khi liệt kê phần tử tập hợp, ta có số ý sau đây: a) Các phần tử viết theo thứ tự tùy ý Chẳng hạn, để viết tập hợp A nghiệm phương trình x(x - 1) = 0, ta viết A = {0; 1} A = {1; 0} b) Mỗi phần tử liệt kê lần Chẳng hạn, kí hiệu B tập hợp chữ tiếng Anh từ “mathematics” B = {m; a, t; h; e; i; c; s} c) Nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ người ta dùng “ ” mà không thiết viết tất phần tử tập hợp Chẳng hạn, tập hợp số tự nhiên khơng q 100 viết {0; 1; 2; …;100} Ví dụ Viết tập hợp sau dạng thích hợp: a) Tập hợp A ước dương 18; b) Tập hợp B nghiệm phương trình x + 3x - = 0; c) Tập hợp C số tự nhiên lẻ; d) Tập hợp D nghiệm phương trình x + 3y = Giải a) Số 18 có ước dương 1; 2; 3; 6; 9; 18 Do A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} b) Giải phương trình x + 3x - = nhận hai nghiệm -4 Do B = {1; -4} Ta viết B = {x ∈ R | x + 3x - = 0} 2 c) Ta viết dạng liệt kê phần tử: C = {1; 3; 7; …} Ta viết dạng tính chất đặc trưng cho phần tử: C = {x | x ∈ N, x số lẻ} C = {x ∈ N | x số lẻ) C = {x | x = 2n + 1, n ∈ N} d) Ta viết D = {(x; y) | x, y ∈ R, x + 3y = 1} Chú ý: Có tập hợp, A B ví dụ 3, ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp gọi tập hợp hữu hạn Nếu E tập hợp hữu hạn số phần tử kí hiệu n(E) Chằng hạn, Ví dụ 3, ta có: n(A) = n(B) = Đặc biệt, n(∅) = Viết tập hợp sau dạng liệt kê phần tử tìm số phần tử tập hợp đó: a) Tập hợp A ước 24; b) Tập hợp B gồm chữ số số 1113 305; c) C = {n ∈ N | n bội n ≤ 30}; d) D = {x ∈ R | x - 2x +3 = 0} Viết tập hợp sau dạng tính chất đặc trưng cho phần tử: a) A = {1; 3; 5; 15}; b) B = {0; 5; 10; 15; 20; …}; c) Tập hợp C nghiệm bất phương trình 2x +5 > Tập hai tập hợp Trong trường hợp sau đây, hai tập hợp A B có điều đặc biệt? (Các phần tử tập hợp A có thuộc tập hợp B khơng?) a) A = {-1; 1} B = {-1; 0; 1; 2} b) A = N B =Z; c) A tập hợp học sinh nữ lớp 10E, B tập hợp học sinh lớp này; d) A tập hợp loài động vật có vú, B tập hợp lồi động vật có xương sống Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói tập hợp A tập tập hợp B kí hiệu A ⊂ B (đọc A chứa B), B ⊃ A (đọc B chứa A) Nhận xét: - A ⊂ A ∅ ⊂ A với tập hợp A - Nếu A tập B ta kí hiệu A ⊄ B (đọc A không chứa B B không chứa A) - Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B có quan hệ bao hàm Trong toán học, người ta thường minh hoạ tập hợp hình phẳng bao quanh đường cong kín, gọi biểu đồ Ven (đặt theo tên nhà toán học, nhà triết học người Anh John Venn) Theo cách này, ta minh hoạ A tập B Hình Chú ý: Giữa tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu ti, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Hai tập hợp A B gọi nhau, kí hiệu A = B, A ⊂ B B ⊂ A Nói cách khác, hai tập hợp A B phần tử tập hợp phần tử tập hợp ngược lại Ví dụ Xét quan hệ bao hàm cặp tập hợp sau Chúng có khơng? a) A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {0; 2; 4}; b) C = {x ∈ R |x = 4} D = (x ∈ R | |x| = 2}; c) E tập hợp hình bình hành F tập hợp tứ giác có hai cặp cạnh đối song song; d) G = {x ∈ N | x bội 3} H = {x ∈ N | x bội 6} Giải a) Ta thấy phần tử B phần tử A, B ⊂ A, Có ∈ A ∉ B, A khác B b) Hai phương trình x = |x| = có hai nghiệm x = x = -2 Do đó, C = D = {-2;2} c) Ta biết rằng, hình tứ giác hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song Do đó, x ∈ E x ∈ F ngược lại Bởi vậy, E = F d) Giả sử x ∈ H, tức x bội Khi có số k ∈ N cho x = 6k = 3.2k Suy x bội hay x ∈ G Vậy H ∈ G Mặt khác, có ∈ G ∉ H Do đó, G khác H Trong cặp tập hợp sau đây, tập hợp tập tập hợp cịn lại? Chúng có không? a) A = {-3; 3} B = {x ∈ R |x - = 0}; b) C tập hợp tam giác D tập hợp tam giác cân; c) E = {x ∈ N | x ước 12} F = {x ∈ N | x ước 24} Viết tất tập tập hợp A = {a, b} Bạn An khẳng định rằng: Với tập hợp A, B, C bất kì, A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C Khẳng định bạn An có khơng? Hãy giải thích cách sử dụng biểu đồ Ven Một số tập tập hợp số thực Sau ta thường sử dụng tập tập số thực sau (a b số thực, a < b): Tên gọi kí hiệu Tập hợp Tập số thực (-∞; +∞) R Đoạn [a;b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b } Khoảng (a;b) {x ∈ R | a < x < b} Nửa khoảng [a;b) {x ∈ R | a ≤ x < b} Nửa khoảng (a;b] {x ∈ R | a < x ≤ b } Nửa khoảng (-∞;a] {x ∈ R | x ≤ a } Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ R | x ≥ a} Khoảng (-∞;a) {x ∈ R | x < a} Biểu diễn trục số Khoảng (a; +∞) {x ∈R | x > a} Trong ký hiệu trên, kí hiệu -∞ đọc âm vơ cực, kí hiệu +∞ đọc dương vơ cực Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết tập hợp sau đây: a) {x ∈ R | -2 < x < 3}; b) {x ∈ R | 1≤ x ≤ 10}; c) {x ∈ R |-5 < x ≤ 3}; d) (x ∈ R | ≤ x < 4}; e) {x ∈ R | x < 14}; g) {x ∈ R |x ≥ 2} BÀI TẬP Viết tập hợp sau dạng liệt kê phần tử: a) A ={x ∈ Z | |x| < 5}; b) B ={x ∈ R |2x - x - = 0}; c) C = {x ∈ N | x có hai chữ số} Viết tập hợp sau dạng tính chất đặc trưng cho phần tử a) Tập hợp A = (1; 2; 3; 6, 9, 18}; b) Tập hợp B nghiệm bất phương trình 2x + > 0; c) Tập hợp C nghiệm phương trình 2x - y = 3.Trong cặp tập hợp sau đây, tập hợp tập tập cịn lại? Chúng có khơng? a) A = {x ∈ N |x < 2} B = {x ∈ R |x - x = 0}; b) C tập hợp hình thoi D tập hợp hình vng, c) E = (-1; 1] F = (-∞; 2] Hãy viết tất tập tập hợp B = {0; 1; 2} Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, viết tập hợp sau a) {x ∈ R |-2 < x ≤ 2}; b) {x ∈ R | |x| ≤ 3}; c) {x ∈ R | x < 0}; d) {x ∈ R | 1- 3x ≤ 0}