Bài 11 hình thoi

BÀI 11 HÌNH THOI Mục tiêu  Kiến thức + Nhớ lại định nghĩa hình thoi + Nắm tính chất hình thoi + Nắm dấu hiệu nhận biết hình thoi  Kĩ + Vẽ hình thoi + Chứng minh tứ giác hình thoi + Chứng minh cạnh, góc dựa vào tính chất hình thoi I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Hình thoi hình bình hành ABCD hình thoi  ABCD tứ giác có AB BC CD DA Tinh chất Hình thoi có tất tính chất hình bình hành Định lí: Trong hình thoi - Hai đường chéo vng góc với - Hai đường chéo đường phan giác góc hình thoi Dấu hiệu nhận biết a) Tứ giác có bốn cạnh hình thoi b) Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi c) Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi d) Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Hình vẽ Khái niệm Hình thoi Hình thoi tứ giác có bốn cạnh ABCD hình thoi  ABCD tứ giác có AB BC CD DA Tính chất Hình thoi có tất tỉnh chất hình bình hành Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có bốn cạnh hình thoi Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thoi Phương pháp giải Các dấu hiệu nhận biết hình thoi Tứ giác có bốn cạnh hình thoi Ví dụ: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo trung điểm cạnh bốn đỉnh Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Bước 1: Xác định yếu tố liên quan đến tứ Nhận xét: giác cạnh/góc để định hướng sử dụng dấu hiệu Bài tốn có giả thiết liên quan đến trung điểm, nhận biết tương ứng có quan hệ đường trung bình tam giác Ta sử dụng dấu hiệu: “Tứ giác có bốn cạnh hình thoi” Bước 2: Nếu khơng sử dụng dấu hiệu “Tứ giác có Giả sử tứ giác ABCD có AC BD E , F , G, H lần bốn cạnh hình thoi” ta chứng lượt trung điểm AB, BC , CD DA Áp dụng minh qua hai phần: tính chất đường trung bình tam giác ta chứng  Phần 1: Chứng minh tứ giác hình bình 1 hành, hình chữ nhật minh được: EH FG  BD HG EF  AC 2  Phần 2: Chỉ tính chất vng góc hai Mà AC BD  EH HG GF FE nên EFGH đường chéo, hai cạnh kề hình thoi Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có AC vng góc với AD Gọi E , F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh tứ giác AECF hình thoi Hướng dẫn giải Xét tứ giác ABCD có EF đường trung bình Suy EF //BC //AD Mà AC  AD nên EF  AC  1 Mà ABCD hình bình hành nên AB //DC AB CD Trang Do đó, ta được: AE CF AE //CF Suy AECF hình bình hành   Từ  1 ,   suy tứ giác AECF hình thoi Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM , I trung điểm AC , K trung điểm AB, E trung điểm AM Gọi N điểm đối xứng M qua I a) Chứng minh tứ giác AKMI hình thoi b) Tứ giác AMCN hình gì? Vì sao? c) Chứng minh E trung điểm BN Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A  AC  AB  , M trung điểm AB, P điểm nằm ABC cho MP  AB Trên tia đối tia MP lấy điểm Q cho MP MQ Chứng minh tứ giác APBQ hình thoi Câu 3: Cho tam giác ABC cân A, hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D, cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi Câu 4: Cho ABC vuông A, D trung điểm BC Gọi M điểm đối xứng với D qua AB, E giao điểm DM AB Gọi N điểm đối xứng với D qua AC , F giao điểm DN AC a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ADBM hình gì? Vì sao? c) Tứ giác ADCN hình gì? Vì sao? Dạng 2: Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Các tính chất hình thoi: Ví dụ: Cho hình thoi ABCD tâm O Độ dài - Hình thoi có tất tính chất hình bình hành AC 8cm, BD 10cm Tính độ dài cạnh hình thoi - Trong hình thoi: Hướng dẫn giải + Hai đường chéo vng góc với + Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Trang Ta có OA  AC : 4  cm  , OB BD : 5  cm  Tam giác AOB vuông O nên theo định lí Py-tago ta có: AB  OA2  OB  42  52  41  cm  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thoi ABCD tâm O Độ dài OA 8cm, OB 6cm Tính độ dài cạnh hình thoi Hướng dẫn giải Tam giác AOB vng O nên theo định lí Py-ta-go ta có: AB  OA2  OB  82  62 10  cm   60 Kẻ AE  DC , AF  BC , E  CD F  BC Ví dụ Cho hình thoi ABCD có B a) Chứng minh AE  AF b) Chứng minh tam giác AEF Hướng dẫn giải  a) Do AC phân giác góc DCB nên AE FA (theo tính chất đường phân giác góc)  60 nên ABC ADC tam giác Khi AE; AF vừa b) Có B   đường cao, đường trung trực, vừa đường phân giác nên EAC FAC 30    Do FAE EAC  FAC 60  Vậy AFE cân có FAE 60 nên FAE Trang Ví dụ Cho hình thoi ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo Trên cạnh AD, AB, BC , DC lấy theo thứ tự điểm M , N , P, Q cho AM CN CP  AQ Chứng minh: a) M , O, P thẳng hàng N , O, Q thẳng hàng b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Hướng dẫn giải  AD BC ; AD //BC  a) Do ABCD hình thoi nên   AM CP  MD BP   MD //BP Từ tứ giác MBPD hình bình hành nên BD  MP  O Do ba điểm M , O, P thẳng hàng  DC  AB; DC //AB  Do ABCD hình thoi nên   AQ CN  DN BQ   DN //BQ Từ tứ giác BNDQ hình bình hành nên BD  NQ  O Do ba điểm N , O, Q thẳng hàng b) Theo phần a) ta thấy rằng: + M , O, P thẳng hàng MO OP; + N , O, Q thẳng hàng NO OQ Suy ra, tứ giác MNPQ hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)  180  C   Ta có CNP cân nên CNP  CPN  180  C    CDB cân nên CDB mà góc đồng vị nên NP // BD   CNP CDB Tương tự MN //AC Mà ABCD hình thoi nên ta có AC  BD  Kết hợp với  1   suy MQ  MN  QMN 90  Do hình bình hành MNPQ có QMN 90 nên hình chữ nhật Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Cho tam giác ABC , phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E , qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh EF phân giác AED Câu 2: Cạnh hình thoi có độ dài 25, đường chéo có độ dài 14 Tính độ dài đường chéo cịn lại Câu 3: Cho hình thoi DEFG hình vẽ bên Tính x Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E , F , G, H trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh a) EFGH hình thoi b) AC , BD, EG, FH đồng quy Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình thoi để Ví dụ: Chứng minh rằng, hình thang điều kiện phù hợp toán a) Trung điểm hai đường chéo hai cạnh đáy bốn đỉnh hình bình hành b) Hình thang phải có thêm điều kiện để trung điểm hai đường chéo hai cạnh đáy bốn đỉnh hình thoi Bước 1: Xác định dạng tứ giác (hình bình hành, hình thang, hình thang cân) với giả thiết ban đầu Hướng dẫn giải Bước 2: Bổ sung thêm yếu tố để hình trở a) Giả sử, ta có hình thang ABCD M , N , P, Q thành hình thoi: + Hình bình hành có hai cạnh kề + Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với trung điểm AB, DC , BD AC Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác cho ABC DBC ta có: MQ //PN //BC MQ PN  BC Trang Vậy MPNQ hình bình hành b) Tương tự ta có: QN //MP //AD QN MP  AD Do đó, để MPNQ hình thoi hình bình hành MNPQ phải có hai cạnh kề Tức NP NQ  AD BC Vậy hình thang ABCD có AD BC thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC , qua điểm D thuộc cạnh BC , kẻ đường thẳng song song với AB AC , cắt AC AB theo E F a) Tứ giác AEDF hình gì? b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi? Hướng dẫn giải a) Theo ta có: DE //AB; DF //AC (giả thiết) nên AEDF hình bình hành b) Do AEDF hình bình hành (theo câu a) nên để AEDF hình thoi AD phân giác  FAE Suy D giao điểm đường phân giác A với BC Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O có AB //CD AB 13cm, AC 10cm Với điều kiện tứ giác ABCD hình thoi? A BO 12cm B AC 13cm C AC 15cm D AC 11cm Câu 2: Hình bình hành MNPQ với MN //PQ cần thêm điều kiện để trở thành hình thoi? A NP MQ B MP  NQ C MP  NQ D MN PQ Câu 3: Tứ giác ABCD với hệ điều kiện hình thoi?  AB //CD  A  AB CD  AD BC   AB CD B   AC BD Trang  AB //CD; AD //BC C   AB  AD DC BC  AB  AD  D CB CD   BCD 90 Câu 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH hình thoi Trang ĐÁP ÁN BÀI 11 HÌNH THOI Dạng Chứng minh tứ giác hình thoi Câu a) Ta có MK đường trung bình tam giác BAC nên MK //AI MK  AI nên giác AKMI hình bình hành Mặt khác, hai cạnh kề AK AI nên AKMI hình thoi b) Tứ giác AMCN có hai đường chéo AC MN cắt trung điểm đường nên AMCN hình bình hành Mà AM  MC (tam giác ABC cân A ) nên AMCN hình chữ nhật c) Ta có AN //MC ; AN MC Mà BM CM nên AN BM , suy ANMB hình bình hành E trung điểm AM suy E trung điểm BN Câu Do AM MB; PM MQ (giả thiết) nên APBQ hình bình hành Mả PM  AB hay PQ  AB nên APBQ hình thoi Câu Ta dễ dàng chứng minh được: ABE ACF (cạnh huyền, góc nhọn)  AE  AF ; BE CF (cặp cạnh tương ứng) Vì H trực tâm ABC nên AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ GB GC DE DF Xét EBC có GN //BE (cùng vng góc với AC ) GB GC nên NE  NC Chứng minh tương tự ta MF MB Dùng định lí đường trung bình tam giác, ta chứng minh DM //GN DM GN nên tứ giác DNGM hình bình hành Mặt khác, DM DN (cùng nửa hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi Câu a) Do AB  DM E nên AED 90 Tương tự, AC  DN F nên AFD 90 Xét tứ giác AEDF có:  BAC  AED  AFD 90  AEDF hình chữ nhật b) ABC có BD DC , DE //AD nên AE BE Ta lại có DE EM ( D đối xứng với M qua AB ) Trang 10 Do đó, ADBM có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Hình bình hành ADBM có AB  DM nên hình thoi c) Chứng minh tương tự phần b) ta có tứ giác ADCN hình thoi Dạng Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Câu Ta có ED //AF ; AE //FD nên tứ giác AEDF hình bình hành  Mà AD phân giác EAF nên tứ giác AEDF hình thoi  EF phân giác AED Câu Gọi AB 25cm, BD 14cm, BO 7cm Tam giác AOB vuông O nên: AO  AB  BO  252  24  cm  Do độ dài đường chéo cịn lại AC 2 AO 2.24 48  cm  Câu   Ta có DEFG hình thoi  DGF  GDE 180    DGF 180  GDE 110 110    55 Do GE phân giác DGF nên x DGE Câu a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC ADC Ta có EF //HG; EF HG  AC HE //FG; HE FG  BD Mà ABCD hình chữ nhật nên AC BD Do đó, EFGH hình thoi b) Gọi  O  AC  BD  O trung điểm AC BD Trang 11 Ta dễ dàng được: EBGD BFDH hình bình hành Suy AC , BD, EG, FH đồng quy trung điểm đường (điểm O ) Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi 1 A 2 C 3 C Câu Ta có HE , GF đường trung bình ADB CDB nên HE //GF  //DB  HE GF  DB Tương tự HG EF  AC Để EFGH hình thoi AC BD Trang 12