CHƯƠNG 1: TỨ GIÁC BÀI 1: TỨ GIÁC Mục tiêu Kiến thức + Nắm định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng góc tứ giác lồi Kĩ + Vẽ gọi tên yếu tố tứ giác + Vận dụng định lý tổng góc tứ giác để giải tập Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Quy ước: Nếu khơng nói ta quy ước tứ giác Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, nhắc đến tứ giác lồi BC, CD, DA hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng Tứ giác ABCD gọi tứ giác lồi Tứ giác lồi nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Tính chất a) Tính chất đường chéo Trong tứ giác lồi, hai đường chéo cắt điểm thuộc miền tứ giác Ngược lại, tứ giác có hai đường chéo cắt điểm thuộc miền tứ giác tứ giác lồi b) Tính chất góc Tổng góc tứ giác 360 Trang SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính số đo góc Phương pháp giải Sử dụng định lí tổng bốn góc tứ giác Kết Ví dụ: Cho hình vẽ Tìm x hợp kiến thức học tính chất dãy tỉ số nhau, tốn tổng hiệu,… để tính số đo góc Áp dụng định lí tổng bốn góc tứ giác Xét tứ giác ABCD, có A B C D 360 (định lí tổng bốn góc tứ giác) Ta có: x 5x 8 4x 12 3x 4 360 Trang A 120 B 108 18x 360 x 20 C 68 D 64 Vậy A 120 , B 108 , C 68 ,D 64 Ví dụ mẫu Ví dụ Tứ giác ABCD có A 60 , B 90 Tính số đo góc C, góc D góc ngồi tứ giác đỉnh C nếu: b) C D a) C D 20 Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác ABCD, có A B C D 360 nên C D 360 A B 360 60 90 210 (1) Lại có C D 20 (2) 210 20 115 ,D 115 20 95 Từ (1) (2), suy C b) Xét tứ giác ABCD, ta có: A B C D 360 C D 360 A B 360 60 90 210 (3) Mặt khác C D (4) Từ (3) (4) suy D 210 D 120 , C 120 90 4 Ví dụ Cho tứ giác ABCD biết A : B : C : D 4 : : : Tính số đo góc tứ giác ABCD Hướng dẫn giải Tổng bốn góc tứ giác 360 nên A B C D 360 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: A B C D A B C D 360 36 4 3 1 10 Vậy A 144 , B 108 , C 72 ,D 36 Trang Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tứ giác ABCD, có A B 140 Tổng C D A 220 B 200 C 160 D 150 Câu Số đo góc tứ giác ABCD theo tỉ lệ A : B : C : D 4 : : : Số đo góc theo thứ tự A 120 , 90 , 60 , 30 B 140 , 105 , 70 , 35 C 144 , 108 , 72 , 36 D Cả A, B, C sai Câu Tứ giác ABCD có A 65 , B 117 , C 71 Khi D A 119 B 107 C 63 D 126 Câu Chọn câu câu sau: A Tứ giác có bốn góc nhọn B Tứ giác có ba góc vng, góc nhọn C Tứ giác có nhiều hai góc tù, nhiều hai góc nhọn D Tứ giác có ba góc nhọn, góc tù Câu Một tứ giác có cặp góc đối 125 65 , cặp góc đối cịn lại tứ giác A 105 45 B 105 65 C 105 55 D 115 65 Câu Cho tứ giác ABCD có A 65 , B 117 ,D 70 Tính số đo góc C Câu Tính số đo góc C D tứ giác ABCD biết A 120 , B 90 C 2D Câu Tính số đo góc tứ giác ABCD biết A 1 B 2 C 3 D 4 Dạng Tìm mối liên hệ cạnh, đường chéo tứ giác Phương pháp giải Chia tứ giác thành tam giác để sử dụng bất Ví dụ: Tứ giác ABCD có AC AD Chứng minh đẳng thức tam giác Chia tứ giác thành tam giác Áp dụng bất đẳng thức tam giác thích hợp BC BD Kẻ AC cắt BD O Ta có AC BD OA OD OB OC , OA OD AD (bất đẳng thức tam giác AOD), OB OC BC (bất đẳng thức tam giác BOC) Suy AC BD AD BC Trang Mà AC AD (giả thiết) nên BC BD Vậy tứ giác ABCD có AC AD BC BD Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo tứ giác a) Lớn tổng độ dài hai cạnh đối b) Lớn nửa chu vi tứ giác c) Nhỏ chu vi tứ giác Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm AC BD a) Có AC BD AO OC OB OD OA OD OB OC AD BC OA OB OC OD AB CD (bất đẳng thức tam giác) Vậy tổng độ dài hai đường chéo tứ giác lớn tổng độ dài hai cạnh đối tứ giác b) Có AC BD AD BC (chứng minh trên), AC BD AB CD (chứng minh trên) Suy AC BD AB BC CD DA AC BD AB BC CD DA Vậy tổng độ dài hai đường chéo tứ giác lớn nửa chu vi tứ giác c) Xét hai tam giác ABC ADC có Xét hai tam giác ABD BCD có AC AB BC 2AC AB BC CD DA AC AD DC BD AB AD 2BD AB BC CD DA BD BC CD Do AC BD AB BC CD DA AC BD AB BC CD DA Vậy tổng độ dài hai đường chéo tứ giác nhỏ chu vi tứ giác Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh AB BC CD DA OA OB OC OD Câu Cho tứ giác ABCD điểm M thuộc miền tứ giác Chứng minh: MA MB MC MD AC BD Câu Cho tứ giác ABCD Các đường phân giác góc A B cắt I, phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh B cắt J Chứng minh: C D a) AIB b) AJB A B PHẦN ĐÁP ÁN Dạng Tính số đo góc Trang 1–A Câu 2–C 3–B Xét tứ giác ABCD có 4–D 5–B A B C D 360 (định lí tổng bốn góc tứ giác) nên 65 117 C 70 360 C 360 65 117 70 108 Vậy C 108 Câu Xét tứ giác ABCD, ta có: A B C D 360 (định lí tổng bốn góc tứ giác) 120 90 C D 360 C D 150 nên 3D 150 Suy D 50 , C 100 Vì C 2D Câu Xét tứ giác ABCD, có: A B C D 360 (định lí tổng bốn góc tứ giác) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta A 1 B 2 C 3 D 4 A B C D 10 360 10 35 4 3 1 10 A 4.35 1 141 B 3.35 2 107 Suy C 2.35 3 73 D 1.35 4 39 Dạng Tìm mối liên hệ cạnh, đường chéo tứ giác Câu OA OB AB OB OC BC Ta có OC OD CD OD OA DA (bất đẳng thức ba cạnh tam giác) Suy AB BC CD DA OA OB OC OD Câu Vì M điểm thuộc miền tứ giác nên ta ln có MA MC AC (bất đẳng thức tam giác MAC) (1), MB MD BD (bất đẳng thức tam giác MBD) (2) Từ (1) (2) ta có MA MB MC MD AC BD Trang Dấu “=” xảy dấu “=” (1) (2) đồng thời xảy tức M thuộc AC M thuộc BD hay M giao điểm AC BD Câu a) Xét tứ giác ABCD, ta có: A B C D 360 A B 360 C D A B 180 C D C D 180 A B 2 2 C D Xét AIB , có AIB ABI BAI 180 AIB 180 ABI BAI 180 AB 2 b) Có BI BJ phân giác góc góc ngồi đỉnh B tứ giác ABCD nên BI BJ ABJ 90 ABI 90 1 B AI AJ phân giác góc góc ngồi đỉnh A tứ giác ABCD nên AI AJ BAJ 90 BAI 90 A Xét AJB , ta có: AJB ABJ BAJ 180 AJB 180 ABJ BAJ 180 90 90 ABC BAD A B 2 2 Trang