CHỦ đề 1 tứ GIÁC

BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ PHẦN – CÁC CHỦ ĐỀ TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC A/ LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 3600 * Chú ý: Để góc cho trước thỏa mãn góc tứ giác góc có tổng 360o B/ CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC TỪ HÌNH VẼ - Tổng góc tứ giác 360o - Tổng hai góc kề bù 180o - Tổng góc tam giác 180o - Trong tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn 90o Bg o 120 80o gC o g110 A x gD Bài 1: Tìm số đo x hình vẽ sau: BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ Pg x 65o gS Q gx 95o gR Hình a) C g F x 60o Hình b) D g o E 105 g g Bài 2: Tìm số đo x hình vẽ sau: g F Mg gN H Qg xg P x gG g 65o Eg Hình a) Hình b) Hình c) BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ Bài 3: Tính số đo x hình sau: C g 114o D xg 76o o 71 Fg gE g M g 90o 71o g N g 61o Q Eg o 96 x Hg 120 g x P gF o 120o g G Hình a) Hình c) Hình b) BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ A g gB g C Dg 1 B gC 120o g A 75o g1 D g Bài 4: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác Hình a) Hình b) a) Tính góc ngồi tứ giác Hình a) BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại µ µ µ µ đỉnh tứ giác chọn góc ngồi): A + B1 + C1 + D1 = ? c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? Ag 111o y gB AD / /BC gx D g 50 C o y Bài 5: Tìm số đo x hình sau: Gg x gH y GH/ / IK 59o 74o Kg gI Hình a Hình b Bài 6: Cho tứ giác ABCD góc B = 80 o, D = 120o góc ngồi đỉnh C 130o Tính góc A? DẠNG 2: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC KHI BIẾT QUAN HỆ GIỮA CÁC GÓC - Thay liên hệ góc vào hệ thức “Tổng góc tứ giác 360o” µ µ µ µ - Nếu tứ giác ABCD biết A : B:C : D = m : n : p :q (m, n, p, q số nguyên dương) BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ ⇒ µ µ C µ µ µ +B µ +C µ +D µ A B D A 360o = = = = = m n p q m+ n + p+ q m+ n+ p+ q (tính chất dãy tỉ số nhau) µ µ µ µ ⇒ Tính góc A , B, C, D o o µ µ µ µ Bài 7: Tính góc tứ giác ABCD, biết B = A + 15 , C = B + 30 , µ = 2A µ + 10o D o µ o µ µ µ µ µ Bài 8: Cho tứ giác ABCD, biết B = A + 15 , C = 3A , D − C = 25 Tính góc tứ giác ABCD o $ o µ µ µ µ µ Bài 9: Cho tứ giác EFGH, biết G = E + 10 , F = E + 30 , H = 2G Tính góc tứ giác EFGH o µ o µ o µ µ µ µ Bài 10: Cho tứ giác MNPQ, biết P = Q + , M = Q + 45 , N = 2Q − 40 Tính góc tứ giác MNPQ o µ o µ o µ µ Bài 11: Cho tứ giác ABCD có A = 70 , B = 80 , C − D = 20 Tính góc µ D µ C, µ µ µ µ µ Bài 12 Cho tứ giác ABCD biết B + C = 2000, B + D = 1800; C µ + D = 1200 Tính số đo góc tứ giác o o µ µ Bài 13 Cho tứ giác ABCD , biết AB = AD ; B = 90 , A = 60 , µ = 135o D a) Tính góc C b) Từ A ta kẻ AE vng góc với đường thẳng CD Tính góc tam giác AEC µ µ µ $ Bài 14: Tính góc tứ giác ABEF biết A : B:E :F = 1:3:4:7 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ µ µ µ µ Bài 15: Tính góc tứ giác ABCD biết A : B:C : D = 1:2: 4:5 DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH, TÍNH SỐ ĐO GĨC LIÊN QUAN TỚI PHÂN GIÁC CỦA GÓC TRONG TỨ GIÁC * Tia phân giác góc chia góc thành hai góc * Tia phân giác phân giác ngồi góc vng góc với Bài 16 Cho tứ giác ABCD Gọi I giao điểm tia phân µ +D µ C · AIB = µ µ giác A B tứ giác Chứng minh: µ µ Bài 17 Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 180 , CB = CD Chứng · minh AC tia phân giác BAD Bài 18 Cho tứ giác ABCD, tia phân giác góc A góc B cắt M Các tia phân giác góc C góc D cắt N o · · Chứng minh AMB + CND = 180 ? Bài 19 Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC cắt E, hai cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CED BFC cắt I Tính góc EIF theo góc tứ giác ABCD Bài 20: Cho tứ giác ABCD có AC tia phân giác góc A, BC = CD, AB < AD a) Lấy điểm E cạnh AD cho AE = AB Chứng minh · · ABC = AEC o µ µ b) Chứng minh B + D = 180 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Bài 21: Cho tứ giác ABCD, phân giác góc A góc B µ +B µ A · AQB = cắt Q Chứng minh: o µ Bài 22: Tam giác ABC có A = 76 , tia phân giác góc B góc C cắt I, tia phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt K Tính góc tứ giác BICK o o µ µ Bài 23: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có A = 90 , D = 90 ; góc B C khác a) Chứng minh AB/ / DC b) Chứng tỏ hai góc B C phải có góc nhọn c) Khi góc C nhọn Chứng minh AB < DC PHẦN – HƯỚNG DẪN GIẢI HƯỚNG DẪN GIẢI CHỦ ĐỀ Bài 1: o µ µ µ µ Hình a) Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) ⇒ 110o + 1200 + 80o + x = 360o ⇒ x = 50o o µ µ µ $ Hình b) Ta có: P + Q + R + S = 360 (định lý) ⇒ 650 + 95o + 2x = 360o ⇒ x = 100o Bài 2: o µ µ µ µ Hình a) Ta có: M + N + P + Q = 360 (định lý) ⇒ 270o + x = 360o ⇒ x = 90o o µ $ µ µ Hình b) Ta có: E + F + G + H = 360 (định lý) ⇒ 65o + 180o + x = 360o ⇒ x = 115o BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o o · · · Hình c) Ta có: CDE kề bù với góc 60 nên CDE = 120 , DEF o o o · · kề bù với góc 105 nên DEF = 75 , FCD = 90 o · · · Mà FCD + CDE + DEF + x = 360 (định lý) ⇒ 90o + 120o + 75o + x = 360o ⇒ x = 75o Bài 3: o µ µ µ $ Hình a) Ta có: C + D + E + F = 360 (định lý) ⇒ 114o + x + 76o + 71o = 360o ⇒ x = 99o o µ µ µ µ Hình b) Ta có: Q + M + N + P = 360 (định lý) µ + 61o = 360o ⇒ P µ = 138o ⇒ 90o + 71o + P o µ Mà P kề bù với góc x ⇒ x = 42 o o µ µ Hình c) Ta có: G kề bù với góc 120 nên G = 60 o µ $ µ Mà E + F + G + x = 360 (định lý) ⇒ 96o + 120o + 60o + x = 360o ⇒ x = 84o Bài 4: o o o ả ả ả a) B + B1 = 180 (hai góc kề bù) nên B1 = 90 , C + C1 = 180 (hai o o o ¶ µ ¶ ¶ góc kề bù) nên C1 = 60 , A + A = 180 (hai góc kề bù) nên A = 105 o o µ µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) ⇒ D = 75 o o ả ả Ta cú: D + D1 = 180 (hai góc kề bù) nên D1 = 105 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CH o o ả ả b) Ta có B + B1 = 180 (hai góc kề bù), C + C1 = 180 (hai góc kề o o µ ¶ µ ¶ bù), D + D1 = 180 (hai góc kề bù), A + A = 180 (hai gúc k bự) o o ả ả µ ¶ µ ¶ ⇒ A + A + B + B1 + C + C1 + D + D1 = 4.180 = 720 o µ µ µ µ Mà A + B + C + D = 360 (định lý) ¶ +B ¶ +C ¶ +D ¶ = 360o ⇒A 1 1 c) Nhận xét: Tổng góc ngồi tứ giác tổng góc tứ giác 360o Bài 5: Hình a) Ta có: GH / /IK , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: x + 74o = 180o (hai góc phía) ⇒ x = 180o − 74o = 106o y + 59o = 180o (hai góc phía) ⇒ y = 180o − 59o = 121o Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: y + 111o = 180o (hai góc phía) ⇒ y = 180o − 111o = 69o x = 50o (hai góc đồng vị) Bài 6: 10 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Ta có góc ngồi đỉnh C có số đo 130 o kề bù với µ C µ = 50o ⇒C o µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) µ + 800 + 50o + 120o = 360o ⇒ A µ = 110o ⇒A Bài 7: o µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) o o µ µ µ o µ µ o µ µ Mà B = A + 15 , C = B + 30 = A + 45 , D = 2A + 10 µ +A µ + 15o + A µ + 45o + 2A µ + 10o = 360o ⇒A µ = 290o ⇒ A µ = 58o ⇒ 5A o µ = 73o C µ = 103o D µ ⇒B , , = 126 Bài 8: o µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) Mà µ =A µ + 15o , C µ = 3A µ B µ −C µ = 25o ⇒ D µ =C µ + 25o = 3A µ + 25o D µ +A µ + 15o + 3A µ + 3A µ + 25o = 360o ⇒A µ + 40o = 360o ⇒ A µ = 40o ⇒ 8A o µ = 55o C µ = 120o D µ ⇒B , , = 145 Bài 9: o µ $ µ µ Ta có: E + F + G + H = 360 (định lý) 11 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ Mà µ =E µ + 10o , F$ = E µ + 30o , µ µ = 2E µ + 20o G H = 2G µ +E µ + 30o + E µ + 10o + 2E µ + 20o = 360o ⇒E µ + 60o = 360o ⇒ E µ = 60o ⇒ 5E µ = 70o F$ = 90o H µ = 140o ⇒G , , Bài 10: o µ µ µ µ Ta có: M + N + P + Q = 360 (định lý) Mà µ =Q µ + 5o , M µ =Q µ + 45o , µ µ − 40o P N = 2Q µ + 45o + 2Q µ − 40o + Q µ + 5o + Q µ = 360o ⇒Q µ + 10o = 360o ⇒ 5Q µ = 70o ⇒Q µ = 75o M µ = 115o N µ = 100o ⇒P , , Bài 11: o µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) Mà o o µ µ µ µ µ = 70o , µ A B = 80o , C − D = 20 ⇒ C = D + 20 µ + 20o + D µ = 360o ⇒ 70o + 80o + D µ + 170o = 360o ⇒ 2D µ = 95o ⇒ C µ = 115o ⇒D Bài 12 Từ giả thiết ta có: 12 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ µ + 2C µ + 2D µ = 2000 + 1800 + 1200 ⇒ B µ +C µ +D µ = 2500 2B 0 µ µ µ µ µ Vì A + B + C + D = 360 ⇒ A = 110 ( ) µ = 2500 − C µ +D µ = 2500 − 1200 = 1300 B µ = 2000 − B µ = 2000 − 1300 = 700 C µ = 1200 − C µ = 1200 − 700 = 500 D Bài 13 13 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ g g E g B C g A g D 14 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o µ µ µ µ a) Trong tứ giác A BCD có A + B + C + D = 360 (định lý) o o o µ µ µ Mà B = 90 , A = 60 , D = 135 µ + 135o = 360o ⇒ C µ = 75o ⇒ 90o + 60o + C o µ b) Ta có AB = AD A = 60 nên tam giác ABD o o µ · · Mà D = ADC = 135 , nên BDC = 75 o µ Mà C = 75 , nên tam giác BDC cân B, suy BD = BC o µ Do BA = BC, mà B = 90 nên tam giác A BC vuông cân B · · ⇒ BAC = BCA = 45o o µ µ µ µ Trong tứ giác A BCE có: A + B + C + E = 360 (định lý), o µ o µ Mà B = 90 , E = 90 (vì A E ⊥ CD o · µ E), BCD = C = 75 nên · BAE = 105o o o o · · · · Ta có: BAE = BAC + CAE ⇒ CAE = 105 − 45 = 60 o o µ · Mặt khác ∆AEC có E = 90 (vì A E ⊥ CD E), nên ECA = 30 15 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Bài 14: µ µ µ $ Ta có: A : B:E :F = 1:3:4:7 ⇒ µ µ E µ F$ A B = = = o µ µ µ $ Ta có: A + B + E + F = 360 (định lý) theo tính chất dãy tỉ số ta có: µ µ E µ F$ A µ +B µ +E µ + F$ 360o A B = = = = = = 24o 1+ 3+ + 15 o o o o o o µ µ $ o µ Khi đó: A = 24 , B = 3.24 = 72 , E = 4.24 = 96 , F = 7.24 = 168 Bài 11: µ µ µ µ Ta có: A : B:C : D = 1: 2: 4:5 ⇒ µ µ C µ µ A B D = = = o µ µ µ µ Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) theo tính chất dãy tỉ số ta có: µ µ C µ D µ µ +B µ +C µ +D µ A B A 360o = = = = = = 30o 1+ + + 12 o o o o o o o µ µ µ µ Khi đó: A = 30 , B = 2.30 = 60 , C = 4.30 = 120 , D = 5.30 = 150 Bài 15 Ta có: µ ·IAB = A (vì AI tia phân µ giác A ) 16 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ µ ·IBA = B µ (vì BI tia phân giác B ) Trong tam giác ABI: µ +B µ C µ +D µ A o ·AIB = 180o − IAB · · − IBA = 180 − = 2 Bài 16 Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD · · · Ta có ADC = IBC (cùng bù với góc ABC ) AD = IB, DC = BC Từ ta có ∆ADC = ∆IBC · · Suy ra: DAC = BIC AC = IC Tam giác ACI cân C nên · · · BAC = BIC = DAC · Vậy AC phân giác góc BAD Bài 17: 17 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ g g g B N gA g D g M C o · · · Xét ∆CND có CND + CDN + DCN = 180 (định lý) o · · · Xét ∆AMB có AMB + ABM + BAM = 180 (định lý) 18 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o · · · · · · Do đó: CND + CDN + DCN + AMB + ABM + BAM = 360 µ µ B A · · ABM = BAM = µ (vìa BM tia phân giác B (vìa Mà ), µ C · DCN = µ (vì CN tia phân giác AM tia phân giác A ), µ D · CDN = µ µ C (vì DN tia phân giác D ), ) µ C µ B µ A µ D · · ⇒ CND + AMB + + + + = 360o 2 2 µ +B µ +C µ +D µ A · · ⇒ CND + AMB = 360o − o µ µ µ µ Mà tứ giác A BCD có A + B + C + D = 360 (định lý) · · ⇒ CND + AMB = 180o (đpcm) Bài 18 FI cắt BC K, suy K thuộc đoạn BC ¶ = EKI · · ¶ ⇒ EIF + IEK ( EIF góc ngồi ∆ IKE) · µ · · = B + BFK + IEK ( CKF góc ngồi ∆ FBK) 19 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ µ +C µ B · ·BFC = 1800 − B µ +C µ ⇒ BFK = 900 − ( ) µ +B µ A ·AEB = 1800 − A µ +B µ ⇒ IEK · = 90 − ( E g A g Bg ) D g gC Vậy µ µ µ µ µ µ µ µ ¶ =B µ + 900 − B + C + 900 − A + B = 1800 − A + C = B + D EIF 2 2 Bài 19: a) Xét ∆A BC ∆A EC có: AB = AE (giả thiết) · · BAC = EAC (vì AC tia phân giác góc A) AC chung ⇒ ∆A BC = ∆AEC (c − g − c) · · ⇒ ABC = AEC (đpcm) b) Ta có (1) ∆A BC = ∆AEC (cmt) 20 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ ⇒ CB = CE , mà CB = CD (giả thiết) ⇒ CE = CD · · · µ = CDE ⇒ ∆CED cân C ⇒ CED hay CED = D (2) o · · Mà AEC + CED = 180 (hai góc kề bù), nên từ (1) (2) µ +D µ = 180o ⇒B A g D g x Q g Cg g B y Bài 20: · µ Ta có AQ tia phân giác xA B góc ngồi A · ⇒ QAB = · µ xAB 180o − A = 2 · µ Ta có BQ tia phân giác yBA góc ngồi B · µ yBA 180o − B · ⇒ QBA = = 2 Trong tam giác ABQ có: 21 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ µ 180o − B µ A µ +B µ 180o − A · · · AQB = 180o − QAB − QBA = 180o − − = 2 Bg gK Ig o 76 Ag g C Bài 21: Ta có BI tia phân giác góc ABC, BK tia phân giác góc ngồi đỉnh B · BC · A IBC = (1)  ⇒ IB ⊥ BK ⇒ IBK · = 90o  Ta có CI tia phân giác góc ACB, CK tia phân giác góc ngồi đỉnh C 22 BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ · · ACB (1) ICB = ⇒ IC ⊥ CK ⇒ ICK · = 90o  Trong tam giác BIC có: · · ABC + ACB · · · BIC = 180o − IBC + ICB = 180o − o o µ µ 180 − A 180 + A = 180o − = 2 ) ( o o µ · Mà A = 76 , nên BIC = 128 o o · · · · · Trong tứ giác IBKC có: BIC + ICK + IBK + BKC = 360 ⇒ BKC = 52 Bài 22: o o µ µ a) Tứ giác A BCD có A = 90 , D = 90 nên: A B ⊥ AD DC ⊥ A D ⇒ AB / / DC (từ vng góc đến song song) o µ µ µ µ b) Xét tứ giác ABCD có A + B + C + D = 360 (định lý) o o µ µ Mà A = 90 , D = 90 µ +C µ = 180o ⇒B Nếu µ C µ B, µ > 90o , C µ > 90o ⇒ B µ +C µ > 180o B Nếu µ C µ B, µ < 90o , C µ < 90o ⇒ B µ +C µ < 180o B (*) góc tù, tức tức (mâu thuẫn với (*)) góc (mâu thuẫn với (*)) 23 nhọn, BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ µ µ Vậy hai góc B, C phải có góc nhọn 24 ... góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác Hình a) Hình b) a) Tính góc ngồi tứ giác Hình a) BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại µ µ µ µ đỉnh tứ giác chọn góc ngồi): A + B1... sau: C g 11 4o D xg 76o o 71 Fg gE g M g 90o 71o g N g 61o Q Eg o 96 x Hg 12 0 g x P gF o 12 0o g G Hình a) Hình c) Hình b) BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ A g gB g C Dg 1 B gC 12 0o g A 75o g1 D g Bài... E + 10 , F = E + 30 , H = 2G Tính góc tứ giác EFGH o µ o µ o µ µ µ µ Bài 10 : Cho tứ giác MNPQ, biết P = Q + , M = Q + 45 , N = 2Q − 40 Tính góc tứ giác MNPQ o µ o µ o µ µ Bài 11 : Cho tứ giác