CHỦ đề 1 tứ GIÁC

BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ PHẦN – CÁC CHỦ ĐỀ TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC A/ LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 3600 * Chú ý: Để góc cho trước thỏa mãn góc tứ giác góc có tổng 360o B/ CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC TỪ HÌNH VẼ - Tổng góc tứ giác 360o - Tổng hai góc kề bù 180o - Tổng góc tam giác 180o - Trong tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn 90o g Tìm số đo o x gC hình vẽ sau: BàiB1: 80 120o Pg x g110 A 65o o Q gx gS x gD 95o g 60o R Hình a) Hình b) C g Bài 2:F Tìm số đo x hình vẽ sau: gD g gN Mg x gG x g65o F Q E gg 105o x gg gH P E BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ Hình a) Hình b) Hình c) Bài 3: Tính số đo x hình sau: M C gg o o 114 90 D xg 71o gN 76o x Hình gF a) gE P o 120 71oo Fgg61 Q Eg o 96 Hình b) 120o g G x Hg Hình c) Bài 4: A Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ gg B giác 1D g75 g1 A o gCgB 120 o g gCD Hình a) Hình b) a) Tính góc ngồi tứ giác Hình a) b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại � � � � đỉnh tứ giác chọn góc ngồi): A  B1  C1  D1  ? BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? g ođo x y hình sau: Bài 5: TìmA số 111 g gHy B y GH/ / IK AD /G/BC gx gx Do 74 Kg g 50 C Hình a o 59o gI Hình b Bài 6: Cho tứ giác ABCD góc B = 80o, D = 120o góc ngồi đỉnh C 130o Tính góc A? DẠNG 2: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC KHI BIẾT QUAN HỆ GIỮA CÁC GÓC - Thay liên hệ góc vào hệ thức “Tổng góc tứ giác 360o” � � � � - Nếu tứ giác ABCD biết A : B:C : D  m : n : p :q (m, n, p, q số nguyên dương) � B � C � D � A � B � C � D � A 360o �      m n p q m  n  p  q m  n  p  q (tính chất dãy tỉ số nhau) � � � � � Tính góc A , B, C, D o o � � � � Bài 7: Tính góc tứ giác ABCD, biết B  A  15 , C  B  30 , �  2A �  10o D o � o � � � � � Bài 8: Cho tứ giác ABCD, biết B  A  15 , C  3A , D  C  25 Tính góc tứ giác ABCD o $ o � � � � � Bài 9: Cho tứ giác EFGH, biết G  E  10 , F  E  30 , H  2G Tính góc tứ giác EFGH BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o � o � o � � � � Bài 10: Cho tứ giác MNPQ, biết P  Q  , M  Q  45 , N  2Q  40 Tính góc tứ giác MNPQ o � o � o � � Bài 11: Cho tứ giác ABCD có A  70 , B  80 , C  D  20 Tính góc � D � C, � � � � � Bài 12 Cho tứ giác ABCD biết B + C = 2000, B + D = 1800; C � + D = 1200 Tính số đo góc tứ giác o o � � Bài 13 Cho tứ giác ABCD , biết AB  AD ; B  90 , A  60 , �  135o D a) Tính góc C b) Từ A ta kẻ AE vng góc với đường thẳng CD Tính góc tam giác AEC � � � $ Bài 14: Tính góc tứ giác ABEF biết A : B:E :F  1:3:4:7 � � � � Bài 15: Tính góc tứ giác ABCD biết A : B:C : D  1:2:4:5 DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH, TÍNH SỐ ĐO GĨC LIÊN QUAN TỚI PHÂN GIÁC CỦA GÓC TRONG TỨ GIÁC * Tia phân giác góc chia góc thành hai góc * Tia phân giác phân giác góc vng góc với Bài 16 Cho tứ giác ABCD Gọi I giao điểm tia phân � � �  CD AIB � � giác A B tứ giác Chứng minh: BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ � � Bài 17 Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 180 , CB = CD Chứng � minh AC tia phân giác BAD Bài 18 Cho tứ giác ABCD, tia phân giác góc A góc B cắt M Các tia phân giác góc C góc D cắt N o � � Chứng minh AMB  CND  180 ? Bài 19 Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC cắt E, hai cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CED BFC cắt I Tính góc EIF theo góc tứ giác ABCD Bài 20: Cho tứ giác ABCD có AC tia phân giác góc A, BC = CD, AB  AD a) Lấy điểm E cạnh AD cho AE = AB Chứng minh � � ABC  AEC o � � b) Chứng minh B  D  180 Bài 21: Cho tứ giác ABCD, phân giác ngồi góc A góc B � B � A � AQB  cắt Q Chứng minh: o � Bài 22: Tam giác ABC có A  76 , tia phân giác góc B góc C cắt I, tia phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt K Tính góc tứ giác BICK o o � � Bài 23: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có A  90 , D  90 ; góc B C khác a) Chứng minh A B/ / DC b) Chứng tỏ hai góc B C phải có góc nhọn BỒI DƯỠNG TỐN THEO CHỦ ĐỀ c) Khi góc C nhọn Chứng minh AB < DC PHẦN – HƯỚNG DẪN GIẢI HƯỚNG DẪN GIẢI CHỦ ĐỀ Bài 1: o � � � � Hình a) Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) � 110o  1200  80o  x  360o � x  50o o � � � $ Hình b) Ta có: P  Q  R  S  360 (định lý) � 650  95o  2x  360o � x  100o Bài 2: o � � � � Hình a) Ta có: M  N  P  Q  360 (định lý) � 270o  x  360o � x  90o o � $ � � Hình b) Ta có: E  F  G  H  360 (định lý) � 65o  180o  x  360o � x  115o o o � � � Hình c) Ta có: CDE kề bù với góc 60 nên CDE  120 , DEF o o o � � kề bù với góc 105 nên DEF  75 , FCD  90 o � � � Mà FCD  CDE  DEF  x  360 (định lý) � 90o  120o  75o  x  360o � x  75o Bài 3: o � � � $ Hình a) Ta có: C  D  E  F  360 (định lý) � 114o  x  76o  71o  360o � x  99o o � � � � Hình b) Ta có: Q  M  N  P  360 (định lý) BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ �  61o  360o � P �  138o � 90o  71o  P o � Mà P kề bù với góc x � x  42 o o � � Hình c) Ta có: G kề bù với góc 120 nên G  60 o � $ � Mà E  F  G  x  360 (định lý) � 96o  120o  60o  x  360o � x  84o Bài 4: o o o � � � � � a) B  B1  180 (hai góc kề bù) nên B1  90 , C  C1  180 (hai o o o � � � � góc kề bù) nên C1  60 , A  A  180 (hai góc kề bù) nên A  105 o o � � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) � D  75 o o � � � Ta có: D  D1  180 (hai góc kề bù) nên D1  105 o o � � � � b) Ta có B  B1  180 (hai góc kề bù), C  C1  180 (hai góc kề o o � � � � bù), D  D1  180 (hai góc kề bù), A  A  180 (hai góc kề bù) o o � � � � � � � � � A  A  B  B1  C  C1  D  D1  4.180  720 o � � � � Mà A  B  C  D  360 (định lý) � B � C � D �  360o �A 1 1 c) Nhận xét: Tổng góc ngồi tứ giác tổng góc tứ giác 360o Bài 5: BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Hình a) Ta có: GH / /IK , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: x  74o  180o (hai góc phía) � x  180o  74o  106o y  59o  180o (hai góc phía) � y  180o  59o  121o Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: y  111o  180o (hai góc phía) � y  180o  111o  69o x  50o (hai góc đồng vị) Bài 6: Ta có góc ngồi đỉnh C có số đo 130o kề bù với � C �  50o �C o � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) �  800  50o  120o  360o � A �  110o �A Bài 7: o � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) o o � � � o � � o � � Mà B  A  15 , C  B  30  A  45 , D  2A  10 � A �  15o  A �  45o  2A �  10o  360o �A BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ �  290o � A �  58o � 5A o �  73o C �  103o D � �B , ,  126 Bài 8: o � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) Mà � A �  15o , � � B C  3A � C �  25o � D � C �  25o  3A �  25o D � A �  15o  3A �  3A �  25o  360o �A �  40o  360o � A �  40o � 8A o �  55o C �  120o D � �B , ,  145 Bài 9: o � $ � � Ta có: E  F  G  H  360 (định lý) Mà � E �  10o , F$  E �  30o , � �  2E �  20o G H  2G � E �  30o  E �  10o  2E �  20o  360o �E �  60o  360o � E �  60o � 5E �  70o F$  90o H �  140o �G , , Bài 10: o � � � � Ta có: M  N  P  Q  360 (định lý) Mà � Q �  5o , M � Q �  45o , � �  40o P N  2Q �  45o  2Q �  40o  Q �  5o  Q �  360o �Q BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ �  10o  360o � 5Q �  70o �Q �  75o M �  115o N �  100o �P , , Bài 11: o � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) Mà � D �  20o � C � D �  20o �  70o , B �  80o , C A �  20o  D �  360o � 70o  80o  D �  170o  360o � 2D �  95o � C �  115o �D Bài 12 Từ giả thiết ta có: �  2C �  2D �  2000  1800  120 � B �C �D �  2500 2B 0 � � � � � Vì A  B  C  D  360 � A  110   �  2500  C �D �  2500  120  1300 B �  2000  B �  2000  1300  70 C �  1200  C �  1200  700  50 D Bài 13 10 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Bg gC g A g D a) Trong tứ giác ABCD o � � � � có A  B  C  D  360 g E (định lý) o o o � � � Mà B  90 , A  60 , D  135 �  135o  360o � C �  75o � 90o  60o  C o � b) Ta có AB = AD A  60 nên tam giác ABD o o � � � Mà D  ADC  135 , nên BDC  75 o � Mà C  75 , nên tam giác BDC cân B, suy BD = BC o � Do BA = BC, mà B  90 nên tam giác A BC vuông cân B � � � BAC  BCA  45o o � � � � Trong tứ giác A BCE có: A  B  C  E  360 (định lý), 11 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o � o � o � � Mà B  90 , E  90 (vì A E  CD E), BCD  C  75 nên � BAE  105o o o o � � � � Ta có: BAE  BAC  CAE � CAE  105  45  60 o o � � Mặt khác AEC có E  90 (vì A E  CD E), nên ECA  30 Bài 14: � � � $ Ta có: A : B:E :F  1:3:4:7 � � B � E � F$ A    o � � � $ Ta có: A  B  E  F  360 (định lý) theo tính chất dãy tỉ số ta có: � B � E � F$ A � B � E �  F$ 360o A       24o 1 3  15 o o o o o o � � $ o � Khi đó: A  24 , B  3.24  72 , E  4.24  96 , F  7.24  168 Bài 11: � B � C � D � A �    � � � � Ta có: A : B:C : D  1: 2: 4:5 o � � � � Ta có: A  B  C  D  360 (định lý) theo tính chất dãy tỉ số ta có: � B � C � D � A � B � C � D � 360o A       30o 1   12 o o o o o o o � � � � Khi đó: A  30 , B  2.30  60 , C  4.30  120 , D  5.30  150 Bài 15 12 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ � � A IAB Ta có: (vì AI tia phân � giác A ) � � B IBA � (vì BI tia phân giác B ) Trong tam giác ABI: � � � � �  180o  IAB �  IBA �  180o  A  B  C  D AIB 2 Bài 16 Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD � � � Ta có ADC  IBC (cùng bù với góc ABC ) AD = IB, DC = BC Từ ta có ADC  IBC � � Suy ra: DAC  BIC AC = IC Tam giác ACI cân C nên �  BIC �  DAC � BAC � Vậy AC phân giác góc BAD Bài 17: gB Ag N g Dg Mg 13 gC BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ o � � � Xét CND có CND  CDN  DCN  180 (định lý) o � � � Xét AMB có AMB  ABM  BAM  180 (định lý) o � � � � � � Do đó: CND  CDN  DCN  AMB  ABM  BAM  360 � � B A � � ABM  BAM  � (vìa BM tia phân giác B (vìa Mà ), � C � DCN  � (vì CN tia phân giác AM tia phân giác A ), � D � � CDN  � C ), (vì DN tia phân giác D ) � C � B � A � D � � � CND  AMB      360o 2 2 � B � C � D � A � � � CND  AMB  360o  o � � � � Mà tứ giác ABCD có A  B  C  D  360 (định lý) � � � CND  AMB  180o (đpcm) Bài 18 14 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ FI cắt BC K, suy K thuộc đoạn BC �  EKI �  IEK � � � EIF ( EIF góc ngồi  IKE) � � � � = B  BFK  IEK ( CKF góc ngồi  FBK)   �  900  �  1800  B �C � � BFK BFC �C � B � � �  1800  A �B � � IEK �  900  A  B AEB   � � � � � � � � � B � + 900  B  C  900  A  B  1800  A  C  B  D EIF 2 2 Vậy D E g Bài 19: g A g Bg gC a) Xét A BC A EC có: AB  AE (giả thiết) � � BAC  EAC (vì AC tia phân giác góc A) AC chung � ABC  AEC (c  g  c) 15 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ � � � ABC  AEC (đpcm) b) Ta có (1) ABC  AEC (cmt) � CB  CE , mà CB  CD (giả thiết) � CE  CD � � � � � CED cân C � CED  CDE hay CED  D (2) o � � Mà AEC  CED  180 (hai góc kề bù), nên từ (1) (2) � D �  180o �B D g A g Bài 20: x Q g Cg g B y Ta có AQ tia phân giác � � xAB góc ngồi A � � xAB 180o  A � � QAB   2 � � Ta có BQ tia phân giác yBA góc ngồi B � � QBA  � � yBA 180o  B  2 Trong tam giác ABQ có: � 180o  B � A � B � 180o  A � � � AQB  180o  QAB  QBA  180o    2 16 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Bài 21: Bg gK Ig Ag 76o g C Ta có BI tia phân giác góc ABC, BK tia phân giác góc ngồi đỉnh B � �� ABC IBC  (1) � �� � �  90o IB  BK � IBK � Ta có CI tia phân giác góc ACB, CK tia phân giác góc ngồi đỉnh C � �� ACB ICB  (1) � �� � �  90o IC  CK � ICK � Trong tam giác BIC có: � � ABC  ACB �  180o  IBC �  ICB � BIC  180o  o o � � 180  A 180  A  180o   2   o o � � Mà A  76 , nên BIC  128 o o � � � � � Trong tứ giác IBKC có: BIC  ICK  IBK  BKC  360 � BKC  52 17 BỒI DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ Bài 22: o o � � a) Tứ giác ABCD có A  90 , D  90 nên: AB  AD DC  AD � AB / / DC (từ vng góc đến song song) o � � � � b) Xét tứ giác ABCD có A  B  C  D  360 (định lý) o o � � Mà A  90 , D  90 � C �  180o �B (*) � � Nếu B, C góc tù, tức �  90o , C �  90o � B �C �  180o B (mâu thuẫn với (*)) � � Nếu B, C góc nhọn, tức �  90o , C �  90o � B �C �  180o B (mâu thuẫn với (*)) � � Vậy hai góc B, C phải có góc nhọn 18 ... bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ gg B giác 1D g75 g1 A o gCgB 12 0 o g gCD Hình a) Hình b) a) Tính góc ngồi tứ giác Hình a) b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại � � � � đỉnh tứ giác chọn... DƯỠNG TOÁN THEO CHỦ ĐỀ � � Bài 17 Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 18 0 , CB = CD Chứng � minh AC tia phân giác BAD Bài 18 Cho tứ giác ABCD, tia phân giác góc A góc B cắt M Các tia phân giác góc C... TRONG TỨ GIÁC * Tia phân giác góc chia góc thành hai góc * Tia phân giác phân giác ngồi góc vng góc với Bài 16 Cho tứ giác ABCD Gọi I giao điểm tia phân � � �  CD AIB � � giác A B tứ giác Chứng