Bài 2 bất phương trình một ẩn

CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm bất phương trình ẩn, tập nghiệm bất phương trình, bất phương trình tương đương  Kĩ + Tìm nghiệm bất phương trình + Chứng minh hai bất phương trình tương đương Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM x  x  bất phương trình ẩn x Bất phương trình ẩn Bất phương trình ẩn x hệ thức có dạng A x  B x ( A  x  B  x  , A  x   B  x  , A  x  B  x  ) Trong đó: A  x  gọi vế trái, B  x  gọi vế phải bất phương trình Nghiệm bất phương trình giá trị ẩn thay vào x 0 nghiệm bất phương trình vì: bất phương trình ta khẳng định  2.0  Tập nghiệm bất phương trình x  x  Tập nghiệm bất phương trình Tập hợp tất nghiệm bất phương trình  x | x  1 gọi tập nghiệm bất phương trình Bất phương trình x  bất phương trình  x Bất phương trình tương đương hai bất phương trình tương đương có Hai bất phương trình tương đương hai bất phương tập nghiệm  x | x  1 trình có tập nghiệm Kí hiệu: “  ” đọc tương đương II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Kiểm tra nghiệm bất phương trình Phương pháp giải Để kiểm tra x a có nghiệm bất phương Ví dụ: Kiểm tra xem giá trị x 1 nghiệm bất trình hay khơng ta tiến hành thực theo hai phương trình bất phương trình sau? bước sau: a) 2x   x  c)  x  x  Bước Thay x a vào hai vế bất phương trình (VT viết tắt vế trái, VP viết tắt vế phải) Bước Kết luận: - Nếu bất đẳng thức x a nghiệm bất phương trình - Nếu bất đẳng thức sai x a khơng b) x   x  d) x  x  1  x  Hướng dẫn giải a) Thay x 1 vào hai vế bất phương trình, ta có: VT    , 3 VP 1   nên x 1 không nghiệm bất nghiệm bất phương trình Vì   Chú ý: phương trình Bài tốn chứa tham số: “Tìm m để bất phương trình b) Thay x 1 vào hai vế bất phương trình, ta Trang nhận x a làm nghiệm” ta thay x a vào hai có: vế bất phương trình giải bất phương trình ẩn VT 2.1  6, VP 1  3 m Để tìm m đơi ta phải sử dụng đến tính Vì  nên x 1 nghiệm bất phương chất “liên hệ thứ tự phép cộng” tính chất trình c) Thay x 1 vào hai vế bất phương trình, ta “liên hệ thứ tự phép nhân” là: - Khi cộng số vào hai vế bất có: đẳng thức, ta bất đẳng thức chiều VT 1  0, với bất đẳng thức cho, cụ thể sau: Vì  nên x 1 nghiệm bất phương VP 3.1  4 • Nếu a  b a  c  b  c trình • Nếu a  b a  c  b  c d) Thay x 1 vào hai vế bất phương trình, ta • Nếu a b a  c b  c có: • Nếu a b a  c b  c VT 1   1 0, - Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho, cụ thể sau: VP 2.1  5 Vì  nên x 1 không nghiệm bất phương trình Với ba số a, b, c c  0, ta có: • Nếu a  b ac  bc • Nếu a  b ac  bc • Nếu a b ac bc • Nếu a b ac bc - Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho, cụ thể sau: Với ba số a, b, c c  0, ta có: • Nếu a  b ac  bc • Nếu a  b ac  bc • Nếu a b ac bc • Nếu a b ac bc Ví dụ mẫu Ví dụ Kiểm tra xem giá trị sau giá trị nghiệm bất phương trình: x  x  x  1? a) x 2 b) x 1 c) x  d) x  Hướng dẫn giải a) Thay x 2 vào hai vế bất phương trình, ta có: VT 22  2.2 0, VP 3.2  7 Vì  nên x 2 nghiệm bất phương trình Trang b) Thay x 1 vào hai vế bất phương trình, ta có: VT 12  2.1  1, VP 3.1  4 Vì   nên x 1 nghiệm bất phương trình c) Thay x  vào hai vế bất phương trình, ta có: VT   3    3 15, VP 3      Vì   15 nên x  khơng nghiệm bất phương trình d) Thay x  vào hai vế bất phương trình, ta có: 2  3   21  3 VT         , VP 3       2  2  2 Vì  21 nên x  không nghiệm bất phương trình  Ví dụ Cho bất phương trình x   m  x  Tìm m để bất phương trình có nghiệm x 3 Hướng dẫn giải Thay x 3 vào hai vế bất phương trình, ta có: 36m  5 23  3 9m    9 9m     m  2 Vậy với m   23 x 3 nghiệm bất phương trình Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hãy xét xem x 2 có nghiệm bất phương trình sau hay khơng? a)  x  3   x    x  1 b) x   x  Câu 2: Trong giá trị x 1 x  3, giá trị nghiệm bất phương trình  x  1  x    x  1? Câu 3: Tìm m để bất phương trình: x  x    x  m   x nhận x 1 nghiệm Dạng 2: Viết ký hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số Phương pháp giải Bước Vẽ trục số điền giá trị giá trị Ví dụ: Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm nghiệm bất phương trình trục số bất phương trình sau trục số: Bước Gạch bỏ phần không thuộc tập nghiệm a) x  b) x  dấu “/” dùng dấu ), (, [, ] sau: Trang - Nếu x  a cách viết kí hiệu tập hợp cách biểu diễn trục số là: c) x  d) x  Hướng dẫn giải  x | x  a , - Nếu x  a cách viết kí hiệu tập hợp cách a)  x | x  1 , biểu diễn trục số là:  x | x  2 ,  x | x  a , b) - Nếu x a cách viết kí hiệu tập hợp cách  3  x x   , 2 c)  biểu diễn trục số là:  x | x a , d)  x | x  1 , - Nếu x a cách viết kí hiệu tập hợp cách biểu diễn trục số là:  x | x a , Ví dụ mẫu Ví dụ: Hình vẽ sau tập nghiệm bất phương trình nào? a) b) c) d) Hướng dẫn giải a) x  b) x  c) x  d) x  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số a) x  3 b) x   11 Trang c) x 0 d) x  Dạng Xét tương đương hai bất phương trình Phương pháp giải Ví dụ: Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x 3 x 6 b) x   x    Hướng dẫn giải Bước Sử dụng vài biến đổi để tìm a) Tập nghiệm bất phương trình x 3  x | x 3 tập nghiệm hai bất phương trình cho Ta có x 6  2x   x 3 2 Tập nghiệm bất phương trình x 6  x | x 3 Bước • Nếu hai bất phương trình tập nghiệm ta kết luận hai bất phương trình tương đương • Nếu hai bất phương trình khác tập nghiệm ta kết Hai bất phương trình có tập nghiệm nên hai bất phương trình tương đương b) Ta có x 0, x  x  3, x luận hai bất phương trình khơng tương đương Tập nghiệm bất phương trình x   Chú ý: Đôi để chứng minh hai bất phương trình  x | x   tương đương ta cần biến đổi hai bất phương trình cho giống với bất phương trình trung Ta có: x  0, x  x    (vơ lí) Tập nghiệm bất phương trình x    gian  Hai bất phương trình khác tập nghiệm nên hai bất phương trình khơng tương đương Ví dụ mẫu Ví dụ Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a)  x   x   2 b) x  x 0 x 0   Hướng dẫn giải a) Ta có:  x    x     x  Tập nghiệm bất phương trình  x   x | x  2 Ta có:  x     x   1     1  x  Trang Tập nghiệm bất phương trình  x    x | x  2 Hai bất phương trình tập nghiệm nên hai bất phương trình tương đương b) Ta có x 0, x  x  1, x nên x  x 0  x  1 x  x 1    x 0 x 1 2 Tập nghiệm bất phương trình x  x 0  x | x 0  Ta có: x  x    0 với x nên x 0 với x Tập nghiệm bất phương trình x 0  x | x   Tập nghiệm hai phương trình khác nên hai bất phương trình khơng tương đương Ví dụ Cho bất phương trình sau Tìm m để hai bất phương trình tương đương a) x  2m  12 x 7 b) 2019 x  2018   m  1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: x  2m  12  x   2m  12   x 2m  Tập bất phương trình x  2m  12  x | x 2m  7 Tập nghiệm bất phương trình x 7  x | x 7 Để hai bất phương trình cho tương đương 2m  7  m 0 Vậy với m 0 hai bất phương trình cho tương đương b) Ta có: 2019 x  2018   2019 x  2018  2018  2018  2019 x  2018  x 2018 2019  2018  Tập nghiệm bất phương trình 2019 x  2018   x | x   2019   Xét bất phương trình:  m  1 x  1: - Trường hợp 1: m  0  x 1 Thay m 1 vào bất phương trình  m  1 x  ta được:   1 x    (luôn đúng) Tập nghiệm bất phương trình  x | x   Hai tập nghiệm khác nên hai bất phương trình không tương đương - Trường hợp 2: m    m      m    Tập nghiệm bất phương trình  m  1 x  là:  x | x   m  1  Trang Hai tập nghiệm khác nên hai bất phương trình khơng tương đương - Trường hợp 3: m    m      m    Tập nghiệm bất phương trình  m  1 x  là:  x | x   m  1  Để hai bất phương trình cho tương đương 2018 4037 (loại)   2018  m  1 2019  2018m  2018 2019  m  2019 m  2018 Vậy khơng có giá trị m để hai bất phương trình cho tương đương Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x 0 x   b) x   x 0 Câu 2: Cho bất phương trình: x  m  x 0 Tìm m để hai bất phương trình tương đương Dạng Chứng minh bất phương trình ln có nghiệm vơ nghiệm Phương pháp giải Chứng minh bất phương trình ln có nghiệm Ví dụ: Chứng minh bất phương trình sau nghiệm vơ nghiệm Giả sử xét bất phương trình sau: a) x  x   A  x   Bước Bằng việc sử dụng đẳng thức: A  AB  B  A  B  b)  x  x   Hướng dẫn giải A2  AB  B  A  B  ; với x: 2 a) Ta có x  x   x  x    2  x  1  Ta biến đổi bất phương trình dạng:   f  x    k    f  x    k      2 Vì  x  1 0, x nên  x  1   0, x Vậy bất phương trình nghiệm với x Bước Kết luận - Nếu k  bất phương trình  f  x    k  2 b) Ta có:  x  x   x  x       x    nghiệm với x 2 - Nếu k 0 bất phương trình   f  x    k  Vì  x   0, x nên   x   0, x vơ nghiệm Do   x     0, x Vậy bất phương trình nghiệm với x Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh bất phương trình sau ln vơ nghiệm Trang a) x  x   b)  x  x   Hướng dẫn giải   1  a) Ta có: x  x   x  2.x        2    2  1 Vì  x   0 với x nên 2  Do x  x   2 1  1    x    2 2   1 3  x     với x 2 4  với x nên bất phương trình cho ln vơ nghiệm 2   3   3  3 b) Ta có:  x  x    x  2.x           x     2  2   2   2   3 3 Vì  x   0, x nên   x   0, x 2 2    3 3 Do   x     , x nên bất phương trình cho vơ nghiệm 2 4  Ví dụ Tìm m để bất phương trình a) x  x   4m  vô nghiệm b)  x  x   3m 0 nghiệm với x Hướng dẫn giải a) Ta có: x  x   4m  x  x    4m  x  1   4m Bất phương trình tương đương với  x  1  4m  2 Vì  x  1 0 nên để bất phương trình vơ nghiệm 4m  0  m  Vậy với m  bất phương trình cho vơ nghiệm 2 b)  x  x   2m  x  x    3m   x     3m   Vì  x   0 với x nên   x   0 với x Do để bất phương trình nghiệm với x   3m 0    3m 0   3m 1  m  Vậy với m  bất phương trình cho nghiệm với x Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chứng minh bất phương trình sau nghiệm với x a) x  x   b)  x  x   Câu 2: Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm a) x  10 x  26  b)  x  x   Câu 3: Tìm m để bất phương trình: 25 x  10 x  m  2019 0 nghiệm với x ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Kiểm tra nghiệm bất phương trình Câu a) Thay x 2 vào bất phương trình, ta có: VT    1, VP      1 0 Ta thấy VT  VP nên x 2 không nghiệm bất phương trình b) Thay x 2 vào bất phương trình, ta có: VT 3.2  8, VP 2.2  3 Ta thấy VT  VP nên x 2 nghiệm bất phương trình Câu Với x 1 ta có VT   1     2, VP 2.1  3 Ta thấy VT  VP nên x 1 nghiệm bất phương trình Với x  ta có VT    1     10, VP 2   3   Ta thấy VT  VP nên x  khơng nghiệm bất phương trình Câu Thay x 1 vào bất phương trình, ta có: 1     m   2.1  m   Trang 10 Dạng Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số Câu  3 a)  x | x   4  b)  x | x   11 c)  x | x 0   d) x | x  Dạng Xét tương đương hai bất phương trình Câu a) Hai bất phương trình cho tương đương có tập nghiệm  x | x 0 b) Hai bất phương trình cho khơng tương đương bất phương trình  1 có tập nghiệm  x | x  0 bất phương trình   có tập nghiệm  x | x   Câu Ta có: x  m   x m  Vậy để hai bất phương trình cho tương đương m  0  m  Dạng Chứng minh bất phương trình ln có nghiệm vô nghiệm Câu a) x  x    x  x      x  1   nghiệm x b)  x  x     x  x       3x  1   nghiệm x   Câu 2 a) x  10 x  26  x  10 x  25   x     0, x nên bất phương trình cho vơ nghiệm   1 1 b)  x  x     x  x      x     0, x nên bất phương trình cho vơ 4 2   nghiệm Câu Ta có: 25 x  10 x  m  2019 0   x  1  m  2020 0 Vậy để bất phương trình nghiệm với x m  2020 0  m 2020 Trang 11