Bài 3 phương trình tích

BÀI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày bước giải vận dụng thành thạo giải phương trình tích + Vận dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân  Kĩ + Biết cách giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích + Biết cách sử dụng số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng chỗ, lúc kí hiệu tương đương "  " Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình tích Ví dụ:  x  3  x  3 0 Phương trình có dạng A  x  B  x  0 , Mở rộng: A  x  ; B  x  đa thức biến x A1  x  A2  x  A3  x  An  x  0 Ví dụ: Giải phương trình:  x  1 x   3x    x 1 0 Cách giải: Hướng dẫn giải Bước Đưa phương trình dạng phương trình tích Bước Giải phương trình A  x  0 B  x  0 Bước Kết luận  x  1 x   3x    x  1 0   x  1  x  x   0  x  0  x      x  0  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S   1;1 Lấy tất nghiệm phương trình II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình tích Phương pháp giải Thơng thường giải theo bước sau: Ví dụ 1: Giải phương trình sau  x  3  x   0 Hướng dẫn giải Bước A  x  B  x  0  A  x  0 B  x  0 Bước Giải A  x  0 B  x  0 Trong ví dụ ta có: A  x  2 x  3; B  x  x  Ta có A  x  0  x  0  x  B  x  0  x  0  x  Bước Kết luận nghiệm  3  Vậy nghiệm phương trình S   2;  2  (Lấy tất nghiệm chúng) Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức P x3  3x  x  2019  x  1  x   Hướng dẫn giải Giá trị biểu thức P xác định với điều kiện:  A  x  0 Chú ý: A  x  B  x  0    B  x  0  x  0  x 1   x  0  x   x  1  x   0   Vậy điều kiện xác định biểu thức Trang x 1; x  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình sau: b)  x    x  3 0 a)  x    x  3 0 c)  x    x    x  1 0 Hướng dẫn giải a) Ta có:  3x  0  3x 4    3x    x  3 0    x  0  x    x 3   x   4 Vậy tập nghiệm phương trình cho S   3;   3 b) Ta có: x    x  3 0  x  0 (do x   0, x )  x 3  x  3 Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2 c) Ta có:   x   x  0   x    x    3x  1 0   x  0   x 3   x  0 x     Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2; ;3   Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải phương trình sau  2x  x    a)  3x     0   x b)   2    x  3  x   0  c)  x    x  1 0 Câu 2: Tìm điều kiện x để biểu thức sau xác định a) x   x2  x    x  3 b) 4x   x 1  x  3  x  1 Trang Dạng 2: Đưa phương trình tích Bài tốn Đưa phương trình tích dạng đơn giản Phương pháp giải Ví dụ: 3x  x  1  x  3  x  1 Thực bước sau: Hướng dẫn giải Bước Chuyển tất hạng tử phương Chuyển hạng tử vế ta được: trình cho vế Bước Biến đổi đưa dạng phương trình tích (Phân tích đa thức thành nhân tử) 3x  x  1   x  3  x  1 0 Biến đổi đưa dạng phương trình tích:  x  1  3x   x  3  0   x  1  3x  x  3 0   x  1  x  3 0  x  0    x  0 Bước Giải kết luận nghiệm   x 2   x 3 Vậy tập nghiệm phương trình cho 1  S  ;3 2  Ví dụ mẫu Ví dụ: Giải phương trình sau a) x  x    x  3  x   c)  x  1   x   x 2 b)  x  3  x  x  1  x  3x d) x  x  0 Hướng dẫn giải a) Ta có: x  x    x  3  x    x  x     x    x   0   x    x   x  3  0   x     3 0  x  0 (do  0 )  x  Vậy tập nghiệm phương trình S   2 b) Ta có:  x  3  x  x  1 x3  3x   x  3  x  x  1 x  x  3   x  3  x  x  1  x  x  3 0 Trang   x  3  x  x   x  0   x  3  x  1 0  x  0  x     x  0  x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S   3;1 c) Ta có: 1  x  1   x   x 2   x  1   x   x  0 4   x  1   x    x   0   x  1   x     x  0    x   x    0    x   x   0   x 0  x 2    x  0  x 5 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;5 d) Cách x  x  0   x  x    x   0  x  x  1   x  1 0   x  1  x   0  x   x  0    x  x       3 Vậy tập nghiệm phương trình S   1;  2  Cách Ta có   0 nên phương trình cho có hai nghiệm x  x  3 Tổng quát: Cho phương trình ax  bx  c 0 Nếu a  b  c 0 phương trình có hai nghiệm x  x  Thật vậy: c a ax  bx  c 0  a  x  1  b  x  1 0 (vì c b  a )   x  1  a  x  1  b  0 Trang  x    x  1  ax  c  0    x  c a   Nếu phương trình có dạng ax  bx  c 0  a 0  , có a  b  c 0 phương trình có hai nghiệm x  x  c a c  Nếu a  b  c 0 phương trình có hai nghiệm x 1 x  a Bài toán Đưa dạng phương trình tích cách sử dụng đẳng thức Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình sau: Thực bước sau: Bước Chuyển tất hạng tử phương trình cho vế  x  3 2  x  1 Hướng dẫn giải Ta chuyển hạng tử vế ta được:  x  3 2   x  1 0 Bước Phân tích đa thức thành nhân tử để đưa Sử dụng đẳng thức thứ ba (hiệu hai bình dạng phương trình tích cách sử dụng phương) ta được:   x  3   x  1    x  3   x  1  0 đẳng thức   x   x  1  x   x  1 0   x     x   0  x  0     x  0 Bước Giải kết luận nghiệm   x 3   x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm 4  S   2;  3  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 a)  x  1  x   b) x   x  1  3x  1 1 c) x    x    x  x  0 d)  x     x  x   0 Hướng dẫn giải a) Ta có: Trang  x  1 2 2  x     x  1   x   0    x  1   x      x  1   x    0   x   x    x   x   0   x  3   x  1 0  x  0     x  0   x 5   x 1 3  Vậy tập nghiệm phương trình S  ;1 5  b) Ta có: x   x  1  x 1 1   x  1   x  1  3x 1 0   x  1  x  1   x  1  x  1 0   x  1  x   3x  1 0   x  1  x   0  x  0    x  0   x 2   x   1 Vậy tập nghiệm phương trình S   ;   2 2 c) Ta có: x    x    x  x  0   x    x  x     x    x  x  0   x    x  x   x  x  0   x    x   0  x 2  x  0    x   x  0    Vậy tập nghiệm phương trình S  ;  3  3 2 d) Ta có:  x     x  x   0   x     x   0   x  2  x   5 0   x  2  x   0  x  0    x  0  x   x   Trang Vậy tập nghiệm phương trình S   7;  2 Bài toán Đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp khác Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình sau Thực bước sau:  x  1   x  1  0 Hướng dẫn giải Bước Phát đặt ẩn phụ (kèm điều kiện Ta đặt t  x  1 , phương trình cho trở thành: t  3t  0 ẩn có) để đơn giản phương trình Bước Biến đổi dạng phương trình tích theo ẩn Bằng cách tách 3t  t  4t , ta phương trình tích:  t  1  t   0 Bước Tìm giá trị ẩn ban đầu tương ứng với giá trị ẩn phụ Giải phương trình ta t 1 t  nghiệm phương trình  Với t 1 , ta có x  1  x 0  Với t  , ta có x    x  Bước Kết luận nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S  0;  5 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau 2 a)  x  x    x  x   0 b)  x  3  x  4 2 c)  x  x  3  x  x  1 3 d)  x  1  x    x  3  x   24 Hướng dẫn giải a) Ta có:  x  x    x  x   0 (1) Ta đặt t x  x , phương trình (1) trở thành t  t  0   t  2t    3t   0   t    t  3 0  t  0    t  0  t   t 3  +) Với t  , ta có x  x  0 (vơ nghiệm x  x   x  1 0, x nên x  x   0, x ) +) Với t 3 , ta có x  x  0 , quan sát phương trình ta thấy        3 0 nên phương trình có hai nghiệm x  x 3 Trang Vậy tập nghiệm phương trình S   1;3 b) Ta có:  x  3  x  4 (2) 2   x  3   x  3  4   x  3   x  3  0 Ta đặt t 2 x  , phương trình (2) trở thành: t  t  0 Nhận thấy    1     0 nên phương trình có hai nghiệm t  t 2 +) Với t  , ta có: x    x  +) Với t 2 , ta có: x  2  x  1  1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2;  2  2 c) Ta có:  x  x  3  x  x  1 3 Ta đặt t x  x  2, t  Khi phương trình cho trở thành  t  1  t  1 3  t 4  t 2 (thỏa mãn) t  (loại) 2 Với t 2 , ta có: x  x  2  x  x 0  x  x   0  x 0 x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2;0 Chú ý: x  x   x  1  0 với x nên ta đặt điều kiện t 1 để loại nghiệm nhanh d) Ta có:  x  1  x    x  3  x   24   x  1  x    x    x   24   x  5x    x  x   24 Đặt t x  x  , phương trình cho trở thành:  t  1  t  1 24  t 25  t 5 t  2 +) Với t 5 , ta có: x  x  5  x  x 0  x  x   0  x 0 x 5   5  25 +) Với t  , ta có: x  x  10 0 (vơ nghiệm x  x  10  x  2.x      10   2   2  15   x     0, x ) 2  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  0;5 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải phương trình sau: a) 3x  x  3   x    x  3 0 b)  x  3  x  3x   x  x Trang d)  x   x    x  x   0 c) x  x  0 2 e)  x  3  x  1 f) x   x  1  x    0 Câu 2: Giải phương trình sau a)  x  x    3x  x   0 b)  x     x    0 c) x  x  1  x    x  1 24 Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm x = a Phương pháp giải Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để phương 2 trình  m  m  1 x  2mx  0 có nghiệm x 1 Bước Thay x a vào phương trình Khi ta phương trình với m ẩn số Hướng dẫn giải Thay x 1 vào phương trình ta được: Bước Giải phương trình với ẩn m Giá trị m m tìm điều kiện tham số m để   m  1  m   0 phương trình có nghiệm x a Chú ý: Đối với tốn u cầu tìm m để phương trình có nghiệm x a tìm m để hai phương trình tương đương Sau tìm m  m  1 12  2m.1  0  m 1   m  Vậy với m 1 m  phương trình nhận x 1 nghiệm ta đem m thay vào phương trình để kiểm tra lại xem ngồi x a phương trình cịn nghiệm khác hay khơng Ví dụ mẫu 2 Ví dụ: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:  m  1 x  m  3m  0 ; x  0 Hướng dẫn giải Xét phương trình x  0  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 2 Thay vào phương trình  m  1 x  m  3m  0 (1) ta có: m  m 1  1  m  3m  0  m2  3m  0    m  2 Thay m 1 vào (1) ta có:   1 x   3.1  0  x  0 (ln đúng) Vậy phương trình có vơ số nghiệm Trang 10 Thay m  vào (1) ta có    4  1 x     2      0  15 x  30 0  x 2 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S  2 Do hai phương trình tương đương m  Bài tập tự luyện dạng Câu Cho phương trình x2  m   2m  3  m  1 x Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x 3 Câu 2: Cho phương trình:  3x  2m    x  2m  1 0 , m tham số a) Tìm giá trị m cho phương trình nhận x 0 nghiệm b) Với giá trị m tìm giải phương trình Câu Tìm giá trị tham số m để phương trình  x    x  m 1 3m2  có nghiệm x 1 nghiệm Hướng dẫn giải tập tự luyện Bài tập tự luyện dạng Câu   x    x  3   2x  x     a) Ta có:  3x     0  0   x     6     x   3x     3x     0    x  1   3x     0    x  0   x  0   x    x  0 2  x     x 1   Vậy tập nghiệm phương trình S   ;1   Trang 11 x   0  x  b)     x  3  x   0   x  0  2   x  0    x 6   x 3   x 2  3  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ; 2;6  2   x 2  x  0  c)  x    x  1 0    x 1 x     2 1  phương trình cho có tập nghiệm S  ;  2  Câu a) Giá trị biểu thức xác định với điều kiện 2 x  0   x  0  x    x  3 3    x    x  b) Biểu thức xác định với điều kiện  x  0  x2  1  x  3  x  1 0  2 x  0   x  0  3  x    x 1 Bài tập tự luyện dạng Câu a) Ta có: 3x  x  3   x    x  3 0   x  3  3x   x    0   x    x   0  x  0    x  0   x 2   x 1 3  Vậy tập nghiệm phương trình S  ;1 2  b) Ta có:  x  3  x  3x   x  3x   x  3  x  x    x  x  3 0   x  3  x  x   x  0   x     3x   0  x  0     3x  0  x 3  x   Vậy tập nghiệm phương trình S   3;3 Trang 12 c) Ta có: x  x  0   x  x    x   0   x    x  1 0  x  0  x 2    x  0  x 1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1; 2 d) Ta có:  x   x    x  x   0    x    x  x     x   x  x   0    x    x  x  x  x   0   x 0    x   x   0     x  0  x 2  x 5  Vậy tập nghiệm phương trình S  2;5 e) Ta có:  x  3 2 2  x  1   x     x  1 0   x   x  1  x   x  1 0    x    x   0  x    x 4  4  Vậy tập nghiệm phương trình S   2;  3  f)  x   x  1  x    0  x  1  x  1  x    0s 6   x  1   x  1  x   0   x  1   x   0   x  1   x   0  x  0     x  0 1  x   x 7   Vậy tập nghiệm phương trình S   ;7    Câu Trang 13 a) Đặt t 3 x  x, phương trình cho trở thành: t  2t  0   t  1 0  t 1 Với t 1 ta có 3x  x 1  x  x  0  x 1 x  1 (vì        1 0 )   Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ;1 3  b)  3x     x    0 Đặt t 3 x  , phương trình cho trở thành 4t  3t  0  t 1 t  1 (do    3    1 0 ) +) Với t 1 , ta có 3x  1  x  +) Với t  1 1  17 , ta có 3x    x  4 12   17  ;  1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S   12  c) x  x  1  x    x  1 24  x  x  1  x  1  x   24   x  x   x  x   24  t 5 Đặt t x  x  phương trình cho trở thành:  t  1  t  1 24  t 25    t  2 +) Với t 5 ta có x  x  5  x  x  0   x    x  3 0  x  x 3 +) Với t  ta có x  x    x  x  0 (vô nghiệm x  x   0, x ) Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2;  3 Bài tập tự luyện dạng Ta có x 3 nghiệm phương trình x2  m   2m  3  m  1 x , nên suy ra: 32  m   2m  3  m  1   m  2m    m  1   2m  3  m  1   m  1 0   m  1  2m   0  m  0    2m  0  m 1  m   Vậy m 1 m  thỏa mãn yêu cầu toán Trang 14 Câu a) Phương trình nhận x 0 nghiệm, nên ta có:  3.0  2m     2m  1 0   2m     2m  1 0  2m  0     2m  0 Vậy m    m 2   m   1 m  giá trị cần tìm 2 b) +) Với m  , phương trình cho trở thành:  3x   x   0  x 0 x 6 +) Với m  , phương trình cho trở thành:  3x   x 0  x 2 x 0 Vậy với m  , tập nghiệm phương trình S  0;6 Với m  , tập nghiệm phương trình S  0; 2 Câu Phương trình nhận x 1 nghiệm nên ta có:     2.1 m 1 3m2    2m  3m2   3m  2m  0  m 1 m  Với m  5  x 1 5 ta có x  x  0   3 3  x  Do m  5 (khơng thỏa mãn) Với m 1 ta có 11 x  x  0  3  x 1  x 11  Do m 1 khơng thỏa mãn Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm x 1 Trang 15