BÀI 5: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Mục tiêu Kiến thức + Vận dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức Kĩ + Thực phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức + Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các khái niệm Cho A B hai đơn thức, B 0 Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B tìm đơn thức Q cho A B.Q Trong đó: A gọi đơn thức bị chia; B gọi đơn thức chia; Q gọi thương Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B biến A với số mũ khơng lớn số mũ A Kí hiệu: Q A : B Q A B Các quy tắc lũy thừa Với x, y 0 ; m, n x m x n x m n ; x m : x n x m n m n ; m x m y m xy ; m m x m x ; y y n x x m m x m x m n Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trong trường hợp A chia hết cho B) ta làm sau Bước Chia hệ số A cho hệ số B Bước Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B Bước Nhân kết vừa tìm với Quy tắc chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trong trường hợp hạng tử đa thức A chia hết cho đơn thức B) ta làm sau Bước Ta chia hạng tử A cho B Bước Cộng kết với Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép chia Phương pháp giải Chia đơn thức cho đơn thức Ví dụ: Bước Xác định phần hệ số, phần biến Để chia đơn thức A 15x y cho B 3 x y ta làm đơn thức A đơn thức B sau: A 15x y có hệ số 15 phần biến x y B 3 x y có hệ số phần biến x y Bước Thực phép tính: 15 x y : 3x y 15 : 3 x : x y : y 5x y - Chia hệ số A cho hệ số B - Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B - Nhân kết tìm với Chia đa thức cho đơn thức Ví dụ: Bước Thực phép chia Đẻ chia đa thức A 2 x y x y cho đơn thức hạng tử đa thức A cho đơn thức B B x y ta làm sau: x y : x y 2 x y Bước Cộng kết tìm lại với x y : x2 y x 2x y x y : x y 2 x y x Ví dụ mẫu Ví dụ Thực phép chia a) x y : x b) 27 x y : x y c) 125x 12 y8 : 25 x y d) 15 10 12 x y z : x y z 4 Hướng dẫn giải Chú ý: Khi thực a) Ta có x y : x 2 x y 4 b) Ta có 27 x y : 3x y 27 : x : x y : y x y 15 10 12 15 12 3 4 10 d) Ta có x y z : x y z : x : x y : y z : z x z 4 4 4 Ví dụ Thực phép chia đơn thức B khơng có đủ biến đơn thức 12 12 5 c) Ta có 125x y : 25x y 125 : 25 x : x y : y 5 x y phép chia đơn thức, A ta giữ nguyên biến đơn thứ A a) x 3x x : x 3 b) 10 x y x y x y : x y Hướng dẫn giải Trang 4 a) Ta có x x x : x 2 x x 3 2 b) Ta có 10 x y x y x y : x y 5y x 3x y Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Thực phép chia a) 53 : 5 3 3 e) : 4 4 b) : 3 c) 12 : 5 5 f) : 2 7 5 9 g) : 9 5 d) 205 : 82 3 2 h) : 7 7 Câu 2: Thực phép chia a) x : x b) y : y e) x : x f) xy : xy c) x12 : x g) x y 10 d) x : x : 2x y 2 h) xy : xy 2 Câu 3: Thực phép chia c) 45x d) 21x 2 a) x y x y : x y b) 24 x y 12 xy : 12 xy y 27 x y : x y 4 y z x y10 z 3x y z : 3x y z Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Tính giá trị A : B x m y n Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A 8 x y : x y3 x 2 y 3 Bước Thực phép chia A : B Hướng dẫn giải x , y Bước Thay giá trị vào kết A 8 x y : x y3 : x : x y : y3 2 x y phép chia bước tính giá trị biểu Thay x 2 y 3 vào biểu thức A, ta thức A 2.23.3 48 Bước Kết luận Vậy A 48 x 2 y 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Rút gọn tính giá trị biểu thức a) A 24 x y : x y x y 2 b) B x y : x y x 1 y 4 c) C x y z : x y z x 1 , y z 100 1 d) D x y z : 3x y z 3 x , y 2 z 3 Hướng dẫn giải a) A 24 x y : x y x y 2 Trang 2 3 Ta có A 24 x y : x y 24 : 3 x : x y : y 8 x y Thay x y 2 vào biểu thức A ta A 8 128 Vậy A 128 x y 2 b) B x y : x y x 1 y 4 6 Ta có B x y : x y : x : x y : y 2 x y Thay x 1 y 4 vào biểu thức B ta B 2.12.4 8 Vậy B 8 x 1 y 4 c) C x y z : x y z x 1 , y z 100 : x Ta có C x y z x 2 y z 2 x y10 z : x y z 1 x : y y 10 y3 z : 1 x 3 y 3 z : y9 z4 : z3 yz Thay x 1 , y z 100 vào biểu thức C ta C 1 100 100 Vậy C 100 x 1 , y z 100 1 d) D x y z : 3x y z 3 x , y 2 z 3 1 Ta có D x y z : 3x y z 3 3 x 3 y z 3 x y z : x y z 27 : x 2 z : x6 : x y9 : y z9 : z 27 y y z 243 288 Thay x , y 2 z 3 vào biểu thức D ta D 243 Vậy D 288 x , y 2 z 3 Chú ý: Khi thay giá trị biến vào biểu thức, với giá trị âm ta phải đóng mở ngoặc giá trị ghi lũy thừa, Trang Ví dụ Rút gọn tính giá trị biểu thức 3 2 a) A 15x y x y 12 x y : x y x y 2 ` 1 3 2 b) B x y z x yz x y z : x yz x 1 , y z 2 2 Hướng dẫn giải 3 2 3 a) Ta có A 15x y x y 12 x y : 3x y 5x y 3xy y Thay x y 2 vào biểu thức A ta A 5 1 22 1 4.23 18 Vậy A 18 x y 2 1 3 2 2 b) B x y z x yz x y z : x yz 2 x y z x yz Thay x 1 ; y z 2 vào biểu thức B ta B 2.12 1 22 4.1 1 16 Vậy B 16 x 1 ; y z 2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức 12 10 a) A x y : x y x 2 y 3 7 10 b) B 27 x y : x y x y 2 2 13 10 c) C 100 x y z : 25x y z x 1 ; y z 1 2 e) E x y x y : x y x 1 ; y f) F xy z x y z x yz : xyz x ; y 1 z d) D x y z : 15 x y z x 3 ; y z 2020 3 2 2 Dạng Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B Phương pháp giải Thực phép chia hết A : B Ví dụ: Tìm giá trị ngun n để đơn thức A 12 x n y8 chia hết cho B 3x y n Hướng dẫn giải Bước Xác định phần biến đơn thức A tương ứng với phần biến đơn thức B có A 12 x n y8 có chứa x n y8 B 3x y n có chưa x y n Trang chứa tham số n Bước 2, Sử dụng điều kiện số mũ biến để đơn thức A chia hết cho đơn thức B xm x m : x n (điều kiện m n ) xn Để AB n n 5 x x n 2 8 2 n x y n 5 n 6 n 6 Vì n nên n 5;6 Bước Kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ Cho A 34 x y n B 17 x y Tìm tất số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B Hướng dẫn giải Để AB y n y n 5 Vì n nên n 5;6;7 Ví dụ Cho A 5 x n 2 y B 3x y n 3 Tìm tất số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B Hướng dẫn giải Để AB x n 2 x y y n 3 suy n 5 n , n 3 n 4 hay n 4 Vì n nên n 3;4 Ví dụ Cho A x n y x y 21 n B x y Tìm tất số nguyên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B Hướng dẫn giải Để AB x n x y 21 3n y suy n 6 21 3n 3 , n 3 Chú ý: Các giá trị lũy thừa phải n 6 hay n 6 số nguyên dương Vì n nên n 3;4;5;6 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B a) A 12 x n y B x y b) A 45 x y n B 5 x y Bài tập nâng cao Câu 2: Tìm giá trị nguyên n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B biết: a) A 20 x n y n z 21x y n z B 22 x n 1 y b) A 12 x y n 3 x n y 7 n B 2 x y c) A x n 3 y n z x y10 n z B 22 x n y Trang LỜI GIẢI Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) 53 : 5 5 b) 46 : 2 : 23 2 512 c) 12 : 37 2187 d) 205 : 82 2.5 : 3 3 3 3 e) : 4 4 4 2 4.55 50000 5 5 f) : 2 5 8 5 9 5 g) : 9 5 9 5 5 5 9 9 3 2 2 3 h) : : 7 7 7 2 10 Câu a) x : x x c) x12 : x 10 3 d) x : x x x2 : x y 8 x 2 2 f) xy : xy xy x y e) 3x : x x 27 x g) x y b) y : y y h) xy y2 : xy xy 2 216 x y Câu 2 a) x y x y : x y 6 x y 3y b) 24 x y 12 xy : 12 xy 2 xy y c) 45x y 27 x y : x y 5y 3xy 9 10 d) 21x y z x y z 3x y z : 3x y z 7 xy z x y z yz Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trang 12 10 a) A x y : x y x 2 y 12 10 2 Ta có A x y : x y x y Thay x 2 y vào biểu thức A, ta A 4.22 256 Vậy A 256 x 2 y 3 7 10 b) B 27 x y : x y x y 2 2 3 7 10 Ta có B 27 x y : x y 18 x y Thay x y 2 vào biểu thức B, ta B 18 1 23 144 Vậy B 144 x y 2 13 10 c) C 100 x y z : 25x y z x 1 ; y z 1 2 13 10 3 Ta có C 100 x y z : 25x y z 4 x y z Vậy C 1 1 1 ; y z 1 vào biểu thức C, ta C 4 1 2 16 2 2 Thay x 1 x ; y z 1 16 2 d) D x y z : 15 x y z x 3 ; y z 2020 Ta có D x y z : 15x y z x y Thay x 3 ; y z 2020 vào biểu thức D, ta D Vậy D 27 1 5 27 x 3 ; y z 2020 3 e) E x y x y : x y x 1 ; y 3 2 Ta có E x y x y : x y x y y Thay x 1 ; y vào biểu thức E, ta E 12 1 1 3 Vậy E 3 x 1 ; y 2 f) F xy z x y z x yz : xyz x ; y 1 z 2 3 Ta có F xy z x y z x yz : xyz 3yz xy z x Thay x ; y 1 z vào biểu thức F, ta F 3.1 1 13 1 11 Vậy F 11 x ; y 1 z Bài tập tự luyện dạng Trang Bài tập Câu a) Cho A 12 x n y B x y Để AB x n x n 4 b) Cho A 45 x y n B 5 x y Để AB y n 4 y n 7 n 3 Bài tập nâng cao Câu a) A 20 x n y n z 21x y 7 n z B 22 x n 1 y x n x n 1 2 n n 2n y y n 2 Để AB 7 n n y y x x n 1 6 n n 1 n 3 n 5 n 5 Vì n nên n 3;4;5 b) A 12 x y n 3 x n y 7 n B 2 x y y n 3 y n 4 2n n 1 n 3 Để AB x x 2n 2 n y 7 n y 7 n Vì n nên n 1;2;3 c) A x n 3 y n z x y10 n z B 22 x n y x n 3 x n 2 n n n 2n y y n 2 n 4 n 4 Để AB n x x 8 n n 9 y10 n y 10 n 2 n 4 Vậy n 4 Trang 10