Bài 4 phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ BÀI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Mục tiêu  Kiến thức + Vận dụng linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp phương pháp + Áp dụng quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử tốn tính nhanh, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức, tìm x  Kĩ + Biết cách phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp phương pháp + Tính nhanh giá trị biểu thức cách thu gọn biểu thức, áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử + Làm toán tìm x dựa vào phương pháp học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phân tích đa thức thành nhân tử - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) việc biến đổi đa thức thành tích đa thức Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: - Phương pháp đặt nhân tử chung 5x  3xy 5.x.x.x  3.x.y x  5.x.x  3.y   x x  3y  - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm hạng tử  x   x  32  x  3  x  3 x  x y  y3  xy  x  x y  y  xy     x  x  y   y2  x  y   x  y  x  y  - Phối hợp nhiều phương pháp  x y  xy  x  y  x y  xy  x  y     xy  x  y    x 3  x  y3    y    xy  1  x  y  x  xy  y    xy  1 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đặt nhân tử chung Bài tốn Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải Khi hạng tử đa thức có chung nhân tử, ta đặt nhân tử chung ngồi dấu ngoặc theo công thức A.B  A.C  A  B  C  Để xuất nhân tử chung đa thức ta tiến hành theo hai bước sau Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 14 x y z3  x yz2  21xyz2 Bước Tìm hệ số nhân tử chung ước chung Hướng dẫn giải lớn hệ số hạng tử ƯCLN  14, 7,21 7 Bước Tìm lũy thừa chữ số nhân tử - Số mũ nhỏ x hạng tử chung lũy thừa chữ số có mặt - Số mũ nhỏ y hạng tử Trang hạng tử với số mũ nhỏ - Số mũ nhỏ z hạng tử Vậy nhân tử chung đa thức cho 7xyz2 nên đa thức phân tích sau 14 x y z3  x yz2  21xyz2 7 xyz2 xy z  x    Chú ý: Đôi để xuất nhân tử chung, ta cần đổi dấu hạng tử lưu ý tính chất A    A   A  B   B  A  Ví dụ mẫu Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)  26 x y  13 x y z2  39 xy z b)  x  y   y  y  x  c) xy  x  y   5x  5y d) x  x  y   xy  x  y  2 e) y  x  y   x  y  x  f) xy  x  y   x  y Hướng dẫn giải a)  26 x y  13 x y z2  39 xy z Chú ý: Để xuất nhân tử Bước Tìm hệ số nhân tử chung chung, ta phải sử dụng tính chất ƯCLN  13,26,39  13 A    A  Bươc Tìm lũy thừa chữ số nhân tử chung Cụ thể  x   x  y  Số mũ nhỏ x hạng tử Số mũ nhỏ y hạng tử Vậy nhân tử chung đa thức cho 13xy nên đa thức phân tích sau  26 x y  13 x y z2  39 xy z3  13xy 2 x y  xz2  3z3   b)  x  y   y  y  x  3  x  y   y  x  y  Vậy nhân tử chung đa thức cho x  y nên đa thức phân tích sau  x  y   y  y  x  3  x  y   y  x  y   x  y    y  c) xy  x  y   x  5y xy  x  y    x  y  Vậy nhân tử chung đa thức cho x  y nên đa thức phân tích sau xy  x  y   x  5y xy  x  y    x  y   x  y   xy   Trang d) x  x  y   xy  x  y  Nhân tử chung đa thức cho x  x  y  nên đa thức phân tích sau x  x  y   xy  x  y  x  x  y   x  y  y  x  x  y   x  2y  2 2 e) y  x  y   x  y  x  y  x  y   x  x  y  Vậy nhân tử chung đa thức cho  x  y  nên đa thức Chú ý: Để xuất nhân tử chung, ta sử dụng tính chất phân tích sau 2 2 y  x  y   x  y  x  y  x  y   x  x  y   x  y   x  y  A  B   B  A  2 f) xy  x  y   x  y Để xuất nhân tử chung đa thức ta phải sử dụng đến đẳng thức x  y  x  y   x  y  Như đa thức lúc xy  x  y   x  y xy  x  y    x  y   x  y  Ta thấy xuất nhân tử chung x  y nên đa thức phân tích sau xy  x  y   x  y xy  x  y    x  y   x  y   x  y   xy  x  y  Bài toán Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A 2 x  x  y   y  x  y  x 18 y 64 Hướng dẫn giải Bước Phân tích đa thức thành nhân tử A 2 x  x  y   y  x  y   x  y   x  y  Bước Thay giá trị biến vào đa thức vừa Thay x 18 y 64 vào biểu thức A, ta tiến hành phân tích thành nhân tử tính A  18  64   2.18  64   46.100  4600 tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức a) A a  2b  1  3b  2b  1 a 7, b 2 b) B b  6b  5a   b  a 3, b 5 c) C 2 xy  x  y   zx  zy x 2, y 3, z  Trang d) D  x  x  y   y  x x 6, y 4 Hướng dẫn giải a) A  2b  1  a  3b  Thay a 7, b 2 vào biểu thức A, ta A  2.2  1   3.2  5 b) B b  b    5a  b    b    5a  b  Thay a 3, b 5 vào biểu thức B, ta được: B     5.3  5   15    20 c) C 2 xy  x  y   z  x  y   x  y   xy  z  Thay x 2, y 3, z  vào biểu thức C, ta được: C   3  2.2.3      5.20 100 d) D  x  x  y    3x  y   3x  y   x  1 Thay x 6, y 4 vào biểu thức D, ta D  3.6  2.4    1 10.5 50 Bài tốn Tìm x Phương pháp giải Khi gặp tốn có dạng f  x  g  x  f  x  , g  x  đa thức chứa biến x ta làm sau Bước Chuyển tất hạng tử vế (cụ Ví dụ: Tìm x thỏa mãn x  x  1 5  x  1 thể ta thống đưa vế trái) Hướng dẫn giải Bước Tiến hành phân tích đa thức thành nhân tử Ta có x  x  1   x  1 0 đưa dạng A.B 0 Khi A 0 B 0 Bước Tiến hành tìm x từ đẳng thức  x  1  x  5 0 A 0 B 0 kết luận x  0 Khi x  0 Với x  0 x  Với x  0 x  1 5 Vậy x   ;  2  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm x a) x  2019  x  x  2019  0 b) x 15 x  0 Trang c)  x  x    x   2 d) x   x  1 12 x  x   Hướng dẫn giải a) x  2019  x  x  2019  0  x  2019    x  0 Khi x  2019 0  x 0 Với x  2019 0  x 2019 Với  x 0  x   x    Vậy x    ;2019    c)  x  x    x  5   x    x    x  5 0   x     x   x  5 0   x    x  5 0   x   x   0 Khi  x 0 x  0 Với  x 0  x 2 Với x  0  x   x  Vậy x    3;2  x 3 x 15 x  0  x    0 b)  2 Khi x 0 Với x 0  x 0 Với x  0  x x    x  1  12 x  x 0     x  1  x  x  1 0  3x  1  x  x   0 2  3x  1  x   x  x  x  0 2 d) x   x  1 12 x  x   Vậy x   ;    0 Khi x  0 x  0 Với 3x  0  x 1  x  Với x  0  x 2 1  Vậy x   ;2  3  Trang Bài tốn Tính nhanh Phương pháp giải Ví dụ: Tính nhanh 19.14,5  92.14,5 Khi hạng tử đa thức có chung Hướng dẫn giải nhân tử ta đặt nhân tử chung dấu 19.14,5  92.14,5 14,5 19  92  ngoặc theo công thức A.B  A.C  A  B  C   14,  19  81 Bước Tìm nhân tử chung nhóm nhân tử chung 14,5.100 lại theo công thức A.B  A.C  A  B  C  1450 Bước Thực phép tính ngoặc Bước Thực phép tính nhân nhân tử chung với kết ngoặc Ví dụ mẫu Ví dụ Tính nhanh a) 75.20,1  52.20,1 b) 86.15  150.1, c) 98,6.199  990.9,86 d) 0, 78.1300  50.6,5  39 e) 0,12.90  110.0,6  36  63.6 f) 84.84,5  840.1,55 Hướng dẫn giải a) 75.20,1  52.20,1 20,1 75  52   d) 0, 78.1300  50.6,5  39 78.13  5.65  39 13.78  13.25  13.3 20,1 75  25  13  78  25  3 20,1.100 13.100 2010 1300 b) 86.15  150.1, e) 0,12.900  110.0,6  36  63.6 86.15  15.14 6.18  6.11  6.6  6.63 15  85  14  6  18  11   63 15.100 1500 c) 98,6.199  990.9,86 98,6.199  98,6.99 98,6  199  99  98,6.100 9860 6   50   300 f) 84.84,5  840.1,55 840.8,45  840.1,55 840  8,45  1,55  840.10 8400 Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x b) x y  xy  12 xy z c) x  12 x d)  x  y   5y  y  x  e)  x  3y   15 x  x  3y  2 f) x  x  y   y  x Câu 2: Tính nhanh a) 85.12,  5.3.12, b) 6, 4.85,6  8560.0, 036 c) 0,65.1800  18.25  0,18.6000 d) 0,21.1000  250.0,7  49  32.7 Câu 3: Tính giá trị biểu thức a) A a  b  3  b   b  a 2003 b 1997 b) B b  8b  c   b  b 108 c  c) C xy  x  y   x  y x  y 10 xy 12 2 d) D  x  x  y   x y  x  2y   x y  x  y  x 10 y  Bài tập nâng cao Câu 4: Tìm x a)  x 2  x   b) x  72 x 0 c)  x  5    x  0 d) x  x   x 0 e) x  x  1  x  x  1  x  x  1 0 f) x  x  14 x  x   0 Câu 5: Chứng minh a) 50 n 2  50 n 1 chia hết cho 245 với số tự nhiên n b) n  4n  chia hết cho với số tự nhiên n lẻ Câu 6: Tìm  x; y  nguyên thỏa mãn đẳng thức a) xy  x  y  0 b) xy  x  3y  0 Dạng 2: Phương pháp dùng đẳng thức Bài tốn Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải Nếu đa thức chứa vế bảy đẳng thức đáng nhớ ta dùng đẳng thức đáng nhớ để viết đa thức thành tích nhân tử Bước Chuyển đa thức cho dạng Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử đẳng thức cần sử dụng x  xy  y Bước Sử dụng đẳng thức để phân tích thành Trang nhân tử Hướng dẫn giải x  xy  y  x    x  y  y 2  x  y  Ví dụ mẫu Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x   x b)  x  x  y c) x  10 xy  5y d) x  x  25y  2 e) 49  y     y   f)  x  y   x  12 x  Hướng dẫn giải a) x   x  x  2.3 x  32   x  3   b)  x  x  y  x  2.3 x  32  y  x    y   x  3  y    x  3  y   x  y    x  y     2 2 c) x  10 xy  5y 5  x  xy  y  5 x  y       d) x  x  25y  x  x   25y  x  2.x.2  22   5y   x     5y  2   x    5y    x    5y   x  5y    x  5y   2 e) 49  y     y     y       y      y     y      y     y     y  28  3y    y  28  3y    y  34   10 y  22  4  y  17   5y  11 2 f)  x  y   x  12 x   x  y   x  12 x    2 2  x  y     x   2.2 x.3  32   x  y    x       x  y    x  3    x  y    x     x  y  x    x  y  x    y  3  x  y  3 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 27 x  27 x  x  b) 8x  12 x  x  Trang c) x  x y  12 xy  y d) x  12 x y  xy  y  z3 Hướng dẫn giải 3 a) 27 x  27 x  x   3x    3x   3.3 x.12  13  x  1 3 b) x  12 x  x   x    x   3.2 x.12  13  x  1 c) x  x y  12 xy  y  x  3.x 2 y  3.x  y    y   y 3  x  y   y 3  x  y   y   x  y   y    x  y    x  y  y  y     x  3y  x  xy  y  xy  y  y  x  3y  x  3xy  3y     d) 8x  12 x y  xy  y  z3  x    x  y  3.2 x.y  y  z3  2x  y   z3   x  y   z    x  y    x  y  z  z     x  y  z  x  xy  y  zx  yz  z   x  y  z   x  y  z2   xy  yz  xz  Bài tốn Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị Bước Phân tích đa thức thành nhân tử theo A 49 x  42 x  x 21 phương pháp đẳng thức Hướng dẫn giải Bước Tính giá trị biểu thức cách thay A 49 x  42 x  giá trị biến vào biểu thức sau phân tích thành nhân tử tính tốn biểu thức  x   2.7 x.3  32  x  3 Thay x 21 vào biểu thức A, ta A  7.21  3 1502 22500 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau a) A 8 x  12 x y  xy  y x 39; y 22 Trang 10